第七讲 互换的定价

解：设收取的固定利息为k，由公式得
k 0.0480.25 k 0.050.5 k 0.0521 e e e 4 4 4 k 0.05151.25 k 0.0531.5 k 0.0531.75 e e e 4 4 4 k 0.0542 (10000 )e 10000 0 4 解之得，k 543, 即固定利率水平为5.43% （3个月计一次复利）
（10－1200×0.010562）e0.09×3=－201.46（万美元）
故这笔互换的的价值为：
－201.46+12.69+16.47+20.71=－154.3（万美元）
与运用债券组合定价的结果一致。
{ { { { {
6% 6% 6.7% 7.66% 8.12% 8.39% 8% 9% 9.5% 9.5%
2、互换价值的计算
（1）运用债券组合的方法
B flx :互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 B fi :互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。
对B公司而言，这个互换的价值就是：
V互换 B fl B fix
固定利率债券价值的计算
假设：Ti：距第i次现金流交换的时间（1≤i≤n）， A： 利率互换合约中的名义本金额， ri：到期日为Ti的LIBOR连续复利即期利率， k：支付日支付的固定利息额。
是即期汇率（直接标价法）。
–对付出本币、收入外币的那一方：
V互换 S0 BF BD
举例
假设在美国和日本LIBOR利率的期限结构是水平的，在日 本是4％，而在美国是9％（都是连续复利），某一金融机构 在一笔货币互换中每年收入日元，利率为5％，同时付出美元， 利率为8％。两种货币的本金分别为1000万美元和120000万日 元。这笔互换还有3年的期限，即期汇率为1美元＝110日元。
（三）利率互换的两种定价方法
1、定价思路
①将互换分解成一个债券的多头与一个债券的空头的 组合。 ②远期利率协议（FRA）的合约里事先确定将来某一时 间一笔借款的利率。在FRA执行的时候，支付的只是市场利 率与合约协定利率的利差。
举例
考虑一个2003年9月1日生效的三年期的利率互换，名
－2.50
＋0.45
解：（1）利率互换的分解
①上述利率互换可以看成是两个债券头寸的组合。
这样，利率互换可以分解成： B公司按6个月LIBOR的利率借给A公司1亿美元。 A公司按5%的年利率借给B公司1亿美元。 换个角度看，就是B公司向A公司购买了一份1亿美元 的浮动利率（LIBOR）债券，同时向A公司出售了一份1亿 美元的固定利率（5％的年利率，每半年付息一次）债券。

利率互换中固定利率一般选择使互换初始价值为0的 那个利率，在利率互换的有效期内，它的价值有可能是负 的，也有可能是正的。
V互换 B fl B fix 当V互换 0时，B fl B fix 0 此时，浮动利息现金流的现值等于 固定利息现金流的现值。
即
举例：
假设在一笔2年期的利率互换协议中，某一金融机构支付3 个月期的LIBOR，同时收取3个月期固定利率（3个月计一次复 利），名义本金为1亿美元。目前3、6、9、12、15、18、21 个月与2年的贴现率（连续复利）分别为4.8%、5%、5.1%、 5.2%、5.15%、5.3%、5.3%、5.4.第一次支付的浮动利率即为 当前3个月期利率4.8%（连续复利）。试确定此笔利率互换中 合理的固定利率。


6个月后的远期利率为：
现金流的价值为：
5% 0.5 4.8% 0.25 5.2% 0.25
10000 (e4.77%0.25 e5.2%0.25 )e5%0.5 10.581
9个月的远期利率为： 现金流的价值为：
5.1% 0.75 5% 0.5 5.3% 0.25
4.20 4.80 5.30 5.50 5.60 5.90
收到的浮 动利息
支付的固定 利息
净现金流
+2.10 +2.40 +2.65 +2.75 +2.80
－2.50 －2.50 －2.50 －2.50 －2.50
－0.40 －0.10 ＋0.15 ＋0.25 ＋0.30
2006.9.1
6.40
Hale Waihona Puke Baidu
+2.95
固定利率债券的价值为
B fix ke
i 1
n
riTi
Ae
rnTn
浮动利率债券价值的计算


