第十一章无穷级数(习题及解答)

第十一章 无穷级数

§ 级数的概念、性质

一、单项选择题

1. 若级数1n n a

q

∞

=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )．

(A)1q =； (B)1q =-； (C)

1q <； (D)1q >． 答(D)．

2. 下列结论正确的是( )．

(A)若lim 0n n u →∞=，则1

n n u ∞

=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1

n n u ∞

=∑收敛；

(C)若1

n n u ∞

=∑收敛，则lim 0n n u →∞

=；(D)若1

n n u ∞

=∑发散，则lim 0n n u →∞

≠. 答(C)．

3. 若级数1

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．

(A)121()n

n n u

v S S ∞

=±=±∑； (B)

11n

n ku

kS ∞

==∑；

(C)

21

n n kv kS ∞==∑； (D)

1

12

n n n u S v S ∞

==∑． 答(D). 4. 若级数1

n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．

(A)1()n n u S ∞

=-∑收敛； (B)

11

n n

u ∞

=∑收敛； (C)

1

1

n n u

∞

+=∑收敛；

(D)

n ∞

=收敛. 答(C).

5. 若级数1

n n a ∞

=∑收敛，其和0S ≠，则级数121

()n n n n a a a ∞

++=+-∑收敛于( )．

(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).

6. 若级数

∑∞

=1n n

a

发散，

∑∞

=1

n n

b

收敛则 ( )．

(A)

∑∞

=+1)(n n n

b a

发散；

(B)

∑∞

=+1)(n n n

b a

可能发散，也可能收敛；

(C)

∑∞

=1

n n

n b

a 发散； (D)

∑∞

=+1

22)(n n n b a

发散. 答(A).

二、填空题

1. 设1a <，则

().n n a ∞

=-=

∑ 答：

11a +. 2. 级数0

(ln 3)2n

n

n ∞

=∑的和为． 答：

2

1ln 3

-.

3.

级数0

n ∞=∑，其和是 ． 答：

1- 4.数项级数

∑∞

=+-1

)12)(12(1

n n n 的和为.答： 1

2

.

5*. 级数0

21

2n

n n ∞

=-∑的和为. 答： 3.

三、简答题

1． 判定下列级数的敛散性

(1)23238888(1)9999n

n -+-++-+

答： 收敛.

解： (2) 1111369

3n

++++

+ 答：

发散.

解：

(3)133

n

+++

+ 答： 发散.

解：

(4) 23

2333332222

n n +++

++ 答： 发散.

解：

(5) 22

33111111112323

2323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

答： 收敛.

解：

§ 正项级数收敛判别法、P — 级数

一、单项选择题

1. 级数1n n u ∞

=∑与1

n n v ∞

=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=，则( )．

(A)若1n n v ∞

=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞

=∑收敛；

(C)若1

n n u ∞=∑收敛,则1

n n v ∞=∑发散；(D)若1

n n u ∞=∑发散，则1

n n v ∞

=∑发散. 答(D).

2. 若10,(1,2,

)n a n n

≤<=，则下列级数中肯定收敛的是

( )．

(A)1n

n a ∞

=∑； (B)1

1()n n n a a ∞

+=+∑；

(C)

21n n a

∞

=∑； (D)

n ∞

= 答(C).

3. 设级数 (1) 12!n n n n n ∞

=∑与 (2) 13!

n n n n n

∞

=∑，则

( )．

(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；

(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).

4. 设级数(1) n ∞

=与 (2) 110!n

n n ∞

=∑, 则( ).

(A)级数(1)、(2)都收敛；

(B) 级数(1)、(2)都发散；

(C)级数(1)收敛,级数(2)发散；

(D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D). 5. 下列级数中收敛的是( )．

(A)1

n ∞= (B)1

1

sin n n ∞

=∑； (C)1(1)31n

n n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞

=-∑． 答(A).