旋转法的妙用
妙用旋转巧解题
妙用旋转巧解题旋转只改变图形的位置,而不改变图形的大小和形状,通过这样的变换可以将题目中的条件相对集中,从而使条件与待求结论之间的关系明朗化,有利于问题的解决。
旋转一般用于等腰三角形、正三角形、正方形和正多边形的图形中,选好旋转中心和旋转角是关键。
现举例说明妙用旋转来巧解问题。
例1 如图(1)所示,p为正三角形abc内的一点,∠apb=109°,∠apc=137°,试说明以ap、bp、cp为边是否能构成一个三角形?若能请说明理由,并求出所构成三角形各个内角的度数。
图(1)分析:以点b为中心将△apb围绕点b顺时针旋转60°,那么问题就可以迎刃而解。
解:以点b为中心将△apb围绕点b顺时针旋转60°,得到如图(1)所示的图形,p点的对应点是d点,a点的对应点是c点,并连接pd,所以ap=cd,bp=bd,∠pbd=60°∴△bpd是等边三角形∴dp=bp∴△cpd是以cd(=ap)、dp(=bp)、cp为三边构成的三角形.即以ap、bp、cp为边能构成一个三角形.∵△bpd是等边三角形∴∠bdp=∠bpd=60°∵∠bdc=∠apb=109°∴∠pdc=∠bdc-∠bdp=109°-60°=49°又∵∠bpc=360°-∠apb-∠apc=360°-109°-137°=114°∴∠cpd=∠bpc-∠bpd=114°-60°=54°∴∠pcd=180°-∠cpd-∠pdc=180°-54°-49°=77°评析:本题是利用旋转构造一个以三边为长度的三角形,而不是利用三边的关系来说明三角形的构成的常用方法。
例2 如图(2)所示,p为正方形内任一点,若pa:pb:pc=1:2:3,求∠apb的度数.图(2)分析:将△abp绕点b顺时针旋转90°得△cbe,连接pe,把已知条件集中到△pce中,促使问题方便解决。
巧用旋转法解几何题资料讲解
巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。
例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
解：作MC⊥CP，使MC=CP，连接PM，BM∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ）∴MB=AP=3∵PC=MC ，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MC PC =22PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2+PM 2=（22）2+12=9=BM 2∴⊿MPB 是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。
初中数学利用旋转巧解几何题学法指导
初中数学利用旋转巧解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角，利用其性质可以解一些几何题，对同学们在解此类问题时有所帮助，下面举例说明。
一、旋转在解三角形中的应用例1 如图1所示，P 是等边三角形ABC 内的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC 的边长。
图1 分析：PA 、PB 、PC 比较分散，可利用旋转将PA 、PB 、PC 放在一个三角形中，为此可将△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°可得△BHC 。
解：把△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°得到△BHC 。
因为BP=BH ，∠PBH=60°所以△BPH 是等边三角形所以∠BPH=60°，所以BP=PH 32=又因为HC=PA=2，PC=4所以222HC HP PC +=所以△HCP 是Rt △，所以∠CHP=90°又因为HC=2，PC=4所以∠HPC=30°又因为∠BPH=60°，所以∠CPB=90° 在Rt △BPC 中，222224)32(PC BP BC +=+==12+16=2872BC =，那么△ABC 的边长为72。
例2 如图2，O 是等边三角形ABC 内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？图2解：可将△BOC 绕B 点按逆时针方向旋转60°可得△BMA 。
因为BO=BM ，∠MBO=60°所以△BOM 是等边三角形，所以∠1=∠2=60°又因为∠AOB=115°，所以∠MOA=55°又因为∠AMB=∠COB=125°所以∠AMO=65°又因为AM=OC ，MO=BO所以△AMO 正好是以AO 、OC 、BO 为边组成的三角形， 所以∠MAO=180°－（55°+65°）=180°－120°=60°即：以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°。
旋转思想在数学解题中应用PPT课件
