第一章-命题逻辑04对偶定理
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相反赋值
4.2定义 如果真值赋值 v1 和 v2 满足:
对每个命题变元 p , pv1=/ pv2 , 则称 v1 和 v2 是相反的.
□ □
对偶定理
4.1定理(真值相关) 设 A 是由 {0,1,\ ,[,Z} 生成的公式,
A* 与 A 互为对偶式 v 和 vd 是相反的真值赋值
则v(A*)=\ vd(A) .
设 A 的长度为 n+1 ,对于长度不超过 n 的每个公式 B , v(B*)=\ vd(B).
若 A 为 \ B , 则 B 的小于 n , 由归纳假设知, v(B*)=\ vd(B).
A* 为 \ B* . 因此, v(A*) =v(\ B*) =\ v(B*) =\ \ vd(B) =\ vd(\ B).
v(A*)=\ vd(A)==\ vd(B)v(B*) 所以,A* EB* .
□ □
定理应用
4.2例子 证明以下等值式：
(p[q)Z(\ pZ(\ pZq))E\ pZq
(pZq)[(\ p[(\ p[q))E\ p[q □
解答
(p[q)Z(\ pZ(\ pZq)) E(p[q)ZqZ\ p EqZ\ p E\ pZq
若 A 为 B[C ,则 B 和 C 的长度都小于 n , 由归纳假设知, v(B*)=\ vd(B) 且 v(C*)=\ vd(C),
A* 为 B*ZC* . 因此, v(A*) =v(B*ZC*) =v(B*)Zv(C*) =\ vd(B)Z\ vd(C) =vd(\ BZ\ C) =\ vd(B[C).
所以
(pZq)[(\ p[(\ p[q))E\ p[q. □ □
4.2定理(对偶定理) 设 A,B 是由 {0,1,\ ,[,Z} 生成的公式:
A* 与 A 互为对偶式 B* 与 B 互为对偶式
则: 如果 AEB , 则 A*EB* . □
证明 任取真值赋值 v , 假设 vd 是与 v 相反的真值赋值, 因为AEB ,所以 vd(A)=vd(B) .因此,
□
证明 对 A 的长度进行归纳. 首先考虑 A 的长度为 1 的情况.
若 A 为命题变元 p ,则 A* 是 p , v(p)=\ vd(p).
若 A 为 0 , 则 A* 为 1 , v(1)=1=\ 0=\ vd(0).
若 A 为 1 , 则 A* 为 0 , v(0)=0=\ 1=\ vd(1).
若 A 为 BZC ,则 B 和 C 的长度都小于 n , 由归纳假设并且 A* 为 B*[C* . 因此, v(A*) =v(B*[C*) =v(B*)[v(C*) =\ vd(B)[\ vd(C) =vd(\ B[\ C) =\ vd(BZC). □
互为对偶
第 4 节: 对偶定理
4.1定义 设 A 是由 {0,1,\ ,[,Z} 生成的公式, 由以下变换, 得到 A* :
将 [ 和 Z 互换 将 0 和 1 互换 称 A* 与 A 互为对偶式.
□
4.1例子 (pZq)[r 与 (p[q)Zr 互为对偶式 \ (pZ0)[1 与 \ (p[1)Z0 互为对偶式 □ □
4.2定义 如果真值赋值 v1 和 v2 满足:
对每个命题变元 p , pv1=/ pv2 , 则称 v1 和 v2 是相反的.
□ □
对偶定理
4.1定理(真值相关) 设 A 是由 {0,1,\ ,[,Z} 生成的公式,
A* 与 A 互为对偶式 v 和 vd 是相反的真值赋值
则v(A*)=\ vd(A) .
设 A 的长度为 n+1 ,对于长度不超过 n 的每个公式 B , v(B*)=\ vd(B).
若 A 为 \ B , 则 B 的小于 n , 由归纳假设知, v(B*)=\ vd(B).
A* 为 \ B* . 因此, v(A*) =v(\ B*) =\ v(B*) =\ \ vd(B) =\ vd(\ B).
v(A*)=\ vd(A)==\ vd(B)v(B*) 所以,A* EB* .
□ □
定理应用
4.2例子 证明以下等值式：
(p[q)Z(\ pZ(\ pZq))E\ pZq
(pZq)[(\ p[(\ p[q))E\ p[q □
解答
(p[q)Z(\ pZ(\ pZq)) E(p[q)ZqZ\ p EqZ\ p E\ pZq
若 A 为 B[C ,则 B 和 C 的长度都小于 n , 由归纳假设知, v(B*)=\ vd(B) 且 v(C*)=\ vd(C),
A* 为 B*ZC* . 因此, v(A*) =v(B*ZC*) =v(B*)Zv(C*) =\ vd(B)Z\ vd(C) =vd(\ BZ\ C) =\ vd(B[C).
所以
(pZq)[(\ p[(\ p[q))E\ p[q. □ □
4.2定理(对偶定理) 设 A,B 是由 {0,1,\ ,[,Z} 生成的公式:
A* 与 A 互为对偶式 B* 与 B 互为对偶式
则: 如果 AEB , 则 A*EB* . □
证明 任取真值赋值 v , 假设 vd 是与 v 相反的真值赋值, 因为AEB ,所以 vd(A)=vd(B) .因此,
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证明 对 A 的长度进行归纳. 首先考虑 A 的长度为 1 的情况.
若 A 为命题变元 p ,则 A* 是 p , v(p)=\ vd(p).
若 A 为 0 , 则 A* 为 1 , v(1)=1=\ 0=\ vd(0).
若 A 为 1 , 则 A* 为 0 , v(0)=0=\ 1=\ vd(1).
若 A 为 BZC ,则 B 和 C 的长度都小于 n , 由归纳假设并且 A* 为 B*[C* . 因此, v(A*) =v(B*[C*) =v(B*)[v(C*) =\ vd(B)[\ vd(C) =vd(\ B[\ C) =\ vd(BZC). □
互为对偶
第 4 节: 对偶定理
4.1定义 设 A 是由 {0,1,\ ,[,Z} 生成的公式, 由以下变换, 得到 A* :
将 [ 和 Z 互换 将 0 和 1 互换 称 A* 与 A 互为对偶式.
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4.1例子 (pZq)[r 与 (p[q)Zr 互为对偶式 \ (pZ0)[1 与 \ (p[1)Z0 互为对偶式 □ □