堆与贪心算法

（ ２） 堆排序 存贮在数组 ａ［ ］中的 ｎ 个结点利用堆排序的思想是： ①先将数组 ａ 整理成堆； ②最小值为根结点 ａ［１］， 将 ａ［１］与 ａ［ｎ］交换， 此时 ａ［ｎ］已 到 排 序 后 位 置 ； ③修改待排序元素个数 ｎ（ｎ＝ｎ－ １）， 如果待排序元 素个数为零， 结束； ④树中仅根结点不满足堆的条件， 调整使之为堆； ⑤跳转到②。
４ 应用实例
（ １） 多机作业调度问题 有 ｎ 个作业， 每个作业都需要一定 的 时 间 （ ｔ１，ｔ２， ．．．， ｔｎ） 才 能 完 成 ， 由 性 能 相 似 的 ｍ 台 计 算 机 来 完 成 ， 每个作业只能交一台计算机来完成， 问如何调度这些 作业， 才能在最短的时间内完成全部的任务。 （ ２） 用贪心算法求解多机作业调度问题 事实上， 这个问题的极限时间是平均时间（ 总作 业时间被计算机平均分） ， 可每个作业是不能分开给 两台以上的计算机来完成的， 所以， 最佳调度的目标 应该是各个计算机实际完成的作业最“平均”， 也就是 说， 计算机间实际完成的作业差别最小。 为此， 我们使用贪心算法来实现全部任务的“平 均”分配： ①任务量大的作业优先分配； ②总将当前作业优先分配给目前任务最少的计 算机。 一句话： 总是将工作量最大的作业调度给任务最
引言
堆是一种特殊的树， 简单地说， 它是一种按层有 序的完全二叉树。以小顶堆为例， 从根到叶结点， 各结 点关键字的值（ 为简单见， 以后的叙述中就直接说其 值） 按层不递减。也就是说， 最小值一定是根结点。倘 或根结点之值发生变化， 再要将其整理成堆， 最多的 比较及移动的次数不会超过树的深度 （ 约 ｌｏｇ２ｎ） 。贪 心算法是计算机常用的算法策略， 在贪心算法中常常 要找到一组值中的最小（ 大） 值， 并对最小值进行相关 的处理（ 此时最小值往往不再是最小值了） ， 再找最小 值， 再……。我们知道在一个无序表中进行顺序查找 的 时 间 复 杂 性 为 ｏ（ｎ）， 虽 然 有 序 表 中 可 以 提 高 性 能 ， 但 却 要 求 先 对 其 进 行 排 序 。我 们 注 意 到 每 次 对 上 一 轮 的最小值进行处理时有序性的破坏并不大， 只是最小 （ 大） 值发生了变化， 有没有更好的查找或重排序方法 呢？ 本文重点介绍了堆在贪心算法中的运用思想， 并 分析了它的时间优越性。
少的计算机。 若按一般的顺序查找， 对于 ｎ 个作业 ｍ 台计算
而言， 时间复杂性为 ｏ（ｍｎ）。若是引入堆的思想， 可以 大大提高效率， 时间复杂性可以降到 ｏ（ｎｌｏｇ２ｍ）。利用 贪心算法求解多机分配问题的 Ｎ－ Ｓ 图如图 １ 所示。
图 １ 贪心算法求解多机分配问题的 Ｎ－ Ｓ 图 由于查找是在循环的内部， 故整个程序的运行效 率得到了很大的改善。
等都用的是此策略求的解。贪心算法通过一系列的选 二 择来得到一个问题的解。它所做的每一次选择都是当 四
一 前状态下某种意义的最好选择， 即贪心选择。希望通 期
ＭＯ Ｄ Ｅ Ｒ Ｎ Ｃ ＯＭＰ Ｕ Ｔ Ｅ Ｒ ２００６．８ !"# ）
实践与经验
过 问 题 的 局 部 最 优 解 来 求 出 整 个 问 题 的 最 优 解 。当 然 这种策略也并不能保证总有效， 但许多情况下却能达 到预期目的， 而且方法也比较简洁。
第
ｏｆ ｓｐｅｃｉａｌ ｔｒｅｅ． Ｈｅａｐｓｏｒｔ ｉｓ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｑｕｉｃｋ ｓｏｒｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ（ｏｒ ｍａｘｉｍｕｍ） ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ
二
ｂｙ ｔｈｅ ｇｒｅｅｄｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｔｈｅ ｈｅａｐ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｒｅｅｄｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｒｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｔｈｅ ａｐｐｌｙｉｎｇ
结语
堆是一种特殊的树， 在堆中找最值的时间复杂性 是 ｏ（１）， 而在堆的首或尾添加一个元素整理成堆的时 间复杂性仅为 ｏ（ｌｏｇ２ｎ）， 在一些特殊的问题中 ， 利用堆 可以提高找最值或数据重排序的效率。
