第十一章无穷级数(习题及解答)
无穷级数自测题
第十一章 无穷级数自测题 A一、 选择题：1．下列级数中，收敛的是( )。
A ． ∑∞=11n n B ． ∑∞=11n nnC ． ∑∞=1321n n D ． ∑∞=-1)1(n n2．下列级数中，收敛的是( )。
A ． 11)45(-∞=∑n n B ． 11)54(-∞=∑n nC ． 111)45()1(-∞=-∑-n n n D ． ∑∞=-+11)5445(n n3．下列级数中，收敛的是( )。
A ． ∑∞=1222)!(n n nB ． ∑∞=1!3n n n nnC ． 21sin nn nππ∞=∑D ． ∑∞=++1)2(1n n n n4．部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( )。
A ． 充分条件B ． 必要条件C ． 充要条件D ． 既非充分又非必要条件5．设a 为非零常数,则当( )时,级数∑∞=1n n r a收敛 。
A ． 1<r B ． 1≤r C ． a r <D ． 1>r6.(3)1,6.....n n n a x x x A B C D ∞=-=-=∑若级数在处收敛则此级数在处（）绝对收敛发散条件收敛敛散性不定二、 填空题：1．设级数∑∞=-12)1(n nn na 收敛，则级数∑∞=1n n a 。
2．设级数∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 收敛， 则级数∑∞=1n n n v u 。
3．若级数∑∞=1n n u 的前n 项和)12(2121+-=n s n ，则=n u ，∑∞=1n n u = 。
4．函数 f(x)=lnx 在 x=1 处的幂级数展开式为______________________。
5．级数11n n nx ∞-=∑的和为__________________(ln 3)6.2级数的和为nnn ∞=∑ . 三、 判别下列级数的收敛性:1．∑∞=1222)!(n n n 2．∑∞=1223cos n nn n π3．判别级数∑∞=+-11ln)1(n n nn 的敛散性。
辽宁工业大学高数习题课11-1
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1
大一高等数学第十一章无穷级数习题 ppt课件
n1
n1
(3) 当 l 时 , 若 v n 发散 ,则 un 发散;
n1
n1
( 3 ) 极 限 审 敛 法
设un为 正 项 级 数 ,
n1
如 果 n l i m nn ul0(或 n l i m nn u),
则 级 数 un发 散 ;
n1
如果有p1, 使得n l i mnpun存在,
则级数 un收敛.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)
n1
nn
n1 (n 1)n;
nnn nn (n 1 )n
n
nn (1 1 )n ,
n2
ln i (m 1n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
limnn
1
limxx
expli{m1lnx}
n
x
x x
n1
则 称 x0为 级 数un(x)的 收 敛 点 , 否则称为发散点.
n1
函 数 项 级 数 u n ( x ) 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n 1
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
(3) 和函数
在 收 敛 域 上 ,函 数 项 级 数 的 和 是 x的 函 数 s(x),
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
(整理)第十一章无穷级数(答案)34872
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n n n 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。
第11章 无穷级数 习题 11- (2)
2
故 ∑ vn 收敛, 所以原级数收敛.
n =1
∞
注意 当直接用比值审敛法去判断级数的敛散性但求极限问题较复杂时, 应考 虑先将级数通项变形, 再用比值审敛法. u 2 ⋅ 5" (3n − 1) 3(n + 1) − 1 3 (5) 设 un = , 则 lim n +1 = lim = < 1 , 所以原级数收 n n →∞ →∞ 1 ⋅ 5" (4n − 3) 4(n + 1) − 3 4 un 敛.
所以级数 ∑ un 收敛, 因此 lim un = 0 .
n =1 n →∞
∞ u an a n +1 n ! a = = < , 所以级数 , 而 lim n +1 = lim lim 0 1 un ∑ n →∞ u n →∞ ( n + 1)! a n n →∞ n + 1 n! n =1 n
(2)
n =1 n =1
∞ ∞ 1 但 ∑ un = ∑ (− ) 发散. n n =1 n =1 ∞ ∞
(2)
不正确. 如对于 p -级数 ∑
1 , 当 p > 1 时, p n =1 n
∑ n p 收敛,
பைடு நூலகம்n =1
1
但
un +1 np 1 = lim = lim =1. n →∞ u n →∞ ( n + 1) p n →∞ 1 p n ( + 1) n lim
u π π 设 un = tan n , vn = n , 而 lim n = lim n →∞ vn n →∞ 2 2
tan
π ∞ 2n = 1 , 且 v 收敛, 所以原 ∑ n π n =1 2n
高数各章综合测试题与答案
第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题一、单项选择题 1、若幂级数1(1)nn n a x ¥=+å在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散;(D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是(). (A) 1(1);210nn nn ¥=-+å (B) 131(1);n n n-¥=-å(C) 111(1)();2nn n ¥-=-å(D) 113(1).n n n¥-=-å3、若数项级数1nn a¥=å收敛于S ，则级数()121nn n n aa a ¥++=++=å() (A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +-(D) 21.S a a +- 4、设a 为正常数，则级数21sin 3n na n n ¥=éù-êúëûå( ). (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,n n S x b n x x ¥==-¥<<+¥å，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==ò，则1()2S -等于() (A) 1;2- (B) 1;4- (C) 1;4(D) 12.二、填空题二、填空题 1、 设14nn u¥==å，则111()22n n n u ¥=-=å() 2、 设()111n n n a x ¥+=-å的收敛域为[)2,4-，则级数()11nn n na x ¥=+å的收敛区间为() 3、 设32,10(),01x f x x x -<ì=í<î≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ¥=++å则3b =()5、级数()1(1)221!n n n n ¥=-+å的和为( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ¥=-×å的收敛域的收敛域2、求()21112n n n ¥=-×å的和的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f +4、求2012!nn n n x n ¥=+å的和函数的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x n n f x f x x -¢=+，n 为正整数，且e (1)nf n=，求函数项级数()1n n f x ¥=å的和函数.6、 设有方程10nx nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1a >时，级数1n n x a¥=å收敛. 四、证明题四、证明题设π4tan d nn a x x =ò（1） 求()211n n n a a n ¥+=+å （2） 试证：对任意常数0l >，级数1n n a nl¥=å收敛收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n na an ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n n l l ¥¥+==<åå第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B. 二、二、1、1；2、()4,2-；3、32；4、2π3；5、cos1sin1-. 三、三、1、答案：[)0,6.2、答案：53ln 284-提示：原式为级数()211n n x n¥=-å的和函数在12x =点的值. 而()22221121211nn nn n n x x xn n n ¥¥¥====--+-ååå,分别求出2121n n x n ¥=-å和2121n n x n ¥=+å的和函数即可.3、答案：11(1)211(),,122n n n n f x xx n +¥+=--éö=Î-÷ê+ëøå()1(1)(1)20!1n nn f nn ++--=×+. 提示:()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x xx x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42x n n n n x x x x n ¥=æö+=++--¥<<+¥ç÷èøå 提示：()2011112!1!2!2n nn n n n n n nx x x n n n ¥¥¥===+æöæö=+ç÷ç÷-èøèøååå， 而()1011e ,e 1!!xn x n nn x x x n n ¥¥====-åå5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ¥==--Î-å提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ¥¥¥=====ååå，记1()n x S x n¥==å，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1n n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x ¢>>,故()n f x 在()0,+¥内最多有一个正根.而(0)10,(1)0nn f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,110nx x nn-<=<,故当1a > 时，级数1nn x a ¥=å收敛.四、提示：()()2111n n a a nn n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nl l ¥¥+==<åå第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( ) (A) 1;- (B) 0; (C) 1;(D) 2. 2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++ò的值等于() (A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6. 3、设S 为封闭柱面()22203x y az +=≤≤，其向外的单位法向量为{}c o s ,c o s,c o s n a b g =，则()cos cos cos d x y z s a b g S++òò等于( ) (A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a(D) 0. 4、设曲线c 为22220x y z a x y z ì++=í++=î，则d c x s ò等于( ) (A) 23;a (B) 0; (C) 2;a(D) 213a . 5、设S 为下半球222z a x y =---的上侧，W 是由S 和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y åòò不等于()(A) d ;v W -òòò(B) 2π220d d aa r r r q -òò;(C) 2π22d d ;aa r r r q--òò(D) ()d d z x y x y å++òò.二、填空题二、填空题1、设c 是圆周222x y a +=，则()2d cx y s -=ò() 2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于() 3、设S 是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s åòò等于() 4、设S 是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy zS++òò等于() 5、设22()d ()d 1cxf x y x f x yx -++ò与路径无关，其中()f x ¢连续且(0)0f =，则()f x =( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()()xysin d cos d LI e y b x y x e y ax y éù=-++-ëûò，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线22y ax x =-到点()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =ò，其中L 为圆周22220x y z a x y z ì++=í++=î.3、在变力F y z i z x j x y =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a bc++=上第一卦挂线的点(),,M x h z ，问,,x h z 取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S Î，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z r 为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Sz s x y z r òò.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S=++òò，其中S 为曲面()221014y z xx =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，，都有，2()d d ()d d e d d 0x Sxf x y z xyf x z x z x y --=òò，其中函数()f x 在()0,+¥内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +®=，求()f x . 答案：()e ()e 1xxf x x=-提示：由题设和高斯公式得提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d xxSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v W¢éù=--=±+--ëûòòòòò由S 的任意性，知2()()()e 0xxf x f x xf x ¢+--=，解此微分方程即可.四、证明题四、证明题 已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证：的正向边界，试证：（1）sin sin sin sine d e d e d e d y x y xLLx y y x x y y x ---=-òò；（2）2sin sin 5πe d e d 2y x Lx y y x --ò≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、二、1、3πa -；2、4π-；3、63π；4、4π3；5、211x +.三、三、1、答案：23ππ222I a b a æö=+-ç÷èø. 提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. 2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3L L L LI y s x s z s a s ====òòòò.3、答案：,,333a b c x h z ===m a x 39W a b c =.提示：直线段:,,OM x t y t z t x h z ===，t 从0变到1，功W 为120d d d 3dOM W yz x zx y xy z t t xhz xhz =++==òò 再求W xhz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案：、答案：()3d π,,2Szs x y z r =òò.提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，切平面方程为：022xyX Y zZ ++=， 点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x yx y z zr -æö=++ç÷èø.5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y S=++=òò.提示：添加曲面1S 为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在S 和1S 所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S =++òò的积分等于3d d Dxy x y òò为0.6、提示：、提示：（1） 左边=()ππsinsinsin sin 0π0πed πed πe +e d yxx xy x x ---=òòò，同理，，同理，右边=()πsin sin 0πe+e d xx xx -ò（2） 由（1）得s i n s i n ed ed yxLx y y x --ò=()πsin sin 0πe+ed x xx -ò，而由sin ex 和sin ex-泰勒展开式知道式知道()π20π2sin d x x +ò≤()πsin sin 0πe +e d x x x -ò，而()π2205π2sin d π2x x +=ò.