一元函数的导数与微分
专升本 第二章 一元函数微分学
第二章讲义2007：36分2008：21分2009：32分2010：42分2011：29分一、导数的概念1、导数的概念左右导数的概念2、可导与连续的关系二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参数方程表示的函数的导数高阶导数三、导数的几何意义四、导数的应用1、中值定理1-1中值定理1-2中值定理推论2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用2-2极值2-3最值3、凹凸性、拐点4、洛必达法则5、渐近线一、导数的概念1、导数的概念1．讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性. 2．设函数()x f 可导，且()()011lim12x f f x x→--=-，则()1f '=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-3．设()x f 在1=x 处可导，且()11='f ，则()()=+--→hh f h f h 121lim 0（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．设函数()f x 在0x =处满足，()()()03f x f x x α=-+，且()lim0x x xα→=，则()0f '=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 5．函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000A ．32B ．32-C ．23- D ．236．设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim 0（ ） A ．4 B ．5 C ．2 D ．17．设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________．左右导数的概念2、可导与连续的关系1．函数在某点处连续是其在该点处可导的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件二、导数的计算导函数导函数基本结果 求导法则复合函数的导数1．设函数5sin 212π--=x y ，则='yA ．5cos 212π--x x B ．21xx--C ．212x x - D ． 5cos 52122π---x x2．已知lnsin(12)y x =-，求.dy dx隐函数的导数1．设由方程22e xy e y =- 确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy2．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y y x +=确定的隐函数，求dy dx. 3．由1=++xy y x ①所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________． 对数求导法1．已知y x =，求.dx dy2．若函数()()()ln 1xf x x x =>，则()f x '=（ ） A ． ()1ln x x - B ．()()1ln ln ln(ln )x xx x x -+C ．()ln ln(ln )xx x D ．()ln xx x参数方程表示的函数的导数1．曲线231,21,x t y t t =+⎧⎨=-+⎩则1|t dydx ==________．1． x y sin =的三阶导数是（ ）A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos -2．设函数()x f 具有四阶导数，且()f x ''=()()4f x =（ ）A ．B C ．1 D ．3214x --3．设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________． 4．已知()21x f x e -=，则()()20070f =_______．5．若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在 区间()0,∞-内A ．()()0,0<''<'x f x fB ．()()0,0>''>'x f x fC ．()()0,0<''>'x f x fD ．()()0,0>''<'x f x f6．设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______． 7．设函数()y y x =由参数方程33cos ,sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ）A ．2-B ．1-C ．D 三、导数的几何意义1．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 2．曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．()1+-=x y C ．1+-=x y D ．()()11ln -+=x x y 3．曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________．4．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为5．过曲线arctan x y x e =+上的点()0,1处的法线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y --= D ．220x y +-=6．曲线sin 2,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的切线方程为（ ）A ．2x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =- 四、导数的应用 1、中值定理1-1中值定理1．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ． x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x =2．函数()22f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ= _______．3．判断：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b ≠，一定不存在(),a b ξ∈，使得()0.f ξ'=（ ）4．设()x f 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(),a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'= 5．设()f x '在[],a b 上连续，存在,m M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： ()()()()212121m x x f x f x M x x -≤-≤-.6．设函数()x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 )内可导，且()().21,00==f f 证明：在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点x ，使得().12+='ξξf1-2中值定理推论1．设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （ ） A ．2π B ．4πC ．0D ．1 2．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且()00f =，则()f x =（ ） A ．2x x e e + B ．2x x e e - C ．2x x e e -+ D ．2x x e e --2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用1．函数()f x x =_______. 2．方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32-2极值1．若函数()2f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =_______，b =_______．2．