电磁场复习要点

固有部分电容
Cii
qi
i
k
i (k
1,2n)
当使n个导体电位相同时， 第i个导体与地之间的电容
互有部分电容
当除了第i个导体外，使其他导体接地时，
Ckj
qk
k i
m
第k个导体与第i个导体之间的电容
0, (m 1,2,i 1,i 1,n)
部分电容仅与导体系统的几何 结构及介质有关，与导体的带电状 态无关。
n
k 1
r
qk rk'
1
n
qk
4 0 k1 Rk
• 线电荷的电位： • 面电荷的电位： • 体电荷的电位：
(r) 1 l (r ')dV ' (r) 1 s (r ')dV ' (r) 1 v (r ')dV '
40 l r r '
40 S r r '
40 V r r '
• 电位的意义
2E
2E t 2
0
2H 2H 0
t 2
1、波动方程
齐次矢量亥姆霍兹波动方程(时变场为正弦电磁场)
2 2
E(r )
k
2
E
(r )
0
H
(r )
k
2
H
(r )
0
式中：
k / v
在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关，则该时变电磁场的 场量不可能具有该坐标分量。
enˆn 为媒质表面外法向方向
欧姆定律
J E
• 在理想导体内，恒定电场为0 • 恒定电场可以存在于非理性导体内
• 在导电媒质中，恒定电场 E 与 J 的方向一致
焦耳定律
p J E
• 电场的能量转化为电荷运动的机械能，最 终以热能形式消耗在导电媒质的电阻上。
7 法拉第电磁感应定律
l
E
dl
S
D1n D2n s
E1t E2t
Dn S
Et 0
电场垂直于导体表面，且表面上的感应 电荷面密度等于表面上的电位移矢量的 大小。
对应的电位的边界条件为
n
s
＝常数
导体表面是等位面
2、电位
•
点电荷的电位为：
(r )
r
E
dl
r
q 4 0r
2
er
dl
q 4
0r
• 多个点电荷的电位为：
(r)
1 4 0
• 电位和电场的关系 E
• 电位参考点
• 电位方程
2
• 利用电位计算电场
2 0
3、电容
•
电容器电容量为
C q U
• 电容器电容和部分电容都只与导体的几何形
状、大小、相对位置及介质分布有关，而与
导体所带电量无关。
• 孤立导体的电容 • 两导体之间的电容 • 多导体系统的部分电容 • 计算电容
面上的边界条件
主要内容 • 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 • 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 • 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 • 点电荷对接地导体球面的镜像 • 点电荷对不接地导体球面的镜像 • 线电荷对导体圆柱面的镜像 • 点电荷对电介质分界面的镜像
第四章 时变电磁场
➢波动方程 ➢矢量位、标量位 ➢坡印廷定理和坡印廷矢量 ➢时谐变电磁场
(R2 r02 )3/ 2
0
2
R2I (R2 x2 )3/ 2
ez
（1）在圆心处，x=0,
B
0 I
2R
ez
（2）当x>>R时，
B
0 IR2
2x3
e
z
• 无限长线电荷 • 无限线电流
E
r
l 2 0 r
er
B
r
0 I 2 r
e
5、磁场方程
介质中磁场基本方程为
B 0
S
B dS
0
H J
C H dl I
难点：磁场强度，磁化电流的分析
6、介质极化
极化强度矢量
极化率
D 0E P P 0eE
r0 (1 e )0
D E
在介质中，出现了束缚电荷。
极化电荷体密度为
极化电荷面密度为
D 0E 0eE
介质的介电常数
r 介质的相对介电常数
qp P dS
S
P (r) P(r)
en (E1 E2 ) 0
E1t E2t
3）分界面两侧电位的边界条件
1
1 n
2
2 n
s
1 2
4）理想介质分界面的边界条件 s 0
D1n＝D2n 1E1n 2E2n
E1t E2t
En不连续
为什么En不连续？
E1t E2t
1E1n 2 E2n
1 1
tg1
1 2
tg 2
界面上有束缚面电荷！
再求磁通和电流之比。
m
B dS
s
or
m
A dl
c
• 计算互感：
M21 4
C2
dl1 dl2
R C1
21
9、磁场能量和磁场力
Wm
1 2
H BdV
V
磁场能量
• 洛仑兹力
1 wm 2 H B
F
qv
B
磁场力
1、回路的磁通量不变
f Wm 常数
fx
Wm x
,
常数
fy
Wm y
1、静电场的基本方程、边界条件
积分形式 微分形式