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详细描述
在几何问题中，旋转思想常用于解决一些 涉及不规则图形的问题。通过旋转，可以 将不规则图形转化为规则图形，如矩形、 圆形等，从而更容易找到解题思路。例如 ，在解决几何证明题时，可以通过旋转图 形，将问题转化为更容易证明的形式。
三角函数问题实例
总结词
旋转思想在三角函数问题中的应用，主要是 通过将复杂角度的三角函数值转化为简单角 度的三角函数值，降低解题难度。
旋转思想在数学中的地位和作用不可忽视。它不仅可以帮助我们解决一些经典的 问题，还可以引导我们探索新的数学领域，推动数学的发展。
未来发展方向和挑战
随着科技的不断发展，旋转思想在数学中的应用将更加广泛 。未来，我们可以借助计算机技术，实现更高效的旋转计算 和模拟，进一步拓展旋转思想的应用领域。
然而，旋转思想在数学中的应用也面临着一些挑战。如何将 旋转思想与其他数学思想结合，如何解决复杂问题中的旋转 问题，都是我们需要深入思考和探索的问题。同时，我们也 需要培养更多的数学人才，推动数学的发展。
旋转思想在数学解题中应 用ppt课件
• 引言 • 旋转思想的基本原理 • 旋转思想在数学解题中的应用 • 旋转思想解题的步骤和技巧 • 旋转思想解题的实例分析 • 总结与展望
01
引言
旋转思想的定义
• 旋转思想：指在数学解题过程中，通过观察、分析、归纳和演 绎等思维方式，将复杂的问题转化为简单的问题，或者将未知 的问题转化为已知的问题，从而找到解决问题的方法和思路。
确定旋转中心
选择适当的点作为旋转中心，通 常为图形中的特殊点或对称点。
确定旋转角度
根据题目要求，确定图形需要旋 转的角度。
分析旋转前后的图形关系
找出旋转前后的对应点
论旋转思想在初中数学解题中的妙用
论旋转思想在初中数学解题中的妙用摘要：众所周知，几何对象旋转时绕着不同的旋转点、旋转不同的角度而得到的结果是不同的。
为更好地运用旋转思想解答初中数学习题，学生应明确不同对象在旋转过程中遵循的一般规律，将其作为解题的条件灵活应用，顺利构建相关参数之间的联系，为成功解题奠定基础。
关键词：旋转思想；初中数学；解题妙用引言在新的教育时代背景下，初中数学教材的内容越来越有条理地与现实生活相联系，在教材中增加了图形变化，包括旋转、折叠和翻译，其中旋转思想广泛用于几何问题，也是近年来中考中经常出现的一个热点。
在初中数学解题教学中，教师应指导学生根据题目实际情况巧妙运用旋转思想，降低试题的难度，使他们快速找到突破口，最终顺利解题。
一、用于求解点的坐标求解点的坐标是初中数学的常考问题。
将该问题与图形旋转结合起来，问题难度会有所增加。
但是在旋转思想指引下，把握旋转过程中变与不变的量，借助线段以及角度关系，不难作答。
教师在教学实践中应结合习题与学生一起分析旋转的对象是什么，是如何旋转的，旋转的结果是什么，为顺利求解出点的坐标做铺垫。
在此基础上引导学生从要求的问题出发，采用逆向推理方法，逐渐求解未知量。
例1.如图1，正方形ABCD的顶点B为原点，点D的坐标为（4，4），AB绕点A逆时针旋转60°，点B刚好落在B′，DE⊥BB′于点E，则点E的坐标为（）A（3--1）B（3-+1）C（3+-1）D（3++1）审题可知题目涉及的旋转对象为线段，旋转要求为绕着其中一个端点旋转。
由旋转的性质知，线段绕着端点旋转，变化的量有：线段的位置、线段的另一个端点的位置。
不变的量有：线段的长度。
结合旋转的角度为60°可判断出△ABB′为等边三角形。
等边三角形有很多可以利用的性质，在该题中主要运用等边三角形中各个内角为60°，以角度为桥梁便能求解其他未知的线段长度。
当然解答该题时为更好地揭示线段之间的关系需作出辅助线。
旋转法名词解释
旋转法名词解释《旋转法》是一种教学技术，它是教学中有效的一种方法。
借助这种方法，教师可以有效地达到教学目标，帮助学生更好地理解概念，重新整合新知识。
这种方法给学生带来更多的学习机会，让他们进行深入的系统性思考，从而提高学习成果。
旋转法的基本思想是让学生自己发现和学习相关知识。
该法的核心在于运用团队合作的技能，共同探讨解决问题，从多角度思考问题。
多组学生在同一个时间内从不同角度跟踪讨论某一个话题，或者某一个问题，通过学生之间的交流，共同完成一件任务或学习某一课程，学习者在学习过程中从分组交流或讨论中学习到知识。
旋转法的教学模式首先为教师设定目标和要求，根据学生的学习情况和状况组成学习小组，教师需要给每个小组一个统一的概念，比如生物学中的某一概念，地理学中的某一概念，经济学中的某一概念。
然后让学生自己分析、讨论，这样他们就可以自己学习了，而不是等待老师一个个地教给他们知识。
因此，学生在学习过程中就会带着问题去思考，从而提高了他们的学习效果。
旋转法为教师提供了多样化的教学，它使学生拥有更多的参与机会，激发他们的学习兴趣，促进学习的深入思考，让学生学会思考，加深学习的印象，而不需要老师一遍遍地讲解。
另外，旋转法也可以帮助学生增强团队协作的能力，加强学生的思维能力，培养学生的自主学习能力，以及解决问题的能力。
旋转法虽然具有很多优点，但仍有一些潜在的问题和挑战，其中比较关键的是学生们在不同组别之间的小组协作重新组合和教师的监督问题。