下列说法正确的是（ ）A ． 函数的极值点一定是函数的驻点B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x x =处不可导，()b a x ,0∈ ，则 A ．0x 是()x f 的极大值点 B ．0x 是()x f 的极小值点 C ．0x 不是()x f 的极值点 D ．0x 可能是()x f 的极值点 4． 若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（ ）A ．0x 是()x f 的极大值点B ．0x 是()x f 的极小值点C ．0x 不是()x f 的极值点D ．无法确定0x 是否为()x f 的极值点 2-3最值1．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小2．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省？3．求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.3、凹凸性、拐点1．设()x f 在区间()b a ,内有()()0,0<''>'x f x f ，则()x f 在区间()b a ,内（ ） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的 C ．单调减少且凸的 D ．单调增加且凹的2．曲线31x y +=的拐点为（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,0D ．()1,1 3．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ． 0x =B ．()0,2-C ．无拐点D ．0,2x y ==-4．函数sin y x x =-在区间()0,2π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．5．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．()2,2-B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞ 6．曲线x xe y -= 的拐点为A ．1=xB ．2=xC ． ⎪⎭⎫⎝⎛22,2e D ．⎪⎭⎫⎝⎛e 1,11,4、洛必达法则1．312cos limsin()3x x x ππ→-=-A ．1B ．0 CD．2．求011lim .1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭3．计算sin 0lim x x x +→4．sin lim sin x x x x x →∞+-（洛必达法则）1cos sin limlim 11cos sin x x x xx x→∞→∞+-===--.（）5、渐近线1．曲线2232xx y -=的水平渐近线为（ ） A ．32=y B ．32-=y C ．31=y D ．31-=y 2．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线；B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线；C ．只有垂直渐近线；D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线.3．曲线xe y x=（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线4．曲线35arctan 2+=xxy A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线5．方程xy 1arcsin = 所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线。
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数变量之间的微小变化关系。
全微分的计算可以使用泰勒展开、导数定义和偏导数等方法。
本文将介绍全微分的计算公式和应用。
一、一元函数的全微分设函数y = f(x)在点(x0, y0)处可微分。
此时，函数f(x)在x0附近可以用其局部线性近似代替。
根据导数的定义，可得到函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)。
函数f(x0)的全微分df表示函数f(x)在x0附近的微小变化量，可以通过以下公式计算：df = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，dx表示自变量x的微小变化量。
二、二元函数的全微分对于二元函数z = f(x, y)，如果在点(x0, y0)处可微分，那么z在(x0, y0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy其中，∂f/∂x表示函数f(x, y)对x的偏导数，∂f/∂y表示函数f(x, y)对y的偏导数，dx表示自变量x的微小变化量，dy表示自变量y的微小变化量。
需要注意的是，在计算二元函数的全微分时，要先对函数进行偏导数运算，然后与自变量的微小变化量相乘，再将结果相加。
三、多元函数的全微分对于多元函数z = f(x1, x2, ..., xn)，如果在点(x1^0,x2^0, ..., xn^0)处可微分，那么z在(x1^0, x2^0, ..., xn^0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1表示函数对变量x1的偏导数，∂f/∂x2表示函数对变量x2的偏导数，dx1表示自变量x1的微小变化量，dx2表示自变量x2的微小变化量，以此类推。
四、全微分的应用例如，在概率论与统计学中，我们常常需要计算函数的期望和方差。
对于连续型随机变量，若已知其概率密度函数f(x)和函数g(x)，可以通过全微分的公式计算函数g(x)的期望和方差。
一元函数的导数与微分
h→0
h2
解答：
(D) lim f (2h) − f (h) 存在
h→0
h
首先，若 f (x) 在 x = 0 可导，则 f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim f (x) 存在。从这一点
x→0
x
x→0 x
来看，只要 f (x) 在 x =0 处可导，则 A,B,C,D 四个极限都是存在的。事实上，
B 选项，若 lim f (x) + f (−x) 存在，同上面，可知 lim[ f (x) + f (−x)] = 0 。由 f (x) 在
x→0
x
x→0
认识自我，准确定位，重新设计你的人生
5
x = 0 的连续性， lim[ f (x) + f (−x)] = 2 f (0) = 0 ，即 f (0) = 0 。 x→0
C 选项，若 lim f (x) 存在，同前面，我们得到 f (0) = lim f (x) = 0 。于是，
x→0 x
x→0
f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim f (x) 存在。
x→0 x − 0
x→0 x
D 选项，若 lim f (x) − f (−x) 存在，却无法说明 f ′(0) 存在。如果 f ′(0) 存在，那么
(A) f (x) 在 (0, δ) 内单调增加
ห้องสมุดไป่ตู้
(B) f (x) 在 (−δ ,0) 内单调减少
(C) 对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f (x) > f (0)
(D) 对任意的 x ∈ (−δ ,0) 有 f (x) > f (0)
解答：f ′(0) = lim f (x) − f (0) > 0 ，由极限的保号性，存在一个 δ > 0 ，当 0 < x < δ ，
大学数学微积分第16讲《求导法则》课件
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十六讲 求导法则
第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
例6 设 y a0 xn a1xn1 an1x2 an1x an，
求 y。
解 由和的求导公式
y (a0 xn ) (a1xn1) (an2 x2 ) (an1x) (an )
a0n xn1 a1(n 1)xn2 an2 2x an1
通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次 数降低一次, 系数相应改变.