根据浮动利率债券的性质，按面值发行的浮动利率债 券的当前价值为其本金A。
浮动利率债券的价值为：
Bfl A
根据公式，就可以得到互换的价值,即
V互换 Bfl Bfix
二、货币互换的定价
（一）运用债券组合给货币互换定价
–定价思路 –在没有违约风险的条件下，货币互换可以分解成债券 的组合，即一份外币债券和一份本币债券的组合。
–定价方法
–假设 V互换 为货币互换的价值，那么对收入本币、付出外币 的那一方：
V互换 BD S0 BF
• 其中 BF 是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券 的价值；BD是从互换中分解出来的本币债券的价值；S0
试求该互换的价值。
如果以美元为本币，那么：
BD 0.8e0.091 0.8e0.092 10.8e0.093 $964.4万
货币互换的价值为 ：
BF 60e0.041 60e0.042 1260e0.043 123055万日元
如果该金融机构是支付日元收入美元，则货币互换对它的 价值为－154.3万美元。
10000 (e4.770.25 e5.3%0.25 )e5.1%0.75 12.88
作为远期利率协议的组合，这笔利率互换的价值为
0.715 10.581 12.88 24.175 （万美元）
该结果与运用债券组合定出的利率互换价值一致。
3、利率互换价格的确定
举例
假设在一笔利率互换合约中，某一金融机构支付3个月期 的LIBOR，同时收取4.8％的年利率（3个月计一次复利），名 义本金为1亿美元。互换还有9个月的期限。3个月、6个月和9 个月的LIBOR（连续复利率）分别为4.8％、5％和5.1％。试 计算此利率互换对该金融机构的价值。
解：在该例中， k 120 万美元。
0.009091e0.052 0.010047
(0.8 60 0.010047)e0.092 $16.47万
三年期
0.009091e
0.053
0.010562
(0.8 60 0.010562)e0.093 $12.69万
与最终的本金交换等价的远期合约的价值为：
②上述利率互换也可以看成是一系列的远期利率的组合。

远期利率协议FRA可以看成一个将用事先确定的利率
交换市场利率的合约，利率互换看成是一系列用固定利率 交换浮动利率的FRA合约。
（2）利率互换分解的结论

对B公司而言，该利率互换的价值就是浮动利率债券
与固定利率债券价值的差。

只要知道利率的期限结构，就可以计算出FRA对应的 远期利率和FRA的价值，计算出利率互换的价值。
123055 964.4 $154.3万 110
（二）运用远期组合给货币互换定价
– 定价思路与方法
– 货币互换还可以分解成一系列远期合约的组合，货币 互换中的每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现 金流来代替。因此只要能够计算货币互换中分解出来 的每笔远期外汇协议的价值，就可以知道对应的货币
个月的LIBOR（连续复利率）分别为4.8％、5％和5.1％。试
计算此利率互换对该金融机构的价值。
解：3个月计一次复利的4.8%对应的连续复利利率为
4 ln(1 4.8% ) 4.77% 4

现金流的价值为：
10000 (e4.77%0.25 e4.8%0.25 )e4.8%0.25 0.715
互换的价值。
举例
由前例知，即期汇率为1美元＝110日元，或者是1
日元＝0.009091美元。因为美元和日元的年利差 为5％，根据 ，试计算该互
换的价值。
期数 一年期 二年期
远期汇率
0.009091e0.051 0.009557
远期合约价值
(0.8 60 0.009557)e0.091 $20.71万
义本金是1亿美元。B公司同意支付给A公司年利率为5％的 利息，同时A公司同意支付给B公司6个月期LIBOR的利息， 利息每半年支付一次。
利率互换中B公司的现金流量表（百万美元）
日期
2003.9.1 2004.3.1 2004.9.1 2005.3.1 2005.9.1 2006.3.1
LIBOR(5%)
第七讲
互换的定价
一、利率互换的定价


（一）定价思路
在假设无违约风险的情况下，对利率互换进行分解 – – 分解成一个债券的多头与一个债券的空头。 分解成一个远期利率协议的组合来定价。
（二）贴现率选择


定价时现金流通常用LIBOR零息票利率贴现。
LIBOR反映了金融机构的资金成本。其隐含假设是被 定价的衍生工具的现金流的风险和银行同业拆借市场的风 险相同。
1
2
3
4
5
B fix 120e0.0480.25 120e0.050.5 10120e0.510.75 9975.825(万美元)
Bfl 10000 （万美元）
利率互换的价值为： 9975.825－10000＝－24.175（万美元）
（2）运用远期利率协议的方法

已知利率的期限结构，从中估计FRA对应的远期利率
与息差现值，即可得到每笔FRA的价值，加总即可得到利 率互换的价值。

利率互换价值计算公式
[ Ae
rK (T T )
Ae
rF (T T )
]e
r (T t )
计算步骤
– 计算远期利率
– 确定现金流 – 将现金流贴现
举例（同前例）
假设在一笔利率互换合约中，某一金融机构支付3个月期 的LIBOR，同时收取4.8％的年利率（3个月计一次复利），名 义本金为1亿美元。互换还有9个月的期限。3个月、6个月和9