第九章 重积分测试题一、选择题一、选择题1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=òò(). (A) 12cos sin D x ydxdy òò;(B) 2cos sin Dx ydxdy òò(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +òò(D) 0 2、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+òò，其中D 是xoy 平面上由20,y y x ==和1x =所围区域，则(,)f x y 等于().(A) xy ;(B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18xy +3、设2222222123cos d d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y x y I x y x y I x y x y =+=+=+òòòòòò其中(){}22,1D x y xy =≤+，则(). (A) 321I I I >>;(B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D) 312I I I >> 4、设空间闭区域W 由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1W 为W 在第一挂限的部分，则( ). (A) 1d 4d x v x v WW =òòòòòò; (B)1d 4d y v y v WW =òòòòòò;(C)1d 4d z v z v WW =òòòòòò; (D) 1d 4d xyz v xyz v WW =òòòòòò5、设空间闭区域(){}2222,,2z x y zx y x yW =-≤≤+-，d I z v W=òòò，则下列将I化为累次积分中不正确的是( ). (A) 222π120d d d r r I r r z z q -=òòò; (B) π2π224000d d cos sin d I q j r j r j r =×òòò; (C) 12221πd π(2)d I z z z z z =+-òò;(D) 22222112004d d d y x y x yI x y z z --++=òòò二、填空题二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b æö=+ç÷èøòò的值等于() 2、设(){}22,1D x y xy=≤+，则2221lim ln(1)d d πx y r Dex y x yr-®++òò的值等于() 3、积分222d e d yx I x y -=òò的值等于() 4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++òòò≤可化为定积分0()d Rx x j ò，则()x j 等于() 5、积分22221()d x y z I ax by v ++=+òòò≤的值等于() 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()22d d DI x y y x y =++òò，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域.2、求{}22max,ed d x y DI x y =òò，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v W =++òòò，其中W 由曲线220y zx ì=í=î绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体.4、计算()d I x z v W=+òòò，W 由22x y z +=及224x y z --=确定.5、计算112111224d e d d e d yyyyx x y I y x y x =+òòòò.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续，并设1()d f x x A =ò，证明11201d ()()d 2xI x f x f y y A ==òò.第九章 重积分测试题答案与提示一、一、1、A ；2、D ；3、A ；4、C ；5、B. 二、二、1、22222πR 4x y a b æö+ç÷èø；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b . 三、三、 1、答案：()163π-29I =.提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-提示：为确定{}22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π2242002d d ()d r I r r r z z q =+òòò即可.4、答案：π8I =. 提示:d 0x v W=òòò,ππ122400d 4d d cos sin d z v q j r j r j r W=×òòòòòò.5、答案：3e e 82I =-. 提示：交换积分次序. 6、答案：100t =小时小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t zV zx y h t éù+-ëû==òòò≤； 再求出雪堆的侧面积2222221()21313ππ1d d ()12xy x y h t S z z x y h t +=++=òò≤；由题意d 0.9d V S t=-，所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果.四、提示：交换积分次序，四、提示：交换积分次序，并利用11111d ()()d d ()()d d ()()d 2yxy f x f y x x f x f y y xf x f y y ==òòòòòò.第八章 多元函数微分法及应用测试题一、选择题一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()x y f t dt x ¶=¶ò(). (A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y d d -<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =º是(,)f x y c º（常数）的（的（）. (A) 充要条件；充要条件； (B)充分条件；充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（内的二阶偏导数都存在，则（） （A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立；内成立； （B ）(,),(,)x yf x y f x y 在D 内连续； （C ） (,)f x y 在D 内可微分；内可微分； （D ）以上结论都不对）以上结论都不对 4、42002lim 3x y xyx y ®®+的值为（ ） (A)¥ ； (B) 不存在；不存在； (C) 23；(D) 0. 5、设有三元函数ln e 1xzxy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）. （A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =； （C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =； （D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =.二、填空题二、填空题1、设(,)cos()(1)arctan2xy x f x y e x y yp=+-,则(1,1)x f 的值为（ ）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(x yf f a f b ¢¢===，令[]{}(),,(,)x f x f x f x x j =，则(1)j ¢的值为（ ）. 3、设2(,,)xf x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f ¢-=（ ）.4、曲线222320x y z x y z ì++=í-+=î在点()1,1,1M 处的切线方程为（ ）.5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（ ）方向的方向导数最大？）方向的方向导数最大？ 三、三、 计算和应用题计算和应用题 1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y-+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值的值2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0º/¢¢g ，如果222222242fy z y x z x z ¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶，求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d zx5、设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy+=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值取得极值, ,判断此极值是极大值还是极小值极大值还是极小值, , 并求出此极值并求出此极值. .6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y xy xy =≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1） 设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2） 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置. 四、证明题四、证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y b F z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点上任一点处的切平面都通过定点. .第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、一、1、C ；2、A ；3、D ；4、B ；5、D.二、二、1、πe 2-；2、23(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==-；5、326ogradu i j k =--. 三、三、1、答案：2,2a b ==-.提示：提示：利用xy yx f f ¢¢¢¢=这一条件. 2、答案：1k =-.提示: g f f xz ¢+¢+¢=¶¶21，g k f f yz ¢+¢+¢-=¶¶21，g f f f x z ¢¢+¢¢+¢¢+¢¢=¶¶221211222，g k f f f yz ¢¢+¢¢+¢¢-¢¢=¶¶2221211222， g k f f y x z ¢¢+¢¢+¢¢-=¶¶¶22112，()g k k f y z y x z xz ¢¢+++¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶222222222142， 又因为0º/¢¢g ，所以0212=++k k ，1-=k .3、答案：232323,,333a b c .提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c ++=下的极值就可. 4、答案：1221122d d f yf xf g z xf xfg ¢¢¢¢++=¢¢¢-.5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知提示：由全微分的定义知0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-=¢=¢yx f f x f y e f g xy x 221×¢+×¢=¢ y f x e f g xy y 221×¢+×¢=¢ 0)0,0(=¢x g 0)0,0(=¢y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211×¢¢+×¢¢++×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ 2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ A=2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢f g x 1)0,1()0,0(1-=¢=¢¢=f g B xy2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢=f g C y032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 6、答案: ()()22220000000000(,)22558g x y y x x y x y x y =-+-=+-攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示提示: : 沿梯度方向的方向导数最大沿梯度方向的方向导数最大,,方向导数的最大值即为梯度的模方向导数的最大值即为梯度的模. . 然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可下的极大值点就可. . 四、答案四、答案: :通过定点(),,M a b c . 第六章 微分方程测试题一、选择题一、选择题1、设()y f x =是240y y y ¢¢¢-+=的解,若0()0f x >且0()0f x ¢=,则在0x 点()f x ( ). (A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448xy y y e¢¢¢-+=的一个特解应具有形式的一个特解应具有形式( ) (,,,a b c d 为常数). (A) 2;xce (B) 22;xdx e (C) 2;xcxe (D) 22().x bx cx e + 3、微分方程21sin y y x x ¢¢+=++的特解形式可设为(). (A) (A) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++(D) *2ecos .y ax bx c x =+++ 4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x ¢¢¢++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为(). (A) (A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +---(D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y ¢+=满足(1)2y =的特解为(). (A) 21;xy = (B) 22;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题二、填空题1、已知微分方程23e xy y y -¢¢¢--=有一个特解1e 4x y x *-=-,则其通解为(). 2、以12e ,ex xy y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是(). 3、若连续函数()f x 满足()()e xf t f x dt =ò，则()f x 等于(). 4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y x y xa D D =++，其中a 是比x D (0)x D ®高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于(). 5、2e xy y y x ¢¢¢++=的通解为(). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、 设2e (1)e xxy x =++是二阶常系数线性微分方程e xy y y a b g ¢¢¢++=的一个特解，求该微分方程的通解. 2、 设函数()y y x =在(),-¥+¥内具有二阶导数，且()0,y x x y ¢¹=是()y y x =的反函数.(1)(1)试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d x x y x y y æö++=ç÷èø变换为()y y x =所满足的微分方程;(2)(2)求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y ¢==的解.3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程分方程的解，试求此微分方程4、 已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+ò，求()f x .5、 已知连续函数()f x 满足()100()()d e2()d xxf x x u f u u x f xu u +-=+òò，求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+¥上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f éù-ëû，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2(2)9f =的特解.