1 x2
y arctanx, ( x ), 求y。
例17
解 它是 x tan y , y ( , )的反函数,
22
且 x tan y 满足定理的条件,
又 (tan y) 1 tan2 y 0
故
y
(arctan
x)
1 (tan
y)
1
1 tan 2
y
1 1 x2
x ( , )
(arctan
又 x cos y 在 (0, ) 内单调、连续、可导, 且
d x (cos y) sin y 0 dy
故 y (arccos x) d y 1 1
d x d x (cos y) dy
1 1
1
sin y
1 cos2 y
1 x2
(1 x 1)
(arccos x) 1
(1 x 1)
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
第二章 一元函数的导数和微分
第二章 一元函数的导数和微分微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反映出函数相对于自变量的变化而变化的快慢程度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数值变化的近似值.第一节 导数的概念在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题。
例如，物体作匀速直线运动时，其速度为物体在时刻t 0到t 的位移差s (t )-s (t 0) 与相应的时间差t -t 0的商00()()--s t s t v =t t .如果物体作变速直线运动，则上面的公式就不能用来求物体在某一时刻的瞬时速度了.不过，我们可先求出物体从时刻t 0到t 的平均速度，然后假定t →t 0,求平均速度的极限00()()lim→--t t s t s t t t ，并以此极限作为物体在t 0时刻的瞬时速度.从数学角度来看，00()()--f x f x x x 叫做函数y =f (x )在x 0与x 的差商，而把x →x 0时，该差商的极限值(如果存在的话)叫做函数f (x )在x 0处的导数.一般说来，工程技术中一个变量相对于另一个变量的变化率问题，可以化成求导数的问题进行处理.一、导数的定义定义 设函数y =f (x )在U (x 0)内有定义.如果极限00()()lim→--x x f x f x x x存在，则称该极限值为f (x )在点x 0处的导数，记为000()()()lim→-'=-x x f x f x f x x x ， (2-3-1)此时也称函数f (x )在点x 0可导.函数f (x )在点x 0处的导数还可记为0d d =y x x x ；0d ()d =f x x x x ；0'=y x x .导数f ′(x 0)可以表示为下面的增量形式00000()()()limlim ∆→∆→+∆-∆'==∆∆x x f x x f x yf x x x. (2-3-2)如果(2-3-1)式和式(2-3-2)中右边的极限不存在，则称f (x )在点x 0不可导.当00()()lim→--x x f x f x x x = ∞时，我们通常说函数y = f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都可导，则称f (x )在此开区间(a ，b )内可导.这时，∀x ∈(a ，b )，对应着f (x )的一个确定的导数值，这是一个新的函数关系，称该函数为原来函数f (x )的导函数，记为f ′(x )，y ′，d ()d f x x ，d d yx等，此时 0()()()lim ∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x, x ∈(a ,b ).显然，f (x )在点x 0∈(a ，b )的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x =x 0处的函数值：00()()''==f x f x x x .为方便起见，我们简称函数的导函数为导数.由函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的定义可知，它是一种极限：000()()()lim→-'=-x x f x f x f x x x ，而极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等.因此f ′(x 0)存在(即f (x )在点x 0可导)的充要条件应是下面的左、右极限00()()lim -→--x x f x f x x x ，000()()lim +→--x x f x f x x x 都存在且相等.我们将这两个极限分别称为函数f (x )在x 0处的左导数和右导数，记为f ′-(x 0)和f ′+(x 0)，即000()()()lim --→-'=-x x f x f x f x x x ，000()()()lim ++→-'=-x x f x f x f x x x或写成增量形式：0000()()()lim --∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x，0000()()()lim ++∆→+∆-'=∆x f x x f x f x x.