[高中数学必修一]132函数的奇偶性测试

函数的奇偶性

一、知识回顾：

1、函数的奇偶性：

（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．

： 如果______________________________________，那么函数)(x f 为奇函数；

如果______________________________________，那么函数)(x f 为偶函数.

（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.

（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .

2、函数的周期性

对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个

值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期. 二、基本训练：

1、以下五个函数：（1）)0(1

≠=x x y ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=；（4）x y 2log =；

（5）)1(log 22++=x x y ，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是 _________

变题：已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 的奇偶性如何？

2、函数c bx ax y ++=2是偶函数的充要条件是___________

3、已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则

=)7(f _______

4、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ）

（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）以上均不对

5、函数)0)(()1

22

1()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f （ ）

（A ）是奇函数 （B ）是偶函数

（C ）可能是奇函数也可能是偶函数 （D ）不是奇函数也不是偶函数

三、例题分析： 例1、（1）如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____ （2）若a x f x x lg 22)(--=为奇函数，则实数=a _____ （3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_______

（4）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 ( )

（A ） （B ）5.0- （C ） （D ）5.1-

例2、判断下列函数的奇偶性

（1）2|2|1)(2

-+-=x x x f ； （2）221()lg lg f x x x =+； （3）

x

x

x x f -+-=11)

1()(

例3、设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如

果2

3

lg )1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f

例4、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，（1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。

变题：设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线1=x 对称，求证：)(x f 是周期函数。

四、作业 同步练习函数的奇偶性和周期性

1、若)(x f )(R x ∈是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是 （ ）

（A ）))(,(a f a - （B ）))sin (,sin (α--α-f

（C ）))1

(lg ,lg (a

f a -- （D ）))(,(a f a --

2、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则

=-)2

(T

f

（A ）0 （B ）2

T

（C ）T （D ）2T -

3、已知)()()(y f x f y x f +=+对任意实数y x ,都成立，则函数)(x f 是 （ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）可以是奇函数也可以是偶函数 （D ）不能判定奇偶性

4、（05福建卷）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方

程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

5、 （05山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x

f x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x

-=+ 6、（04年全国卷一.理2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x

x

x f 则若

（ ）

A ．b

B ．－b

C ．

b 1 D ．－b

1 7、（04年福建卷.理11）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（）

（A ）f(sin 6π)

) （B ）f(sin1)>f(cos1)

（C ）f(cos 32π)

2π

) （D ）f(cos2)>f(sin2)

8、(97理科)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式 ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)

(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④

9、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0

)(x f 的解析式为_______________

10、定义在)1,1(-上的奇函数1

)(2+++=nx x m

x x f ，则常数=m ____,=n _____

11、下列函数的奇偶性为