5.3-5.4 几种常见的简谐振动 谐振动的能量
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P162: 5-7
提示：对左图： ①设平衡时分别伸长 l1、l2 ②取平衡位为坐标原点 ③考察任一位x处受力 ④应用牛二律
对右图：两个弹簧中的力相等
§5.4 简谐振动的能量
简谐振动 特征、描述…、常见、能量 位置 简谐振动的合成
阻尼振动、受迫振动——简介
§5.4 简谐振动的能量
1.特例——水平弹簧振子 x Acos(t 0 ) v A sin(t 0 )
第十四次
位置
§5 机械振动——回顾
简谐振动
特征、描述…、常见、能量
简谐振动的合成
阻尼振动、受迫振动——简介
1.简谐振动 ——离开平衡位置的位移，按 sin 或cos 变化
2.运动方程（振动方程）x Acos(t 0 )
3.判据
F
kx；
d2x dt 2
2x
0
4.参量及关系 A，T ( ,)， (t 0)
T 2 ， 1
T
源自文库
5.初始条件→振幅A、初相位Φ0
t
0时：
vx00
Acos0 A sin
0
6.旋转矢量法表示
A
x02
v02 2
0
arctan(
v0 x0
)
o
x
§5.3 几种常见的简谐振动
5.3.1 单摆 (是吗？若是T=？) d 2 x 2 x 0 O
①任一位受力分析
dt 2
②切向应用牛二律 Ft mat
解：思路:动力学分析→满足…特征
y
ⅰ建坐标：以平衡时液面位为原点
y
ⅱ对水银在任一位应用牛二律：
O
外力为两端压力差
y
压力差 (d )2 2y g
2
m
d2 dt
y
2
d2y dt 2
d 2 g
2m
y
0
令 2 d 2 g
2m
d2y dt 2
2
y
0
是简谐振动！
周期：T 2 2
2m
d 2g
§5.3 几种常见的简谐振动——习题
cos2 1 (1 cos2 )
2
③ E A2 ——普遍性
例 （P149：例5-5）已知：物体做谐振动，m,A,amax
求：(1)T；(2)平衡位时的Ek；(3)总能量；(4)何位置Ek=Ep
解：(1)谐振动 x Acos(t 0 ) v A sin(t 0 ) a A 2 cos(t 0 )
A A0
③由 E 1 kA2 2
E E0
例 （P162：5-9题）已知：物体做谐振动，A0、k、m、M、h，
m自由下落并粘在M上
m
求：粘后T、A、E有何变化 (1)M在最大位移时相粘； (2) …平衡位…………
h k
M
解：(2) ①周期：——同上 T 2 (M m) k T0
②A：若把粘在一起作为计时起点 x0 0, v0 ？
m自由下落并粘在M上
m
求：粘后T、A、E有何变化 (1)M在最大位移时相粘；
h k
(2) …平衡位…………
M
解：(1) ①周期：——取决于系统自身特性
弹簧振子 原 T0 2 M k 现 T 2 (M m) k T0
②A可由初始条件确定 A
x02
v02
2
若把粘在一起作为计时起点 x0 A0 , v0 0,
P163: 5-10
完
碰撞→水平方向动量守恒
Mv前 （M m）v后
v后
M M
m
v前
A
x02
v02
2
A前
v前
前
A后
v后
后
A前 v前 后 A后 v后 前
1
A A0
v前 M m v后 M ③由 E 1 kA2
2
后 2 T后 2 M / k 前 2 T前 2 (M m) / k
E E0
§5.4 简谐振动的能量——习题
动能：Ek
1 2
mv2
1 2
m[A sin(t
0 )]2
1 kA2 2
sin2 (t
0 )
势能：E p
1 2
k x2
1 2
k[ A c os(t
0 )]2
1 2
k A2
cos2 (t
0 )
机械能：E
Ek
Ep
1 2
k A2
k
m
k 2
m
2.说明
O
x
①动能、势能随时间变化 变化频率为 2
②总能量守恒