参考文献 ［１］谭浩强． Ｃ 程序设计． 北京： 清华大学出版社， １９９９ ［２］严蔚敏． 数据结构． 北京： 清华大学出版社， ２００４ ［３］王晓东． 计算算法设计与分析（ 第二版） ． 北京： 电子工业
四
Biblioteka Baidu
ｏｆ ｈｅａｐ ｉｎ ｔｈｅ ｇｒｅｅｄｙ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ， ａｎｄ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｉｓ ａｎａｌｙｓｅｄ ａｓ ｗｅｌｌ．
一
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ： Ｈｅａｐ； Ｈｅａｐｓｏｒｔ； Ｔｉｍｅ Ｃｍｐｌｅｘｉｔｙ； Ｇｒｅｅｄｙ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
期
）
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２ 堆排序的时间复杂性
含 ｎ 个结点的完全二叉树中， 如果仅根结点不满
足堆的条件， 将它整理成堆， 只需从根结点， 沿着它的
较小子树向叶结点探索， 将所有比根结点小的结点都
一一上移到其交结点处即可， 最多的比较及移动的次
数不会超过树的深度（ 约 ｌｏｇ２ｎ） ， 也就是说， 整理一次 的时间复杂性为 ｏ（ｌｏｇ２ｎ）。而将一个任意的完全二叉 树整理成堆则需要从最后一个非叶结点为根的子树
１ 堆与堆排序
（ １） 堆 堆 是 以 顺 序 结 构 存 贮 的 特 殊 完 全 二 叉 树 。以 小 顶 堆为例， 树中父结点的关键字总不大于子结点的关键 字。若用顺序数组 ａ［ ］来存贮一个堆， 且设根结点的下 标为 １ （ 零下标单元未用） ， 则下标为 ｉ 的结点的左 （ 右） 孩子如果存在的话， 下标一定为 ２ｉ（２ｉ＋１）， 而下标 为 ｉ 的结点的父结点如果存在的话， 下标一定为 ｉ／２。 故从数组的角度看， 堆应该满足： ａｉ≤ａ２ｉ 且 ａｉ≤ａ２ｉ＋１， 其 中 ｉ＝１，２，…， ｎ。
到整个树的 ｎ／２ 棵子树都一一进行整理（ 上面的第①
步） ， 再考虑到每个结点还要进行一次交换及整理（ 上 现
面的②到④步） ， 故堆排序的时间复杂性 为 ｏ（ｎｌｏｇ２ｎ）。 代
自然是一种比较快的排序方法。
计
算
３ 贪心算法
机
贪心算法是计算机算法策略中常用的一个， 我们 （总
比较熟悉的哈夫曼树、最小生成树、最短路 径问题等 第
贪心算法可以简单描述为： 对一组数据进行排 序， 找出最小值， 处理， 再找出最小值， 再处理。其中多 次要找取小值， 在此我们要讨论的也就是如何提高查 找效率。由于数据不能保证有序性， 使用一般的查找 算法， 时间复杂性是 ｏ（ｎ）， 若利用堆来进行处理， 查找 的时间复杂性可以达到 ｏ（ｌｏｇ２ｎ）。
出版社， ２００４ ［４］王 晓 东． 算 法 设 计 与 分 析 ． 北 京 ： 清 华 大 学 出 版 社 ， ２００４
（ 收稿日期： ２００６－ ０５－ １８）
Ｔｈｅ Ｓ ｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ Ｈｅ ａ ｐ
ａ ｎｄ ｔｈｅ Ｇｒｅ ｅ ｄｙ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
现
代
ＧＯＮＧ Ｘｉｏｎｇ－ ｘｉｎｇ
实践与经验
堆与贪心算法
龚雄兴
（ 湖北襄樊学院， 襄樊 ４４１００３） 摘 要： 堆是一种特殊的树， 堆的首元素常常是堆中结点的最小或最大值。堆排序是一种比较快的
排序方法， 贪心算法中常常要找到最小（ 大） 值。本文介绍了堆在贪心算法中的运用， 并分析 了其时间优越性。 关键词： 堆； 堆排序； 时间复杂性； 贪心算法
计
算
（Ｈｕｂｅｉ Ｘｉａｎｇｆａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉａｎｇｆａｎ ４４１００３ Ｃｈｉｎａ）
机
（总
Ａｂｓ ｔｒａｃｔ： Ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｆｉｒｓｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｕｓｕａｌｌｙ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｒ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ， ｈｅａｐ ｉｓ ａ ｋｉｎｄ