本构关系
S
D dS
V
dV
q
C
E dl
0
D
E 0
D E
边界条件
1） 分界面两侧 电位移矢量法向分量的关系
en (D1 D2 ) s
D1n D2n S
ρs为分界面上自由电荷面密度，不包括极化电荷。
2）分界面两侧电场强度切向分量的关系
如何计算界面上的束缚面电荷
q' P dS h0(P2n P1n )S 'S S
S
'S P2n P1n
P (r) P(r)
PS r P(r) en
电位在两种理想介质界面上的边界条件为
1E1n 2E2n
E1t E2t
1
1 n
2
2 n
1 2
5)导体表面(导体与介质界面)的边界条件
rr'
3
rr'
E
r
1
40
V
v (r ')
r r'
3
r r'
dV
'
E
r
1
4 0
S
S (r ')
r r'
3
r r'
dS '
E
r
1
4 0
l
l (r ')
r r'
3
r r'
dl '
• 无限长线电荷 • 无限大平面电荷
E
r
l 2 0 r
er
E
r
s 2 0
en
3、静电场方程
电磁场复习要点
第一章 矢量分析
• 矢量代数 • 三种坐标系 • 三个定义：梯度、旋度、散度
• 两个恒等式： u 0 F 0
• 两个物理量：通量与环流 • 两个定理：散度定理和斯托克斯定理 • 拉普拉斯运算与格林定理 • 亥姆霍兹定理
第二章 电磁场的基本规律
• 电荷、电流、电荷守恒定律 • 库仑定律、电场强度 • 静电场的基本方程（高斯定理） • 安培定律 、磁感应强度 • 恒定磁场的基本方程（安培环路定理） • 电介质极化、磁介质磁化、媒质传导 • 法拉第电磁感应定律 • 位移电流 • 麦克斯韦方程组 • 边界条件
H1t H2t 0 E1t E2t 0 B1n B2n 0 D1n D2n 0
2、理想导体表面上的边界条件
en H J S en E 0 en B 0
en D S
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
• 静电场分析 • 恒定电场分析 • 恒定磁场分析 • 唯一性定理 • 镜像法
en (E1 E2) 0
E1t E2t
en (D1 D2) S
D1n D2n S
en (B1n B2n ) 0 B1n B2n
1理想介质表面的边界条件——无自由面电荷和面电流
en (H 1 H 2 ) 0 en (E1 E2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) 0
微分形式
H J D t
E B t
B 0
D
一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为
D B
0 0
E (H
P M
)
J E
对于各向同性的线性媒质， 上式可以写为
DE
B
H
J
E
10、边界条件
E 0 H J
D
B 0 nˆ
1 2
en (E1 E2 ) 0
en (H1 H2 ) Js
2 0
恒定电场的边界条件
en (J1 J 2 ) 0 en (E1 E2 ) 0
J1n J 2n
E1t E2t
1 2
1
1
n
2
2
n
6、恒定磁场基本方程、边界条件
积分形式
微分形式 本构关系
H dl SJ dS
C
B dS 0
S H J B 0
B H
1）真空中的静电场方程
积 ຫໍສະໝຸດ Baidu 形式
E(r ) dS
S
q
0
E dl 0
微分形式
E
0
E 0
2）介l质中静电场方程 D(r ) dS q
S
E dl 0
l
D
E 0
静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。
静电场的源：电荷
• 定义：
4、磁感应强度
B(r )
dB 0
时变电磁场
静态场：场大小不随时间改变(静电场，恒定磁场) 特性：电场和磁场相互独立，互不影响。 时变场：场大小不随时间改变。 特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的 统一整体，称为电磁场。
1、 波动方程
考虑媒质均匀、线性、各向同性的无源区域(J=0, ρ=0) 且σ=0 的情况，这时麦克斯韦方程变为
en (D1 D2 ) s
en (B1 B2 ) 0
ˆt
时变电磁场的边界条件
en (H 1 H 2 ) J s
en (E1 E2 ) 0
en en
( (
B1 D1
B2 ) 0
D2 )
s
时变电磁场的边界条件
en (H1 H2 ) JS
H1t H2t J S
表示多导体系统中导体之间电
场的相互影响,电耦合的程度.