四、证明题四、证明题证明方程()y y f x ¢¢+=（其中()f x 连续）的通解为连续）的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-ò，其中为任意常数，其中为任意常数.. 第六章 微分方程测试题答案与提示一、一、1、A ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C. 二、 1、3121ee e 4xxxc c x --+-；2、20y y y ¢¢¢++=；3、ln(1)x +；4、π4πe ；5、()()121e 1e 4x xy c c x x -=++-.三、三、1、答案：2212e e e (1)e x x xx c c x ++++. 提示：将2e(1)e xxy x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,a b g 的值，然后再去求解微分方程.2、答案、答案: (1): (1)sin y y x ¢¢-=; (2) 1e e sin 2x x y x -=--.3、答案、答案: :2e 2e x x y y y x ¢¢¢--=-.提示:21312e ,=e xxy y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y ¢¢¢--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x ¢¢¢--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e x x f x x =-.4、答案、答案: : 32()3e 2e x x f x =-.5、答案、答案: : 21()12e 2xf x xx æö=++ç÷èø. 提示：作代换xu t =，则12()d 2()dt xx f xu u f t =òò.6、答案、答案:: 3()1x f x x =+. 提示：依题意可得：221π()(1)π()d 3tt f t f f x x éù-=ëûò，然后两边求导.四、略四、略. . 第五章 定积分及应用测试题一、选择题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0stI tf tx x t s =>>ò，则I 的值是(). （A ） 依赖于s 和t ； （B ）是一个常数；）是一个常数； （C ）不依赖于s 但依赖于t ； （D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ). (A)12212cos ln(1)d x x x -+ò(B) 233(1)e d x x x -+ò(C) 4222sin cos d 1x xx x p p-+ò(C) 2121(1)d x x x --+ò3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x ¢¢¢><>， 令()[]()1231()d ,(),()()2ba S f x x S fb b a S f a f b b a ==-=+-ò，则().(A) 321S S S >>;(B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D) 132S S S >>. 4、已知sin πd 2x x x +¥=ò，则220sin d x x x +¥ò的值等于( ). (A) π;2(B) π; (C) 2π;4(D) π-1. 5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限02()dt limxx f x t x ®-ò的值等于(). (A)不存在；不存在； (B) 0; (C) (0);f ¢ (D) 1(0).2f ¢ 二、填空题二、填空题1、设()f x 连续，310()dt x f t x -=ò，则(7)f 等于(). 2、定积分3π43π4(1arctan )1cos 2d x x x -++ò的值为(). 3、定积分11()e d xx x x -+ò的值为(). 4、若积分(21)d 4aax x --=-ò,则常数a 的值等于(). 5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x p ¢¢+=ò，求(0)f .2、计算21212(e e )d 11xxx x x x --+++-ò3、设2π20sin ()d 12cos tf x t x t x =++ò，求(1)(0)f f4、 计算π320sin d sin cos x x x x+ò.5、设3e e()ln ()d xf x x f x x =+ò，求()f x .6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]1()()d f x xf xt t +ò与x 无关，求()f x .四、证明题四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()0f x ¢>，证明存在唯一的(),a b x Î使曲线()y f x =和(),y f x a x ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b x ==所围面积2S 的3倍.第五章 定积分及应用测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、B ；4、A ；5、D. 二、二、 1、112；2、422-；3、2；4、2；5、3712.三、三、1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分提示：用分部积分. .2、答案：4π-.提示：利用奇偶对称性提示：利用奇偶对称性. . 3、答案：、答案：1. 1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：()1π14-. 提示：πππ33332220sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x xx xx x+==+++òòò.5、答案：ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e xf x -=.提示：令()[]11()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x xf u u =+=+=+òòò，由()0F x ¢=得()()0f x f x ¢+=，所以e ()0x f x ¢éù=ëû. 四、提示：()()()10,,()()d tt a b S t t a f t f x x "Î=--ò，()()2()d ,bt S t f x x b t =--ò令()()12()3t S t S t j =-，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、()f x 当0x x ®时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x x f x ®存在的()条件. (A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关. 2、设22212lim()n n n n n®¥+++= ( ). (A) 22212lim lim lim 0n n n nn n n®¥®¥®¥+++=; (B) ¥;(C) 21+2+1lim 2n n n ®¥+=;(D) 极限不存在. 3、设()=232x xf x +-，则当0x ®，有，有( ). (A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小;(D) ()f x 是比x 低阶的无穷小. 4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的(). (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点;(D) 连续点.5、方程410x x --=至少有一个根的区间是( ).(A) 1(0,)2; (B) 1(,1)2; (C) (1,2); (D) (2,3).二、填空题二、填空题7、 若2211()3f x x xx+=++，则()f x =()． 8、 已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -ì¹ï=í=ïî在0x =连续，则a = ( )． 9、 lim(3)1=n n n n ®¥+--()．10、 设2013sin coslim(1cos )(e 1)xx x x xx ®+=+-( )． 5、已知25lim 232n a bn n ®¥++=-，则a =( )，b = ( )．三、计算与应用题三、计算与应用题1、设0,0(), 0x f x x x ì=í>î≤，20, 0(), 0x g x x x ì=í->î≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x [()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x x a x x ì>ï=íï+î≤，要使()f x 在(,)-¥+¥内连续，应当怎样选择数a ？ 3、设11e , 0()ln(1),10x x f x x x -ìï>=íï+-<î≤，求()f x 的间断点，并说明间断点所属类型．的间断点，并说明间断点所属类型． 4、计算极限tan π2lim(sin )xx x ®．5、计算极限123lim()21x x x x +®¥++6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域.四、证明题四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根.第一章综合测试题答案与提示一、一、1、C ；2、C ；3、B ；4、B ；5、C. 二、二、1、21x +；2、1；3、32；4、32；5、任意常数，6. 三、三、1、答案：[()] = (),f f x f x[()]0,g g x = [()]0,f g x =[()]()g f x g x =. 2、答案：0a =．3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．是第二类间断点．4、答案：、答案： 1．5、答案：e .6、答案: 12x =.四、提示：利用零点定理．四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0axx f x b x x ì<=í+î≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ). (A) 2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=;(D)2,1a b ==-. 2、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ì-+>=íî≤ (). (A)不连续; (B)连续，但不可导; (C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数 3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ¢ (). (A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数;(C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -内，可能为奇函数，也可能为偶函数. 4、()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x D ®-D -=D( ). (A) 02()f x ¢; (B)0()f x ¢-; (C) 0()f x ¢;(D) 0()f x ¢-.5、设()sin cos 2x f x x =+，则(15)(π)f = (). (A) 0; (B) 15112+; (C) 1-; (D) 1512-.二、填空题二、填空题 11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（连续的（ 充分充分）条件，()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（可微的（ ）条件．）条件．12、 设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f ¢=( )． 13、 设()f x 为可微函数，则当0x D ®时，在点x 处的d y y D -是关于x D 的()无穷小.14、 已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+ìí=-î，则3π4d d t x y== ( 1- )，223π4d d t x y == ( ) ． 15、 设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则d d yx= ( )． 三、计算与应用题三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 0 0 , 0x x y x x ì¹ï=íï=î在0x =处的连续性和可导性. 2、已知22e 1,0() 1 ,0x x f x x x ì-ï¹=íï=î，求 ()f x ¢. 3、设()(e )e x f x y f =且()f x ¢存在，求d dyx . 4、设7777xy x =++，求微分2d x y =.5、用对数求导法计算函数452(3)(1)x x y x +×-=+的导数的导数6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题四、证明题设)(x f 在),(+¥-¥内有定义，且,(,)x y "Î-¥+¥，恒有()()()f x y f x f y +=×，()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x ®=，证明()f x 在),(+¥-¥内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、一、1、A ；2、C ；3、B ；4、D ；5、B ． 二、二、1、充要；2、!n ；3、高阶；4、823πa -；5、1．三、三、1、答案：连续不可导.2、答案：223(22)e 2, 0() 0 ,0x x x f x x x ì-+ï¹¢=íï=î． 3、答案：()d e [(e )e (e )()]d f x x x xy f f f x x ¢¢=+.4、答案：67211d [7ln 7()]d 7xy xx x-=+-；7227d (ln 7)d 144x y x ==-×．5、答案：452(3)145[](1)2(2)31x x y x x x x +×-¢=×+-++-+.6、答案: ()1π2cos(2)2n n n yx -=+.四、提示: ,(,)x y "Î-¥+¥，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=××，()limlim ()()().x x y f x f x g x f x x®®D ¢==×=D第三章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是上满足拉格朗日定理条件的是( ). (A) ln(ln )x ; (B) ln x ; (C) 1ln x;(D) ln(2)x -. 2、设00()()0f x f x ¢¢¢== ，0()0f x ¢¢¢>，则(). (A) 0()f x ¢是()f x ¢的极大值;(B) 0()f x 是()f x 的极大值; (C)0()f x 是()f x 的极小值;(D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点。
无穷级数习题课及答案
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=1100!n nn 2．()∑∞=++1332n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=---11121n n n n ；2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3．Λ++-+++-144133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1．∑∞=13n nn x n；2．∑∞=1!n nx n ；3．()∑∞=-1121n nnx n；4．∑∞=+-112121n n n x；5．∑∞=123n nn x n求下列级数的和函数1．∑∞=-11n n nx；2．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3．x1，30=x ； (B)用定义判断下列级数的敛散性()()∑∞=++043131n n n 判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=+1n )1(1n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞=13n n n ；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=-⋅-11311n n n n ；2．()∑∞=--1n1211n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间1．()∑∞=-121n nnn x ；求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞=--11)1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑∞=-112n n n 的和；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．()13212+-=x x x f ，00=x ；2．()21x x f =，10=x。
