高中数学 1.2 余弦定理(2) 教案 苏教版必修5

教学目标：

1. 掌握余弦定理．

2. 进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，体会数学中的转化思想．

教学重点：

余弦定理的应用；

教学难点：

运用余弦定理解决判断三角形形状的问题．

教学过程：

一、复习回顾余弦定理的两种形式

（一）A bc c b a cos 22

22-+=， B ac c a b cos 2222-+=，

C ab b a c cos 2222-+=． （二）bc a c b A 2cos 2

22-+=， ca b a c B 2cos 2

22-+=， ab

c b a C 2cos 2

22-+=． 二、学生活动

探讨实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决．

三、数学应用

1．例题．

例1A ，B 两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C ，测得182,126,63m m CA CB ACB ==∠=︒，求A ，B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解由余弦定理，得

18.2817863cos 1261822126182cos 2222≈︒⨯⨯-︒+︒=⋅-+=C CB CA CB CA AB 所以，)(168m AB ≈． A B

C

答：A ，B 两地之间的距离约为168m ．

例2在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在h 1.0后到达江北岸B 码头．设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东︒15，并与A 码头相距km 2.1．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到︒1.0，速度精确到0.1/km h ）？

解如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD ，其中

)(5.01.05),(2.1km AC km AB =⨯==．

在ABC ∆中，由余弦定理，得 38.1)1590cos(5.02.125.02.1222≈︒-︒⨯⨯-+=BC

所以)(17.1km BC AD ≈=．

因此，船的航行速度为)/(7.111.017.1h km =÷．

在ABC ∆中，由正弦定理，得 sin 0.5sin 75sin 0.41281.17

AC BAC ABC BC ∠︒∠==≈， 所以 ︒≈∠4.24ABC

所以 ︒≈︒-∠=∠-∠=∠4.915ABC NAB DAB DAN ．

答：渡船应按北偏西︒4.9的方向，并以11.7/km h 的速度航行．

例3在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断该三角形的形状．

解由正弦定理及余弦定理，得

b a B A =sin sin ，ab

c b a C 2cos 222-+=，

所以 ab

c b a b a 222

22-+⨯=， 整理，得2

2c b =

因为0,0>>c b ，所以c b =．因此，ABC ∆为等腰三角形．

例4在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos =+，试判断ABC ∆的形状．

解由C c B b A a cos cos cos =+及余弦定理，得 A C

B

N

D

ab c b a c ca b a c b bc a c b a 2222

22222222-+⨯=-+⨯+-+⨯， 整理，得2

224)(b a c -=，

即222c b a =-或222c b a -=-，

所以222c b a +=或222b c a =+，

所以ABC ∆为直角三角形．

例5如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证： 222)(221BC AC AB AM -+=． 证明：设,α=∠AMB 则α-︒=∠180AMC ，

在ABC ∆中，由余弦定理，得

αcos 2222BM AM BM AM AB ⋅-+=．

在ACM ∆中，由余弦定理，得 )180cos(2222α-︒⋅-+=MC AM MC AM AC ．

因为ααcos )180cos(

-=-︒，BC MC BM 21==, 所以2222212BC AM AC AB +

=+, 因此，222)(22

1BC AC AB AM -+=

． 2. 练习． （1）在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos 等于（ ）

A ．32

B ．32-

C ．31-

D ．4

1- （2）如图，长7m 的梯子BC 靠在斜壁上，梯脚与壁基相距1.5m ，梯顶在沿着壁向上6m 的地方，求壁面和地面所成的角α(精确到︒1.0)．

（3）在ABC ∆中，已知

︒===60,3,2C b a ，试判断此三角形的形状．

（4）在ABC ∆中，设CB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝ｂ， A

B C α αM C

B A

且|a|＝2，|ｂ|=3，a·ｂ＝－3，求AB的长（精确到0.01）．

练习答案：

126（3）锐角三角形（4）1.88

（1）D （2） 7.

四、要点归纳与方法小结

这节课，我们进一步学习了余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，对于三角形中边角关系，我们有了进一步地了解，在后面的学习中，我们将继续研究．