4、静电场能量和静电力
We
1 2
V
dV
1
2
V
E DdV
Fr
We r
qc
we
1 2
E
D
1 2
E 2
Fr
We r
c
5、恒定电场的基本方程
J 0 E 0
S J dS 0 l E dl 0
电流密度 J 与电场强度 E 之间满足欧姆定律 J E
C
4
Idl R C R3
• 安培环路定律：
• 矢量磁位： • 库仑规范：
C B d l 0I
B 0J
B A(r )
A 0
1）载流直导线外的磁场：
B
r
0 I 4 r
(cos1
cos2 )e
若导线无限长，则
B
r
0 I 2 r
e
2）载流圆线圈轴线上的磁场：
B
0 4
2 IR2
A r 0 JS r ' dS ' 4 S R
同理，线电流产生的磁矢位为
A 0 Id l
4 l R
磁矢位满足的方程为 2 A J
2A 0
• 在J=0区域，引入标量磁位， H m 标量磁位满足的方程 2m 0
标量磁位只适用于没有传导电流的空间区域。
• 自感
L
I
8、电感
自感的单位是H(亨利)。自感的大小决定于回路的尺寸、 形状以及介质的磁导率。
,'
常数
fz
Wm z
常数
2、回路的电流不变
f Wm I 常数
fx
Wm x
, I 常数
fy
Wm y
,
fz
Wm z
I 常数
I 常数
利用磁能求回路电感
Wm
1 2
LI 2
L
2Wm I2
1 I2
H 2dV
V
10、 镜像法
遵循 的原则 • 所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间 • 镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足边界
1、电荷守恒定律
2、电场强度
• 定义法：根据电荷分布计算
• 高斯定理：只能适用于一些呈对称分布的电
荷系统。 E(r ) dS 1
S
0
V
v (r )dV
Q
0
S D(r ) dS Q
• 通过电位 E r r
• 点电荷 • 体电荷 • 面电荷 • 线电荷
E
r
q R q
40 R3 40
PS r P(r) en
6、介质磁化
磁化强度矢量
磁化率
B 0(H M ) M m H
B 0 (1 m )H 0r H H
式中：r 1称为m 媒质相对磁导率 r 0称为媒质磁导率
• 在媒质中，出现磁化电流
磁化体电流密度为： Jm M
磁化面电流密度为：
J sm M en
L Li Lo
Li 内自感，即导体内部磁场与部分电流交链所形成电感。
L0 外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感。
• 如何计算内自感与外自感。
– 计算电感常先设电流，计算该电流产生的磁通，再求磁通和电 流之比。
• 互感
M 12
12
I1
M
21
21
I2
• 计算电感常先设电流，计算该电流产生的磁通，
边界条件
en (B1 B2 ) 0
B1n B2n
磁感应强度的法向分量是连续的。
en (H1 H2 ) Js
H1t H 2t J S
两种媒质的分界面上存在自由面电流分布时， 磁场强度矢量的切向分量是不连续的。
7、矢量磁位
A r 0
J r' dV '
4 V R
若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为
B t
dS
E
B
t
Jd
D t
8 位移电流
H J D t
9麦克斯韦方程组
积分形式
全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理
D
H
l
dl
S (J
t
) dS
E
l
dl
S
B t
dS
B
S
dS
0
高斯定律
D
S
dS
q
注意：时变电磁场的源： 1、真实源（变化的电流和电荷）； 2、变化的电场和变化的磁场。