组织一个小组研究，需要考虑让学生不断扩大学习视野的问题，让学生更加清晰地认识、理解知识点，并且能够把学习内容与实际生活相结合。
除此之外，在小组学习过程中，教师还需要间断性地进行指导，以及适当地改正和提高前一组学生的讨论效果，而不是仅仅在一开始展开讨论后就离开。
旋转法是一种有效的教学技术，它能有效地激发学生的学术兴趣，提升学习成果，培养学生自主学习的能力，促进学生的团队合作能力。
另外，教师在运用旋转法时，要了解学生的优点和不足，有效地分组，以及给予学生适当的指导及反馈，以保证学生获得更多的学习机会，最终达到教学目标。
浅谈图形旋转的巧用
浅谈图形旋转的巧用李梦达对于图形的运动，我们往往很难动态地把握图形特点，导致它成为几何教学中的难点，但如能熟练运用，可以巧妙地解决相关问题，其中图形的旋转尤为突出。
旋转的核心有两个，即旋转中心与旋转角，只有紧紧抓住这两点 ，方能更好地理解、应用。
例1：如图（1），在矩形ABCD 中，CD ＝2，将三角尺的30°角的顶点与A 重合，一边与AD 重合，另一边过点C 。
当顺时针转动三角尺α（0°≤α≤60°）度时，求三角尺与矩形重合部分的面积（用含α的代数式表示）。
分析：三角尺的转动实际上可以看作∠DAC 的旋转，其中A 为旋转中心。
从图形的运动分析可以得到两类图形，如图（2）与图（3）。
解：∵∠DAC ＝30°，∠CDA ＝90°，CD ＝2，∴AD=CD ·ctg30°＝（1）如图（2），当0°≤α≤30°时，在Rt △ADE中，DE=AD tg αα=在Rt △ADE 中，BF=AB tg(60)2(60)tg αα︒-=︒- ∴162ADE S AD DE tg α∆== ， 12(60)2ABF S AB BF tg α∆==︒- ∴ADE ABF ABCD S S S S ∆∆=--矩形6tg 2(60)tg αα=-︒- （2）如图（3），当30°<α≤60°时，在Rt △ABE 中，2BE AB ctg ctg αα==， 在Rt △ABF 中，(60)2(60)BF AB tg tg αα=︒-=︒-∴22(60)EF BE BF ctg tg αα=-=-︒- ∴122(60)2S EF AB ctg tg αα==-︒- 综上所述，当0°≤α≤30°时，S 6tg 2(60)tg αα=-︒-； 当30°<α≤60°时，22(60)S ctg tg αα=-︒-。
如何借助旋转教学方式打造生动有趣的授课场景
在现代教育中，借助旋转教学方式是一种非常有效的教学方法，它可以帮助教师创造出生动有趣的授课场景，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
本文将详细介绍如何借助旋转教学方式打造生动有趣的授课场景。
一、旋转教学方式的概念及优点旋转教学方式是一种基于小组合作的教学方法。
它将学生分成若干小组，在每个小组中，教师为学生设置了不同的学习任务。
学生需要在一定的时间内完成任务，然后按照旋转方式，到下一个小组继续新的学习任务。
这种方式可以帮助学生在短时间内接触到多个主题，并通过合作学习来提高学习效果。
与此同时，旋转教学还可以帮助建立团队合作意识和领导力。
旋转教学方式的优点主要有以下几个方面：1.可以让学生在更短的时间内接触到更多的知识和技能。
2.可以激发学生的学习兴趣，提高学生的主动性和积极性。
3.可以帮助学生形成有效的团队合作意识。
4.可以让学生学会领导，并提高学生在小组中的参与度和表现水平。
二、旋转教学方式的应用场景旋转教学方式适用于各种各样的学科和课程，特别是在学习体验和技能培养方面更为有效。
以下列举几个适用于旋转教学方式的场景：1.语言学习：小组之间可以针对不同的语言技能进行练习并互相分享经验。
例如练习听力、口语、读写等方面。
2.科学实验：小组可以在不同的实验室中进行不同的实验，然后将结果合并在一起得出更加准确的结论。
3.数学学习：小组之间可以互相辅导，共同解决问题和学习新的数学知识。
4.艺术教育：可以在小组内部进行互评，提升学生的审美能力和创造力。
5.就业技能培训：通过小组合作的方式分配角色，让学生更好地体验工作场景，并帮助他们学习技能。
三、如何打造生动有趣的授课场景1.设计任务环节教师需要根据学生的实际情况，制定出符合他们年龄、认知、兴趣等方面的学习任务。
同时，教师还应该结合教学内容，从多角度进行设计，让学生在学习的过程中可以全方位地接触到相关知识和技能。
2.制定时间规则旋转教学方式的时间规则也非常重要。
旋转法的名词解释
旋转法的名词解释旋转法是一种在几何学和物理学中常见的概念，它用于描述物体或系统在固定点或轴周围的旋转运动。
旋转法在多个学科领域都有广泛的应用，包括力学、天文学、工程学等。
1. 旋转法的基本概念旋转法是指物体或系统围绕一个固定的中心点或轴进行旋转的运动方式。
在几何学中，旋转法常用于描述围绕某一轴旋转的二维或三维图形。
在物理学中，旋转法则用于解释物体的角动量、转动惯量等相关概念。
2. 旋转法的数学表达旋转法可以通过数学方式进行描述和计算。
在二维平面内，物体绕某一点旋转可以使用极坐标系来表示，其中角度表示旋转的程度，半径表示离中心点的距离。
