模糊控制的数学基础-2(3-1至3-15)模糊关系、逻辑及运算

举例eg 1 y=sinx, x ∈(-∞,+∞)，y ∈[-1,+1]，由于［－1,＋1］是y 轴的一个子集，故这个映射是x 到y 内的映射，是属于“非全射”。

eg 2 y=x 2, x ∈(-∞,+∞), y ∈(0,+∞)。

这是由x 到y 内的映射，也属于“非全射”。

eg 3 y=x 3, x ∈(-∞,+∞), y ∈(-∞,+∞)。

这个映射是由x 射到y 轴上的映射，属于“全射”。

并且也是“单射”，同时也是“一一映射”。

Ch 3 Fuzzy 控制理论的预备知识§3－1 Fuzzy 关系与Fuzzy 关系图一 Fuzzy 关系~R 第二章讲过，所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。

现在把它扩展到Fuzzy 集合中来，可定义如下：所谓A 和B 两集合的直积A ×B ＝﹛(a ，b)|a ∈A ，b ∈B ﹜中的一个模糊关系~R ，是指以A ×B 为论域的一个Fuzzy 子集，其序偶(a ，b)的隶属度为 ~R μ (a ，b)，可见~R 是二元Fuzzy 关系。

3-1Nose ：当A=B 时，我们称之为“A 面上的Fuzzy 关系”R 。

eg ． 要求列出集合A=﹛1，5，7，9，20﹜“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系~R 。

解：直积空间R ＝A ×A 中有25个“序偶”，其中R 1=﹛(20,1)，(20,9)，(20,7)，(20,5)，(9,7)，(9,5)，(9,1)，(7,5)，(7,1)，(5,1)﹜ 是满足“前元比后元大”的子集。

~0.50.70.810.10.30.950.10.90.85(5,1)(7,1)(9,1)(20,1)(7,5)(9,5)(20,5)(9,7)(20,7)(20,9)R =+++++++++ 上式中分子的值即是按人的判断结果给出的相应满足“前元比后元大得多”的程度，还有一种求法是利用适当的隶属函数来确定。

~21,201(,)()0,R y x x y x y y xμ⎧<⎪⎪+=⎨-⎪≥⎪⎩x=20，y=1 代入得~R μ(20,1)≈0.95 x=20，y=5 代入得~R μ(20,5)≈0.92 x=20，y=7 代入得~R μ(20,7)≈0.89 x=20，y=9 代入得~R μ(20,9)≈0.85 ┇~R μ(20,1)=0.95,表明20>>1的程度为0.95。

~R μ(7,5)=0.1，表明7>>5的程度仅为0.1。

(确切的：满足“前元比后大得多”的程度)。

3-2综上所述，只要给出直积空间A ×B 中的Fuzzy 集~R 的隶属函数~(,)R a b μ，集合A 到B 的Fuzzy 关系~R 也就确定了。

Fuzzy 关系~R 实质上是一个Fuzzy 子集，因此其运算完全服从第二章所述的Fuzzy 子集的运算规则。

① 自返性：一个Fuzzy 关系~R ，若∀x ∈X ，必有~(,)R x x μ＝1，即每个元素x 与自身隶属于Fuzzy 关系~R 的隶属度为1，称这样的为具有自返性的Fuzzy 关系。

② 对称性：一个Fuzzy 关系~R ，若∀x ，y ∈X ，均有 ~~(,)(,)R R x y y x μμ=即（x ，y ）隶属于Fuzzy 关系~R 和(y ，x) 隶属于Fuzzy 关系~R 的隶属度相同，则~R 为具有对称性的Fuzzy 关系。

③ 传递性：一个Fuzzy 关系~R ，若∀x ，y ，z ∈X ，均有 ~~~(,)min (,),(,)R R R x z x y y z μμμ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦即（x ，z ）隶属于Fuzzy 关系~R 的隶属度小于（x ，y ）和(y ，z) 隶属于Fuzzy 关系~R 的隶属度中较小的那一个，则称~R 为具有传递性的Fuzzy 关系。

