矩形脉冲信号频谱分析
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小组成员： 刘鑫 龙宇 秦元成 王帅 薛冬寒 梁琼健 一、傅里叶分析方法与过程 周期信号的分解 1、三角形式
周期为T 的周期信号，满足狄里赫利（Dirichlet ）条件（实际中遇到的所有周期信号都符合该条件），便可以展开为傅里叶级数的三角形式，即:
∑∑∞=∞
=Ω+Ω+=110sin cos 21
)(n n n n t
n b t n a a t f （1）
⎰-=Ω=2
2
,2,1cos )(2T T n dt
t n t f T a n
（2）
⎰-=Ω=2
2
,2,1sin )(2T T n dt
t n t f T b n
（3）
式中：
T π
2=
Ω 为基波频率，
n
a 与
n
b 为傅里叶系数。
其中 n
a 为n 的偶函数，
n
b 为n 的奇函数。
将上式中同频率项合并可写成：
∑∞
=+Ω+=++Ω++Ω+=1022110)cos 21
...
)2cos()cos(21
)(n n n t n A A t A t A A t f ϕϕϕ（
式中：
)
arctan(...3,2,1,2
2
0n
n
n n a b n b a A a A n n -==+==ϕ (5)
n n n n
n n A b A a A a ϕϕsin cos 0
0-=== (6)
2.指数形式 由于
2
cos jx
jx e e x -+=
(7)
三角函数形式可以写为
t jn j n n t
jn j n n t n j n t n j n e e A e e A A e e A A t f n n n n Ω--∞=Ω∞=+Ω-∞
=+Ω∑∑∑++=++=ϕϕϕϕ1
10)(1)(0212121]
[2
1
21)( (8)
将上式第三项中的n 用-n 代换，并考虑到 为n 的偶函数， 为n 的奇函数 则上式可写为：
t jn j n n t jn j n n t
jn j n n t jn j n n e e A e e A A e e A e e A A t f n n n n Ω∞
--=Ω∞=Ω--∞
-=-Ω∞=∑∑∑∑++=++=-ϕϕϕϕ1
1011021
212121
2121)( (9)
将上式中的
A 写成
t
j j e e A Ω000ϕ(其中
00=ϕ），则上式可写为
t
jn j n n e
e A t
f n Ω∞-∞
=∑=ϕ21)( (10)
令复数量
n j n j n F e F e A n n ==ϕϕ||21
，称其为复傅里叶系数，简称傅里
叶系数，其模为
|
|n F ，相角为 n ϕ，则得傅里叶级数的指数形式为
()t
jn n n e F t f Ω∞
-∞
=∑
=
(11)
将（2）（3）代入上式得
dt
e t
f T
dt t n j dt t n t f T dt
t n t f T
j
dt t n t f T F t jn T T T T T T T T n Ω-----⎰
⎰⎰
⎰
=Ω-Ω=Ω-Ω=
22
2222
22
)(1)]sin()cos()[(1)cos()(1
)cos()(1
(12)
二、
2
)
2sin()2sin(
21)(122
22
22
ττ
ττττΩΩ=
ΩΩ=
=
==
-
Ω-Ω--Ω--Ω-⎰
⎰
n n t
A n n T
A e T A dt e T
A
dt e t f T
F t
jn t
jn T T t jn T T t jn n
考虑到
T
π2=
Ω，上式也可写成
...
2,1,0,)sin(±±==n T n T n T
F n πτπτ
τ
令
x x
x Sa sin )(=
原式可写成
)2()(τ
τπττ
Ω==n Sa T T n Sa
T F n
则该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为
∑∑∞-∞=Ω∞
-∞
=Ω==n t jn n t
jn n n e
T n Sa T A e F f )(πττ
三、频谱图形
利用MATLAB 画出频谱图为
四、
将周期T变为2T
利用MATLAB新的频谱图为
带宽变化：
因为一般脉冲宽度必须小于脉冲周期，所以周期增大时，不影响两者关系，脉宽不变，带宽不变。