在三维空间中，可以使用欧拉角或四元数等方式来描述旋转的方向和角度。
3. 旋转法在力学中的应用旋转法在力学中有着重要的应用。
例如，刚体的旋转运动可以通过旋转法来分析其角动量和动能，从而解释物体在旋转过程中的运动规律。
旋转法还用于解释刚体的转动惯量，即刚体围绕某一轴旋转时所具有的惯性质量，与转动轴的位置和形状有关。
4. 旋转法在天文学中的应用旋转法在天文学中也有重要的应用。
例如，行星、恒星和星系等天体的旋转运动可以通过旋转法来研究其自转周期、自转轴以及由此产生的各种现象。
旋转法还用于解释星际物质云的塌缩过程，其中旋转和角动量守恒是关键的理论基础。
5. 旋转法在工程学中的应用旋转法在工程学中也得到了广泛的应用。
例如，机械工程中的旋转部件，如轴承、齿轮等，都采用了旋转法的原理来实现功能。
旋转法还用于控制系统的设计和分析，例如旋转编码器被广泛应用于位置和姿态测量、机器人控制等领域。
总结：旋转法作为一种重要的物理概念，在几何学和物理学中都具有广泛的应用。
它不仅用于描述物体或系统的旋转运动，还用于解释与旋转相关的现象和理论。
通过数学表达和计算，我们可以更深入地理解旋转法在各个学科中的应用。
旋转法的研究和应用将为我们探索自然界的奥秘，创造新的工程和技术提供重要的理论基础。
九年级数学旋转知识点应用
九年级数学旋转知识点应用数学中的旋转是一种常见的几何变换方法，它在各个年级的学习中都扮演着重要的角色。
尤其在九年级的数学学习中，旋转的应用更加广泛。
本文将从几何图形的旋转、旋转的性质以及旋转的实际应用等方面，深入探讨九年级数学旋转知识点的应用。
一、几何图形的旋转应用旋转是一种常见的几何变换，通过将一个图形绕着某个点旋转一定角度，可以得到一个新的图形。
在九年级的数学学习中，我们常常需要应用旋转来解决各种问题。
1.1 旋转对称性旋转对称性是指在平面上的某一图形相对于中心点进行旋转一定角度后，仍然能够与原图形完全一致。
在数学中，我们通过研究旋转对称性来寻找几何图形的特殊性质。
以正方形为例，对于一个正方形，以其中心为中心点进行旋转180度，可以得到另一个完全相同的正方形，这就是旋转对称性的体现。
旋转对称性在解决图形的对称性问题、判断图形是否为正多边形等方面起到了重要作用。
1.2 旋转的变换规则在九年级的数学学习中，我们会学习到一些基本的旋转变换规则。
其中，我们最常用的是以原点（0，0）为中心点进行旋转。
对于点（x，y）绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标（x'，y'）的计算公式如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ通过这个变换规则，我们可以计算任意点绕原点旋转后的新坐标，进而研究图形的性质和变化。
二、旋转的性质应用旋转不仅仅是一种几何变换方法，还具有一些独特的性质和特点。
在九年级的数学学习中，我们可以利用这些性质来解决各种问题。
2.1 旋转角度的性质在九年级的数学学习中，我们会学习到旋转角度的性质。
例如，我们知道，将一个图形绕着旋转中心旋转360度后，图形恢复到原来的位置。
这个性质在解决关于角度的题目时非常有用。
2.2 旋转的特殊性质旋转还具有一些特殊的性质，例如旋转不改变图形的面积和周长。
在解决与面积、周长相关的问题时，我们可以利用这一性质简化计算，快速求解。
解读五年级下册数学期末测形的旋转与镜像的应用
解读五年级下册数学期末测形的旋转与镜像的应用五年级下册数学期末测形的旋转与镜像的应用是一个较为重要的知识点，它在几何学中具有广泛的应用。
本文将解读该知识点的基本概念和应用技巧，以便帮助同学们更好地理解和掌握。
一、旋转的概念及应用旋转是指将一个图形围绕某个中心点按一定方向旋转一定角度形成的新图形。
在数学中，旋转通常用角度作为表示单位，以顺时针方向为正方向。
旋转的应用十分广泛，如地图中的方位旋转、钟表上的时针旋转等。
在几何学中，旋转常常用于求解图形的对称性质。
通过对图形进行旋转，我们可以发现图形是否具有旋转对称性。
若一个图形在旋转一定角度后能重合于原图形，则该图形具有旋转对称性。
掌握旋转对称性能够帮助我们更好地认识图形的性质，进而解决与图形相关的问题。
二、镜像的概念及应用镜像是指将一个图形沿着一条直线进行对称，使图形上的每一点与其对称点对应的操作。
在数学中，镜像通常以某条直线作为镜面，我们可以将图形的每一个点与其关于镜面的对称点连线，这些连线都和镜面垂直。
镜像的应用也非常广泛，如镜子中的反射、建筑物的对称设计等。
在几何学中，镜像常用于判断图形的对称性质。
如果一个图形经过镜像后能够重合于原图形，则该图形具有镜像对称性。
镜像对称性在我们研究图形的平移、旋转等变换时非常有用，能够帮助我们发现图形的特点和规律。
三、旋转与镜像的应用技巧1. 理解旋转与镜像的基本概念：对于旋转和镜像，我们首先要理解它们的定义和基本性质，明确旋转角度的方向和镜面的位置。
只有理解了这些基本概念，我们才能更好地应用它们解决问题。
2. 分析图形的对称性质：在应用旋转和镜像解决问题的过程中，我们需要观察图形是否具有旋转或镜像对称性。
