2019年沈阳市高一数学上期末试卷及答案

2019年沈阳市高一数学上期末试卷及答案
一、选择题
1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =（ ）
A ．{}1,0-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．{}0,1,2
2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则
A ．()f x 在（0，2）单调递增
B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称
D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称 4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝
19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
5．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当
[]1,0x ∈-时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A ．[]
3,5 B ．()3,5 C ．[]4,6 D ．()4,6 6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

若实数a 满足()(
12
a f f ->，则a 的取值范围是 （ ） A ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
7．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]
0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( )
A ．()1,3
B ．()1,1-
C ．()()1,01,3-
D ．()()1,00,1-
8．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ）
A ．53(
,]124 B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34 D ．53(,)(,)124
-∞⋃+∞
9．函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2
B ．12
C ．13
D ．－12 10．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ． B ． C ． D ．
11．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是
A ．11y x =-
B ．cos y x =
C ．ln(1)y x =+
D ．2x y -=
二、填空题
13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___．
14．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩
的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____. 15．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．
16．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．
17．已知11,,1,2,32a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭
，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a 的取值集合为______.
18．若幂函数()a f x x 的图象经过点1
(3)9
，，则2a -=__________. 19．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．
20．若函数()22x
f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 三、解答题
21．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279
f =，当1x >时，()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性；
(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明；
(3)若(
)1f a +≤，求实数a 的取值范围. 22．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B ；
（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．
23．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈．
（1）求()g x 的解析式；
（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围．
24．求下列各式的值.
（1
）121log 23324()(0)a a a a -÷>；
（2）221g 21g4lg5lg 25+⋅+.
25．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的
成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩
，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．
26．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．
()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；
()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
由已知得{}|21B x x =-<<，
因为21,01,2A =--｛，，｝，
所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．
【详解】
令3
()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数， 又(2)3f =，所以(2)35g +=，
所以(2)2g =，()22g -=-，
所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
3．C
解析：C
【解析】
由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．
【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a b x +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2
a b +． 4．B
解析：B
【解析】
由f(1)=得a 2=,
∴a=或a=-(舍),
即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.
5．D
解析：D
【解析】
由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，且()f x 是R 上的周期为2的函数，
作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程
()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，
所以()()1log 311log 511a a
a >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.
故选D.
点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
6．D 解析：D
【解析】 ()(122a f f ->-11112(2)(2)2222a a a f f ---⇒->⇒->⇒<
111131122222a a a ⇒-<
⇒-<-<⇒<<,选D.
7．C
解析：C
【解析】
若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--（），（）是偶函
数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（
），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），
即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩
，（），， ，作出函数f x （）在[1
3]-， 上图象如图， 若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜，
若10x -≤≤ ，则不等式0xf
x （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）
故选C.
【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
8．A
解析：A
【解析】 试题分析：241(22)y x x =-+-≤≤对应的图形为以0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512
k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124
考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法
9．B
解析：B
【解析】
y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12
，选B. 10．A
解析：A
【解析】
由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，
即项的函数不存在零点，故选A.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.
11．B
解析：B
【解析】
因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.
选B.
12．D
解析：D
【解析】 试题分析：11y x
=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D. 考点：函数增减性
二、填空题
13．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x ）＜0在（4+∞）上f （x ）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根
解析： [-4，0]∪[4，+∞）
【解析】
【分析】
由奇函数的性质可得f （0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案.
【详解】
根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0，
又由f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，
又由函数f （x ）为奇函数，则在（-4，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-4）上，f （x ）＜0， 若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4，
则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）；
故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）．
【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．
14．【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当
时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得 解析：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】
【分析】
根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a 的取值范围.
【详解】
当1x ≥时,()12x f x -=,此时值域为[
)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1 即1201231
a a a ->⎧⎨-+≥⎩,解得102a ≤< 故答案为:10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.
15．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性 解析：-1
【解析】
试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，
则
，所以
． 考点：函数的奇偶性． 16．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力
解析：1
【解析】
【分析】
直接利用对数计算公式计算得到答案.
