怎样掌握运输问题的数学模型
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
初二数学运输问题
初二数学运输问题
摘要：
一、初二数学运输问题简介
1.运输问题的背景和实际意义
2.初二数学运输问题的基本内容
二、运输问题的基本模型和解决方法
1.基本模型：产销平衡模型
2.基本解决方法：线性规划
三、初二数学运输问题在生活中的应用
1.货物运输调度
2.交通路线规划
3.资源分配优化
四、初二数学运输问题的拓展思考
1.运输问题的变形和扩展
2.运输问题与其他数学领域的关联
正文：
初二数学运输问题涉及到货物运输、交通路线规划等实际问题，通过数学方法对其进行建模和求解，具有重要的实际意义。
运输问题属于线性规划的一个子领域，主要研究如何在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最优值。
运输问题的基本模型是产销平衡模型，即在多个产地和销地之间进行货物
运输，要求满足供需平衡和运输容量约束。
解决运输问题的基本方法是线性规划，将问题转化为求解线性方程组，通过计算得到最优解。
在生活中，初二数学运输问题有着广泛的应用。
例如，在货物运输调度中，通过运输问题的求解，可以有效地安排运输车辆的行驶路线和货物装载方案，提高运输效率。
在交通路线规划中，运输问题可以帮助我们找到最佳的道路使用方案，减少交通拥堵。
此外，运输问题还可以应用于资源分配优化等方面。
初二数学运输问题作为线性规划的一个实际应用，可以帮助学生更好地理解线性规划的基本思想和方法。
通过对运输问题的拓展思考，学生可以尝试解决一些变形和扩展的运输问题，进一步锻炼自己的数学思维能力。
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运输模型法的讲解
运输模型法的讲解
运输模型是一种数学模型，用于解决运输问题。
它的基本假设是，有若干个原产地和若干个目的地，原产地和目的地之间的运输需求和运输成本已知。
运输模型的目标是确定最佳的运输方案，即如何分配货物从原产地到目的地，以最小化总运输成本或最大化总运输利润。
运输模型的主要特点是基于线性规划方法进行求解，同时考虑了供需平衡和运输成本的影响。
在运输模型中，需要确定的主要变量有原产地到目的地的货物数量、货物的运输路径，以及每条运输路径上的运输成本。
同时，还需要满足原产地和目的地的供求平衡条件，即原产地的总供应量等于目的地的总需求量。
运输模型的求解过程通常包括如下步骤：
1. 建立数学模型：根据实际问题，确定运输路径、运输成本和供求平衡条件等参数，并将其用数学表达式表示为一个线性规划问题。
2. 求解线性规划问题：利用线性规划方法，求得最优解，即最小化总运输成本或最大化总运输利润。
3. 解释和应用结果：根据最优解，确定货物的最佳分配方案，并分析结果的可行性和经济效益。
运输模型通常有多种求解方法，包括西北角法、最小成本法、沃格尔法等。
这些方法都是通过不断迭代求解基本运输单元（通常是原产地和目的地），并更新运输路径和货物分配量来求解整个运输模型的最优解。
通过运输模型的求解，可以帮助企业和组织做出有效的运输决策，降低运输成本，提高货物的运输效率，优化供应链管理，并对相关的决策和政策制定提供支持和参考。
运筹与优化--运输问题
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v2=c22
v2=6
位势法(6)
1 6 1 8 2 5 3 v1=10 v2=6 7 2 5 3 3 u1 4 2 7 4
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v1=c21
v1=10
位势法(7)
1 6 1 8 2 5 3 v1=10 v2=6 7 2 5 3 3 u1=-4 4 2 7 4
初始基础可行解—最小元素法（1）
1 6 1 8 2 5 3 22 13 12 0 13 9 10 4 2 7 7 2 5 3 3 14 4
12
6
27
15
19
最小元素法（2）
1 6 1 8 2 5 3 22 13 12 0 13 0 9 10 4 2 7 7 2 5 3 3 4 14 1
13 12
13 13
9 10
2 19
13 0
12
6
27
0
19 12 0 13 0
0
此方案费用为232
例1初始方案——初始基可行解
中心数字为分配的运输量 产量 14 27 19
A1 A2 A3
B1 1 2 19
B2 13 13
B3 12 12
B4 13
销量 22
13
调运方案中填有运输量的格叫数格，其它叫空格。
用vogel法给出初始基可行解： 若不能按最小运费就近供应，就考虑各行 各列的最小运费与次小运费的差额(行差、列差). 在差额最大处采用最小运费调运。
运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
数学建模---第四章-运输问题
p , p , , p i1 j1 i2 j2
ir jr
是线性相关的.