amax A 2
T 2
(2)
Ek
1 2
mv2
平衡位 v vmax A
Ek(平衡位)
(3)总能量 E Ek Ep Ek(平衡位) 0
(4) E Ek Ep 2Ep
E 1 kA2
其中 2
Ep
1 2
k x2
x 2 A 2
例 （P162：5-9题）已知：物体做谐振动，A0、k、m、M、h，
mg sin
ml
ml
d 2
dt 2
选逆时针转 动为正方向
l T
当θ很小时
g
l
d 2
dt 2
m
Ft
令 2 g
l
d 2 2 0
dt 2
是简谐振动！
mg
振动方程 m cos(t 0 )
周期—— T 2 2 l
g
θm ——为最大摆角
§5.3 几种常见的简谐振动（一单摆）
5.3.2 复摆 刚体绕O轴的自由摆动
(1)证明物体m做简谐振动；(2)求T
解：思路:动力学分析→满足…特征 ⅰ建坐标：以平衡时m位为原点
ⅱ对任一位应用牛二律、转动定理：
m：
mg
T1
m
d2x dt 2
①
轮： T1R T2R J ②
想：d 2x dt 2
2
x
0
消T1、T2、
找关系：
d2x dt 2
R
若求得T2→代入② →T1 →代入①
T2：(任一位时 )
T2 k[x 平衡时形变量 (x1)] x1？
k R、J
T1 T2 mg
m
O
x
T1
x
有弹簧注意用平衡条件
x1 mg k
代入整理
d2x dt 2
2
x
0
2
k m J R2
例
（P162：5-6题）已知：U形管内径d，注入水银，质量
m，密度ρ，水银在平衡位附近做振动
(1)证明水银做谐运动；(2)求T
①思路： M J →证明满足…特征
②考察任一位：
③应用转动定理
选逆时针转动为正方向
mgl
s in
J
d 2
dt 2
当θ很小时
mgl
J
d 2
dt 2
令 2 mgl
J
d 2
dt 2
2
0
转轴
O
lC
mg
是简谐振动！
重心
摆动周期：T 2 2 J ——可用于测复杂形状
mgl
刚体的J
例 （P162：5-5题）已知：k、R、J、m
提示：对左图： ①设平衡时分别伸长 l1、l2 ②取平衡位为坐标原点 ③考察任一位x处受力 ④应用牛二律
对右图：两个弹簧中的力相等
§5.4 简谐振动的能量
简谐振动 特征、描述…、常见、能量 位置 简谐振动的合成
阻尼振动、受迫振动——简介
§5.4 简谐振动的能量
1.特例——水平弹簧振子 x Acos(t 0 ) v A sin(t 0 )
第十四次
位置
§5 机械振动——回顾
简谐振动
特征、描述…、常见、能量
简谐振动的合成
阻尼振动、受迫振动——简介
1.简谐振动 ——离开平衡位置的位移，按 sin 或cos 变化
2.运动方程（振动方程）x Acos(t 0 )
3.判据
F
kx；
d2x dt 2
2x
0
4.参量及关系 A，T ( ,)， (t 0)
T 2 ， 1
T
源自文库
5.初始条件→振幅A、初相位Φ0
t
0时：
vx00
Acos0 A sin
0
6.旋转矢量法表示
A
x02
v02 2
0
arctan(
v0 x0
)
o
x
§5.3 几种常见的简谐振动
5.3.1 单摆 (是吗？若是T=？) d 2 x 2 x 0 O
①任一位受力分析
dt 2
②切向应用牛二律 Ft mat
解：思路:动力学分析→满足…特征
y
ⅰ建坐标：以平衡时液面位为原点
y
ⅱ对水银在任一位应用牛二律：
O
外力为两端压力差
y
压力差 (d )2 2y g
2
m
d2 dt
y
2
d2y dt 2
d 2 g
2m
y
0
令 2 d 2 g
2m
d2y dt 2
2
y
0
是简谐振动！
周期：T 2 2
2m
d 2g
§5.3 几种常见的简谐振动——习题
cos2 1 (1 cos2 )
2
③ E A2 ——普遍性
例 （P149：例5-5）已知：物体做谐振动，m,A,amax