(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1n nn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()n n n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n n n C ．∑∞=-1321)1(n n n D ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）Λ+++++321161814121 （C ）Λ+++3001.0001.0001.0（D ）()()()Λ+-+-53535353432 17．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ） （A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n n n B ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n n n19．幂级数∑∞=++11)21(n nn x 的收敛区间是（ C ） A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n n n n(B) ()n n n 111∑-∞= (C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23 (B) 35 (C) 52 (D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n a [D] A.1)1(2+-n n B.n n )1(2- C. 1)1(1+-n nD. 0 23. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n b [A] A. 0 B.n n)1(4- C. 1)1(2+-n n D. 1)1(4+-n n二、填空题 1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。
ch11无穷级数典型例题.pptx
∑ ∑ ∴
∞
(−1)n
∞
=
1 发散,
n=1 n − ln n n=1 n − ln n
即原级数非绝对收敛．
∑∞ (−1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理：
n=1 n − ln n
lim ln n = lim ln x = lim 1 = 0,
n n→+∞
x x→+∞
x x→+∞
1
∴
lim
n→+∞
n
1 − ln n
=
lim
n→+∞
1
n − ln n
=
0,
n
f ( x) = x − ln x ( x > 0),
f ′( x) = 1 − 1 > 0 ( x > 1), x
∴ 在 (1,+∞) 上单增, 即 1 单减, x − ln x
故 1 当 n > 1时单减, n − ln n
n=0
∑ 解 1
cos 2x − (1 + x)2
∞
= an xn
n=0
∑ 根据co= s t
∞
(−1)n
1
t 2n ,
n=0
(2n)!
∑ 则cos 2=x
∞
(−1)n
1
22n x2n;
n=0
(2n)!
∑ 根据
1
∞
= (−1)n xn ,
1+x n=0
∑ ∑ 则
−
1 (1+x)2
=( 1
∞
)' =(
1 < n ln(n + 2) < n n,
无穷级数习题
1 时发散； 4 1 （C）在 x < 4 时绝对收敛； （D）在 x > 时发散. 2 3．将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间. （A）在 x < 2 时绝对收敛； （B）在 x > （1） ln(a + x) (a > 0) （2） sin 2 x （3） x2 (1 + x 2 ) 2
π 4．将 f ( x) = cos x 展开成 ( x + ) 的幂级数. 3
1 展开成 ( x − 3) 的幂级数. x 1 6．将函数 f ( x) = 2 展开成 ( x + 4) 的幂级数. x + 3x + 2 5．将 f ( x ) =
第七节
傅里叶级数
1 ( x + π )2 , −π ≤ x < 0 π ，写出 f ( x ) 的以 2π 为周期的傅里叶级数的和函 1．设 f ( x) = 1 x2 , 0 ≤ x ≤ π π 数 S ( x ) 在 [−π , π ] 上的表达式. 2．将 f ( x) = e 2 x (−π ≤ x < π ) （ f ( x ) 周期为 2π ）展开成傅里叶级数. x + 1, 0 ≤ x ≤ π 3．将 f ( x ) = 展开为傅里叶级数. x , −π < x < 0 4．将函数 f ( x) = 2 x 2 (0 ≤ x ≤ π ) 展开成余弦级数. 5．将函数 f ( x ) = π−x (0 ≤ x ≤ π ) 展开成正弦级数. 2
8．利用级数收敛的必要条件证明 lim
第三节 1． 求下列幂级数的收敛域. （1） x x2 x3 xn + + + L + +L 1 ⋅ 3 2 ⋅ 32 3 ⋅ 33 n ⋅ 3n ( x − 5) n n n =1
无穷级数(习题及解答).doc
第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数an 1 q n收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )．(A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ．2.下列结论正确的是 ()．(A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛；n n 1 n n 1(C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ．n 1 n n 1 n3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )．n 1 n 1(A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1；n 1 n 1(C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) .n 1 n 1v n S24. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )．n 1(A) ( u n S) 收敛；(B) 1收敛；n 1 n 1 u n(C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) .n 1 n 15. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )．n 1 n 1(A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) .6. 若级数a n发散，b n收敛则( )．n 1 n 1(A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛；n 1 n 1(C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 设 a1 ，则( a)n.答： 1.n 01 a2. 级数 (ln 3)n 的和为．答：22n1 .n 0ln 33. 级数( n 2 2 n1 n) ，其和是．答： 12 .n 04.数项级数1的和为 . 答： 1.n 1 (2n1)(2n 1)25*. 级数2n 1 的和为.答： 3.n 02n 三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)8 82 83L( 1) 8n 答： 收敛 .9 29 39 n L9解：1 1 1 L1 答： 发散 .(2)6 9 L33n解：1 1 1L1L答： 发散 .(3)333 n3 3解：3 32 33 L3n L答： 发散 .(4)2223 2n2解：1 1 1 1 1 11 1 L 答： 收敛 .(5)3223223 33L3n2 2n解：§正项级数收敛判别法、 P — 级数一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足 0 u n v n , (n 1,2,L ) ，则 ()．n 1n 1(A) 若v n 发散 ,则 u n 发散； (B) 若u n 收敛 ,则 v n 收敛；n 1n 1n 1n 1(C) 若u n 收敛 ,则v n 发散； (D) 若u n 发散，则v n 发散 .答 (D) .n 1n 1n 1n12. 若 0a n 1, ( n 1,2, L ) ，则下列级数中肯定收敛的是()．n (A)a n ；(B)( a n 1 a n ) ；n1n1(C)a n2；(D)a n ．答 (C) .n 1n 13. 设级数 (1)2n nn!与 (2)3n n n! ，则 ( )．n 1nn 1 n(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛，级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散，级数 (2)收敛．答 (C) .4. 设级数 (1)1 与 (2) 10n , 则 ( ).n 1n nn 1 n!(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛 ,级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散 ,级数 (2)收敛．答 (D) .5. 下列级数中收敛的是 ()．(A)n1 ； (B)sin1；n 1 n( n 2) n 1n(C)( 1)nn ； (D)1． 答 (A) .n 13n 1n 1 2n 11 216*. 若级数，则级数().n 1 n 2 6 n 1 (2n1)22222(A);(B);(C);(D).答 (B) .4812167. 设 u n 与 v n 均为正项级数 ,若 lim u n1，则下列结论成立的是().n 1n 1nv n(A)u n 收敛 ,v n 发散；(B)u n 发散 ,v n 收敛；n 1n1n 1n 1(C)u n 与v n 都收敛 ,或 u n 与 v n 都发散 .(D) 不能判别 .答 (C) .n 1n1n 1n 18. 设正项级数u n 收敛，则 ().n 1(A) 极限 limun 11；(B)极限 limu n 1 1；nu nnu n(C) 极限 lim n u n1；(D) 无法判定 .答 (A)n9. 用比值法或根值法判定级数u n 发散，则u n ().n 1n 1(A) 可能发散； (B) 一定发散；(C) 可能收敛；(D) 不能判定 .答 (B)二、填空题1. 正项级数u n 收敛的充分必要条件是部分和 S n.答：有上界 .n 12. 设级数2n 1收敛，则 的范围是.n 1n3. 级数u n 的部分和 S n2n ，则 u n.n 1n 14. 级数2n1是收敛还是发散.n 02n3 答：．22答：.n( n 1)答：收敛 . 5. 若级数1收敛，则 p 的范围是.答： p 0 . n 1n p sinn6. 级数3n n! 是收敛还是发散.答：发散 .n 1n n三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1)1 n ；答：发散 . (2)1 ；答： 收敛 .n 1 1 n 2n 1 (n 1)(n 2)(3)sin n ；答：收敛 . (4)1 n (a 0) .答 a 1 收敛 ; a 1 发散 .a n 12 n 112. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1)3n ； 答：发散 .(2)n 2 ；答： 收敛 .n 1 n 2nn 1 3n解：(3)2n nn!；答： 收敛 .(4)n tan n 1．答： 收敛 .n 1 nn 12解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1)n 1解：(3)n1nn1；答： 收敛 .(2) ；答：收敛 .2n 1 n 1[ln( n 1)]n解：2n 1n； 答：收敛 .3n 1解：b n(4) 其中 a n a, (n ) ， a n , b, a 均为正数．a nn 1答：当 b a 时收敛，当 b a 时发散，当 b a 时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足u n v n , ( n 1,2, L ) ,则 ( )．n 1 n 1(A) 若v n 收敛 ,则u n 发散；(B) 若u n 发散 ,则v n 发散；n 1 n 1 n 1 n 1(C)若u n 收敛 ,则v n 发散；(D) 若v n 收敛 ,则u n 未必收敛．答(D) .2.下列结论正确的是 ()．(A)u n收敛，必条件收敛；(B)u n 收敛，必绝对收敛；n 1 n 1(C)u n 发散，则u n 必条件收敛；n 1 n 1(D)u n 收敛，则u n 收敛．答 (D) .n 1 n 12.下列级数中，绝对收敛的是 ()．(A) ( 1)n n; (B) ( 1)n 1 1 ；n 1 3n 1 n 1 n2(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1．答 (B) .n 1 ln( n 1) n 1 n3. 下列级数中，条件收敛的是 ( )．nn 2(A) ( 1)n 1 ；(B) ( 1)n 1 ；n 12n3 1 n 1 3(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1 ．答 (A) .n 1n2 n 1 n 2n4. 设为常数，则级数sin n 1( ).n2 nn 1(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与的取值有关．答 (C) .5. 设a n cos n ln(1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数( ).n(A) a n 与a n2 都收敛 . (B) a n与a n2 都发散 .n 1 n 1 n 1 n 1(C) a n 收敛，a n2发散. (D) a n发散，a n2 收敛 . 答 (C) .n 1 n 1 n 1 n 16.设0 a n 1(n 1,2,3, ) ,则下列级数中肯定收敛的是(). n(A) a n . (B) ( 1) n a n.(C) an . (D) a n2 ln n . 答 (D) .n 1 n 1 n 2ln n n 27.下列命题中正确的是( ).(A) 若u n2与v n2都收敛,则(u n v n)2收敛 .n 1 n 1 n 1(B) 若u n v n收敛,则u n2与v n2都收敛.n 1 n 1 n 1(C) u n 发散 ,则u n 1若正项级数.n 1 n(D) 若u n v n (n 1,2,3, ) ,且u n 发散 ,则v n 发散 . 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 级数( 1)n 1的取值范围是．答：1.绝对收敛，则n 1 n2. 级数1 sin n条件收敛， 则 的取值范围是 ．答： 01.n 1 n 23. 级数a n 2收敛，则( 1)nan是条件收敛还是绝对收敛．n 0n 0n答：绝对 收敛 .三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)( 1)n 11； n 1n解：(2)( 1)n 1 n；n 13n1解：sin n(3)n 1( n 1)2；解：(4)( 1)n 11；n 13 2n解：(5)( 1)n 11 ；n 1ln( n 1)解：(6)n 1 2n2( 1)n 1n!答： 条件收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 条件收敛 .答： 发散 .解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数x n 的收敛区间是 ( )．n 1 n(A) [ 1, 1] ；(B) ( 1, 1) ；(C) [ 1, 1) ； (D) ( 1, 1] ．答 (C) .2. 幂级数( 1)n (x 1)n 的收敛区间是 ( )．n 1n 2n(A) [ 2 , 2] ；(B) ( 2 , 2) ；(C) [ 2, 2) ； (D) ( 2, 2] ．答 (D) .3. 幂级数x 2 n的收敛半径是 ( ).1 n2 3nn(A) R 3 ；(B) R 3 ；(C) R 1(D)1答 (B) . ；R ．3 3（ A）(C)（ B）(D)4. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处 ( ).n 1(A) 发散； (B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (C) .5. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处( ).n 1(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (D) . 6．若幂级数a n (x 1)n在x 1处条件收敛，则级数a n( ).n 0 n 0(A) 条件收敛；(B) 绝对收敛；(C) 发散；(D) 敛散性不能确定. 答(B) .二、填空题1. 幂级数xn的收敛域是．答： [ 1,1]. n 1n22. 幂级数2n 3n n的收敛域是．答：1 1n n2 x3,. n 1 33. 幂级数( 1)n 1 x2 n 1的收敛半径 R ，和函数是．(2 n 1)!n 1答： R , sin x.4. 幂级数( 1)n x 2n，和函数是．(2 n)!的收敛半径 Rn 0答： R , cosx.5. 设a n x n的收敛半径为R，则a n x2 n的收敛半径为．答： R.n 0 n 06. 设幂级数a n x n 的收敛半径为 4 ，则a n x2n 1的收敛半径为．答： 2.n 0 n 07. 幂级数( 1)n 1 (2 x 3)n 的收敛域是. 答： (1, 2].n 0 2n 18. 幂级数a n ( x 1)2 n在处x 2 条件收敛，则其收敛域为.答：[ 0,2] .n 0一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1) nx n；答： ( 1,1). (2) ( 1)n 1 x n ；答： [ 1,1].n 1 n 1n2(3) x n ；答： [ 3, 3) ．(4) 2n x n；答： 1 , 1．n 1 n 3nn 1 n2 1 2 2(5) ( x 5)n ;答：[4, 6). (6) ( 1)n x2n 1 ．答： [ 1,1].n 1 n n 1 2n 12.