对于已知的图形，我们可以应用旋转和镜像的规律来判断其对称性质，并进一步利用这些性质解决问题。
3. 灵活运用旋转和镜像：在解决具体问题时，我们需要根据问题的要求，灵活运用旋转和镜像的知识。
有时我们可以通过将图形旋转或镜像得到新的图形，进而解决问题；有时我们也可以通过观察图形的旋转或镜像变化，找出规律并进行问题推理。
“旋转”的用途
运用旋转可以创造出许多漂亮的图案。
在生活中，旋转在艺术、军事、建筑、航天等领域，都有广泛的应用。
旋转门旋转门（如图1）集聚各种门体优点于一身，其宽敞和高格调的设计营造出奢华的氛围，堪称建筑物的点睛之笔。
由于常开常闭的特点，旋转门增强了抗风性，减少了空调能源消耗，是隔离气流和节能的最佳选择。
国外有一家超市在旋转门下安装了类似于发条的人体能量收集转化器。
每天进进出出的人推动着旋转门所产生的电力可供超市照明和电梯使用。
旋转的花盆在圆形花盆底部中心位置突出一个顶点，绕着这个顶点轻轻地转动，也便于植物的运动，同时有利于植物的茎叶吸收阳光健康成长（如图2）。
和传统的花盆不同，这款花盆可以在指定的圆周上，从不同方向随使用者期望轻轻转动。
多功能旋转桌这款桌子可以旋转180度，创意化桌腿设计可折叠120度，为旋转留有空隙（如图3）。
“旋转”的用途□王栋祥图1图2图3“小灵通乐园”参考答案旋转漩涡式水龙头菲利普·斯塔克设计的水龙头，通过设计水流的旋转漩涡运动，将一切都变得生动有趣（如图4）。
旋转桥泰晤士河“穿”伦敦而过，把城市一分为二。
为了便于两岸民众往来，又要保证巷道的正常运行，设计师设计了一座旋转桥。
通过马达来带动整个桥梁，实现河道的打开和关闭（如图5）。
当河道打开，整个桥梁会转动至顺着河岸停靠，它相当于一个临河的小公园，有着一段不长的回廊，民众可以在上面休息和游玩；而当河道关闭，桥梁又会和对岸的引桥对接，变成一个供人们过河的步行道。
旋转的卫星卫星在我们生活中起着重要的作用，天气预报、手机通信、电视直播等都离不开它。
科学家根据万有引力定律，用火箭把人造卫星发射到预定的轨道，使它绕地球或其他行星不停地旋转，以便进行探测和科学研究（如图6）。
只有想不到，没有做不到，人类的智慧是无穷的。
“旋转”的用处远远不止这些。
小朋友，你要努力学习，积累知识，学以致用，把世界建设得更加美好！他的速度比原来提高了17。
图6图5图4。
旋转法的几种应用
旋转法解题例析1、直角三角形例1如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M、N是斜边AB上的点，且∠MCN= 45°，AM=3，BN=5，则MN= ．分析与解：基于在△ABC中，∠C=90°，AC=BC及AM、BN、MN共线特点的考虑，选择旋转法解答，目的就是设法将这三条线段以等线段替换的方式集中在一个三角形中．将△ACM绕点C顺时针旋转90°得到△BCQ，连结QN，则∠MCQ=90°，△ACM≌△BCQ，∴CQ=CM，BQ=AM=3，∠BCQ=∠ACM，∠CBQ=∠CAM=45°，即∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°，在Rt△NBQ中，得NQ=34；另一方面，∵∠ACB=90°，∠MCN=45°，∴∠ACM+∠BCN=45°，∴∠BCQ+ ∠BCN=45°，即∠QCN=45°，∴∠QCN=∠MCN，又 CQ=CM，∴△MCN≌△QCN，∴MN=QN=34．2、等边三角形例3 如图，P是等边三角形△ABC内一点，∠APC、∠BPC、∠BPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC的长为边的三角形三个内角从小到大依次是．分析与解：易得∠APC=100°，∠BPC=120°，∠BPA=140°．欲求以PA、PB、PC的长为边的三角形三个内角，因为三条线段分散，故可考虑旋转法，目的就是将三条线段通过等线段替换方式集中在一个三角形中．将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC，连结PD，则∠PCD=60°，△ADC≌△BPC，∴AD=BP，CD=CP=PD（即以PA、PB、PC的长为边的三角形就是△ADP），∠PDC=∠CPD=60°，∠ADC=∠BPC=120°．∴∠ADP=∠ADC-∠ PDC=120°-60°=60°，∠APD=∠APC-∠CPD=140°-60°=80°，∠DAP=40°．3、正方形例4如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD= .分析与解：设PA=k，则PD=2k，PC=3k(k>0)，而PA、PD、PC三条线段较为分散，故可考虑旋转法，目的就是将三条线段以等线段替换方式集中在一个三角形中．将△APD绕点C顺时针旋转90°得到△CDE，连结PE，则∠PDE=90°，△APD≌△CED，∴CE=AP= k，DE=DP=2k，∠DEP=∠DPE=45°．在 Rt△PDE中，PE2=8k2．∵CE2+PE2=9k2，CP2=9k2，即CE2+PE2= CP2，∴∠PEC=90°，∴∠DEC=135°即∠APD=135°．。
