数值分析1复习资料
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一、 误差
相对误差和绝对误差得概念
二、有效数字
有效数字的定义（P5.定义2）
有效数字与相对误差之间的关系（P6.定理1）
典型习题：P19:1,2,3,5,11,12,14
10.1%，要取几位有效数字？
2．取
的6位有效数字9.94987，问以下这种算法有几位有效数字：
109.949870.05013≈-=
3 1.7320508= ，1
231.73, 1.7321, 1.7320x x x ===为其近似值，求它们有别有
几位有效数字？
4．测量一物体的长度为945cm ，问测量数据的相对误差限多大？（实际问题所截取的近似数，其绝对误差一般不超过最小刻度的半个单位）
5. 已知*
*
12325413,0.325413x x ==都有6位有效数字，求绝对误差限
一、Lagrange 插值
()()()
n
n j j j L x l x f x ==∑，
0111'
0111()()()()()
()()()()()
()()
j j n n j j j j j j j n j n j x x x x x x x x w x l x x x x x x x x x x x w x -++-++----=
=
-----
余项：
(1)1()
()()(1)!
n n n f R x w x n ξ++=+
二、Newton 插值
差商表
0x 0()f x 1x 1()f x 01[ ]f x x 2x 2()f x 02[ ]f x x 012[ ]f x x x
3x 3()f x
03[ ]f x x
013[ ]f x x x 0123[ ]f x x x x
Newton 插值多项式：
00100101()()[ ]()[ ]()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x -=+-++--
余项：
(1)0101()
()[ ]()()()(1)!
n n n n n f R x f x x x x x x x x w x n ξ++=--=+
三、Hermite 插值（待定系数法）
1、三点Hermite 插值
3001001201012()()[,]()[,,]()()()()()
H x f x f x x x x f x x x x x x x A x x x x x x =+-+--+---
其中A 为待定系数,可由311()()H x f x ''=得到. 余项：
()4
23012()
()()()()4!
f R x x x x x x x ξ=---
2、两点Hermite 插值 已知
31111()()()()()()()()k k k k k k k k H f x x f x x f x x f x x ααββ++++''=+++
其中
21(12
)()k k k k k x x l x x x α+-=+-，21
111
(12)()k k k k k x x l x x x α++++-=+-
2()()k k k x x l x β=-，2111()()k k k x x l x β+++=-.
余项：
()4
2231()
()()()4!
k k f R x x x x x ξ+=--
四、分段线性插值
在每个小区间上用线性插值，101
max ()k k k n h x x +≤≤-=-
111
1()()()j j j j j j j j
x x x x I h f x f x x x x x ++++--=
+
--，1[,],0,1,,1j j x x x j n +∈=- ，
余项：
max ()()
h a x b
f x I x ≤≤-2
(2)22,max ()8M h M f x ≤
=
五、分段三次Hermite 插值
在每个小区间上用两点Hermite 插值，101
max ()k k k n h x x +≤≤-=-
1111()()()()()()()()()h k k k k k k k k I x f x x f x x f x x f x x ααββ++++''=+++，
1[,],0,1,,1k k x x x k n +∈=-
其中
21(12
)()k k k k k x x l x x x α+-=+-，21
111
(12)()k k k k k x x l x x x α++++-=+-
2()()k k k x x l x β=-，2111()()k k k x x l x β+++=-.
余项：
4
(4)max ()()max ()384h a x b a x b
h f x I x f x ≤≤≤≤-≤
六、三次样条插值
在每个小区间上用三次多项式插值，保证插值函数在整个区间[,]a b 上具有二阶连续的偏导数，1j j j h x x +=-，
3
3
221111
11()()(),6666[,],0,1,,1
j j j j j j j
j j
j j j j
j
j j j j x x x x M h x x M h x x S x M M y y h h h h x x x j n ++++++⎛⎫⎛⎫----=++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈=-
其中
1、若边界条件为00(),()n n S x f S x f ''''==，则
000111111112222n n n n n n n M d M d M d M d λμλμλμ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 其中
1000101101161,([,]),,,6[,,],1,2,1
j j j j j j j j j j j j
h h d f x x f d f x x x j n h h h h h λμλ--+--'==-====-++ ，11
6
1,([,])n n n n n n d f f x x h μ--'==
-. 2、若边界条件为00(),()n n S x f S x f ''''''''==，则