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)nx n 1；答： S(x) 1 2 , x ( 1,1) ．n 1 (1 x)解：(2)x2n 1 1 1 x．2n．答： S(x)ln1, x ( 1,1)n 1 1 2 x解：3*. 求级数1的和．答： 2ln 2. n 1 n 2n解：§函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数f ( x) e x2 展开成 x 的幂级数是( )．(A) 1 x 2 x4 x6L ； (B) 1 x 2x4 x6；2! 3! 2!L3!(C) 1 x x2 x3L ； (D) 1 xx2 x3．答 (B) . 2! 3! 2!L3!2. 如果f ( x)的麦克劳林展开式为a n x2 n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) (0) ；(B) f (2 n ) (0) ；(C) f (2 n ) (0) ；(D) f ( n ) (0) ．答 (A) .n! n! (2 n)! (2 n)!3. 如果f ( x)在x x0的泰勒级数为a n ( x x0 ) n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) ( x0 ) ；(B) f (2 n ) ( x ) f (2 n ) ( x ) f ( n ) ( x )0； (C)n!0； (D) 0 ．答 (C) .n! n!4. 函数 f ( x)sin 2x 展开成 x 的幂级数是 ( )． (A)xx 3 x 5 x 7 ； (B) 1 22 x 2 24 x 4 26 x 6；3! 5! L 2! 4! L7! 6!(C) 2 x 23 x 325 x 527 x 7 L ； (D) 1x 2x 4x 6L ．答 (C) .3!5!7!4! 6!二、填空题1. 函数 f ( x) a x的麦克劳林展开式为x 12. 函数 f ( x) 3 2 的麦克劳林展开式为3. n 1x 2n 1幂级数( 1)(2n 的和函数是n 11)!4. 1 的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x5. 1的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x6. 函数 f ( x) ln(1 x) 的麦克劳林级数为7. 函数 f ( x) e x在 x 1 处的泰勒级数． 答：(ln n a) x n .n 0n!n． 答： 3ln 3 x n.n 02 n!．答： sin x .．答：n 0 x n .．答：( 1)n x n .n 0．答：(n 1x n1).n 1n． 答：e( x 1)n .n 0n!8. 函数 f ( x)1 在 x 1处的泰勒级数．答：( 1)n ( x 1)n .x 1n 02n 19. 函数 f ( x) 1 展开成 x 3 的幂级数为 ．答：( 1)n (x3)n .xn 03n 110. 函数 f ( x)21n22 n 1 x 2n.cos x 展开成 x 的幂级数为． 答：( 1)(2n)!2 n 011. 级数( 1)n 的和等于.答： cos1.n 0 (2n)!三、简答题1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) f ( x) ln( a x), ( a 0) ；解：答： ln(an 1x nn. x) ln a( 1)n an 1(2) f ( x) sin2 x ；解：答： sin2 x ( 1)n 1 (2 x) 2 n , ( , ).n 1 2(2n)!(3) f ( x) (1 x)ln(1 x) ；解：答： (1 x)ln(1( 1)n 1 x nx) x , ( 1, 1].n 2 n( n 1)(4*) f ( x) x ；1 x2 解：x ( 1)n 2(2 n)! x 2 n 1答：x , [ 1, 1].1 x2 n 1 ( n!) 2 2(5). f ( x) x ．2xx2 3解：x 1 1 ( 1)n 1 x n 2(2n)! x 2 n 1答：, ( 1, 1).x 2 2 x 3 4 n 1 3n ( n!) 2 22. 将函数 f ( x) cos x 展开成 x的幂级数．3解：2 n2 n 1 n答： cosx1 ( 1)n 1 x 33 x 3, ( ,).2 n 0(2n)!(2n 1)! 3*. 将函数 f ( x) ln(3 x x 2 ) 在 x 1 展开成幂级数．解：答： ln(3 xx 2 ) ln 2( 1)n 11 ( x 1)n , (0, 2].n 02n n4*. 将函数 f (x)1展开成 x 4 的幂级数 .2 3xx 2解：答：1 11n3x 2n 0 2n 13n 1 ( x 4) , ( 6, 2).x 2§2 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 1, cosx ,sin x ,cos 2x ,sin 2x, L ,cos nx ,sin nx,L ( ).(A) 在区间 [ , ] 上正交； (B) 在区间 [ , ] 上不正交；(C) 在区间 [0, ] 上正交； (D) 以上结论都不对．答 (A) .2. 函数系 1, sin x , sin 2x, L , sin nx ,L().(A) 在区间 [0,] 上正交；(B) 在区间 [0, ] 上不正交；(C) 不是周期函数；(D) 以上结论都不对．答 (B) .3. 下列结论不正确的是 ()．(A) cosnx cosmxdx 0, ( n m) ； (B) sin nxsin mxdx 0, (n m) ； (C)cosnx sin mxdx 0 ；(D)cosnx cosnxdx0 ． 答 (D) .4. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是奇函数时，其傅里叶系数为 ()．(A) a n 0, b n 1 f ( x)sin nxdx ； (B) a n 0, b n 1 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) a n 0, b n 20, b n2sin nxdx ．答 (C) .f ( x)sin nxdx ； (D) a n0 05. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A) b n 0, a n 1 f ( x)sin nxd x ； (B) b n 0, a n 2 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) b n 0, a n 10, a n2cosnxdx ．答 (B) .f (x)cos nxdx ； (D) b n0 0二、填空题1. f ( x) 是以 2 为周期的函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：a0 (a n cosnx b n sin nx). 其中2 n 1a n1f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,L , b n1f ( x)sin nxdx , n 1,2,L .2. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数， f ( x) 傅里叶级数为．答： a0 a n cosnx. 其中 a n 2 f ( x)cos nxdx , n 0,1,2, L .2 n 1 03. f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：b n sin nx.2f ( x)sin nxdx , n 1,2, L . 其中 b nn 1 04. 在 f ( x) x,( x ) 的傅里叶级数中，5. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，6. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2. sin 2x 的系数为．答： 1. cos2 x 的系数为．答：0.三、简答题1.下列函数 f ( x) 的周期为 2 ，试将其展开为傅里叶级数．(1) f ( x) 3x21, (x) ；解：答： f ( x) 2 1 12 ( 1)2 n cosnx , ( , ).n 1 nbx , x 0 (2) f ( x) 0 x ；ax ,解：答： f (x)(a b) [1 ( 1)n]( ba)cosnx ( 1)n 1 ( a b) sin nx ,4n 1n 2nx (2 k 1) .2. 将函数 f (x)xx) 展开为傅里叶级数．2sin (3解：答： f (x)18 3( 1)n 1n sin nx, ( , ).n 19n 213. 将函数 f ( x)x ,(x) 展开成傅里叶级数．cos2解：答： f (x)2 4 ( 1)n 11 cosnx, [ , ].n 14n 214. 将函数 f (x)x x) 展开成正弦级数．, (02解：答： f (x)sin nx , (0, ]. n 1n 5. 将函数 f ( x) 2x 2 , (0 x) 展开成正弦级数和余弦级数．解：41)n2 22答： f (x)( nsin nx, [0, ).n 1n 3n 3f ( x) 228 ( 1)n cosnx , [0,].3n 1n 2§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是 ( )．ln x m x(A) coscos dx 0, ( n m) ；ll l(B)lxsinm xd x 0, ( nm) ；sin nlll(C) ln x sinm xd x 0 ； (D) lx sin n xdx 0答 (D) . cos sin n．l l l ll l2. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，则 f (x) 的傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosn xb n n x ； (B) a 0a n cosnx b n n x ；n 1l l 2n 1l l(C) b n n x ；(D) a 0 a n cos nx ． 答 (B) .n 1l 2 n 1 l 3. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当 f (x) 是偶函数时，其傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosnx ；(B) a 0a n cosnx ；2n 1ln 1l(C)b n sinn x；(D) a 0a n sin nx ． 答 (A) .n 1l2 n 1 l4. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当f (x) 是奇函数时，其傅里叶级数为 ( )．(A) b 0b n sinnx ；(B) b 0b n cosnx2 n1ln 1l(C)b n sinn x；(D)b n cosnx ．答 (C) .n 1ln 1l二、填空题1. f ( x) 是以 2为周期的函数 , f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cos nx b n sinnx .2n 122其中 an 11f ( x)cosnxdx,n 0,1,2, , bn1 1f (x)sin nxdx , n 1,2, L .2 12L2 122. f ( x) 是以 2l 为周期的偶函数 ,f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cosnx. 其中 a n2 2 n 1lllnf ( x)cos xdx , n 0,1,2, L .3. f ( x) 是以 2l 为周期的奇函数， f (x) 的傅里叶级数为 .答：b n sinn x . 其中 b n2 0 f (x)sin nxdx , n 1,2, L .n 1 l l l4. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数，1 x , 1 x 0 f ( x) , 0x．又设 f ( x) 的傅里叶x 2 级数的和函数为 S( x) ，则 S(0)， S(3)．答： S(0)S(3) 1 .25. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数， 2 ,1x 0f ( x)0 x，则 f (x) 的傅里叶级数x 3 ,1在 x 1 处收敛于．答： 3.2x ,1 0 x6. 设f ( x)是以2为周期的函数， f ( x)2，又设 S( x) 是 f ( x) 的正0,1x 12弦级数的和函数，则7．S4答： S 71 .4 4三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为f (x) 1 x21x 1 ，试将其展开2 2为傅里叶级数．解：答：11 1 ( 1)n 1x) ( , ).f ( x) 2 cos(2n12 n 122. 设周期函数在一个周期内的表达式为 f ( x) 2x 1, 3 x 0，试将其展开1 , 0 x 3 为傅里叶级数．解：答：1 62 [1 ( n n n 1 6 nf (x)n 1 n 2 1) ]cos x ( 1) sinx , x 3(2 k 1).2 3 n 33*. 将函数f ( x) x2 , (0 x 2) 分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 28 ( 1)n 1 2 n nx n n3 2 [( 1) 1] sin 2 x, 0 x 2.n 1x 24 16 ( 1)n n0 x 2. 32n2 cos x,n 1 2。
无穷级数 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1nnn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()nn n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n nnC ．∑∞=-1321)1(n n nD ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）+++++321161814121（C ） +++3001.0001.0001.0（D ）()()()+-+-5353535343217．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n nnB ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n nn19．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ C ）A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n nn n(B)()n n n111∑-∞=(C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23(B) 35(C) 52(D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=n a [D]A. 1)1(2+-n nB.nn)1(2- C.1)1(1+-n nD. 023. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=nb [A]A. 0B.nn)1(4- C.1)1(2+-n nD. 1)1(4+-n n二、填空题1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x 的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
高数各章综合测试题与答案
第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（ ） (A) 绝对收敛； (B ） 条件收敛; (C) 发散； （D ） 收敛性不定。
2、下列级数条件收敛的是（ ）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ） 绝对收敛； （B) 条件收敛； (C ） 发散; （D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（ ） （A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。
二、填空题1、 设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（ ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。
级数
