第4章粘性流体动力学基础

第4章 粘性流体动力学基础
4.1、流体的粘性及其对流动的影响
4.2、雷诺实验、层流与湍流 4.3、粘性流体的应力状态 4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系） 4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程 4.6、流动相似及相似准则*
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工程中遇到的问题大多是粘性流体运动问题， 实际的粘性流体运动现象远比理想流复杂，从而控 制粘性流体运动的基本方程及其求解也相对复杂
以下两章的任务是：
• 介绍粘性流体运动的基本概念、流动现象和流 动特征 • 建立控制粘性流体运动的基本方程 • 得到解决粘性流体运动问题的基本思路、方法 和途径
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响
• 流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪 切变形能力。 • 流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运 动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间 的相对运动能力。 • 在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运 动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同 种流体所承受剪力大小是不同的。
xx x(yz ) x
作用在ABB’A’和CDC’D’两个侧面的切 向力差是：
yx
y
y(xz )
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
作用在ADA’D’和BCB’C’两个侧面的切向力差是：
zx z (xy ) z
仍然设单位质量彻体力分量为：fx , fy , fz , 按照牛顿第二定律：
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4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系） 对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为：
xx p 2
u x
yy p 2
zz p 2
v
v y
w z
本构关系满足：
p
xy x y
p
xx yy zz
3
（3）在粘性运动流体中，任意面上的切应力一般不为零。
xy yx 0
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4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
• Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定理的启发（粘性流体 作直线层状流动时，层间切应力与速度梯度成正比）， 在一些合理的假设下将牛顿内摩擦定律进行推广，提出 广义牛顿内摩擦定理----应力应变率关系（本构关系）：
Dw p f z 2 w Dt z

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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
用 三个方向的单位向量 i 、j、k 分别乘上三式并相加， 可得不可压粘流 N-S方程比较简捷的向量形式：
DV 1 f p V Dt
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4.3、粘性流体的应力状态
1、理想流体和粘性流体作用面受力差别
• 静止或理想流体内部任意面上只有法向力，无切向 力
• 粘性流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力
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4.3、粘性流体的应力状态 2、粘性流体中的应力状态
• 在粘性流体运动中，过任意一点任意方向单位面 积上的表面力不一定垂直于作用面，可分解为法 向应力和切向应力 • 如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力 可分解为三个分量，分别为法应力分量和切应力 分量
定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为：
p V2 2 V 2V
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响 一般流层速度分布不是直线，如图所示。
y
u
du dy
0
du/dy ---- 表示单位高度流层的速度增量，称为 速度梯度
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响
速度梯度 du/dy 物理上也表示流体质点剪切变形速度或 角变形率。 如图所示： dy u u+du d
其中
V ui vj wk
i j k x y z
2
为速度分量 为哈密顿算子
2 2 2 2 2 2 为拉普拉斯算子 x y z
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程 与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以 分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为 兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响粘性源自体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间
的剪切力表现出来（这个剪切力称为内摩擦力）。
粘性流体在流动过程中必然要克服内摩擦力做功， 因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。 牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年） F=µ AU/h
U h F
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这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力是两两相等 的，所以独立的一共是三个法向的，三个切向的。
xy yx
xz zx
yz zy
这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是：
一对剪应力对微元产生的力矩将与彻体力力矩和微元质量的动量
矩平衡，而后二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶 小量可略去，从而得到这一对剪应力相等。
xx p (
2 u v w u ) 2 3 x y z x 2 u v w v p ( ) 2 3 x y z y
2 3 u v w w ) 2 x y z z
yy
zz p (
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4.3、粘性流体的应力状态
• 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投 影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向， 第二个下标表示应力分量的投影方向。 • 从而三个面的合应力可表示为 x面 : y面 : z面:
x
y z


xxi xy j xz k yxi yy j yz k zx i zy j zz k
Dw p 1 u v w 2 f z w Dt z 3 z x y z
2 2 2 其中 2 是拉普拉斯算子： 2 2 2 x y z 2
可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。
yz y z
w v
u
xx yy zz
3
zx
u w z x
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
1、流体运动的基本方程 利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方 程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进行分 析，以x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流体，作用 在中心P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力，控制面上的 应力可用中心点处应力泰勒召开表示。 作用在ABCD和A’B’C’D’两个侧面的法 向力差是：
xy
v u x y ,
yz
w v y z ,
zx
u w z x
• 这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关 系）。满足上述关系的流体称为牛顿流体。
• 如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该 点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。
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4.3、粘性流体的应力状态
上述九个应力分量可写为：
xx yx zx
xy yy zy
xz yz zz
注：有的教材将法向应力记为:
xx xx , yy yy , zz zz
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4.1、流体的粘性及其对流动的影响
流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。
设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），
则
F U A h
µ -----流体的动力粘性系数（单位：Ns/m2=Pa.s）
=µ/---流体的运动粘性系数（单位：m2/s ）
水= 1.13910-6 (m2/s) 空气= 1.46110-5 (m2/s)
Du Fx m Dt
Du Dt
是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。
yx xx Du f x (xyz) (xyz) (xyz) zx (xyz) (xyz) x y z Dt
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程
dudt
ddy dudt d du dt dy
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4.1 流体的粘性及其对流动的影响 流体切应力与速度梯度的一般关系为：

du A B dy
n
1
1
2
3 4

0
du dy
1 . =0+µ du/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等 2 . =µ （du/dy）0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等 3 . =µ du/dy ，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等 4 . =µ (du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等 5 . ＝0，µ ＝0，理想流体，无粘流体。
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4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程 当不可压时，根据连续方程： u v w 0 x y z 则不可压粘流的 N－S方程写为：
Du p f x 2u Dt x