旋转变换的应用
旋转变换的应用旋转是几何三大变换之一，通过旋转，有利于把分散的几何条件集中在一起，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解. 一、求角度 分散线段集中化例1如图2，P 是等边△ABC 内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数。
分析：考虑到以3、4、5为边的三角形是直角三角形，故设法构造以3、4、5为三边的三角形，由于3、4、5三条线段较分散，能否把它们集中成为某个三角形的边是问题解决的关键。
考虑到三角形ABC 是等边三角形，利用旋转变换是最好的手段之一，以点B 为旋转中心，将△BAP 绕点B 逆时针旋转60°，则由BA =BC ，∠ABC =60°可知旋转后BA 与BC 重合，设点P 落在点Q 处，连结PQ ，则由BP =BQ ，∠PBQ =60°得△PBQ 是等边三角形，所以PQ =PB =4，又QC =P A =3，PC =5，所以△PCQ 是直角三角形，且∠PQC =90°，又∠PQB =60°，所以∠CQB =150°，而△QCB 是△P AB 旋转得到的，所以∠APB =∠CQB =150°。
例2如图3,已知P 是等边△ABC 内一点，∠APB =140°，∠APC =130°，求以P A 、PB 、PC 为三边的三角形的各个内角的度数.分析:求解的关键是构造以P A 、PB 、PC 为三边的三角形,而构造的关键是对P A 、PB 、PC 的位置进行变换,注意到BA =BC , ∠ABC =60°,故考虑将△BAP 绕点B 旋转60°,可得△BCQ ,此时P A =QC ,PB =QB ,这相当于把P A 、PB 分别变换到QC 、QB ,易知△BPQ 是等边三角形,从而QB =PQ ,这样,以P A 、PB 、PC 为边的三角形就是△PQC .在△PQC 中, ∠PQC =∠BQC -60°=140°-60°=80°, ∠QPC =∠BPQ -60°=(360°-140°-130°)-60°=30°, ∠PCQ =180°-80°-30°=70°.例3如图（4-1），在ΔABC 中，∠ACB =900，BC =AC ，P 为ΔABC内一点，且P A =3，PB =1，PC =2。
中考数学复习指导：旋转变换在解题中的妙用
旋转变换在解题中的妙用初中数学中蕴含着许多数学思想和方法，灵活运用好这些思想与方法，才能帮助我们解决问题．本文以旋转变换为例，与大家一起感受将图形旋转的思想方法是如何帮助我们聚集条件，搭建桥梁，从而顺利解题的．一、利用旋转变换，把分散的条件集中到一个三角形中例1 如图1，在△ABC中，CD为AB边上的中线，且AC＝3，BC＝4，CD＝，试判断△ABC的形状．分析本题给出的条件CD与AC.BC间并不在同一三角形中，条件显得分散．但如果把△BCD绕D点旋转180°后，已知的三条线段就都能集中到△ACM中，从而通过旋转集中了条件．例2 如图2，在正方形ABCD中，P为其内部一点，且AP＝1，BP＝，PC＝，求∠APB度数．分析显然已知P点到顶点A,B,C的距离，三个条件也是过于分散，但如果把△ABP 绕B点顺时旋转90°，到△BMC处，则三个条件就可转化到△PMC中，从而由直角三角形性质可求出∠PMC,∠BMP的度数．二、利用旋转变换，把分散的线段集中到一条直线上例3 如图3，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，E,F分别在BC与CD上，求证：EF＝BE＋DF．分析将△ADF旋转到△ABM的位置即可求解．例4 D是正△ABC外一点，且∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，E,F在AB,AC上．求证：EF＝BE＋CF．分析通过旋转可把BE与CF集中到同一直线AC上，然后由△MDF≌△FDE可得所求结论．三、利用旋转变换，把不规则的图形变成规则的图形例5 在△ABC中，∠C＝90°，O为AB中点，将△ABC绕O点逆时针旋转90°，得△DEF，若AC＝6，求重叠部分面积．分析两直角重叠部分为不规则四边形，若用常规方法，则要先求△BPQ面积，再求△BO R面积，然后相减得出重叠部分面积，显然比较麻烦，若用旋转则可达到意想不到的简化效果，作OM⊥PQ,ON⊥BC，把△POM旋转到△R ON位置，则不规则的重叠部分变成了正方形MONQ，由OM为中位线，得ON＝AC＝3，从而S阴＝9．例6 在Rt△ABC中，D,E,F分别在AB.AC.BC上，且DECF为正方形，AD＝6，BD＝8，求S阴．分析本题若从常规角度思考则感觉条件似乎不充分，无从下手，但若把△AED绕D 点顺时旋转90°，则可得阴影部分面积就是△A'BD的面积，且A'D＝AD＝6，∠A'DB＝90，从而有，S阴＝6·8·＝24．。
“旋转”健身又防病
“旋转”健身又防病
医学研究证明，经常采用转头、转腰、转腿的旋转健身防病法，对调剂精神、增强体质、预防器官衰老，很有帮助。
此法简便易行，省时省力，长期坚持下去，既能健身，又能防病。