定理1 函数y =f (x )在点x 0可导的充要条件是f ′-(x 0)及f ′+(x 0)存在且相等.该定理实际上是第一章第四节中定理2的推论. 例1 函数f (x )=｜x ｜在点x =0处是否可导？ 解 因为(0)(0)sgn()∆-+∆-==∆∆∆x f x f x x x，所以0(0)lim sgn()1++∆→'=∆=x f x ,0(0)lim sgn()1--∆→'=∆=-x f x ，由于f ′+(0)≠f ′-(0),因此f (x )=｜x ｜在x =0处不可导.例2 研究函数,0,()ln(1),0<⎧=⎨+≥⎩x x f x x x 在点x =0处的可导性.解 易知f (x )在点x =0处连续，而0()(0)(0)lim ++→-'=x f x f f x0ln(1)0lim +→+-=x x x1lim ln(1)1+→=+=xx x , 00()(0)0(0)lim lim 1---→→--'===x x f x f x f x x， 由于f ′+(0)=f ′-(0)=1，故f (x )在点x =0处可导，且f ′(0)=1.例3 求函数f (x )=C ，x ∈(-∞，+∞)的导数，其中C 为常数.解 00()()()limlim 0∆→∆→+∆--'===∆∆x x f x x f x C Cf x x x， 即(C )′=0.通常说成：常数的导数等于零.例4 设y =x n ，n 为正整数，求y ′.解 0()lim ∆→+∆-'∆n nx x x x y =x12210lim(C ()())---∆→+∆++∆ n n n n x =nxxx x 1-=n nx ,即 (x n )′=nx n -1.特别地，n =1时，有(x )′=1. 例5 设y =sin x ，求y ′.解 0sin()sin limx x x xy x∆→+∆-'=∆022cos sin22limx x x x x∆→+∆=∆ 022cos 22lim cos x x x x x x∆→∆+∆⋅==∆即 (sin x )′=cos x .例6 设y =cos x ，x ∈(-∞，+∞)，求y ′.解 0cos()cos limx x x xy x∆→+∆-'=∆02sin()sin 22limx x x x x∆→∆∆-+=∆ 02sin()22limsin x x x x x x∆→∆∆-⋅+==-∆， 即 (cos x )′=-sin x .例7 设y =a x ，x ∈(-∞，+∞)，a ＞0，求y ′. 解 注意到u →0时，e u -1~u ，从而00(1)lim lim x x x x x x x a a a a y x x+∆∆∆→∆→--'==∆∆ln 00e 1ln limlim ln x a xx x x x x aa a a a x x∆∆→∆→-∆===∆∆， 即(a x )′=a x ln a (a ＞0).特别地 (e x )′=e x . 例8 设y =log a x ，x ∈(0，+∞)，a ＞0且a ≠1，求y ′.解 00log (1)log ()log limlima a a x x xx x xx y xx∆→∆→∆++∆-'==∆∆00111lim log (1)lim log e =ln x x a a x x x x x x x a∆∆→∆→∆=+=，即 (log a x )′=1ln x a. 特别地 1(ln )x x'=.例9 设y =x 3，求y ′｜x =2.解 因为 y ′=(x 3)′=3x 3-1=3x 2， 所以 y ′｜x =2 =3x 2｜x =2 =3×22=12.下面我们讨论可导与连续的关系.定理2 若y =f (x )在点x 0可导，则f (x )在点x 0必连续. 证 因为f (x )在点x 0可导，即000()()lim()x x f x f x f x x x →-'=-存在.由无穷小量与函数极限的关系得000()()()f x f x f x x x α-'=+-,其中α→0(x →x 0)，于是0000()()()()()f x f x f x x x x x α'-=-+-故 [][]00000lim ()()lim ()()()0x x x x f x f x f x x x x x α→→'-=-+-=.即f (x )在点x 0连续.例10 研究函数1sin ,0,()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在点x =0处的连续性和可导性.解 因为1lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→===， 所以f (x )在点x =0处连续，但是0001sin 0()(0)1lim lim limsin 0x x x x f x f x x x x→→→--==- 不存在,故f (x )在点x =0处不可导.此例说明“连续不一定可导”，连续只是可导的必要条件. 二、导数的几何意义连续函数y =f (x )的图形在直角坐标系中表示一条曲线，如图2-1所示.