第7章 利率期限结构：动态模型

动态利率模型的基本框架
动态利率模型的建模对象 瞬时即期利率（瞬时利率）：到期期限趋于 零的即期利率（很短时间投资于无风险资产的 收益率），记作 r t 。
货币市场账户：0时间存入1元钱，以无风险利 率连续增长，在t时刻的价值 M t e r sds 。
t 0
只要瞬时利率的变化规律已知，就可以推知任 意到期期限的即期利率的动态过程（Why？）
- ò r (s )ds % P (t ) = E t [e t P (T )]
T
可交易资产当前的价格等于该产品T时刻的价值在风 险中性测度下按照无风险利率贴现至t时刻的期望值 。
9/18/2018
固定收益证券
19
第一节 动态利率模型概述
偏微分方程法（前提市场无套利）： 构造可交易资产的无风险组合 偏微分方程 求解偏微分方程 利率产品的价格用瞬时利率随机过程的参数表示。 等价鞅测度法（市场风险价格存在）： 通过市场风险价格找到与现实测度等价的风险中性 测度； 所有可交易资产价格对数漂移项为无风险利率； 所有可交易资产的贴现价格是鞅过程(无漂移项)。 利率产品定价通过风险中性期望求得。
利率ຫໍສະໝຸດ Baidu时间内 的确定性变化 随机项
对标准随 机波动的 放大倍数， 波动率
瞬时利率运动 的随机源，瞬 时利率围绕第 一项随机波动
dz t (t ) dt
(t ) ~ N (0,1)
固定收益证券 6
9/18/2018
第一节 动态利率模型概述
r(0),r(0)+dr(1), r(0)+dr(1)+dr(2),…瞬间利率可能 的一条动态路径； (t ) 取值不同，不同动态路径。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
9/18/2018 固定收益证券 8
第一节 动态利率模型概述
dr t r r t , t dt r r t , t dz t
t T
T t
1 s R 0, s f 0, d s 0
9/18/2018 固定收益证券
p159
5
第一节 动态利率模型概述
瞬时利率的 漂移率，时 刻t已知
dr t r r t , t dt r r t , t dz t
即期利率与瞬时利率
给定瞬时利率在t时刻的初始值及其动态过程， t时刻的任意期限即期利率（利率期限结构）及其 动态的时变特征， 利率产品价格。
9/18/2018 固定收益证券 4
~ 1 R t,T ln E t [e t T t
T
r s ds
]
第一节 动态利率模型概述
9/18/2018
固定收益证券
9
第一节 动态利率模型概述
动态利率模型的分析框架
动态利率模型整条利率期限结构利率产品定价。
dr t r r t , t dt r r t , t dz t 伊藤引理：由随机变量动态模型推导随机变 量函数的动态模型。 dz(t)为标准布朗运动； dr t r r t , t dt r r t , t dz t r(t)服从伊藤过程； 那么r(t)的函数的随机过程？
(W2 B r , t , T2 W1 B r , t , T1 )dz t
B r, t , T2 W1 W2 B r, t , T1
=0，波动率为0。
T时刻，是一个无风险的 组合
9/18/2018 固定收益证券 12
第一节 动态利率模型概述
在新测度下
dP P (r , t )dt P (r , t )dz t P 原来的漂 dP r (t )dt P
移项中扣 除风险溢 价部分 波动率 一样
% P (r , t )dz t
16
9/18/2018
固定收益证券
第一节 动态利率模型概述
%下漂移率均为无风险 无论实际风险多大，新测度 Q 利率——风险中性测度； 波动率在现实测度和风险中性测度下都一样。
9/18/2018
固定收益证券
14
第一节 动态利率模型概述
等价鞅测度法
测度转换 给不同状态（������）以不同概率。例如从现实的风险 厌恶测度转到风险中性测度，实际上是给不好的 情形以较高的概率（主观概率），期望值下降。 概率中已经体现了风险，贴现时就无需再体现风 险，只需以无风险利率贴现。 1）实际概率对应实际期望，风险态度体现在贴现 率当中； 2）风险中性概率对应主观期望，风险态度体现在 概率中，贴现率只需使用无风险利率。
无套利条件下，该组合只能获得为无风险收益：
dW (t ) (W2 B r, t, T2 W1B r, t, T1 )dt r(t )W (t )dt
整理可得
B r, t , T1 r (t ) B r, t , T2 r (t ) B r, t , T1 B r , t , T2
0到t按无风险利率贴现的贴现因子 t t r s ds r s ds 1 0 0 M t e ; D(t ) e M (t ) dD(t ) r (t ) D(t )dt 在现实测度下，经无风险利率贴现的资产价格服从
d [ D(t ) P(t )] D(t )dP(t ) P(t )dD(t ) D(t )[ P (r , t ) P(t )dt P (r , t ) P(t )dz t ] P(t )r (t ) D(t )dt [ P (r , t ) r (t )]D(t ) P(t )dt P (r , t ) D(t ) P(t )dz t (r , t ) P (r , t ) D(t ) P(t )dt P (r , t ) D(t ) P(t )dz t P (r , t ) D(t ) P(t )[ (r , t )dt ) dz t ]