第11章 无穷级数习题一 常数项级数的概念与性质一、填空题1.若级数∑∞=1n n u 收敛于S ，又a 是不等于零的常数，则级数∑∞=1n n au = .2.等比级数∑∞=-11n n q 当 时收敛，其和为 S = .3.给定级数∑∞=1n nu，如果)()(lim lim 21∞≠=+++=∞→∞→S u u u S n n n n ，则称这个级数是 ，而极限值S 叫做 ；又若n n S ∞→lim 不存在，则称这个级数是 .4.级数∑∞=---1112)1(n n n 的部分和n S = ，此级数的和为 .5.级数∑∞=+1)1(1n n n 的部分和n S = ，此级数的和为 .6.)122(1n n n n ++-+∑∞== .二、选择题1. 若级数∑∞=1n n u 收敛于S ，则级数∑∞=++11)(n n n u u （ ）)(A 收敛于2S )(B 收敛于2S +1u )(C 收敛于2S 1u - )(D 发散2. 常数项级数∑∞=1n n a 收敛，则（ ）)(A 0lim ,21=+++=∞→n n n n S a a a S )(B ∑∞=∞→=10limn nn a)(C n n a a a S +++= 21，n n S ∞→lim 存在 )(D n n a ∞→lim 不存在3. ∑∞=1n n a =S ，则按某一规律对级数添括号后，所得级数（ ）)(A 仍收敛于原来的和S )(B 仍收敛，但不一定收敛于原来的和S)(C 不一定收敛 )(D 一定发散4. 级数 ++++++)()(654321u u u u u u 为收敛的常数项级数，则（ ）)(A +++321u u u 必定收敛于原来的和S)(B +++321u u u 必定收敛，但不一定收敛于原来的和)(C +++321u u u 不一定收敛 )(D +++321u u u 一定发散5. 若级数∑∞=1n n u 及∑∞=1n n v 都发散，则（ ）)(A )(1∑∞=+n n nv u发散 )(B ∑∞=1n n nv u必发散)(C )(1∑∞=+n n nv u必发散 )(D )(122∑∞=+n n n v u必发散三、根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性 1.++-++⋅+⋅+⋅)12)(12(1751531311n n; 2.1n ∞=∑.四、判断下列级数的敛散性 （1）+++++151121916131； （2）∑∞=+1)3121(n n；（3）∑∞=+1)831(n nn； （4）+++++n313131313;（5）∑∞=+1)11ln(n nn （6）∑∞=-12)1cos1(n n n(7) +++++6sin63sin62sin6sinππππn五、已知：∑∞=1!2n nnnn 收敛，求nnn nn !2lim∞→.六、已知n n na ∞→lim 存在，且∑∞=--11)(n n n a a n 收敛，证明∑∞=1n n a 收敛.（提示：用定义）.习题二 正项级数的审敛法一、选择题1.设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）.)(A )10)((1<≤+∑∞=a a u n n )(B ∑∞=1n n u)(C ∑∞=11n nu)(D ∑∞=-1)1(n n nu2.若正项级数∑∞=1n n u 发散，则一定有（ ）.)(A 对∑∞=1n n u 加括号后所成的级数收敛 ；)(B 对∑∞=1n n u 加括号后所成的级数发散 ；)(C 对∑∞=1n n u 加括号后所成的级数敛散性不定 ；)(D 0lim ≠∞→n n u ；3. 正项级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和数列{}n S 有界，是该级数收敛的（ ）.)(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 无关条件二、用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性⑴ ∑∞=++13211n nn⑵ ∑∞=12sinn nπ⑶ ∑∞=++131tann n n π⑷ ∑∞=>+1)0(11n na a.三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性⑴ ∑∞=+112tann n n π； ⑵ ∑∞=-⋅⋅1!)12(531n n n⑶ )0(!1>∑∞=a a nn n nn.四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性.⑴ ∑∞=--112)13(n n n n ⑵ nn n a b ∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1，其中)(∞→→n a a n 且a b a n ,,均为正数.五、设)0(3]ln )1[ln(lim >=-+∞→λλn n V n n n ，试讨论正项级数∑∞=1n n V 的敛散性.六、设正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都收敛，证明21)(n n n v u +∑∞=也收敛.习题三 交错级数、绝对收敛与条件收敛一、填空题1.级数∑∞=---131)1(n p n n当 时绝对收敛，当 时条件收敛，当 时发散.2.交错级数∑∞=--11)1(n n n u )0(>n u 当 时一定收敛，当 时一定发散.3. 若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n nu 是 .二、选择题1.下面级数中发散的是（ ）)(A ∑∞=12sinn n π )(B ∑∞=-1)1(n nn)(C nn )43(1∑∞= )(D 31)1(∑∞=n n 2.下列级数中绝对收敛的是（ ）)(A ∑∞=--11)1(n n n)(B ∑∞=--1121)1(n nn)(C ∑∞=--11)1(n n n )(D ∑∞=13sinn n π3. 若级数∑∞=1n nu)0(≠n u 收敛，则下列结论成立的是（ ）)(A ∑∞=11n nu必发散 )(B ∑∞=1n n u 必收敛)(C )21(1+∑∞=n nu收敛 )(D ∑∞=-1)1(n n nu 必收敛4. 设级数∑∞=1n n u 是条件收敛的，级数∑∞='1n n u ，)0(>'n u 及∑∞="1n n u ，)0(<"n u 分别是级数∑∞=1n nu中全体正项与全体负项所构成的级数，则（ ）)(A ∑∞='1n nu及∑∞="1n n u 都收敛 )(B ∑∞='1n nu及∑∞="1n n u 都发散)(C ∑∞='1n nu收敛而∑∞="1n n u 发散 )(D ∑∞="1n nu收敛而∑∞='1n n u 发散5. 若级数∑∞=12n na 收敛，则级数∑∞=1n n a （ ）)(A 一定绝对收敛 )(B 一定条件收敛 )(C 一定发散 )(D 可能收敛也可能发散6. 若级数∑∞=12n na 和∑∞=12n nb 都收敛，则级数∑∞=1n n n b a （ ）)(A 一定条件收敛 )(B 一定绝对收敛 )(C 一定发散 )(D 可能收敛也可能发散7. 判别级数 ++--+++--++--1111131131121121n n 的敛散性，正确的方法是（ ）)(A 由莱布尼兹判别法得此级数收敛)(B 因为011lim=-∞→n n ，所以级数收敛)(C 添括号后得级数发散，所以原级数发散 )(D 各项取绝对值，判别得级数绝对收敛.8.设常数0a >，则级数1(1)nn nπ∞=-∑)(A 发散; )(B 条件收敛; )(C 绝对收敛; )(D 收敛性与a 的取值有关.三、别下列级数的敛散性，若收敛、则指出是条件收敛还是绝对收敛：⑴∑∞=--11ln )1(n n nn ； ⑵∑∞=+12cos 2)12(n nn n π；⑶∑∞=-1)1(n nn； ⑷∑∞=13n n na (a 为常数)；(5) 111sin1(1)n n n n ππ∞++=+-∑ (6) dx xen n nxn ∑⎰∞=+--11)1(四、证明：若∑∞=12n na 及∑∞=12n nb 收敛，则∑∞=1n n n b a 、∑∞=+12)(n n n b a 及∑∞=1n n na 也都收敛.(提示：n b n=1)五、求2)11(311lim1knk k n kn+∑=∞→.习题四 幂级数一、选择题 1.幂级数 +--++-+---12)1(753121753n xxxxx n n 的收敛区间是（ ）)(A [,1- ]1 )(B [,1- )1 )(C (,1- ]1 )(D (,1-)12. 幂级数∑∞=1n nn x a 及∑∞=1n nn x b 的收敛半径都是R ，幂级数∑∞=+1)(n n n n x b a 的收敛半径为1R ，则必有（ ）)(A 1R =R )(B 1R <R )(C 1R ≥R )(D 1R ≤R3. 幂级数∑∞=-1)2(n n n x c 在2-=x 处收敛，则此级数在5=x 处（ ）)(A 一定发散 )(B 一定条件收敛)(C 一定绝对收敛 )(D 敛散性不能确定4. 幂级数∑∞=-⋅+11242)5(n nn n x 的收敛域是（ ）)(A )(2,2- )(B (4,7-- )(C )(3,7-- )(D )(1,9--5. ∑∞=12n nxn 的收敛域是（ ）)(A 因不属于∑∞=0n n n x a 形式，所以阿贝尔定理不适用，故无法求收敛区间)(B 虽不属于∑∞=0n n n x a 形式，可令x x=1得收敛区间为),(+∞-∞)(C 收敛区间为),1()1,(+∞-∞及 )(D 当0≠x 时，级数收敛6.阿贝尔定理指出：若级数∑∞=0n n n x a 在)0(11≠=x x x 收敛，则（ ）)(A 适合的一切1x x <x 都使级数绝对收敛)(B 适合的一切1x x <x 都使级数收敛，但不一定绝对收敛 )(C 适合的一切1x x <x 都使级数绝对收敛)(D 适合的一切1x x <x 都使级数收敛，但不一定绝对收敛7.设 ,,,,,210n a a a a 是一等差数列)0(0≠a ，则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是（ ）)(A )(1,1- )(B )[1,1- )(C ](1,1- )(D ][1,1-8.幂级数∑∞=+1)1(n n x n n 的收敛区间是（ ）)(A )(1,1- )(B ](1,1- )(C )[1,1- )(D [1,1-.二、填空题1. 幂级数∑∞=-13)1(n nnn x 的收敛区间是 .2. 若幂级数∑∞=0n n n x a 的系数满足条件ρ=+∞→nn n a a 1lim，则（1）当+∞<<ρ0时，收敛半径为=R . （2）当0=ρ时，收敛半径为=R . （3）当+∞=ρ时，收敛半径为=R .3.幂级数121!1+∞=∑n n xn 的和函数为 .并由此求得∑∞=+0!12n n n 的和为 .4.幂级数nn x n n ∑∞=+0!1在其收敛域上的和函数)(x S = . 并由此结果求得nn n n 8!10∑∞=+之值为 .5.级数∑∞=-02)!2()1(n nnn x的和函数)(x S = .6.级数)11()1(32132≤<-+-+-+--x nxxxx nn 的和函数)(x S = .三、求下列幂级数的收敛区间：（讨论端点）⑴∑∞=-1212n nnx n ⑵∑∞=121n nx n⑶∑∞=++++1)131211(n nx n； ⑷∑∞=++-11122)1(n n n nx⑸∑∞=-1)5(n nnx四、利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数（1）∑∞=++11414n n n x; （2） +++++++12531253n xxxx n ;（3）∑∞=--122212n n nxn ; （4）∑∞=+02)11n nn （.习题五 函数展开成幂级数一、选择题1.)1,0(≠>a a a x 展开为x 的幂级数，其展开式是x a =（ ）)(+∞<<-∞x)(A ∑∞=0!n n n x)(B ∑∞=-0!)1(n n nn x)(C ∑∞=0!)ln (n n n a x )(D ∑∞=0)ln (n nna x2.函数)21)(1(3)(x x x f +-=在0=x 处的幂级数展开式是（ ）)(A [],2)1(0nn nnx ∑∞=+- 1<x )(B [],2)1(101nn n nx∑∞=+-+ 1<x)(C [],2)1(101nn n nx∑∞=+-+ 21<x )(D [],2)1(01nn n nx∑∞=++- 21<x3.函数dt tt x⎰0sin 在0=x 处的幂级数展开式是（ ）)(A )(,)12()!12()1(012+∞<<-∞+--∑∞=+x n n xn n n)(B )0,0(,)12()!12()1(012+∞<<<<-∞+--∑∞=+x x n n xn n n)(C )(,)12()!12()1(012+∞<<-∞++-∑∞=+x n n xn n n)(D )0,0(,)12()!12()1(012+∞<<<<-∞++-∑∞=+x x n n xn n n4.由麦克老林公式，函数xex x f -+=)1()(的按x 幂展开式的前三项是（ ）)(A 221x x ++ )(B 221x x -+ )(C 2201x x -⋅+ )(D 2201x x +⋅+5.函数2)(xex f -=展开成x 幂级数是（ ） )(A ++++!3!21642xxx )(B +-+-!3!21642xxx)(C ++++!3!2132xxx )(D +-+-!3!2132xxx二、填空题1. 已知∑∞==!n nxn xe ，则x xe -= .2.在函数)(x f 的泰勒级数中，30)(x x -的系数是 .3.211)(xx f +=关于x 的幂级数展开式为 . 收敛区域为 .4.)1(xe dxd x-的幂级数表达式为 .且由此可求得∑∞=+1)!1(n n n = .5.若已知61212π=∑∞=n n，则可求得⎰=+11ln dx xx .三、1、将下列函数展开成x 的幂级数，并指出展开式成立的区间： ⑴x 2sin ⑵ )1ln()1(x x ++⑶21xx + ⑷)1ln(21arctan 2x x x +-.四、将函数x x f cos )(=展成)3(π+x 的幂级数.五、将函数2312++x x 展开成)4(+x 的幂级数.六、将函数x ln 展成)2(-x 的幂级数，并证明∑∞==1212ln n nn .习题六 傅里叶级数一、填空题： 1．设∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa 为函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数，则系数=3b ;2．设32,0(),0x f x x x -π<≤⎧=⎨<≤π⎩是以2π为周期的周期函数，则)(x f 的傅里叶级数在x =π处 收敛于 .二、设)(x f 是周期为π2的周期函数，在[)ππ,-上的表达式为1)(+=x x f ，试写出在[]ππ,-上展成以π2为周期的付立叶级数的和函数)(x S ，并求)2()()23(πππs s s ，，-和)2197(πs .三、 已知)(x f 是周期为π2的周期函数，)(x f 在(]ππ，-上的表达式为⎩⎨⎧≤≤+<<-=ππx x x xx f 010)( 将)(x f 展开成付氏级数.四、将函数)(x f 展开成付立叶级数：3sin 2)(x x f = )(ππ≤≤-x .五、设周期函数)(x f 的周期为2π，证明)(x f 的傅里叶系数为：201()cos (0,1,2,),n a f x nxdx n ππ==⎰ 201()sin (1,2,)n b f x nxdxn ππ==⎰.习题七 一般周期函数的傅里叶级数一、填空题：1．设)(x f 在],0[l 上连续，在),0(l 内有x ln b x f n n ∑∞==1sin)(π，则n b 的计算公式为，此时)(x f 的周期为 ；2．若将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx x x f 2,020,1)(展开为正弦级数，则此级数在4π=x 处收敛于 ，而在2π=x 处收敛于 .二、将)0(2)(ππ≤≤-=x xx f 分别展开成正弦级数和余弦级数，并计算∑∞=-12)12(1n n 的值.三、设)(x f 是周期为6的周期函数，在一个周期内的表达式为:⎩⎨⎧<≤<≤-+=3010312)(x x x x f ，将)(x f 展开成周期为6的傅里叶级数.四、设)(x f 是周期为π2的函数，证明：⑴若)()(x f x f -=-π，则)(x f 的傅里叶系数，，，000220===k k b a a )321( ，，，=k⑵ 若)()(x f x f =-π，则)(x f 的傅里叶系数001212==++k k b a ，，),3,2,1,0( =k .习题八 复习题一、选择题1.已知∑∞=-1ln 2k k λ是收敛的，则必有（ ）)(A 2ln >λ )(B 1=λ )(C 1)2(ln ->λ )(D 0=λ2. 若级数∑∞=1n nu)0(≠n u 收敛，则下列结论成立的是（ ）)(A ∑∞=11n nu必发散 )(B ∑∞=1n n u 必收敛)(C )21(1+∑∞=n nu收敛 )(D ∑∞=-1)1(n n nu 必收敛3. 若0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=1n n u （ ）)(A 一定收敛 )(B 一定发散)(C 一定条件收敛 )(D 可能收敛也可能发散4. 若级数∑∞=12n na 和∑∞=12n nb 都收敛，则级数∑∞=1n n n b a （ ）)(A 一定条件收敛 )(B 一定绝对收敛 )(C 一定发散 )(D 可能收敛也可能发散5. 判别级数 ++--+++--++--1111131131121121n n 的敛散性，正确的方法是（ ）)(A 由莱布尼兹判别法得此级数收敛)(B 因为011lim=-∞→n n ，所以级数收敛)(C 添括号后得级数发散，所以原级数发散 )(D 各项取绝对值，判别得级数绝对收敛6. 设b 为大于0的常数，则级数∑∞=+-01)1(n nnb是（ ）)(A 发散的 )(B 收敛的)(C 1≥b 时发散，1<b 时收敛 )(D 1≥b 时收敛，1<b 时发散7. 幂级数∑∞=-⋅+11242)5(n nn n x 的收敛域是（ ）)(A )(2,2- )(B (4,7-- )(C )(3,7-- )(D )(1,9--8. 级数∑∞=≠1)0(!sin n x n nx （ ）)(A 发散 )(B 绝对收敛)(C 条件收敛 )(D 仅在)0,1(-及)1,0(内级数收敛，其他x 值时级数发散9. 当44<≤-x 时，幂级数 +⋅++⋅+⋅+nn n xxxx 4434243322的和函数是（ ）)(A )4ln(x -- )(B )4ln(4x -- )(C )41ln(x -- )(D )41ln(x +10. 函数)21)(1(3)(x x x f +-=在0=x 处的幂级数展开式是（ ）)(A [],2)1(0nn nnx ∑∞=+- 1<x )(B [],2)1(101nn n nx∑∞=+-+ 1<x)(C [],2)1(101nn n nx∑∞=+-+ 21<x )(D [],2)1(01nn n nx∑∞=++- 21<x二、 讨论级数111sin1(1)n n n n ππ∞++=+-∑的绝对收敛性与条件收敛性.三、判断级数dx xen n nxn∑⎰∞=+--11)1(的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？四、求2)11(311lim1knk k n kn+∑=∞→.五、求幂级数2111nn n x n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛区间.六、试证：1||,)1(2)2)(1(03<-=++∑∞=x x x n n n n.七、展开)1(xe dx d x-为x 的幂级数，并求∑∞=+1)!1(n n n 的和.八、将21(2)x -展开成x 的幂级数.九、将⎩⎨⎧<≤<≤-+=30,103,12)(x x x x f 展开成傅里叶级数.十、将函数)0(2)(ππ≤≤-=x xx f 展开成正弦级数、余弦级数.。
微积分复习课件 无穷级数(1)
则__________.