设曲线y =f (x )上某一点A 的坐标是(x 0，y 0)，当自变量由x 0变到x 0+Δx 时，点A 沿曲线移动到点B (x 0+Δx ，y 0+Δy )，直线AB 是曲线y =f (x )的割线，它的倾角记作β.从图形可知，在直角三角形AB C 中，tan CB y AC x β∆==∆，所以yx∆∆的几何意义是表示割线AB 的斜率.图2-1当Δx →0时，B 点沿着曲线趋向于A 点，这时割线AB 将绕着A 点转动，它的极限位置为直线AT ，这条直线AT 就是曲线在A 点的切线，它的倾角记作α.当Δx →0时，既然割线趋近于切线，所以割线的斜率yx∆∆=tan β必然趋近于切线的斜率tan α，即 00()lim tan x yf x xα∆→∆'==∆.由此可知，函数y =f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y =f (x )在对应点A (x 0，y 0)处的切线的斜率.曲线y =f (x )在点A (x 0，y 0)的切线方程可写成：(1) f ′(x 0)存在，切线方程为y -f (x 0)= f ′(x 0)(x -x 0)；(2) f (x )在点x 0处连续，f ′(x 0)=∞，则切线方程为x =x 0.例11 求过点(2，0)且与曲线y =1x 相切的直线方程. 解 显然点(2，0)不在曲线y =1x上.由导数的几何意义可知，若设切点为(x 0，y 0)，则y 0=1x ，且所求切线的斜率k 为 02011()x x k xx ='==-， 故所求切线方程为020011(2)y x x x -=--. 又切线过点(2，0)，所以有020011(2)x x x -=--. 于是得x 0=1，y 0=1，从而所求切线方程为y -1= -(x -1)，即y =2-x .例12 在曲线32y x =上求一点，使该点处的曲线的切线与直线y =3x -1平行. 解 在32y x =上的任一点M (x ，y )处切线的斜率k 为32()k y x ''===而已知直线y =3x -1的斜率k 1=3.令k =k 13=，解之得x =4，代入曲线方程得 3248y ==.故所求点为(4，8).三、函数四则运算的求导法定理3设函数u =u (x )，v =v (x )在点x 处可导，k 1，k 2为常数，则下列各等式成立： (1) ［k 1u (x )+k 2v (x )］′=k 1u ′(x )+k 2v ′(x ); (2) ［(u (x )v (x )］′=u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x );(3) 2()()()()()()()u x u x v x u x v x v x v x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦［v (x )≠0］. 证 仅以(3)为例进行证明.记g (x )=()()u x v x ，且v (x )≠0，则01()()()lim()()x u x x u x g x x v x x v x ∆→⎡⎤+∆'=-⎢⎥∆+∆⎣⎦ 01()()()()lim()()()()x u x x u x v x x v x v x u x v x v x x x x ∆→+∆-+∆-⎡⎤=-⎢⎥+∆∆∆⎣⎦ 0001()()()()lim()lim ()lim ()()x x x u x x u x v x x v x v x u x v x v x x x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-⎡⎤=-⎢⎥+∆∆∆⎣⎦ 2()()()()()u x v x u x v x v x ''-=.定理中的(1)式和(2)式均可推广至有限多个函数的情形.读者不难自行完成. 例13 设52434y x x =-+,求y ′.解 52(434)y x x ''=-+52(4)(3)(4)x x '''=-+4206x x =-.例14 设y =x 3cos x sin x ,求y ′.解 3(c o s s i n )y x x x''= 333()cos sin (cos )sin cos (sin )x x x x x x x x x '''=++232323cos sin sin cos x x x x x x x =-+.例15 设y =tan x ，求y ′.解 sin (tan )()cos xy x x'''== 2(sin )cos sin (cos )cos x x x x x''-=2222cos sin 1cos cos x x x x+==,即 (tan x )′=21cos x=sec 2x =1+tan 2x . 类似可得2221(cot )csc (1cot )sin x x x x'=-=-=-+. 例16 设y =sec x ,求y ′.