推论 1 若变量组对应的列向量组线性无关，则该变 量组一定不包含闭回路.
Go on
性质 1 的证明
Proof : 由直接计算可知
p p p p i1 j1
i1 j2
i2 j2
从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解， 但是由于运输问题数学模型具有特殊的结构，存在一 种比单纯形法更简便的计算方法 —— 表上作业法， 用表上作业法来求解运输问题比用单纯形法可节约计 算时间与计算费用.但表上作业法的实质仍是单纯形法
§1 运输问题及其数学模型
§1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
A3 55
6
3
10 4
10
bj 5500 25 10 15
§2 运输问题的表上作业法 2、最小元素法 规则:优先安排单位运价最小的产地与销地之间的运输
任务. Note : 在某行（或列）填入最后一个数时，如果行和 列同时饱和，规定只划去该行（或列）
z 10 40 5 25 3 5 110
设某种物资共有 m 个产地 A1，A2，…，Am，各 产地的产量分别是a1，a2 ，…，am；有n 个销地 B1， B2，…，Bn ，各销地的销量分别为b1，b2，…，bn .
假定从产地Ai（i =1，2，…，m）向销地Bj（j =1， 2，…，n）运输单位物资的运价是cij，问怎样调运才能 使总运费最小？
j 1
i 1, 2, , m
m
xij bj
i 1
j 1, 2, , n
xij 0 i 1, 2, , m; j 1, 2, , n xij 0 i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
怎样掌握运输问题的数学模型.pptx
逐次寻找最小元素，直至分配完毕
注意：如填写一个数字同时满足了 一厂一商，则需在同行或同列中填写一 个数字0，以保证恰好有m+n-1个数字。
OR2
8
例1 之初始方案（P119）
最小元素法：圈定C24
B1 B2 B3 A1 8 7 3 A2 4 7 5 A3 2 4 9 销量 3 2 4
4季度正常生产 M M M 11.1 0 28
4季度加班生产 M M M 14.1 0 8
需求量
25 30 15 45 11 126
126
OR2
37
例四 结果：
生产 交货
. 生产
1季度正常生产 2季度正常生产 3季度正常生产 3季度加班生产 4季度正常生产 4季度加班生产
需求量
闲置 产量
1 2 3 4 能力
B4 产量 21
/5 9 4
64
5
OR2
9
例1初始方案（续1）
圈定C31
B1 B2 B3 B4 产量 A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5 /5 9 4 A3 /3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 5
OR2
10
例1初始方案（续2）
圈定C13
B1 B2 A1 8 7
A2 4 7
A3 /3 4
OR2
21
新方案检验
计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui A1 6 3 0 3 A2 0 1 0 0 A3 0 0 6 7 vj
物流中转运问题的数学模型及其excel求解方法
物流中转运问题的数学模型及其excel求解方法物流中转运问题是指在物流运输过程中，需要从多个起点运送货物到不同的终点，通过中转站进行货物的转运和重新分配的问题。
这种问题在现实生活中广泛存在，尤其是在大规模企业的供应链管理中。
为了解决物流中转运问题，数学模型被广泛应用。
其中，最常见的数学模型包括最小费用流模型、整数规划模型和网络流模型等。
这些模型可以帮助物流管理者优化中转站的布局，最小化物流成本，并满足货物运输的要求。
最小费用流模型是一种常用的数学模型，它将物流问题转化为寻找一种流量网络中最小费用的流量分配方案的问题。
通过建立中转站、起点和终点之间的联系网络，确定流量的限制条件和费用，可以使用线性规划方法进行求解。
整数规划模型则更加灵活，可以允许决策变量为整数值。
通过将物流问题转化为一个目标函数和一组约束条件的数学表达式，可以使用整数规划求解器进行求解。
这种方法能够更准确地模拟实际情况，但是计算复杂度较高。
网络流模型是一种可以用来解决物流中转运问题的经典模型之一。
它将物流网络表示为一个有向图，节点表示物流的起点、终点和中转站，边表示节点之间的运输路径。
通过将货物流动建模为图中的流量，并设置流量的上下限等约束条件，可以使用网络流算法进行求解。