【详解】
()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣ 故答案为：1
【点睛】
本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.
17．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想
解析：{}1-
【解析】
【分析】
由幂函数()a
f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求出a 的值．
【详解】 因为11,,1,2,32a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭
，幂函数为奇()a f x x =函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，
1a ∴=-．
故答案为：1-．
【点睛】
本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．【解析】由题意有：则： 解析：14
【解析】 由题意有：13,29a a =
∴=-， 则：()2
2124a --=-=. 19．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +
【解析】
【分析】
由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．
【详解】
解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，
设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，
又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，
综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；
故答案为()1x x +
【点睛】
本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．
20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么
解析：02b <<
【解析】
【分析】
【详解】 函数()22x f x b =--有两个零点， 和
的图象有两个交点， 画出和的图象，如图，要有两个交点，那么
三、解答题
21．(1)()f x 为奇函数；(2)()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见解析；(3)[)4,1--.
【解析】
【分析】
（1）令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；
（2）先证明当0x >时，()0f x >，再利用已知和单调函数的定义，证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （3）先利用赋值法求得
()339f -=再利用函数的单调性解不等式即可 【详解】
解：（1）令1y =-，则()()()1f x f x f -=-.
∵()11f -=-，∴()()f x f x -=-
∴函数()f x 为奇函数；
(2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减.
证明如下：
由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--=
当()0,1x ∈时，11x >，()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以当0x >时，()0f x >，
设120x x <<，则
211x x >，∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.
∵函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减.
(3)∵()1279f =，且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦，∴(
)3f = 又∵函数()f x 为奇函数，∴
(
)3f -= ∵(
)1f a +≤()()13f a f +≤-，函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 又当0x ≥时，()0f x ≥.
∴310a -≤+<，即41a -≤<-，
故a 的取值范围为[)4,1--.
【点睛】
本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法
22．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈
【解析】
【分析】
（1）首先求得[]
()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113
a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈. 【详解】
解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<，
（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；
（2）∵{}
|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+， ∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩
，∴[]1,2a ∈． 23．（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
【解析】
试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．
试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a +=∴⇒
∵∴ （2）法一：方程为
令，则144t ≤≤- 且方程为
在有两个不同的解． 设221
1()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内有两个交点
由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣
⎭时，方程有两不同解． 法二： 方程为
，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦
1
=1-404
13{0416(4)012b b f b f b ∆>⇒<
⎛⎫∴≤⇒≥ ⎪⎝⎭
≤⇒≥- 解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
考点：求函数的解析式，求参数的取值范围
【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．
24．（1）0；（2）2
【解析】
【分析】
直接利用指数和对数的运算法则化简求值即得解.
【详解】
（1
）22
12521log log 33332420a a a a a a a a ⎛⎫-÷=-÷=-= ⎪⎝⎭
（2）22lg 2lg 4lg5lg 252lg 2(lg 2lg5)2lg52(lg 2lg5)2+⋅+=++=+=
【点睛】
本题主要考查指数和对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25．(1) ()45100x ，
∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；
（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．
【详解】
（1）由题意知，当30100x <<时，
()180029040f x x x
=+->， 即2659000x x -+>，
解得20x <或45x >，
∴()45100x ∈，
时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，
()()30%401%4010
x g x x x =⋅+-=-
； 当30100x <<时， ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭
； ∴()2401013585010
x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；
当032.5x <<时，()g x 单调递减；
当32.5100x <<时，()g x 单调递增；
说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点睛】
本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
26．(1)2,0428,4205
x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克 【解析】
【分析】
当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；
第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．
【详解】
(1)由题意得，当04x <≤时，2v =；
当420x <≤时，设v ax b =+，
由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258
a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以285v x =-+， 故函数2,0428,4205
x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩． (2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，
依题意及()1可得()22,0428,4205
x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩， 当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=；
当420x <≤时，()()
222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．
综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克．
【点睛】
本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学
问题的能力，本题属中档题．。