数学史上的三次危机及其解决

论数学史上的三次数学危机

学号：100521026 姓名：付东群

摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。危机的产生、解决，又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论；

引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。无理数的发现，微积分和非欧集合的创立，乃至费马定理的证明......这样的例子在数学史上不胜枚举，他们可以帮助人们了解数学创造的完美过程。对这种创造的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。

第一次数学危机（无理数的产生）

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

(一)、危机的起源

毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。

（二）、危机的解决

由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。动摇数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决。大约到了公元前370年，这个矛盾终于被毕达哥拉斯学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法巧妙的处理了。但这个问题直到19世纪的戴德金和康托尔等人建立了现代实数理论才算彻底解决了。

（三）、对数学发展的意义

第一次危机的产生最大的意义是导致了无理数地产生，打破了长时间的禁锢数学发展的枷锁。这次数学危机也使整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了，在以后的一两千年中，几何支撑了数学的发展。同时危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是最可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命

第二次数学危机（微积分工具）

18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的。

（一）、危机的起源

因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生【2】。

（二）、危机的解决

为了解决第二次数学危机，数学家们开始在严格化基础上重建微积分，其中贡献最大的是法国数学家柯西，他在《分析教程》和《无穷小计算讲义》中给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如：他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分，定积分和无穷级数的收敛性。后来，魏尔斯特拉斯及其追随者们实现了分析的算术化。至此，数学史上的第二次危机已经克服，数学的整个结构已被恢复【3】。

（三）、对数学发展的意义

牛顿和莱布尼茨创立的微积分理论虽然存在一定的缺陷，但微积分仍然很受重视，被广泛地应用于物理学、力学、天文学中。危机爆发后，经过柯西等人的不懈努力，严格的极限理论建立起来了，为微积分奠定了理论基础。微积分理论的建立在数学史上有深远的意义。一方面它消除了微积分长期以来的神秘性，使数学以及其他科学冲破了宗教的束缚，为以后的独立发展创造了条件；另一方面，微积分理论基础的建立加速了微积分的发展，产生了复变函数、实变函数、微分方程、变分学、积分方程、泛函分析等学科，形成了庞大的分析体系，成为数学的重要分支【4】。

第三次数学危机（罗素悖论）

到19世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。

（一）、危机的起源

康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在1900年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。”但事隔两年后，却传出一个惊人的消息：集合论的概念本身出现了矛盾。这就是英国数学家罗素提出的著名的悖论，罗素悖论的内容用一句话表述就是：所有不以自己为元素的集合组成一个集合，记为A；则有集合A包含A等价于集何A不包含A这样的悖理【5】。罗素悖论一提出就在当时的数学界和逻辑学界引起了极大的震动。这一悖论引起的巨大反响则导致了数学史上的第三次危机。

（二）、危机的解决

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。其中以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯·诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统）【6】，ZFC 系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机表面上解决了。

（三）、对数学发展的意义

集合论公理系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响，它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。

四、悖论与数学发展