概率论随机变量及分布
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概率论与数理统计
第二章 随机变量及其概率分布（3）
§5 二维随机变量及其概率分布
1. 二维随机变量及其分布函数
定义 若 X 和 Y 是样本空间 上的随机 变量，则称（ X ，Y ）为二维随机变
量或二维随机向量。
记积事件(X x) (Y y) 的概率
P{(X x) (Y y)} P{X x,Y y}
2. 边缘分布函数
定义 设 (X ,Y ) 的分布函数是F(x, y)， 称 P{X x,Y } F(x,) 为 (X ,Y ) 关于 X 的边缘分布函数，
记作 FX (x) ；类似地，(X ,Y ) 关于Y
的边缘分布函数
FY ( y) P{X ,Y y} F(, y)
例1 已知随机变量(X ,Y )的取值是 (0,0)、 (0,2)、(1,0)、(1,2) ，且有
（2） pij 1 i1 j1
二维离散型r.v. (X ,Y ) 的分布函数
F (x, y) P{X x , Y y}
P{X xi ,Y y j} xi x y j y
二维离散型随机变量的边缘分布律
(X ,Y ) 关于 X 的边缘分布律
P{X xi } pi . pij , i 1,2,.... j 1
5
10
∴ (X ,Y )的分布律是 XY 0 1
0
0 1/10
1 1/5 2/5
2 1/ 5 1/10
P{X 1,Y 0}
C31C21 C52
C11 C31
1 5
(X ,Y )的分布函数是
F (x, y) P{X x,Y y}
0 , x 1, y 1
1/10, 0 x 1, 1 y
1/ 5, 7 /10
,
1
1
x
x
2
, 2
,
0 y 1 y
1
2 / 5, 2 x , 0 y 1 1 , 2 x , 1 y
(X ,Y )关于 X 的边缘分布律是
X0
1
2
P1
3
3
10 5 10
(X ,Y )关于 Y 的边缘分布律是
Y
0
1
P
23
55
(X ,Y )关于 X 的边缘分布函数是
P{X 0,Y 0} 1 , P{X 0,Y 2} 1
4
8
P{X 1,Y 0} 3 , P{X 1,Y 2} 1
8
4
求 (X ,Y ) 的分布函数、(X ,Y ) 关于 X
和 (X ,Y ) 关于Y 的边缘分布函数。
解 (X ,Y ) 的分布函数
F(x, y) = P{X x,Y y}
1, 1 x
(X ,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数
0, y 0 F (, y) 5 / 8, 0 y 2
1, 2 y
3. 二维离散型随机变量的概率分布
定义 若随机变量 (X ,Y ) 的取值是 (xi , y j ) , i , j 1,2,... ，则 (X ,Y ) 是离 散型的，称
(X ,Y ) 关于 X 、关于 Y 的边缘分布
律和边缘分布函数。
解 X 的可能取值是0，1，2；Y 的可能
取值是 0，1 。
∵
P{X 0,Y 0} 0,
P{X 0,Y 1} 1 10
P{X 1,Y 0} 1 , P{X 1,Y 1} 2
5
5
P{X 2,Y 0} 1 , P{X 2,Y 1} 1
... ... ... ... ... ...
xm
pm1 pm2 ... pmn ...
... ... ... ... ... ...
若 P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1,2,...
是二维离散型r.v. (X ,Y )的分布律，则有
（1） pij 0 , i, j 1,2,...
0 , x 0
FX
(
x)
1 / 10 , 7 /10,
0 x 1 1 x 2
∴ (X ,Y )的分布函数
0, x 0 or y 0
F(x, y) 13//48,,
0 x 1, 0 x 1,
0 y2 2 y
5 / 8, 1 x , 0 y 2
1, 1 x , 2 y
(X ,Y ) 关于 X 的边缘分布函数
F (x,) P{X x,Y }
0, x 0 3 / 8, 0 x 1
P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1,2,... 为 (X ,Y ) 的概率分布或分布律，也称
为随机变量 X 与 Y 的联合分布律。
（ X ，Y ）的分布律可以表示为
Y X
y1
y2
...
yn
...
x1
p11 p12 ... p1n ...
x2
p21 p22 ... p2n ...