3-3举例：“相像关系”具有自反性，因为某人自己像自己的隶属度显然为1，而“仇敌关系”不具自反性，因为某人都不会与自己为敌。

“相像关系”又具有对称性，如甲像乙，必然乙也像甲。

“相爱关系”就不具有对称性，因为甲爱乙，乙不一定爱甲。

“大得多”的关系具有传递性，如甲比乙大得多，乙又比丙大得多，则甲比丙大得多。

“相像关系”就不具有传递性，甲像乙，乙像丙，但甲不一定像丙。

④ 模糊等容关系即具有自反性，又具有对称性的模糊关系~R 称为模糊等容（相容）关系。

上述的相像关系就是一种模糊关系，而不是模糊等价关系。

模糊关系是普通关系的推广。

在模糊某合论中，模糊关系占有重要地位。

普通关系是描述元素之间是否有联系，而模糊关系则描述元素之间的关联程度有多少。

（绝对稳定与相对稳定）.⑤ 模糊等价关系如果论域上的一个模糊关系~R 满足条件 ① 自反性：~(,)1R x x μ=② 对称性：~~(,)(,)R R x y y x μμ=③ 传递性：2R R ⊆则模糊关系~R 叫做X 上的一个等价关系。

3-4 ２．Fuzzy 矩阵和关系图当论域A ×B 为有限集时，Fuzzy 关系~R 可以用矩阵来表示。

Fuzzy 矩阵是研究Fuzzy 关系的重要函数。

eg ． 有一组学生组成集合X ：X ＝﹛张三，李四，王五﹜设他们可任选的外语课有四门，组成集合Y ：Y ＝﹛英，日，德，法﹜并且他们的期末考试成绩如下表姓名 语种 成绩张三 英语 ８０张三 法语 ８５李四 德语 ９５王五 日语 ６５王五 英语 ７８ 如果把他们的成绩都除以100，折合成隶属度，则可认为他们和考试成绩之间构成X ×X 上的一个Fuzzy 关系~R ，如下表所示：~R 英语 日语 德语 法语 张三 0.80 0 0 0.85 李四 0 0 0.95 0 王五 0.78 0.65 0 0 3-5把它写成矩阵形式，即得~0.80000.85000.9500.780.6500R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称此矩阵为“Fuzzy 矩阵”。

其中每一个元素都在［0，1］闭区间取值，这是普通关系矩阵的扩展。

Fuzzy 矩阵也可用相应的Fuzzy 关系图来表示，本例中所对应关系图如图3－1所示。

Note ：1) 若~R 是连续或无限的，则不能用Fuzzy 矩阵和Fuzzy 关系图来表示，但有时可抽出几个离散点用Fuzzy 矩阵来处理。

2) 若论域A ×B 为有限集时，Fuzzy 关系~R 可以表达成矩阵形式：式中，0≤ij r ≤1；i=1,2,…,n ；j=1,2,…,m 。

3) 当我们用Fuzzy 矩阵来表现Fuzzy 关系~R 时，其中的ij r 应当能表示集合A中第i 个元素和集合B 中第j 个元素组成的序偶隶属于Fuzzy 关系~R 的程度。

3-6 三．Fuzzy 关系矩阵的运算和应用1．Fuzzy 关系矩阵的运算① 矩阵“并”定义：设Fuzzy 矩阵~A =[a ij ]和~B =[b ij ]，若有c ij =∨[a ij ，b ij ]=a ij ∨b ij ,则称~C =[c ij ]为Fuzzy 矩阵~A 和~B 的并，简记为~C =~A ∪~B 。

2．矩阵“交”定义：设Fuzzy 矩阵~A =[a ij ]和~B =[b ij ]，若有c ij =∧[a ij ，b ij ]=a ij ∧b ij ,则称~C =[c ij ]为Fuzzy 矩阵~A 和~B 的交，简记为~C =~A ∩~B 。