9/18/2018 固定收益证券 20
第一节 动态利率模型概述
动态利率模型与静态利率模型 动态利率模型的基本分析与运用思路
驱动利率变动的风险源头dz(t)， 构建瞬时利率或瞬时远期利率的随机过程:
dr t r r t , t dt r r t , t dz t
获得未来的特定时间瞬时利率的分布； 推断即期利率； 整条利率期限结构； 远期利率的动态变化； 利率产品定价。
9/18/2018
固定收益证券
7
第一节 动态利率模型概述
0.031 路径1 路径2 路径3 路径4 路径5
0.029
0.027
0.025
0.023 0.021 0.019 0.017 0.015
第七章 利率期限结构：动态模型
2016-03-02
固定收益证券
1
为何需要动态模型？
普通的债券、利率远期、利率期货和利率互换， 由当前静态利率期限结构的信息即可定价。 利率期权产品：还需要利率波动的信息（期权价 格的决定因素有哪些？） 动态模型（DTSMs）：刻画未来利率期限结构分 布。
第一节 动态利率模型概述
瞬时远期利率：t时刻，从未来某一时刻T开始 、很短一段时间内的远期利率，记作 f t, T 。 贴现因子（零息票债券）与瞬时远期利率
B t , T e t

T
f t , s ds
ln B t , T f t,T T
即期利率与瞬时远期利率
f t, s ds R t, T
% 在风险中性测度下 d[D(t )P(t )] P (r, t )D(t )P(t )dz t
9/18/2018 固定收益证券 18
第一节 动态利率模型概述
风险中性测度下，任何经无风险利率贴现的资产价 格过程漂移项都为零，是一个鞅过程（未来的期望 等于当前值的一种随机过程）。
%( D(T ) P(T )) D(t ) P(t ) E t
等价测度：对于概率为0和概率为1的事件看法是一 致的。 称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一 个测度下； 在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度 下必然也是无风险组合； 等价测度意味着“哪些情形可能出现”是一致的 ，不同的只是发生的概率。
9/18/2018 固定收益证券 17
第一节 动态利率模型概述
9/18/2018 固定收益证券 15
第一节 动态利率模型概述
戈萨诺夫定理：通过瞬时利率的市场风险价格 (r , t ) % 将原测度Q下的标准布朗运动，转化为等价新测度 Q 下的标准布朗运动。
% dz t dz t (r, t )dt
在原测度下，只取决于r(t)和t的任一利率产品的价格 的随机过程
9/18/2018
固定收益证券
10
第一节 动态利率模型概述
B B 1 2 2 B B dB r r 2 dt r (r , t )dz t r 2 r r t dB 1 B B 1 2 2 B 1 B r r 2 dt r (r , t )dz t B B t r 2 r B r dB B r , t , T dt B r , t , T dz t B
9/18/2018 固定收益证券 3
第一节 动态利率模型概述
贴现因子（零息票债券）与瞬时利率
B t, T e
R t ,T T t
E t [e t
~
T
r s ds
]
T到期、面值1元的无风险零息债在t时的价格=T时 的1元在风险中性测度下按每个瞬时即期利率连续 贴现至t时刻的现值的期望值。
9/18/2018
固定收益证券
13
第一节 动态利率模型概述
根据产品特征设定边界条件（不同利率产品的不 同之处在于边界条件） 无风险零息债：B(T,T)=1（到期时价值为1）。可 得无风险零息债券价格的解（用瞬时利率随机过程 的参数来表达） 期权边界条件：涉及资产到期价格与期权执行价 格。 求解PDE A. 解析解 B. 数值方法
B r, t , Ti r (t ) B r, t , Ti
对任意Ti都有 (r, t ) 可得偏微分方程：
，超额收益率
与波动率的比率，瞬时利率的市场风险价格。
B B 1 2 2 B ( r (r , t ) r (r , t ) (r , t )) r (r , t ) 2 r (t ) B(t , T ) 0 t r 2 r
9/18/2018
固定收益证券
11
第一节 动态利率模型概述
偏微分方程法（无套利法）
构造PDE 构造无风险组合（无风险组合在无套利条件下只 能获得无风险利率） dW 卖空债券1：T1 时刻到期，价值 W r, t , T1 dz t 1 W1 B r , t , T1 dt W 1 B 1； r , t , T2 dz t 买入债券2：TdW W 2 W2 B r , t , T2 dt W 2 2时刻到期，价值 2B。 dW W(t)=W (t ) (W2 B 2 r, t, T -W W1B r, t , T1 )dt t时刻总价值： 12
通过伊藤引理从模型内生出瞬时利率和时间的函数 的随机过程:
dB B r , t , T dt B r , t , T dz t B PDE或者鞅测度方法为利率产品定价B。