lim F(x, y) 0, lim F(x, y) 1
x
x源自文库
y
y
4. P{x1 X x2 , y1 Y y2} F (x2 , y2 ) F (x2 , y1) F (x1, y2 ) F (x1, y1)
( F(x2 , y2 ) F(x2 , y1) F(x1, y2 ) F(x1, y1) 0 )
设 x 和 y 是实变量，称
P{X x,Y y} 为二维随机变量 (X ,Y ) 的分布函数，
记作 F(x, y) ，即
F(x, y) P{X x,Y y}
分布函数的性质
1. 0 F(x, y) 1
2. F(x, y)是 x 、 y 的不减函数；
3. 若 x 固定，则有 lim F(x, y) 0 ；若 y y 固定，则有 lim F(x, y) 0 ； x
若 x 0 or y 0 ,则 F(x, y) =0； 若 0 x 1,0 y 2 ，则F(x, y) =1 / 4； 若 0 x 1,2 y ，则 F(x, y) = 3 / 8； 若 1 x,0 y 2，则 F(x, y) = 5 / 8； 若 1 x,2 y ，则 F(x, y) = 1，
(X ,Y ) 关于Y 的边缘分布律
P{Y yi } p. j pij , j 1,2,.... i 1
例2 盒中有3只白球，2只红球。第一次 从中任取2球不放回，第二次再从剩余
球中任取1球。用 X 和 Y 分别表示第
一次和第二次取到的白球数，求(X ,Y ) 的分布律、 (X ,Y ) 的分布函数、
第二章 随机变量及其概率分布（3）
§5 二维随机变量及其概率分布
1. 二维随机变量及其分布函数
定义 若 X 和 Y 是样本空间 上的随机 变量，则称（ X ，Y ）为二维随机变
量或二维随机向量。
记积事件(X x) (Y y) 的概率
P{(X x) (Y y)} P{X x,Y y}
2. 边缘分布函数
定义 设 (X ,Y ) 的分布函数是F(x, y)， 称 P{X x,Y } F(x,) 为 (X ,Y ) 关于 X 的边缘分布函数，
记作 FX (x) ；类似地，(X ,Y ) 关于Y
的边缘分布函数
FY ( y) P{X ,Y y} F(, y)
例1 已知随机变量(X ,Y )的取值是 (0,0)、 (0,2)、(1,0)、(1,2) ，且有
（2） pij 1 i1 j1
二维离散型r.v. (X ,Y ) 的分布函数
F (x, y) P{X x , Y y}
P{X xi ,Y y j} xi x y j y
二维离散型随机变量的边缘分布律
(X ,Y ) 关于 X 的边缘分布律
P{X xi } pi . pij , i 1,2,.... j 1
5
10
∴ (X ,Y )的分布律是 XY 0 1
0
0 1/10
1 1/5 2/5
2 1/ 5 1/10
P{X 1,Y 0}
C31C21 C52
C11 C31
1 5
(X ,Y )的分布函数是
F (x, y) P{X x,Y y}
0 , x 1, y 1
1/10, 0 x 1, 1 y
1/ 5, 7 /10
,
1
1
x
x
2
, 2
,
0 y 1 y
1
2 / 5, 2 x , 0 y 1 1 , 2 x , 1 y
(X ,Y )关于 X 的边缘分布律是
X0
1
2
P1
3
3
10 5 10
(X ,Y )关于 Y 的边缘分布律是
Y
0
1
P
23
55
(X ,Y )关于 X 的边缘分布函数是
P{X 0,Y 0} 1 , P{X 0,Y 2} 1
4
8
P{X 1,Y 0} 3 , P{X 1,Y 2} 1
8
4
求 (X ,Y ) 的分布函数、(X ,Y ) 关于 X
和 (X ,Y ) 关于Y 的边缘分布函数。
解 (X ,Y ) 的分布函数
F(x, y) = P{X x,Y y}
1, 1 x
(X ,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数
0, y 0 F (, y) 5 / 8, 0 y 2
1, 2 y
3. 二维离散型随机变量的概率分布
定义 若随机变量 (X ,Y ) 的取值是 (xi , y j ) , i , j 1,2,... ，则 (X ,Y ) 是离 散型的，称
(X ,Y ) 关于 X 、关于 Y 的边缘分布
律和边缘分布函数。
解 X 的可能取值是0，1，2；Y 的可能
取值是 0，1 。
∵
P{X 0,Y 0} 0,
P{X 0,Y 1} 1 10
P{X 1,Y 0} 1 , P{X 1,Y 1} 2
5
5
P{X 2,Y 0} 1 , P{X 2,Y 1} 1
... ... ... ... ... ...
xm
pm1 pm2 ... pmn ...
... ... ... ... ... ...
若 P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1,2,...
是二维离散型r.v. (X ,Y )的分布律，则有
（1） pij 0 , i, j 1,2,...
0 , x 0
FX
(
x)
1 / 10 , 7 /10,
0 x 1 1 x 2
∴ (X ,Y )的分布函数
0, x 0 or y 0
F(x, y) 13//48,,
0 x 1, 0 x 1,
0 y2 2 y
5 / 8, 1 x , 0 y 2
1, 1 x , 2 y
(X ,Y ) 关于 X 的边缘分布函数
F (x,) P{X x,Y }
0, x 0 3 / 8, 0 x 1
P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1,2,... 为 (X ,Y ) 的概率分布或分布律，也称
为随机变量 X 与 Y 的联合分布律。
（ X ，Y ）的分布律可以表示为
Y X
y1
y2
...
yn
...
x1
p11 p12 ... p1n ...
x2
p21 p22 ... p2n ...
lim F(x, y) 0, lim F(x, y) 1
x
x源自文库
y
y
4. P{x1 X x2 , y1 Y y2} F (x2 , y2 ) F (x2 , y1) F (x1, y2 ) F (x1, y1)
( F(x2 , y2 ) F(x2 , y1) F(x1, y2 ) F(x1, y1) 0 )
设 x 和 y 是实变量，称
P{X x,Y y} 为二维随机变量 (X ,Y ) 的分布函数，
记作 F(x, y) ，即
F(x, y) P{X x,Y y}
分布函数的性质
1. 0 F(x, y) 1
2. F(x, y)是 x 、 y 的不减函数；
3. 若 x 固定，则有 lim F(x, y) 0 ；若 y y 固定，则有 lim F(x, y) 0 ； x
若 x 0 or y 0 ,则 F(x, y) =0； 若 0 x 1,0 y 2 ，则F(x, y) =1 / 4； 若 0 x 1,2 y ，则 F(x, y) = 3 / 8； 若 1 x,0 y 2，则 F(x, y) = 5 / 8； 若 1 x,2 y ，则 F(x, y) = 1，
(X ,Y ) 关于Y 的边缘分布律
P{Y yi } p. j pij , j 1,2,.... i 1
例2 盒中有3只白球，2只红球。第一次 从中任取2球不放回，第二次再从剩余
球中任取1球。用 X 和 Y 分别表示第
一次和第二次取到的白球数，求(X ,Y ) 的分布律、 (X ,Y ) 的分布函数、