转头站在地上或坐在椅子上，挺胸收腹，头部微微下低，先按顺时针方向转动10圈，再按逆时针方向转动10圈。
此法能锻炼颈部的肌肉关节，使其血液流动通畅，能更好地向头部供血，并能防治神经性头痛、失眠、颈椎骨质增生、颈肩综合征等疾病。
转腰站在地上，挺胸收腹，两手放在腰上，两腿稍分开，四指并拢在前，拇指在后压住腰眼，先按顺时针方向转动腰部10圈，再按逆时针方向转动10圈。
此法能锻炼腰部的肌肉关节，使其坚强有力，并能防治慢性腰肌劳损、腰椎骨质增生、风湿性腰痛、坐骨神经痛等。
转腿站在地上，两腿并拢，身体向下蹲，双手扶住双腿膝盖，先将两腿按顺时针方向转动10圈，再按逆时针方向转动10圈。
此法能增强膝关节和腿部肌肉的力量，防止腿老化，并能防治下肢静脉曲张、坐骨神经痛、膝关节炎等疾病。
旋转锻炼方法
旋转锻炼方法引言：如今，随着人们生活水平的提高和健康意识的增强，越来越多的人开始重视身体健康，并积极参与各种锻炼活动。
旋转锻炼方法作为一种全面锻炼身体的方式，备受人们喜爱。
本文将介绍旋转锻炼的定义、好处以及几种常见的旋转锻炼方法。
一、旋转锻炼的定义旋转锻炼是指通过身体的旋转运动，以改善身体柔韧性、提高心肺功能、增强协调能力和塑造身体线条的一种锻炼方法。
它可以通过旋转动作来刺激全身肌肉，使肌肉得到充分的拉伸和锻炼，同时也能够增加身体的柔软性和灵活性。
二、旋转锻炼的好处1. 增强心肺功能：旋转锻炼可以有效提高心肺功能，促进血液循环和新陈代谢，增加氧气的摄取量，从而提高身体的耐力和抗疲劳能力。
2. 塑造身体线条：旋转锻炼可以有效刺激全身肌肉，尤其是腹部、腰部和臀部肌肉的运动，从而有效改善身体线条，使身体更加匀称。
3. 提高协调能力：旋转锻炼需要身体各部位的协调运动，可以提高身体的协调能力和平衡能力，预防摔倒等意外伤害。
4. 改善柔韧性：旋转锻炼可以增加关节的活动范围，使身体更加柔软，预防关节僵硬和肌肉拉伤。
三、旋转锻炼方法1. 旋转臂部锻炼站立，双臂自然下垂，然后将双臂向前旋转，再向后旋转，重复进行。
这种锻炼方法可以有效锻炼肩部和背部肌肉，提高上肢力量和柔韧性。
2. 旋转腰部锻炼站立，双臂自然下垂，然后将上半身向左旋转，再向右旋转，重复进行。
这种锻炼方法可以有效拉伸腰部肌肉，增加腰部的灵活性和柔韧性。
3. 旋转腿部锻炼站立，双臂自然下垂，然后将一条腿向前抬起，再向后旋转，重复进行。
然后换另一条腿进行相同的动作。
这种锻炼方法可以有效锻炼腿部肌肉，增加腿部的力量和灵活性。
4. 旋转全身锻炼站立，双臂自然下垂，然后将上半身向左旋转，同时将右腿向前抬起，再向右旋转，同时将左腿向前抬起，重复进行。
这种锻炼方法可以有效锻炼全身肌肉，提高全身的柔软性和灵活性。
四、注意事项1. 在进行旋转锻炼之前，应先进行热身活动，以防止肌肉拉伤或关节受伤。
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巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。
例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
解：作MC⊥CP，使MC=CP，连接PM，BM∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ）∴MB=AP=3∵PC=MC ，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MC PC =22PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2+PM 2=（22）2+12=9=BM 2∴⊿MPB 是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。
证明：过A 作AP ⊥AE 交BC 的垂线CP 于P ，连结PF ∵∠EAP=90°，∠EAF=45° ∴∠PAF=45°∵∠BAC=90° ∴∠BAE=∠PAC ∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB=∠ACP=45° ∴⊿ABE ≌⊿ACP （ASA ） ∴PC=AE ，，AP=AE ∴⊿AEF ≌⊿APF （SAS ） ∴EF=PF故在Rt ⊿PCF 中，PF 2=CF 2+PC 2,即EF 2=CF 2+AE 2例4，如图4，正方形ABCD 中，E ，F 分别在AD ，DC 上，且∠EBF=45°，BM ⊥EF 于M ，求证：BA=BM 分析:本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45°角，可利用相同的方法，将∠ABE 和∠CBF “化散为整”来构造全等三角形。
