离散数学答案命题逻辑
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第二章 命题逻辑
习题2、11.解 ⑴不就是陈述句,所以不就是命题。 ⑵x 取值不确定,所以不就是命题。 ⑶问句,不就是陈述句,所以不就是命题。 ⑷惊叹句,不就是陈述句,所以不就是命题。 ⑸就是命题,真值由具体情况确定。 ⑹就是命题,真值由具体情况确定。 ⑺就是真命题。
⑻就是悖论,所以不就是命题。 ⑼就是假命题。
2.解 ⑴就是复合命题。设p :她们明天去百货公司;q :她们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。
⑵就是疑问句,所以不就是命题。 ⑶就是悖论,所以不就是命题。 ⑷就是原子命题。
⑸就是复合命题。设p :王海在学习;q :李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑹就是复合命题。设p :您努力学习;q :您一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑺不就是命题。 ⑻不就是命题
⑼。就是复合命题。设p :王海就是女孩子。命题符号化为:⌝p 。 3.解 ⑴如果李春迟到了,那么她错过考试。
⑵要么李春迟到了,要么李春错过了考试,要么李春通过了考试。 ⑶李春错过考试当且仅当她迟到了。
⑷如果李春迟到了并且错过了考试,那么她没有通过考试。
4.解 ⑴⌝p →(q ∨r )。⑵p →q 。⑶q →p 。⑷q → p 。 习题2、2
1.解 ⑴就是1层公式。 ⑵不就是公式。 ⑶一层: p ∨q ,⌝p
二层:⌝p ↔q
所以,)()(q p q p ↔⌝→∨就是3层公式。 ⑷不就是公式。
⑸(p →q )∧⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))就是5层公式,这就是因为 一层:p →q ,⌝q ,⌝r 二层:q →⌝r 三层:⌝q ↔( q →⌝r ) 四层:⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))
2.解 ⑴A =(p ∨q )∧q 就是2层公式。真值表如表2-1所示:
表2-1
⑵p q p q A →→∧=
)(就是3层公式。真值表如表2-2所示:
表2-2
⑶)()(q p r q p A ∨→∧∧=
就是3层公式。真值表如表2-3所示:
表2-3
⑷
)()()(r q r p q p A ∨∧∨⌝∧∨=就是4层公式。真值表如表2-4所示:
3.解 ⑴p q p A ∨
⌝∧⌝=)(真值表如表2-5所示:
表2-5
所以其成真赋值为:00,10,11;其成假赋值为01。 ⑵)(q p r A ∧→=
真值表如表2-6所示:
表2-6
所以其成真赋值为:000,010,100,110,111;其成假赋值为001,011,101。
⑶
)()(q p q p A ⌝∨↔→=真值表如表2-7所示,所以其成真赋值为:00,11;成假赋值为:01,10,。
4.解 ⑴设)(q p p A ∧⌝∨=
,其真值表如表2-8所示:
表2-8
故
)(q p p A ∧⌝∨=为重言式。
⑵设A =(p ∧q )∧⌝(p ∨q ),其真值表如表2-9所示:
表2-9
故A =(p ∧q )∧⌝(p ∨q )为矛盾式。
⑶设A =(p →q )↔(⌝p ↔q ),其真值表如表2-10所示:
表2-10
故A =(p →q )↔(⌝p ↔q )为可满足式。 ⑷设)())()((r p r q q p
A →→→∧→=,其真值表如表2-11所示:
表2-11
故
)())()((r p r q q p A →→→∧→=为重言式。
习题2、3
1.解 ⑴真值表如表2-12所示:
表2-12
由真值表可以瞧出)(q p ∨⌝
与q p ⌝∧⌝所在的列相应填入值相同,故等值。 ⑵真值表如表2-13所示:
表2-13
由真值表可以瞧出
p 与)()(q p q p ⌝∧∨∧所在的列相应填入值相同,故等值。
⑶真值表如表2-14所示:
表2-14
由真值表可以瞧出⌝p 与(p →q )∧(p →⌝q )所在的列相应填入值相同,故等值。
⑷真值表如表2-15所示:
表2-15
由真值表可以瞧出p →(q →r )与(p ∧q )→r 所在的
列相应填入值相同,故等值。
2.证明 ⑴(p ∧q )∨⌝ (⌝p ∨q )⇔ (p ∧q )∨( p ∧⌝q )
⇔ p ∧ (q ∨⌝q )⇔ p 。
⑵(p →q )∧(q →p )⇔(⌝p ∨q ) ∧(⌝q ∨p ) ⇔(⌝p ∧⌝q )∨(⌝p ∧ p )∨( q ∧⌝q )∨(q ∧ p ) ⇔( p ∧q )∨(⌝p ∧⌝q )。
⑶由⑵可得,⌝(p ↔q )⇔⌝(( p ∧q )∨(⌝p ∧⌝q )) ⇔(⌝ p ∨⌝q )∧(p ∨q )⇔(q →⌝p )∧(⌝p →q )⇔⌝p ↔q 。 ⑷p →(q →r )⇔⌝ p ∨(⌝q ∨ r ) ⇔⌝ q ∨(⌝p ∨ r )⇔ q →( p →r )。 ⑸
)()(r q p r q p ∨∨⌝⇔∨→
r q p ∨∨⌝⇔)(r q p ∨⌝∧⌝⇔)( r q p →⌝∧⇔)(
⑹)()()()(q r q p q r q p
∨⌝∧∨⌝⇔→∧→
q r p ∨⌝∧⌝⇔)(q r p →∨⇔)(
3.解 ⑴⌝(p →⌝q )⇔⌝(⌝p ∨⌝q )⇔p ∧q ⑵⌝(⌝p →⌝q )⇔⌝( p ∨⌝q )⇔⌝p ∧q
⑶⌝(p ↔⌝q )⇔⌝((p →⌝q )∧(⌝q →p ))⇔⌝(p →⌝q )∨⌝(⌝q →p )
⇔(p ∧q ) ∨(⌝p ∧⌝q )⇔ p ↔q 。 ⑷同理可证⌝(⌝p ↔q )⇔ p ↔q 。 4.解 ⑴与习题2.2第4(4)相同。 ⑵真值表如表2-16所示:
表2-16
所以公式就是重言式。
⑶真值表如表2-17所示,所以公式就是矛盾式。
表2-17
⑷真值表如表2-18所示,所以公式就是重言式。
表2-18