(A)
当
p
1 时, 2
级数 (1)n1un
n1
绝对收敛
(B)
当p
1 时, 2
级数 (1)n1un
n1
条件收敛
(C)
当0
p
1 时, 2
级数 (1)n1un
n1
绝对收敛
(D)
当0
p
1 时, 2
级数 (1)n1unn1发散来自3．对正项级数 un ,
n1
lim un1 =q<1 是该正项级数收敛的__________. u n
(A) 1
(B)
3
(C)
3
1
(D)
3
8．幂级数 1 x n 的收敛域为__________. n1 n
(A) [1, 1] (B) [1,1)
(C) (1, 1 ] (D) (1, 1)
9．若级数 an (x 3)n 在点 x=8 处收敛, 则此级数在点 x=1 处____. n1
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不能确定
10．B
11．Ｄ
1．(1, 1),
1 (1 x)2
2．
e (x 1)n , (, +)
n0 n!
三、解答题
1．(1) 比较判别法（有理化）收敛
(2) 比值判别法 0<e 时, 收敛; =e, 收敛; >e, 发散.
2 ． 由 f (x) 是 二 阶 可 导 的 偶 函 数 , 得 f (0)=0, x=0 是 驻 点 , 又 因 为
n
(A) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件
(B) 必要非充分条件 (D) 即非充分又非必要条件
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第十一章 无穷级数§ 级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数1n n aq∞=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )．(A)1q =； (B)1q =-； (C)1q <； (D)1q >． 答(D)．2. 下列结论正确的是( )．(A)若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1n n u ∞=∑收敛；(C)若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；(D)若1n n u ∞=∑发散，则lim 0n n u →∞≠. 答(C)．3. 若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．(A)121()nn n uv S S ∞=±=±∑； (B)11nn kukS ∞==∑；(C)21n n kv kS ∞==∑； (D)112n n n u S v S ∞==∑． 答(D). 4. 若级数1n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．(A)1()n n u S ∞=-∑收敛； (B)11n nu ∞=∑收敛； (C)11n n u∞+=∑收敛；(D)n ∞=收敛. 答(C).5. 若级数1n n a ∞=∑收敛，其和0S ≠，则级数121()n n n n a a a ∞++=+-∑收敛于( )．(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).6. 若级数∑∞=1n na发散，∑∞=1n nb收敛则 ( )．(A)∑∞=+1)(n n nb a发散；(B)∑∞=+1)(n n nb a可能发散，也可能收敛；(C)∑∞=1n nn ba 发散； (D)∑∞=+122)(n n n b a发散. 答(A).二、填空题1. 设1a <，则().n n a ∞=-=∑ 答：11a +. 2. 级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为． 答：21ln 3-.3.级数0n ∞=∑，其和是 ． 答：1- 4.数项级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和为.答： 12.5*. 级数0212nn n ∞=-∑的和为. 答： 3.三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)23238888(1)9999nn -+-++-+答： 收敛.解： (2) 11113693n+++++ 答：发散.解：(3)133n++++ 答： 发散.解：(4) 232333332222n n +++++ 答： 发散.解：(5) 22331111111123232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答： 收敛.解：§ 正项级数收敛判别法、P — 级数一、单项选择题1. 级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=，则( )．(A)若1n n v ∞=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑收敛；(C)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑发散；(D)若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑发散. 答(D).2. 若10,(1,2,)n a n n≤<=，则下列级数中肯定收敛的是( )．(A)1nn a ∞=∑； (B)11()n n n a a ∞+=+∑；(C)21n n a∞=∑； (D)n ∞= 答(C).3. 设级数 (1) 12!n n n n n ∞=∑与 (2) 13!n n n n n∞=∑，则( )．(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).4. 设级数(1) n ∞=与 (2) 110!nn n ∞=∑, 则( ).(A)级数(1)、(2)都收敛；(B) 级数(1)、(2)都发散；(C)级数(1)收敛,级数(2)发散；(D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D). 5. 下列级数中收敛的是( )．(A)1n ∞= (B)11sin n n ∞=∑； (C)1(1)31nn n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞=-∑． 答(A).6*. 若级数22116n n π∞==∑，则级数211(21)n n ∞==-∑( ). (A)24π; (B)28π; (C)212π; (D)216π. 答(B).7. 设1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑均为正项级数,若1lim=∞→nnn v u ，则下列结论成立的是( ).(A)1nn u ∞=∑收敛, 1n n v ∞=∑发散； (B) 1n n u ∞=∑发散, 1n n v ∞=∑收敛；(C)1nn u∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛,或1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都发散. (D)不能判别. 答(C).8. 设正项级数∑∞=1n nu收敛，则( ).(A)极限1limn n n u u +→∞≤1； (B) 极限1lim n n nuu +→∞<1；(C)极限1n ； (D)无法判定. 答(A)9. 用比值法或根值法判定级数1n n u ∞=∑发散，则∑∞=1n nu( ).(A)可能发散； (B)一定发散；(C)可能收敛； (D)不能判定. 答(B)二、填空题1. 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是部分和nS .答：有上界.2.设级数1n n α∞=∑收敛，则α的范围是. 答：32α>． 3. 级数1n n u ∞=∑的部分和21n nS n =+，则n u =. 答：2(1)n n +. 4. 级数0212n n n ∞=+∑是收敛还是发散. 答：收敛.5. 若级数11sin p n nn π∞=∑收敛，则p 的范围是. 答：0p >.6. 级数13!n n n n n∞=∑是收敛还是发散. 答：发散.三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1) 2111n n n ∞=++∑； 答：发散. (2) 11(1)(2)n n n ∞=++∑； 答： 收敛.(3) 1sin2nn π∞=∑； 答：收敛. (4) 11(0)1nn a a∞=>+∑.答1a >收敛;1a ≤发散.2. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1) 132n nn n ∞=⋅∑； 答：发散. (2) 213n n n ∞=∑； 答： 收敛. 解：(3) 12!n n n n n ∞=⋅∑； 答： 收敛. (4) 11tan 2n n n π∞+=∑． 答： 收敛.解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性：(1) 121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； 答： 收敛. (2) 11[ln(1)]nn n ∞=+∑； 答：收敛. 解： 解：(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑； 答：收敛.解：(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑其中,()n a a n →→∞，,,n a b a 均为正数．答：当b a <时收敛，当b a >时发散，当b a =时不能判断．§ 一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑满足,(1,2,)n n u v n ≤=,则( )．(A) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑发散；(B) 若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散；(C) 若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞=∑发散；(D) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑未必收敛．答(D).2. 下列结论正确的是( )．(A) 1nn u∞=∑收敛，必条件收敛； (B) 1nn u∞=∑收敛，必绝对收敛；(C) 1nn u ∞=∑发散，则1nn u ∞=∑必条件收敛；(D)1n n u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛． 答(D) .2. 下列级数中，绝对收敛的是( )．(A) 1(1)31nn n n ∞=--∑; (B) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (C) 111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑； (D) 111(1)n n n ∞-=-∑． 答(B) . 3. 下列级数中，条件收敛的是( )．(A)1(1)n n ∞-=-∑； (B) 112(1)3nn n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； (C) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (D) 111(1)2n n n n ∞-=-⋅∑． 答(A) . 4. 设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛- ⎝∑( ). (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；(C) 发散； (D)敛散性与α的取值有关． 答(C).5. 设),3,2,1()11ln(cos =+=n nn a n π，则级数( ).(A)∑∞=1n na与∑∞=12n na都收敛. (B)∑∞=1n na与∑∞=12n na都发散.(C)∑∞=1n na收敛，∑∞=12n na发散. (D)∑∞=1n na发散，∑∞=12n na收敛. 答(C).6.设),3,2,1(10 =<<n na n ,则下列级数中肯定收敛的是( ). (A)∑∞=1n n a . (B)∑∞=-1)1(n n na . (C) ∑∞=2ln n n n a . (D)∑∞=22ln n n n a . 答(D). 7.下列命题中正确的是( ).(A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则21)(n n nv u+∑∞=收敛.(B)若∑∞=1n nn v u收敛,则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛.(C) 若正项级数∑∞=1n nu发散,则nu n 1≥. (D)若),3,2,1( =<n v u n n ,且∑∞=1n nu发散,则∑∞=1n nv发散. 答(A).二、填空题1. 级数11(1)n n n α-∞=-∑绝对收敛，则α的取值范围是 ． 答： 1.α>2. 级数11sin 2n n n απ∞=∑条件收敛，则α的取值范围是 ． 答：0 1.α<≤3. 级数2n n a ∞=∑收敛，则0(1)nn n a n ∞=-∑是条件收敛还是绝对收敛 ．答：绝对.收敛三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1) 1(1)n n ∞-=-∑ 答： .条件收敛解：(2) 111(1)3n n n n∞--=-∑； 答： .绝对收敛 解： (3) 21sin (1)n n n α∞=+∑； 答： .绝对收敛 解：(4) 111(1)32n nn ∞-=-⋅∑； 答： .绝对收敛 解：(5) 111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑； 答： .条件收敛 解：(6) 2112(1)!nn n n ∞+=-∑ 答： .发散 解：§ 幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间是( )．(A)[1,1]-； (B)(1,1)-； (C)[1,1)-； (D)(1,1]-． 答(C).2. 幂级数1(1)(1)2nnnn x n ∞=+-⋅∑的收敛区间是( )． (A)[2,2]-； (B)(2,2)-； (C)[2,2)-； (D)(2,2]-． 答(D).3. 幂级数2213nn n x n ∞=⋅∑的收敛半径是( ).(A)3R =；(B)R = (C)13R =；(D)R =． 答(B). （A ） (C)（B ）(D)4. 若级数∑∞=+1)2(n nnx C 在4x =处是收敛的，则此级数在1x =处( ).(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(C).5. 若级数∑∞=+1)2(n nnx C 在4x =-处是收敛的，则此级数在1x =处( ).(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定． 答(D).6．若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a ( ).(A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性不能确定. 答(B).二、填空题1. 幂级数21nn x n∞=∑的收敛域是 ． 答： [1,1].-2. 幂级数2123n n nn x nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛域是． 答： 11,.33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 幂级数1211(1)(21)!n n n x n --∞=--∑的收敛半径R = ，和函数是 ．答：,sin .R x =+∞4. 幂级数20(1)(2)!n nn x n ∞=-∑的收敛半径R = ，和函数是 ．