在实际应用中，为了便于求解数学模型，可以使用Excel等电子表格软件提供的求解器工具。
求解器是一种优化技术，可以通过最小化目标函数或满足一组约束条件来找到最优解。
通过将物流问题抽象为数学模型，并在Excel中建立相应的目标函数和约束条件，即可使用求解器工具进行求解。
使用Excel求解物流中转运问题时，首先需要在电子表格中建立一个模型，将相关数据输入表格中的相应单元格。
然后，选择求解器工具，并设置目标函数、约束条件和求解的参数。
最后，运行求解器，即可得到最优解和相应的决策变量值。
在求解过程中，可以根据实际情况对模型进行调整和优化，以获得更好的结果。
同时，也可以通过增加额外的约束条件或修改目标函数来考虑其他因素，如运输时间、货物的重量和体积等。
数学建模运输问题
数学建模运输问题1. 引言运输问题是数学建模中的经典问题之一，其目的是优化物流调度和资源利用，以降低运输成本和提高运输效率。
在这篇文档中，我们将介绍运输问题的定义、常见的建模方法以及求解运输问题的优化算法。
2. 运输问题的定义运输问题的一般形式是在给定的供应地和需求地之间，通过运输网络将一种货物从供应地运送到需求地，以满足一定的需求量。
运输问题的主要目标是确定如何分配供应地的货物到需求地，并最小化总的运输成本。
运输问题通常基于以下几个假设进行建模：•每个供应地和需求地之间的运输成本是已知的。
•每个供应地和需求地的供应量和需求量是已知的。
•货物在运输过程中没有损耗或浪费。
•每个供应地的供应量等于通过该供应地输出的货物总量。
•每个需求地的需求量等于通过该需求地输入的货物总量。
基于以上假设，我们可以将运输问题抽象为一个线性规划问题，通过求解线性规划问题的最优解，得到最佳的货物分配方案。
3. 运输问题的建模方法运输问题的建模方法可以分为两种：3.1 列生成法列生成法是一种迭代求解运输问题的方法，它从一个初始解开始，逐步地添加新的变量（列）来改善当前解，并最终得到最优解。
具体步骤如下：1.初始化一个基本可行解，即满足供应量和需求量约束的初始解。
2.利用这个基本可行解计算每个可能的新变量的代价，即将某个供应地与某个需求地之间的货物分配量作为新的变量。
3.找到一个具有最小代价的新变量，并将它添加到当前解中。
如果不存在新的变量可以添加，那么当前解就是最优解，算法终止。
4.更新当前解，重新计算供应量和需求量，并返回第2步。
列生成法通过逐步添加新的变量来改善当前解，从而降低运输成本，并且由于每次只添加一个变量，可以减少计算的时间复杂度。
3.2 转运算法转运算法是一种常用的直接求解运输问题的方法，它将运输问题转化为一个线性规划问题，并通过求解线性规划问题的最优解得到最佳的货物分配方案。
具体步骤如下：1.定义决策变量，即每个供应地与需求地之间的货物分配量。
运输问题模型与性质
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例3-1 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地 Ai到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
三、运输问题的求解方法
1、单纯形法（为什么？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用 的更简洁、更方便的方法
ai bj
i1
j 1
产销平衡条件
二、运输问题的特点与性质
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1 , xm2 ,xmn
1 1 1
111
m行
1
1
1
1
1
1
n行 1
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31,, xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1, xm2 ,xmn
关系：
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
注意：列向量Pij =(0,…,0,1,0,…,0,1,0,…0)T中两 个元素1分别处于第i行和第m+j行，直接计算 即可得到结果。
第一节 运输问题的数学模型
第四章运输问题(曹阳) 运输问题(transportation problem)最初起源于人们在日常生活中把某些物品或人们自身从一些地方转移到另一些地方，要求所采用运输路线或运输方案是最经济或成本最低的，这就成为了一个运筹学问题。
随着社会和经济的不断进步，现代物流业蓬勃发展，如何充分利用时间、信息、仓储、配送和联运体系创造更多的价值，向运筹学提出了更高的挑战。
