分数的拆分

什么叫分数的拆分？

把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分。

例如：

27

1541181+=； 30

1451181+=； 22

1991181+=； 3

12161-=； 4

131121-=；等等。

下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。 当一个分数为

)1(1n ＋n ⨯的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式（n 为自然数，且n 不为0） 即：1

11)1(1n ＋－n ＝n ＋n ⨯ 例如：

5141541201-=⨯=；7161761421-=⨯=

分数拆分的具体应用 例·计算：42

13012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++

当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。 例如：

9

171972632-=⨯=；

8

131835245-=⨯=；

7

141743283-=⨯=

用公式表示就是：当n 、n+d （n 不为0）都是自然数时，d

n n d n n d +-=+⨯11)(

具体应用： 计算：20182181621614214122⨯+⨯+⨯+⨯ 12

120

120118118116116114114112120

182181621614214122=+-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯

d

n n d n n d +-=+⨯11)( 这个公式同学们已经熟悉了。对这个公式可以进行变形：

例如：

)8

131(5124551241-⨯=⨯= 因为8-3=5 所以提取一个51，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6

141(2124221241-⨯=⨯=，这得看计算时的需要了。

练习：计算21

171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 21

521

2041)21

11(41)211171171131131919151511(41)21

174171341394954514(4121

171171311391951511=⨯=-⨯=-+-+-+-+-⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

1/1*5+1/5*9+1/9*13+1/13*17+1/17*21

=1/4*（1-1/5）+1/4*（1/5-1/9）+1/4*（1/9-1/13）+1/4*（1/13-1/17）+1/4* （1/17-1/21）=1/4*（1-1/5+1/5-1/9+1/9-1/13+1/13-1/17+1/17-1/21）

=1/4*20/21

=5/21

1/18=1/？+1/？

先求出分母18的所有约数：1、2、3、6、9、18

要使两个分数单位的和等于1/18，我们可以分别取两个18的约数，用1/18的分子、分母乘这两个约数的和，再通过分拆的办法得到满足两个分数单位的和等于1/18这个条件的一组数。

取1和2

1/18=（1+2）/18*（1+2）=1/18*3+2/18*3=1/54+1/27

取1和3

1/18=（1+3）/18*（1+3）=1/18*4+3/18*4=1/72+1/24

取1和6

1/18=（1+6）/18*（1+6）=1/18*7+6/18*7=1/126+1/21

等等

注意：取1和2与取3和6；1和3，2和6，3和9与6和18结果一样，知道为什么吗？1/24=1/（）+1/（）=1/（）+1/（）=1/（）+1/（）

24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24

取1和2

1/24=（1+2）/24*（1+2）=1/24*3+2/24*3=1/72+1/36

取1和3

1/24=（1+3）/24*4=1/96+1/32

取1和4

1/24=（1+4）/24*5=1/120+1/30

分子是1的分数拆成两个分数单位之和的形式已经掌握了，如果分子不是1呢？现在就讨论一下这个问题。

例如：4/15=1/（）+1/（）

前面讲的方法仍然适用，先求出分母15的所有约数：1、3、5、15，但这时要保证所取两个约数的和必须是分子4的整数倍。

那同学们想一想，取1和5行吗？不行，因为1+5=6，6不能被4整除。

可以取1和3；3和5；1和15；5和15（结果同1和3）

取1和3

4/15=4*（1+3）/15*（1+3）=4*1/15*4+4*3/15*4=1/15+1/5

取3和5

4/15=4*（3+5）/15*（3+5）=4*3/15*8+4*5/15*8=1/10+1/6

取1和15

4/15=4*（1+15）/15*（1+15）=4*1/15*16+4*15/15*16=1/60+1/4

8/15=1/（）+1/（）=1/（）+1/（）

15的约数有1、3、5、15

取3和5

8/15=8*（3+5）/15*（3+5）=8*3/15*8+8*5/15*8=1/5+1/3

取1和15

8/15=8*（1+15）/15*（1+15）=8*1/15*16+8*15/15*16=1/30+1/2

已知两个分数单位的和是1/12，则这两个分数单位之差的最小值是多少？

12的约数有哪几个？要使两个分数单位之差最小，在取约数时就要取最接近的两个约数。12的约数有1、2、3、4、6、12

1和2，2和3，3和4都接近，用哪一组呢？

取1和2

1/12=1/12*3+2/12*3=1/36+1/18

取2和3

1/12=2/12*5+3/12*5=1/30+1/20

取3和4

1/12=3/12*7+4/12*7=1/28+1/21

那这三组比较应该是1/28和1/21

1/21-1/28=1/84

1、把1/2写成四个不同的分数单位之和。

2、把1/20拆成6个不同的分数单位之和。

3、把3/5写成3个不同的分数单位之和。

1、1/2=1/5+1/6+1/12+1/20

2、1/20=1/25+1/600+1/552+1/506+1/462+1/420

3、3/5=1/3+1/6+1/10

3、分数大小的比较

把下列各数按照从小到大的顺序排成一列。

3/7 5/13 9/16 15/28

分数大小的比较，传统方法一般是先考虑把这几个分数化成同分母的分数，再进行比较。但这道题如果这样做比较麻烦，仔细观察发现它们的分子的最小公倍数是45，可以把他们转化成同分子的分数，再进行比较就比较方便。

将下列各数按照从小到大的顺序排列。

73/84 46/57 89/100 25/36 51/62

这是5个真分数，仔细观察可以发现：每个分数的分子都比分母少11，根据这一特点，可以用“间接比较”的方法。现将这些分数与1相比。

73/84=1-11/84

46/57=1-11/57