北师大版八年级数学上册第七章 7.1.2定理与证明 导学案

北师大版八年级数学上册第七章7.1.2定理与证明导学案

1、教学目标

1．经过长期实践验证，公认正确的真命题叫做公理．

2．命题的正确性是推理证明的，这样的真命题叫做定理，推理的过程叫做证明．

2、课堂精讲精练

【例1】下列语句中，属于定理的是(D)

A．在直线AB上取一点E

B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

C．同位角相等

D．同角的补角相等

【跟踪训练1】下列所学过的真命题中，不是公理的是(A)

A．对顶角相等

B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C．同位角相等，两直线平行

D．三边分别相等的两个三角形全等

【例2】如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

解：已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C.

求证：∠A＝∠D.

证明：∵∠1＝∠3，

∠1＝∠2，

∴∠3＝∠2.∴EC∥BF.

∴∠AEC ＝∠B.

又∵∠B＝∠C，∴∠AEC ＝∠C.

∴AB ∥CD.∴∠A ＝∠D.

(答案不唯一)

【跟踪训练2】 如图，在△ABD 和△ACE 中，有①AB＝AC ；②AD＝AE ；③∠1＝∠2；④∠B＝∠C.选择①②③④中的三个作为条件，第四个作为结论，组成一个真命题，并证明．

解：已知：AB ＝AC ，AD ＝AE ，

∠1＝∠2.

求证：∠B＝∠C.

证明：∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD.

∴∠BAD ＝∠CAE.

在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，

∴△ABD ≌△ACE(SAS)．

∴∠B ＝∠C.

(答案不唯一)

【例3】 请你完成命题“有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”的证明．(画出图形，写出已知、求证，并完成证明)

解：已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝A ′B ′，BC ＝B′C′，AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线，且AD ＝A′D′.

求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明：∵AD，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线，

∴BD ＝12BC ，B ′D ′＝12

B′C′. ∵BC ＝B′C′，∴BD ＝B′D′.

在△ABD 和△A′B′D′中，

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A′B′，AD ＝A′D′，BD ＝B′D′，

∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(SSS)．

∴∠B ＝∠B′.

在△ABC 和△A′B′C′中，

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A′B′，∠B ＝∠B′，BC ＝B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．

【跟踪训练3】 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．

命题：等腰三角形两腰上的高相等．

解：如图，已知AB ＝AC ，CD 和BE 是△ABC 的边AB 和AC 上的高．

求证：CD ＝BE.

证明：∵BE⊥AC，CD ⊥AB ，

∴∠CDB ＝∠BEC＝90°.

∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.

在△BCD 和△CBE 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠CDB＝∠BEC，∠DBC ＝∠ECB，BC ＝CB ，

∴△BCD ≌△CBE(AAS)．

∴CD ＝BE.

3、课堂巩固训练

1．“内错角相等，两直线平行”是(B)

A ．定义

B ．定理

C ．公理

D ．需要判断的命题

2．在证明过程中可以作为推理根据的是(B)

A ．命题、定义、公理

B ．定理、定义、公理

C ．命题

D ．真命题

3．如果a∥b，b ∥c ，那么a∥c，这个推理的依据是平行于同一条直线的两条直线平行．

4．填空：

如图，已知AB∥CD，∠A ＝∠C，则可推得AD∥BC，理由如下：

∵AB ∥CD(已知)，

∴∠A ＋∠D ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∵∠A ＝∠C(已知)，

∴∠C ＋∠D ＝180°(等量代换)．

∴AD ∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．

5．已知命题：如图，点A ，D ，B ，E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．

解：是假命题．

以下任一方法均可：

①添加条件：AC ＝DF.

证明：因为AD ＝BE ，

∴AD ＋BD ＝BE ＋BD ，即AB ＝DE.

在△ABC 和△DEF 中，

⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠A ＝∠FDE，AC ＝DF ，

∴△ABC ≌△DEF(SAS)．

②添加条件：∠CBA＝∠E.

证明：∵AD＝BE ，

∴AD ＋BD ＝BE ＋BD ，即AB ＝DE.

在△ABC 和△DEF 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠FDE，AB ＝DE ，

∠CBA ＝∠E，

∴△ABC≌△DEF(ASA)．

③添加条件：∠C＝∠F.

证明：AD ＝BE ，

∴AD ＋BD ＝BE ＋BD ，即AB ＝DE.

在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠FDE，∠C ＝∠F，AB ＝DE ，

∴△ABC ≌△DEF(AAS)．

4、课堂小结

已经学过的八条公理：

(1)两点确定一条直线．

(2)两点之间线段最短．

(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

(4)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．(简述为：同位角相等，两直线平行)

(5)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(6)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

(7)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．

(8)三边分别相等的两个三角形全等.