科学地组织货源、运输和配送使得运输问题变得日益复杂，但是其基本思想仍然是实现现有资源的最优化配置。
所以，运输问题并不仅仅限于物品的空间转移，凡是其数学模型符合“运输”问题特点的运筹学问题，都可以采用运输问题特有的方法加以解决。
第一节 运输问题的数学模型一、运输问题的实例和数学模型[例1] 某制药公司在全国设有三个生产基地，其中某品种药的日产量为：A1厂700箱，A2厂400箱，A3厂900箱。
这些生产基地每天将这些药分别运往四个地区的经销部门，各经销部门每天的需求量为：B1部门300箱，B2部门600箱，B3部门500箱，B4部门600箱。
已知从每个生产基地到各销售部门每箱药品的运价如表所示，问该制药公司应如何调运，使在满足各销售部门需要的情况下，总的运输费用最少？表4-1各生产基地到各销售部门每箱药品的运费（金额单位：元）销售部门生产基地B1B2B3B4 A1 0.3 1.1 0.3 1.0 A2 0.1 0.9 0.2 0.8 A3 0.7 0.4 1.0 0.5上面的问题就是一个运输问题，可将其一般情况描述为：已知有m 个产地（也称发点，用A i 表示，i =1, …, m ）可以提供某种物资，有n 个地点（通常称销地或收点，用B j 表示，j =1, …, n ）需要这种物资。
各个产地可提供该物资的数量（称为产量或发量）为a 1, a 2, …, a m ，各个销地的需要量（称为销量或收量）分别为b 1, b 2, …, b n 。
运输问题—数学模型及其解法
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
编号
运费表{zij / wij}
ui
-2 / 20 2 / 11 3 0 / 6 3
I 5 9 10 7 / 2 10
-1 / 18 3 / 7 4 1 4
vj 5 1 0 3
分配表{xij}
5
5
3 3 4 x24 10 3+ 12 15
3 3 12 12
中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在转移。此时，一要耐心， 二要正确选择出变量 踏石法迭代中需注意的问题： 1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未 选够数或未选对
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2 3 12 12
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2
5
19
10
3 12 15
3 12 12
m n 7 有6个基变量
34
f (x) wij xij 205
i1 j1
幻灯片 6
2、最低费用法 采用最小费用优先分配的原则，看一步
3、求入变量 xij 的最大值及新基变量的解 从 xij 出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“ ”和“+”，表示“ ” 和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的平衡 标有“ ”的变量中最小者就是出变量 xij* ，对应 xij*的值就是所求入变量 xij 的最大值 标有“ ”的变量减去 xij*，标有“+”的变量加上 xij*
运输问题的模型及表上作业法
04
CATALOGUE
表上作业法的实际应用
货物调运问题
总结词
货物调运问题是指如何合理安排货物的运输 ，以最小化运输成本。
详细描述
在货物调运问题中，需要考虑货物的来源、 目的地、运输方式、运输距离和运输成本等 因素。通过表上作业法，可以找到最优的运
输方案，使得总运输成本最低。
车辆调度问题
总结词
车辆调度问题是指如何合理安排车辆的运行，以最小化车辆的空驶和等待时间。
资源限制
运输问题的资源限制包括供应量 、需求量、运输能力等，这些限 制条件要求在运输过程中不能超 过资源的最大供应或需求量。
距离限制
运输问题的距离限制通常以运输 距离或运输时间为标准，要求在 运输过程中尽量缩短距离或时间 。
质量限制
在某些情况下，运输问题的质量 限制包括货物的质量、运输工具 的质量等，要求在运输过程中保 证货物的质量和运输工具的安全 。
02
CATALOGUE
运输问题的数学模型
变量与参数
变量
表示各供应地应向各需求地运输的货物量。
参数
包括各供应地的供应量、各需求地的需求量、各供应地到各需求地的单位运输费用和各货物的单位运 价。
目标函数
• 最小化总费用：目标是找到一组 运输方案，使得总运输费用最小 。
