2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

一、填空题

1、化简+++

++

+3

44312

33211

2211…=++

2016

2017201720161

.2017

11-

解：由

1

11)

1(1)

1).(1(1

)1(11

+-

=

+-+=

+++=

+++k k

k k k k k k k k k

k k k 可得.

3、4解：建立坐标系，设椭圆的方程为

),0,(),0,(),0(12,12,122

22b B a A b a b

y a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,222

2

,1b a c c

a l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、

上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22

===+-a c e c c a a 得；（2）、

上，的对称点在右准线关于c

a x c F B 2

21)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得

5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．

解：首先，.064143

42≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即

202-x 此

6 ，

7解：，因8数列}{n

a ，若2017

=n

a

，则n=120.

解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定

后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(9

1=-∑=a a ；数字和

为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c ）的个数是552

11

=C

，

数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，

2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.

9、n b 2，

1=+b n n a 2…②

10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使

得33

b a

-，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222

c b a ++必是c

b a ++的倍数．

证：因）

（即2233

a )(2017,)(2017

b ab b a b a

++--；又由,20170<-

为质数，则a-b 与2017互质，因此）

（ab b ++22

a

2017…①同理有

）

（bc c ++22b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即）（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222

a

a c

b

c b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017c b ++，

将①改写为）

（则知））（ac ac c b --+++22

b 2017],b

a a [2017…④，同理有（2017）

22c b ++11、

个）n

为=n 中每个

2

42⨯的

2

4的每

42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2

m

≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2

m ，而凡是含有2

m 表示中，2

m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]

2

2

)1(,+m m

中的数，除了最大数可以直接表示为2

)1(+m 之外，其余元素n 皆可

表示为：)21()

1(2

m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此

k

具有P 结构表示，其中每项皆2

m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故

由归纳法，即知所证的结论成立.

12、

（本题满分20分）如图，⊙1

O ，⊙2

O 相交于A ，B 两点，CD 是

经过点A 的一条线段，其中，点C ，D 分别在⊙1

O 、⊙2

O 上，过线段

CD BD 上，又向在⊙2

O

21,r r 而∆MK MC BEC 与⊙2

O 上BD 所对的优弧B DF 1

的度数相等，又因M,N 分别是两圆对

应弦CB 、BD

上的点，且所以,r 2

1

r BD BC MK CM BN CM ===⊿CME ∽⊿N 1F B,⊿BME

∽⊿N 1

F D,从而⊿BEC ∽⊿D 1

F B,由⊿BEM ∽⊿N 1

F D ∽FBN ∆,得FN

BN BM EM =,