椭圆—教案(带详解)

椭圆专题

拿出事先准备好的自制教具：木板、细绳、图钉、铅笔，同桌一起合作画椭圆．精心设计了三个问题：

1、在作图时,细绳的两端位置是固定的还是运动的？

2、在作图时，绳子的长度变了没有？说明了什么？

3在作图时，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.

1、利用上述实验总结出椭圆定义；

2、椭圆有哪些性质？

1．椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)

若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)

y 2a 2＋x 2

b 2＝1 (a >b >0)

图形

性质

范围

－a ≤x ≤a

－b ≤y ≤b

－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a

对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点

A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)

B 1(0，－b )，B 2(0，b )

A 1(0，－a )，A 2(0，a )

B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)

轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率

e ＝c

a ∈(0，1) a ，

b ，

c 的关系

c 2＝a 2－b 2

1．(2016·浙江宁波高二检测)已知椭圆x 216＋y 2

b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( D )

A ．8

B ．12

C ．23

D ．43

[解析] 把点(－2，3)代入x 216＋y 2

b 2＝1，得b 2＝4，∴

c 2＝a 2－b 2＝12.∴c ＝23，∴2c ＝4 3.

2．(2015·广东文)已知椭圆x 225＋y 2

m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( B )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．9

[解析] ∵椭圆x 225＋y 2

m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，∴c ＝4＝25－m 2，∴m 2＝9，∴m ＝3，选B ．

3．已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 2

9＝1的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |＝5，则|AF 1|＋

|BF 1|＝( A )

A ．11

B ．10

C ．9

D ．16

[解析] 由方程知a 2＝16，∴2a ＝8，由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝16，∴|AF 1|＋|BF 1|＝11，故选A ．

4．(2016·山东济宁高二检测)设P 是椭圆x 216＋y 2

12＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△

PF 1F 2是( B )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

[解析] 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4， ∴△PF 1F 2为直角三角形．

5．对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( B ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时，可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B ．

1、椭圆方程的求解

求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；

(2)a ︰c ＝13︰5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2

2、焦点三角形问题的探索

已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π

3，求△F 1PF 2的面积.

[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，

又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π

3

＝122，

∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144，∴mn ＝256

3，

∴S △F 1PF 2＝1

2|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2

＝12×2563×32＝6433. 3、轨迹方程问题

如图所示，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.

[解析] 如图所示，连接MA ，由题知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.

又点M 在AQ 的垂直平分线上，

所以|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.又A (1,0)，C (－1,0)， 故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆， 且2a ＝5，c ＝1，故a ＝52，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.

故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2

214＝1.

变式探究：