答：,cos .R x =+∞5. 设0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ，则20n n n a x ∞=∑的收敛半径为．答：6. 设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为4，则210n n n a x ∞-=∑的收敛半径为 ．答：2.7. 幂级数1(23)(1)21nn n x n ∞-=---∑的收敛域是 . 答：(1,2].8. 幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 .答：]2,0[.一、简答题1. 求下列幂级数的收敛域．(1) 1nn nx ∞=∑； 答： (1,1).- (2) 121(1)nn n x n∞-=-∑； 答： [1,1].- (3) 13n n n x n ∞=⋅∑； 答：[3,3)-． (4) 2121n n n x n ∞=+∑； 答：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．(5) n n ∞=; 答：[4,6). (6) 211(1)21n n n x n +∞=-+∑． 答：[1,1].-2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数． (1) 11n n nx ∞-=∑； 答：21(),(1,1)(1)S x x x =∈--．解：(2) 21121n n x n -∞=-∑． 答：11()ln ,(1,1)21xS x x x +=∈--．解：3*. 求级数112nn n ∞=⋅∑的和． 答：2ln 2. 解：§ 函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数是( )．(A) 46212!3!x x x ++++；(B) 46212!3!x x x -+-+；(C) 2312!3!x x x ++++ ； (D) 2312!3!x x x -+-+． 答(B).2. 如果()f x 的麦克劳林展开式为20n n n a x ∞=∑，则n a 是( )．()(0)(A)!n f n ；(2)(0)(B)!n f n ；(2)(0)(C)(2)!n f n ；()(0)(D)(2)!n f n ． 答(A). 3. 如果()f x 在0x x =的泰勒级数为00()n n n a x x ∞=-∑，则n a 是( )．()0(A)()n f x ；(2)0()(B)!n f x n ；(2)0()(C)!n f x n ；()0()(D)!n f x n ． 答(C). 4. 函数()sin 2f x x =展开成x 的幂级数是( )．357(A)3!5!7!x x x x -+-+； 224466222(B)12!4!6!x x x -+-+；335577222(C)23!5!7!x x x x -+-+； 462(D)14!6!x x x -+-+． 答(C).二、填空题1. 函数()xf x a =的麦克劳林展开式为． 答： 0(ln ).!n nn a x n ∞=∑ 2. 函数12()3x f x +=的麦克劳林展开式为．0ln 3.2!nn n xn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3. 幂级数2111(1)(21)!n n n x n -∞-=--∑的和函数是 ． 答：sin .x4. 函数1()1f x x=-的麦克劳林级数为． 答：0.n n x ∞=∑5. 函数1()1f x x=+的麦克劳林级数为． 答：0(1).n n n x ∞=-∑6. 函数()ln(1)f x x =+的麦克劳林级数为．答： 11(1).nn n x n∞-=-∑ 7. 函数()xf x e =在1x =处的泰勒级数． 答：0(1).!n n ex n ∞=-∑8. 函数1()1f x x =+在1x =处的泰勒级数．答： 1(1)(1).2nnn n x ∞+=--∑ 9. 函数1()f x x=展开成3x -的幂级数为． 答： 1(3)(1).3nnn n x ∞+=--∑ 10. 函数2()cos f x x =展开成x 的幂级数为． 答：212012(1).2(2)!n nn n x n -∞=+-∑ 11. 级数0(1)(2)!nn n ∞=-∑的和等于. 答：cos1.三、简答题1. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) ()ln(),(0)f x a x a =+>； 解：答：11ln()ln (1).nn n n x a x a n a ∞-=+=+-⋅∑ (2) 2()sin f x x =；解：答：2211(2)sin (1),(,).2(2)!nn n x x n ∞-==--∞+∞∑ (3) ()(1)ln(1)f x x x =++； 解：答：12(1)(1)ln(1),(1,1].(1)n nn x x x x n n -∞=-++=+--∑(4*) ()f x ；解：21212(2)!(1),[1,1].(!)2n n n n x x n +∞=⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∑(5). 2()23xf x x x =--．解：答：211221112(2)!(1),(1,1).2343(!)2n n n n n x n x x x x n +∞-=⎡⎤⎛⎫=-+-- ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑2. 将函数()cos f x x =展开成3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的幂级数．解：答：221011cos (1),(,).2(2)!33nn n nn x x x n ππ+∞=⎡⎤⎛⎫⎫=-+++-∞+∞⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑3*. 将函数2()ln(3)f x x x =-在1x =展开成幂级数． 解：答： 2101(1)ln(3)ln 2(1),(0,2].2n n n n x x x n ∞-=-⎡⎤-=+--⎢⎥⎣⎦∑ 4*. 将函数21()32f x x x =++展开成4x +的幂级数.解：答： 2110111(4),(6,2).3223n n n n x x x ∞++=⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭∑§ 2π为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系{}1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,().x x x x nx nx(A) 在区间[,]ππ-上正交； (B) 在区间[,]ππ-上不正交；(C) 在区间[0,]π上正交； (D) 以上结论都不对． 答(A).2. 函数系{}1,sin ,sin 2,,sin ,().x x nx(A) 在区间[0,]π上正交； (B) 在区间[0,]π上不正交；(C) 不是周期函数； (D) 以上结论都不对． 答(B).3. 下列结论不正确的是( )．(A)cos cos d 0,()nx mx x n m ππ-=≠⎰；(B)sin sin d 0,()nx mx x n m ππ-=≠⎰；(C)cos sin d 0nx mx x ππ-=⎰； (D)cos cos d 0nx nx x ππ-=⎰． 答(D).4. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．(A)010,()sin d n n a b f x nx x ππ==⎰；(B)010,()cos d n n a b f x nx x ππ==⎰； (C)020,()sin d n n a b f x nx x ππ==⎰；(D)020,sin d n n a b nx x ππ==⎰．答(C).5. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A)010,()sin d n n b a f x nx x ππ==⎰；(B)020,()cos d n n b a f x nx x ππ==⎰； (C)010,()cos d n n b a f x nx x ππ==⎰；(D)020,cos d n n b a nx x ππ==⎰． 答(B).二、填空题1. ()f x 是以2π为周期的函数，()f x 傅里叶级数为．答：01(cos sin ).2n n n a a nx b nx ∞=++∑其中1()cos d ,0,1,2,,n a f x nx x n πππ-==⎰1()sin d ,1,2,.n b f x nx x n πππ-==⎰2. ()f x 是以2π为周期的偶函数，()f x 傅里叶级数为．答：01cos .2n n a a nx ∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,.n a f x nx x n ππ==⎰其中3. ()f x 是以2π为周期的奇函数，()f x 傅里叶级数为．答：1sin .n n b nx ∞=∑ 02()sin d ,1,2,.n b f x nx x n ππ==⎰其中4. 在(),()f x x x πππ=--≤≤的傅里叶级数中，sin x 的系数为 ．答：2.5. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，sin2x 的系数为 ．答： 1.-6. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，cos2x 的系数为 ．答：0.三、简答题1. 下列函数()f x 的周期为2π，试将其展开为傅里叶级数．(1) 2()31,()f x x x ππ=+-≤<； 解：答： 221(1)()112cos ,(,).nn f x nx nπ∞=-=++-∞+∞∑(2) ,0(),0bx x f x ax x ππ-≤<⎧=⎨≤≤⎩；解：答：121[1(1)]()(1)()()()cos sin ,4n n n b a a b f x a b nx nx n n ππ-∞=⎧⎫----+=-++⎨⎬⎩⎭∑ (21).x k π≠+2. 将函数()2sin ()3xf x x ππ=-≤≤展开为傅里叶级数．解：答：121()(1)sin ,(,).91n n n f x nx n ππ∞+==---3. 将函数()cos ,()2x f x x ππ=-≤≤展开成傅里叶级数． 解：答：121241()(1)cos ,[,].41n n f x nx n ππππ∞+==+---∑4. 将函数(),(0)2xf x x ππ-=≤≤展开成正弦级数．解：答：1sin (),(0,].n nxf x n π∞==∑ 5. 将函数2()2,(0)f x x x π=≤≤展开成正弦级数和余弦级数．解：答：2331422()(1)sin ,[0,).n n f x nx nn n πππ∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑ 2212(1)()8cos ,[0,].3nn f x nx nππ∞=-=+∑§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是( )．(A)coscos d 0,()lln x m xx n m l l ππ-=≠⎰； (B)sin sin d 0,()l l n x m x x n m l l ππ-=≠⎰；(C)cos sin d 0l l n x m x x l l ππ-=⎰； (D)sin sin d 0l l n x n x x l lππ-=⎰． 答(D).2. ()f x 是以2l 为周期的函数，则()f x 的傅里叶级数为( )． (A)01cos n n n n x n x a a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑；(B)01cos 2n n n a n x n x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑；(C)1nn n x b l π∞=∑； (D)01cos 2n n a n xa l π∞=+∑． 答(B). 3. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶级数为( )．01(A)cos2n n a n x a l π∞=+∑； 01(B)cos n n n xa a l π∞=+∑； 1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 01(D)sin 2n n a n xa l π∞=+∑． 答(A). 4. ()f x 是以2l 为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶级数为( )．01(A)sin2n n b n x b l π∞=+∑； 01(B)cos n n n xb b l π∞=+∑ 1(C)sin n n n x b l π∞=∑； 1(D)cos n n n xb l π∞=∑． 答(C).二、填空题1. ()f x 是以2为周期的函数, ()f x 的傅里叶级数为.答：01cossin .222n n n a n n a x b x ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ 111()cos d ,0,1,2,,22n n a f x x x n π-==⎰其中111()sin d ,1,2,.22n n b f x x x n π-==⎰ 2. ()f x 是以2l 为周期的偶函数, ()f x 的傅里叶级数为.答：01cos .2n n a n a x l π∞=+∑ 02()cos d ,0,1,2,.l n n a f x x x n l lπ==⎰其中3. ()f x 是以2l 为周期的奇函数，()f x 的傅里叶级数为.答：1sin.n n n b x l π∞=∑ 02()sin d ,1,2,.n n b f x x x n l l ππ==⎰其中4. 设()f x 是以3为周期的函数，1,10(),02x x f x x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩．又设()f x 的傅里叶级数的和函数为()S x ，则(0)S =，(3)S =．答：1(0)(3).2S S ==5. 设()f x 是以3为周期的函数，32,10(),01x f x x x -≤<⎧=⎨≤<⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =处收敛于．答：3.26. 设()f x 是以2为周期的函数，1,02()10,12x x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，又设()S x 是()f x 的正弦级数的和函数，则74S ⎛⎫= ⎪⎝⎭．答： 71.44S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为211()122f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭，试将其展开为傅里叶级数．解：答： 121111(1)()cos(2)(,).122n n f x n x ππ=∞=-=+-∞+∞∑2. 设周期函数在一个周期内的表达式为21,30()1,03x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩，试将其展开为傅里叶级数．解：答：1221166()[1(1)]cos (1)sin ,3(21).233n n n n n f x x x x k n n ππππ∞+=⎧⎫=-+--+-≠+⎨⎬⎩⎭∑3*. 将函数2(),(02)f x x x =≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 123218(1)2[(1)1]sin ,0 2.2n n n n x x x n n πππ+∞=⎧⎫-=+--≤<⎨⎬⎩⎭∑ 2221416(1)cos ,0 2.32n n n x x x n ππ∞=-=+≤≤∑。