量子力学总复习

1 2
)
i 1,2,3
EN
(n1 n2
n3
3 2
)
(
NLeabharlann 3 2)其 中 N n1 n2 n3
则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：
Hˆ Hˆ
x y
n1 n2
( (
x y
) )
E n1 n1 ( x) E n2 n2 ( y)
Hˆ
z
n3
(z)
En3 n3
(z)
（3）简并度
2( x
x0 )2
V0
其中：x0
q 2
q2 2 V0 2 2
（3）Hamilton量
• 进行坐标变换：
则 Hamilton 量变为：
x x x0
pˆ i d i d pˆ
dx
dx
Hˆ
pˆ 2
2
1 2
2(x
x0 )2
V0
pˆ 2
2
1 2
2 x2
V0
（4）Schrodinger方程
( N 1) N ( N 1) 1 1 ( N 1)( N 2) 2
例2. 荷电 q 的谐振子，受到沿 x 向外电场
的作用，其势场为： V ( x) 1 2 x 2 qx
2
求能量本征值和本征函数。
解：Schrodinger方程：
d2 dx2
( x)
2
2
[E
V
( x)]
( x)
n1
n2
→
0
0,
1,
...,
N
→
1
0,
1,
...,
N-1
→
2
0,
1,
...,
N-2
→
...,
...,
...,
...,
...
→
N
0,
→
对给定 N ( N= n1 + n2 + n3 ), {n1 , n2, n3 }的组合方式数
组合方式数 N+1 N N-1 ... 1
(1/2)(N+1)(N+2)
当n1 , n2 确定后， n3 = N - n1 - n2，也就确定了，不增加不同组 合的数目。故对给定N，{n1 , n2, n3 }可能组合数即简并度为：
• 解：
l
（1）三维谐振子 Hamilton 量
Hˆ
2
2
d2
dx
2
d2 dy 2
d2 dz 2
1 2
2(x2
y2
z2 )
Hˆ x Hˆ y Hˆ z
其中
Hˆ
x
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2
Hˆ
y
2
2
d2 dy 2
1 2
2
y2
Hˆ
z
2
2
d2 dz 2
1 2
2z2
（2）本征方程及其能量本征值
作业
(1)
请
问
下
列
波
函
数
中
，
哪些
与
描
1
写
同
一
状
态
？
1 ei2x/,
2 ei2x/,
3 ei3x/,
4 ei2x/ ,
5 3e i (2 x) / ,
6 (4 2i)ei2 x /.
(2) 已 知 下 列 两 个 波 函 数 ：
1( x)
A
sin
n
2a
(x
a)
0
| x | a | x | a
Lˆz Lˆ Lˆ (Lˆz )
(1)
LLˆˆ2LLˆˆ
Lˆ Lˆ2 Lˆ2
(2)一 维 谐 振 子 处 于 ( x) Ae 2x2 /2状 态 中 ， 其 中为 实 常 量 ， 求 ：
I、 归 一 化 系 数A；II、 动 能 平 均 值 。
能量本征值方程
将
[ 2 V ] E 改写成
2
Hˆ E
•
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数
学物理方法中的本征值方程相似。
EN
(N
3 2
)
其中
N n1 n2 n3
n1n2n3 (r ) n1 ( x) n2 ( y) n3 ( z)
当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多 种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：
对给定 N= n1 + n2 + n3 的组合方式数列表分析如下：
n 1,2,3,
2(x)
A
sin
n
2a
(x
a)
0
| x | a | x | a
n 1,2,3,
请 问 ：I、 波 函 数1( x)和 2 ( x)是 否 等 价 ？
II 、 对1( x)取n 2两 种 情 况 ， 得 到 的 两 个
波函数是否等价？
作业
（1）证明 ：如果 波函 数是实数 ，则px 0.
新坐标下 Schrodinger 方程改写为：
该式是一新坐标下一维 线性谐振子Schrodinger 方程，于是可以利用已 有结果得：
本征能量
En
(n
1 2
)
En En V0
(n
1 2
)
q2 2 22
n 0,1,2,
d2 dx2
(
x)
2
2
[E
1 2
2
x2
V0 ]
(
x)
0
d2 dx2
(
x)
2
2
[E
1 2
2
x2 ]
(
x)
0
其中 E E V0
本征函数
n ( x) N ne 2x2 / 2 H n (x) N ne 2 ( x x0 )2 / 2 H n ( ( x x0 ))
(III) 证明：
LˆYlm l(l 1) m(m 1)Yl,m1 (l m)(l m 1)Yl,m1
如果系统 Hamilton 量可以写成
Hˆ Hˆ x Hˆ y Hˆ z
则必有：
因此，设能量本征方程的解为：
En1n2n3 En1 En1 En1
n1 ( x ) n2 ( y) n3 ( z )
E Ex Ey Ez
( x) ( y) (z)
解得能量本征值为：
Eni
(ni
数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方 法中的边界条件，
称为波函数的自然边界条件。
因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚
的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3）
由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状 态（简称能量本征态）时，
粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
解S—方程的一般步骤如下：
l 一、列出各势域上的S—方程； l 二、求解S—方程；
l三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定: 未知数和能量本征值； l四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。
（三）实例
例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况
0
（1）解题思路
势V(x)是在谐振子势上叠加上-q x项，该项是x 的一次 项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标 变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。
• （2）改写 V(x)
V ( x) 1 2 x2 qx
2
1 2
2[x
q 2
]2
q2 2 2 2
1 2