约束条件
供需平衡约束
每个供应地的供应量等于其对应需求地的需求量。
运输问题的模型及 表上作业法
contents
目录
• 运输问题概述 • 运输问题的数学模型 • 表上作业法 • 表上作业法的实际应用 • 表上作业法的优化与改进
01
CATALOGUE运输问题概述Fra bibliotek定义与特性
运输问题的数学模型
运输问题的数学模型
运输问题是指将一定数量的物资从一个地点运输到另一个地点，
在实现最优运输方案的过程中，可能途径多个中间节点。
由于数据可
能很庞大，特别是考虑到影响运输成本的一系列不确定因素，因此，
将运输问题的解决变成一个数学优化模型就显得尤为重要。
数学优化模型是一种描述和尝试求解优化问题的表达型语言，其
中包括一系列变量、目标函数和约束。
根据优化原理，通常优化模型
可以定义为如下公式：
min/max f(x)
s.t. g(x,y) = 0
h(x,y) ≥ 0
其中，f(x)是目标函数，用来描述给定的优化问题的目标；g(x,y) = 0和h(x,y) ≥ 0分别是约束函数，用来限制优化变量的取值，以达到问题的最优解。
运输问题的数学模型包括以下三个部分：
首先，定义运输问题的优化变量。
一般来说，优化变量包括运输量、源点到各中间节点的运输量以及中间节点到收货站的运输量。
其次，描述给定优化变量的目标函数，也就是运输成本最低的最
优化目标，也称为最低成本目标函数：
Minimize Sum[i=1->n] (c(i,j)xij)
其中，c(i,j)是从源点i到收货点j的运输单价，xij是从源点i
到收货点j的运输量。
最后，定义运输问题的限制条件，比如发货量不能大于源点库存；收货量不能大于收货点需求；各中间节点运输出量不能大于运输入量，即xij-xji≥0。
由以上确定的运输问题数学模型，就可以通过解析或者随机算法
等方法进行优化，以获得最优运输解决方案，尽可能地降低运输成本。
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OR2
16
检验数计算： σij=cij-(ui+vj)
σ 21=-1
OR2
17
方案调整：
❖ σij < 0 处，增加运输量，可节约运费。故做如
下调整：
OR2
18
新方案：
此方案费用为：13+1 4+3 5+51+2 2+4 2=39
OR2
19
新方案检验
❖ 新方案相应的运费填于表上,给定位势初值， 计算各位势值。
❖ AB：QM软件包，在module中选择 transportation,在file中点击new,输入数据，点 击solve,出现结果。
OR2
33
4.5 运输模型的应用
❖ 例题4：某机床厂定下一年合同分别于各 季度末交货。已知各季度生产成本不同， 允许存货，存储费0.12万元/台季，三、 四季度可以加班生产，加班生产能力8台 /季，加班费用3万元/台
OR2
22
例题2.供大于求的运输问题
❖ 运费及产销量表
OR2
23
例2 解：
❖ 引入虚拟销地B4，（或理解为仓库）， 就地“销售”，运费为零
OR2
24
例2 求初始方案：（P128）
用最小元素法，但零视为最大元素。（？）
OR2
25
例2 初始方案：
.
OR2
26
例2检验初始方案
❖ 计算位势ui+vj
❖ 最优性检验与单纯形法原理一致，计算方法 有位势法和闭回路法，这里讲位势法。
❖ 位势法是任意给出一组数ui和vj，称之为位势， 有数字的格满足：ui+vj=cij
没数字的格计算： σij=cij-(ui+vj)
OR2
15
位势计算： ui+vj
❖ 先填写初始方案相应的运费，任意给出一个
ui或vj值，推出其它位势值。
圈定C31
OR2
9
例1初始方案（续2）
❖ 圈定C13
OR2
10
例1 初始方案（续3）
❖ 圈定C32
OR2
11
例1 初始方案（续4）
❖ 圈定C23
OR2
12
例1 初始方案（续5）
❖ 圈定C22
OR2
13
例1初始方案——初始基可行解
❖ 中心数字为分配的运输量
此方案费用为40
OR2
14
4.2.2 最优性检验
产量=销量。 ❖ 处理办法：设想一个虚拟煤矿D，生产50万吨，但
这个产量只能供应可有可无的最高需求部分，于是 各地的需求也应分为两个部分：基本需求、机动需 求 O❖R2虚运拟费产为量无穷的大运。输费用为零，但它对于基本需求来讲，30
例题3：建模：
1
OR2
31
例题3：最优解：
1
OR2
32
4.4运输问题的计算机求解
OR2
41
例五 问题分析（续2）
❖ 所需91条货船要经调度而来，有的可在一个 港口卸货后装运（如一条船从E到D后再起程 赴B）。若港口没有空船，则要从其它港口调 度而来。（规模效益）
例四.建模：
.