3．矩阵“补”定义：设Fuzzy 矩阵~A =[a ij ]，则~A -＝1ij a ⎡⎤-⎣⎦称为~A 的补。

４．矩阵“积”定义：若有Fuzzy 矩阵~A 和~B ,且~A =[a ij ]，~B =[b ij ]，令~C =~A ο~B ，且~C 中的元素C ij =1n R V >[a ik ∧b kj ]。

3-7 则称~C 为Fuzzy 矩阵~A 和~B 的积。

（Fuzzy 矩阵的积对应于Fuzzy 关系的合成）。

eg ． ~A =0.50.30.40.8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，~B =0.80.50.30.7⎡⎤⎢⎥⎣⎦~A ∪~B =0.50.80.30.50.40.30.80.7∨∨⎡⎤⎢⎥∨∨⎣⎦=0.50.30.30.7⎡⎤⎢⎥⎣⎦~A ∩~B =0.50.80.30.50.40.30.80.7∧∧⎡⎤⎢⎥∧∧⎣⎦=0.50.30.30.7⎡⎤⎢⎥⎣⎦~A -=10.510.310.410.8--⎡⎤⎢⎥--⎣⎦=0.50.70.60.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ~A ο~B =(0.50.8)(0.30.3)(0.50.5)(0.30.7)(0.40.8)(0.80.3)(0.40.5)(0.80.7)∧∨∧∧∨∧⎡⎤⎢⎥∧∨∧∧∨∧⎣⎦=0.50.50.40.7⎡⎤⎢⎥⎣⎦~B ο~A =(0.80.5)(0.50.4)(0.80.3)(0.50.8)(0.30.5)(0.70.4)(0.30.3)(0.70.8)∧∨∧∧∨∧⎡⎤⎢⎥∧∨∧∧∨∧⎣⎦=0.50.50.40.7⎡⎤⎢⎥⎣⎦但一般~A ο~B ≠~B ο~A ，~A =0.80.70.50.3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，~B =0.20.40.60.9⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ~A ο~B =0.60.70.30.4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，~B ο~A =0.40.30.70.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

3-8 2．Fuzzy 关系的应用举例eg1．某家中子女与父母的长相相似关系~R 为一Fuzzy 关系，可表示为该家中父母与祖父母的长相相似关系~S 也为一Fuzzy 关系，可表示为Fuzzy 关系~R 和~S 的合成，即Fuzzy 矩阵的积~R ο~S ，即 ~R ο~S ＝0.80.20.10.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ο0.50.70.10⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝(0.80.5)(0.20.1)(0.80.7)(0.20)(0.10.5)(0.60.1)(0.10.7)(0.60)∧∨∧∧∨∧⎡⎤⎢⎥∧∨∧∧∨∧⎣⎦＝0.50.70.10.1⎡⎤⎢⎥⎣⎦≠~S ο~R ，把矩阵改写成Fuzzy 关系，得这一例子说明，Fuzzy 矩阵相乘时先取小后取大具有生活中的现实意义。

3-9 定义：若R 是集合X 上的Fuzzy 关系，则称~R ο~R ＝~R 2为X 上~R 的二级Fuzzy 关系 ~R 2ο~R ＝~R 3为X 上~R 的三级Fuzzy 关系 ┇~R n-1ο~R =~R n 为X 上~R 的R 级Fuzzy 关系 利用Fuzzy 关系来进行对某种事件的分类，是有实用价值的。

eg 2． 今有五个古生物标本，组成一集合A ，即A ＝﹛a 1，a 2，a 3，a 4，a 5﹜,根据试验结果，它们间的相似性如下图所示，其中a 1与a 2间的连线上的0.8表示它们相似的程度（即对于相似的Fuzzy 关系的隶属度）。