证明：延长FC 到N ，使CN=AE ，连结BNAPMCBANFC B∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=AC ，∠BAC=90°∵∠EBF=45°∴∠ABE+∠CBF=45°由⊿ABE ≌⊿CBN 知BE=BN ，∠CBN=∠ABE∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF 又BE=BN ，BF=BF∴⊿EBF ≌⊿NBF （SAS ）∴BM=BC ∴BM=BA例5、如图6，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°。
求证：∠ADE ＝∠ADC 。
解析：条件中有共点且相等的边AE 和AB ，可将△ADE 以点A 为中心，顺时针方向旋转∠BAE 的角度到△AFB 的位置，如图7。
这就使已知条件∠ABC ＋∠AED ＝180°和BC ＋DE ＝CD 通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。
由△ADE ≌△AFB ，得∠AED ＝∠ABF ，∠ADE ＝∠AFB ，ED ＝BF ，AF ＝AD 。
由∠ABC ＋∠AED ＝180°，得∠ABC ＋∠ABF ＝180°。
所以C 、B 、F 三点共线。
又CD ＝BC ＋DE ＝BC ＋BF ＝CF ，故∠CFD ＝∠CDF 。
由AF ＝AD ，得到∠DFA ＝∠FDA 。
∴∠ADE ＝∠AFB ＝∠CFD ＋∠DFA ＝∠CDF ＋∠FDA ＝∠ADC 。
例6、如图，P 是等边三角形ABC 内的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC 的边长。
分析：PA 、PB 、PC 比较分散，可利用旋转将PA 、PB 、PC 放在一个三角形中，为此可将△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°可得△BHC 。
解：把△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°得到△BHC 。
因为BP=BH ，∠PBH=60° 所以△BPH 是等边三角形所以∠BPH=60°，所以BP=PH 32 又因为HC=PA=2，PC=4 所以所以△HCP 是Rt △，所以∠CHP=90°又因为HC=2，PC=4 所以∠HPC=30°又因为∠BPH=60°，所以∠CPB=90°在Rt △BPC 中，=12+16=28,72=BC ，那么△ABC 的边长为72。
例7、如图2，O 是等边三角形ABC 内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将△BOC 绕B 点按逆时针方向旋转60°可得△BMA 。
因为BO=BM ，∠MBO=60°所以△BOM 是等边三角形， 所以∠1=∠2=60°又因为∠AOB=115°，所以∠MOA=55° 又因为∠AMB=∠COB=125° 所以∠AMO=65° 又因为AM=OC ，MO=BO所以△AMO 正好是以AO 、OC 、BO 为边组成的三角形， 所以∠MAO=180°－（55°+65°）=180°－120°=60°即：以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°。
例8、如图4，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与'CBP ∆重合，若PB=3，求'PP 的长。
分析：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与'CBP ∆重合，实际上就是把△ABP 顺时针方向旋转90°可得'CBP ∆，即=∠'PBP 90°。
解：因为,'BP BP ==∠'PBP 90°。
所以'PP 2333222'2=+=+=B P BP 。
例9、如图5，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ：PB ：PC=1：2：3，求∠APB 的度数。
分析：PA ：PB ：PC=1：2：3，不妨设PA=1，PB=2，PC=3，而这些条件较分散，可设法把PA 、PB 、PC 相对集中起来即把△BCP 绕B 点顺时针方向旋转90°得到△BAE 。
解：因为BP=BE ，∠PBE=90°所以22222+=PE ，所以22=PE又在△APE 中，222,3AE PE PA CP AE =+== 即2223)22(1=+所以∠APE=90°即∠APB=90°+45°=135° 所以∠APB=135°。
例10、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数。
解：把△CDQ 绕点C 旋转90°到△CBF 的位置，CQ=CF 。
因为AQ+AP+QP=2 又AQ+QD+AP+PB=2 所以QD+BP=QP 又DQ=BF ，所以PQ=PF 所以FCP QCP ∆≅∆ 所以∠QCP=∠FCP又因为∠QCF=90°，所以∠PCQ=45°。
由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力 从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。