求：(1)T；(2)平衡位时的Ek；(3)总能量；(4)何位置Ek=Ep
解：(1)谐振动 x Acos(t 0 ) v A sin(t 0 ) a A 2 cos(t 0 )
A A0
③由 E 1 kA2 2
E E0
例 （P162：5-9题）已知：物体做谐振动，A0、k、m、M、h，
m自由下落并粘在M上
m
求：粘后T、A、E有何变化 (1)M在最大位移时相粘； (2) …平衡位…………
h k
M
解：(2) ①周期：——同上 T 2 (M m) k T0
②A：若把粘在一起作为计时起点 x0 0, v0 ？
m自由下落并粘在M上
m
求：粘后T、A、E有何变化 (1)M在最大位移时相粘；
h k
(2) …平衡位…………
M
解：(1) ①周期：——取决于系统自身特性
弹簧振子 原 T0 2 M k 现 T 2 (M m) k T0
②A可由初始条件确定 A
x02
v02
2
若把粘在一起作为计时起点 x0 A0 , v0 0,
P163: 5-10
完
碰撞→水平方向动量守恒
Mv前 （M m）v后
v后
M M
m
v前
A
x02
v02
2
A前
v前
前
A后
v后
后
A前 v前 后 A后 v后 前
1
A A0
v前 M m v后 M ③由 E 1 kA2
2
后 2 T后 2 M / k 前 2 T前 2 (M m) / k
E E0
§5.4 简谐振动的能量——习题
动能：Ek
1 2
mv2
1 2
m[A sin(t
0 )]2
1 kA2 2
sin2 (t
0 )
势能：E p
1 2
k x2
1 2
k[ A c os(t
0 )]2
1 2
k A2
cos2 (t
0 )
机械能：E
Ek
Ep
1 2
k A2
k
m
k 2
m
2.说明
O
x
①动能、势能随时间变化 变化频率为 2
②总能量守恒
amax A 2
T 2
(2)
Ek
1 2
mv2
平衡位 v vmax A
Ek(平衡位)
(3)总能量 E Ek Ep Ek(平衡位) 0
(4) E Ek Ep 2Ep
E 1 kA2
其中 2
Ep
1 2
k x2
x 2 A 2
例 （P162：5-9题）已知：物体做谐振动，A0、k、m、M、h，
mg sin
ml
ml
d 2
dt 2
选逆时针转 动为正方向
l T
当θ很小时
g
l
d 2
dt 2
m
Ft
令 2 g
l
d 2 2 0
dt 2
是简谐振动！
mg
振动方程 m cos(t 0 )
周期—— T 2 2 l
g
θm ——为最大摆角
§5.3 几种常见的简谐振动（一单摆）
5.3.2 复摆 刚体绕O轴的自由摆动
(1)证明物体m做简谐振动；(2)求T
解：思路:动力学分析→满足…特征 ⅰ建坐标：以平衡时m位为原点
ⅱ对任一位应用牛二律、转动定理：
m：
mg
T1
m
d2x dt 2
①
轮： T1R T2R J ②
想：d 2x dt 2
2
x
0
消T1、T2、
找关系：
d2x dt 2
R
若求得T2→代入② →T1 →代入①
T2：(任一位时 )
T2 k[x 平衡时形变量 (x1)] x1？
k R、J
T1 T2 mg
m
O
x
T1
x
有弹簧注意用平衡条件
x1 mg k
代入整理
d2x dt 2
2
x
0
2
k m J R2
例
（P162：5-6题）已知：U形管内径d，注入水银，质量
m，密度ρ，水银在平衡位附近做振动
(1)证明水银做谐运动；(2)求T
①思路： M J →证明满足…特征
②考察任一位：
③应用转动定理
选逆时针转动为正方向
mgl
s in
J
d 2
dt 2
当θ很小时
mgl
J
d 2
dt 2
令 2 mgl
J
d 2
dt 2
2
0
转轴
O
lC
mg
是简谐振动！
重心
摆动周期：T 2 2 J ——可用于测复杂形状
mgl
刚体的J
例 （P162：5-5题）已知：k、R、J、m