OR2
36
例四 结果：
.
OR2
37
例题5 航运调度问题
❖ 某航运公司承担六个城市A、B、C、D、E、F之间 的四条航线，已知各航线的起点、终点及每天所需 的航班数如下表。又知各城市之间的航行天数，假 定船只型号相同，装卸货时间各一天，问该公司至
少要配备多少条船才能满足需要？
OR2
第四章 运输问题
本章要求： 掌握运输问题的数学模型 掌握运输问题的求解方法 化产销不平衡问题为平衡问题 学会用计算机求解
OR2
1
4.1运输问题的数学模型
❖ 运输问题一般表述为：
某企业有m个产地（生产厂）Ai，其产量分别 为ai, i=1,2,…m, n个销地（销售商）Bj，其销 售量分别为bj, j=1,2,…n,从Ai到Bj的每单位物 资的运费为Cij.要求拟定总运费最小的调运方 案。
38
例5 城市之间航行天数表
.
OR2
39
例5 问题分析
问题要求的是在保证需要的前提下，至少 需要多少船只。
所需船只包括两个部分：载货船、空驶船 。
OR2
40
例5 问题分析（续1）
❖ 上表显示：载货船共需91条，此船何来？
A
B
1
2
1
F
调度中心
C
E3
D
若无空驶，则91条船刚好够用，但虚线 箭头都是空驶
在运费表中找出最小元素，尽最大可能
用完一个厂的产量，或满足一个商家的销量。 得到满足者用线划去。
逐次寻找最小元素，直至分配完毕
注意：如填写一个数字同时满足了一厂
一商，则需在同行或同列中填写一个数字0，
OR2以保证恰好有m+n-1个数字。
7
例1 之初始方案（P119）
最小元素法：圈定C24
OR2
8
例1初始方案（续1）
OR2
2
.
OR2
运输表
3
运输问题的数学模型
设从Ai 到Bj的运输量为xij,（假定产销平衡）
nm
则总运费： minZn= ∑∑ Cj=ij1xi=ij1 产量约束： ∑xij = jma=1i i=1,2,…m, 销量约束： ∑xij =i=b1j j=1,2,…n, 非负性约束： xij ≥0
OR2
20
新方案检验
❖ 计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。
OR2
21
4.3产销不平衡问题
❖ 产销不平衡是最常见的现象，此类问题可以 转化为产销平衡的模型，而后求解。
❖ 运输问题产销平衡模型，实质上就是一个求 解运输问题的标准型。
❖ 解决的办法是：增加一个虚拟的产地或销地， 从而变成标准型——产销平衡问题。
OR2
34
例四.分析：
❖可用线性规划，但用运输问题更简单
❖要决策的问题是各季度生产量和交货量设
xij表示第i季度生产第j季度交货的台数
❖因加班时间生产成本不同，故要区别开来， 三四季度可加班，视同增加两个季度
❖需求量合计115台，生产能力合计126台， 供需不平衡，因此，增加一项闲置能力。
OR2
35
OR2
4
4.2表上作业法
❖ 计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
OR2
5
例题1
❖ 某建材公司有三个水泥厂A1、A2、A3， 四个经销商B1、B2、B3、B4，其产量、 销量、运费如下表：
OR2
6
4.2.1求初始调运方案
❖ 用最小元素法（也可用西北角法或vogel法） 给出初始基可行解：
OR2
27
例2计算检验数
❖ σij=cij-(ui+vj), 所有σij ≥0 ，已得最优解。
OR2
28
例题3：弹性需求问题
❖ 设有三煤矿供应四地区，资料如下：
OR2
29
例题3：解题思路：
❖ 设法转化为标准型 ❖ 本题产量160万吨，最低需求110万吨，最高需求无
限。实质上比较现实的最高需求210万吨 ❖ 产量大于最小需求；小于最大需求。而标准型是：