生物统计学教案10
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生物统计学教案(10)
生物统计学教案
第十章一元回归及简单相关分析
教学时间:5学时
教学方法:课堂板书讲授
教学目的:重点掌握一元线性回归方程,掌握一元线性回归方程的检验和相关,了解一元非线性回归和多元回归与相关。
讲授难点:一元线性回归方程的检验和相关
10.1 回归与相关的基本概念
函数关系:F=ma
相关关系:单位面积的施肥量、播种量和产量;血压和年龄;胸径和高度;玉米的穗长和穗重;身高和体重。
相关:设有两个随机变量X和Y,对于任一随机变量的每一个可能的值,另一个随机变量都有一个分布与之相对应,称X和Y存在相关。
回归:对于变量X的每一个可能的值x i,都有随机变量Y的一个分布相对应,则称随机变量Y对变量X存在回归。X称为自变量,Y称为因变量。
条件平均数:当X=x i时Y的平均数μY.X=xi,称为条件平均数。
10.2 一元线性回归方程
10.2.1 散点图
例不同NaCl含量对单位叶面积干物质的影响
NaCl
含量X(g/kg土壤) 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8
干重Y(mg/dm2) 80 90 95 115 130 115 135
从上图虽可以看出Y对X的线性关系,但点子并不在一条直线上。
例每一
NaCl含量下干物质10次重复值
干重(mg/dm2)重
复值
NaCl含量(g/kg土壤)
0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8
1 80 90 95 115 130 115 135
2 100 85 89 94 106 125 137
3 75 107 115 103 103 128 128
4 89 93 92 110 110 143 127
5 91 103 115 113 128 132 155
6 79 92 120 108 131 121 132
7 101 78 95 121 117 129 148
8 85 105 95 110 121 112 117
9 83 93 105 108 114 120 134
10 79 85 98 111 116 130 132
平均值 86.2 93.1 101.9 109.3 117.6 125.5 134.5
如果增加每一NaCl浓度下的重复次数,用其平均值画成散点图,则点子直线化的程度要好得多。上表给出10次重复的平均值,从下图中可见,点子更接近在一条直线上。当以Y的条件平均数所做的散点图,则完全在一条上。
10.2.2 一元正态线性回归模型
x
i
和各x i上Y的条件平均数μy.x可构成一条直线:
μ
Y
=α+βX
对于变量X的每一个值,都有一个Y的分布,其平均数是上式所示的线性函数。对于随机变量Y:
Y=α+βX+ε
ε:NID(0,σ2) Y:NID(α+βX,σ2)
上式称为一元正态线性回归模型。
10.2.3 参数α和β的估计
在实际工作中,我们是无法得到α和β的,只能得到它们的估计值a和b,从而得到一条估计的回归线:
bX
a
Y+
=
ˆ
上式称为Y对X的回归方程,所画出的直线称为回归线。a是直线的截距,称为常数项;b是直线的斜率,称为回归系数。
对于因变量Y的每一个观测值y i:
y
i
= a + bx i + e i
y i 的回归估计值i yˆ是对i x Y⋅
μ的估计,因此
i
yˆ也是平均数。
在各种离差平方和中,以距平均数的离差平方和为最小。因此我们就把e i =
y
i
-i yˆ平方和为最小的直线作为最好的回归线。
记
()
∑
=
-
=
n
i
i
i
y
y
L
1
2
ˆ,求出使L达到最小时的a和b,这种方法称为最小二乘法。
为使()()[]
∑∑==+-=-=
n
i n
i i
i
i i
bx a y y
y
L 1
1
2
2
ˆ达到最小,令:
可以得到以下一组联立方程:
解该方程组,得到β的最小二乘估计:
及a 的最小二乘估计:
公式的分子部分称为X 和Y 的校正交叉乘积和,以S XY 表示。分母部分称为X 的校正平方和,以S XX 表示。因变量Y 的 平方和称为总平方和,以S YY 表示。因此,b 又可以表示为:
10.2.4 回归方程的计算
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=∂∂00b
L a l
()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--∑∑==n i i i i n
i i i bx a y x bx a y 1
10202XX
XY
S S b =
()()
()
∑∑∑∑
∑∑∑=======---=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--
=
n
i i
n
i i i
n i i
n
i i n
i n
i i
n i i
i i
x x
y y x x
n
x x n y
x y x
b 1
2
1
2
1
1
21
1
1
x
b y a -=