解三角形-(正弦、余弦定理)

解三角形-(正弦、余弦定理)

（必修五）解三角形

1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

正弦定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===或变形：

::sin :sin :sin a b c A B C

=.

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）

两内角与其正弦值：在△ABC 中，

B

A B A sin sin <⇔<，…

2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

2．余弦定理：

222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩

或

222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪

=

⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

.

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 注意：

①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；

②三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解； 类型一：解三角形

在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC

A

的值等于 ，AC 的取值范围_____________

解析: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC

θθθθ

=∴=⇒= 由锐角ABC ∆得0290045

θθ<<⇒<<，

又0

1803903060

θθ<-<⇒<<，故23

30

45cos 2θθ<<⇒

<<，

2cos 2,3).

AC θ∴=∈

1．在△ABC 中，3,1==b a ，∠A=30°，求c 的值

解析：

举一反三：

变式1：在△ABC 中，已知2

,1==b c ，B=45°，求

C 和a

变式2：已知△ABC 中，3=a ，1=b , A=2B ，求角B 及边c .

变式3：在△ABC 中，

45,2==A a ，3

2sin =B ，求c 的值.

类型二：已知三角形面积解三角形

1．在△ABC 中，0

120,,21,3

ABC

A c b a S

=>=

=，求c b ,。

变式1．若在△ABC 中，0

60,1,3,

ABC

A b S

∆∠===则

C

B A c

b a sin sin sin ++++=_______。

变式 2.已知三角形的一个角为60°，面积为

2

310cm ，周长为cm 20，求此三角形的各边长.

类型三：判定三角形的形状 三角形的形状的判定

（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径： ①化边为角； ②化角为边。

（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. （3）解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，

如：sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=-

sin cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C +++===.

1.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

2．在△ABC中，bcosA＝acosB ，则三角形的形状为（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形

3．在△ABC中，若,

A

a=

+则△ABC的形

b

B

cos

cos C

c

cos

状____________

4.在△ABC中，若2

=

-B

c

=

a，且B为锐角，

lg

sin

lg

lg

lg-

判定△ABC的形状。

变式：在△ABC中，若2lg

-

lg=

B

A，则

-C

sin

sin

lg

lg

cos

△ABC的形状是（）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形

类型四：证明三角形中的三角恒等式

例：已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为c b a,,，

求证：B

cos+

=.

a cos

b

C

c

思路点拨：恒等式的证明实际上就是化繁为简，