解 在定理3的(3)中,取u (x )≡1,则有21()()()v x v x v x ''⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 于是y ′=(sec x )′=21(cos )cos cos x x x ''⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin sec tan cos xx x x==,即 (sec x )′=sec x tan x .类似可得 (csc x )′=-csc x cot x .第二节 求导法则一、复合函数求导法定理1(链导法) 若u =φ(x )在点x 处可导，而y =f (u )在相应点u =φ(x )处可导，则复合函数y =f (φ(x ))在点x 处可导，且d d d d d d y y u x u x=⋅，或记为 ［f (φ(x ))］′=f ′(φ(x ))·φ′(x ). (2-2-1)证 因为y =f (u )在u 的导数0()limu yf u x∆→∆'=∆存在，所以()yf u xα∆'=+∆，其中α→0(Δu →0)， 故 ()y f u x x α'∆=∆+∆，从而 00limlim ()x x y u u f u x x x α∆→∆→∆∆∆⎛⎫'=+ ⎪∆∆∆⎝⎭000()limlim lim x x x u uf u x xα∆→∆→∆→∆∆'=+∆∆.又u =φ(x )在点x 处可导，故φ(x )必在点x 处连续，因此Δx →0时必有Δu →0.于是000lim()()lim lim x u x y uf u x x xϕα∆→∆→∆→∆∆''=+∆∆()()(())()f u x f x x ϕϕϕ''''==，而[]0lim(())x yf x xϕ∆→∆'=∆，定理证毕.例1 设f (x )=x μ，μ ∈R ，x ＞0，求f ′(x ). 解 由于x μ=e μln x ，x ＞0.令u =μln x ，则x μ系由y =e u 及u =μln x 复合而成.d(e )d(ln )()d d u x f x u xμ'=⋅ln 11e e u x x x xμμμμμ-===， 即 (x μ)′=μx μ-1，μ∈R ，x ＞0.例2 设y =e -x ，求y ′.解 令u = -x ，则y =e u ，从而d d d d(e )d()d d d d d u y y u x x u x u x-=⋅=⋅ e (1)e u x -=-=-.即 (e -x )′= -e -x .对复合函数的分解熟练后，就不必再写出中间变量，而可按下列各题的方式进行计算.例3 设1sin1y x=+，求y ′. 解 21111cos()cos 11(1)1y x x x x''==++++. 例4设y =y ′.解2)x y '''==22(e )x x '=222e ()x x x '=⋅22e 2x x x =⋅22x x=.例5设ln(y x =,求y ′. 解ln(y x x '⎡⎤''==+⎣⎦21⎡⎤'==⎢⎢⎣=.二、反函数求导法定理2 设函数y =f (x )与x =φ(y )互为反函数，f (x )在点x 可导，φ(y )在相应点y 处可导，且d ()0d xy yϕ'=≠,则 d 1d d d x y yx=，或1()()f x y ϕ'='. 简单地说成：反函数的导数是其直接函数导数的倒数.证 由x ＝φ(y )=φ(f (x ))及y =f (x )，x =φ(y )的可导性，利用复合函数的求导法，得1=φ′(f (x ))f ′(x )=φ′(y )f ′(x )，故 1(),()0()f x y y ϕϕ''=≠'. 例6 设y =arcsin x ，求y ′. 解 由定理2及x =sin y 可知11(sin )cos y y y y '====' 这里记号(sin )y y '表示求导是对变量y 进行的.由上式得(arcsin )x '=.同理可得：(arccos )x '=，21(arctan )1x x '=+，21(arccot )1x x-'=+. 三、参数方程求导法若方程x =φ(t )和y =ψ(t )确定y 与x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t ∈(α，β) (2-2-2) 所确定的函数.下面我们来讨论由参数方程所确定的函数的导数.设t =φ-1(x )为x =φ(t )的反函数，在t ∈(α，β)中，函数x =φ(t )，y =ψ(t )均可导，这时由复合函数的导数和反函数的导数公式，有111d (())(())(())d y x x x x ψϕψϕϕ---'''⎡⎤==⎣⎦ 11()(())()()t x t t ψψϕϕϕ-''=='' (φ′(t )≠0). 于是由参数方程(2-2-2)所确定的函数y =y (x )的导数为d d ()d d d ()d yy t t x x t tψϕ'=='(φ′(t )≠0). (2-2-3) 例7 设33cos ,sin ,x a t y a t ⎧=⎨=⎩求d d yx .解 3232(cos )d 3sin cos tan d (sin )3cos (sin )t t a t y a t tt x a t a t t '===-'-(2n t π≠,n 为整数).例8 设2223,13,1at x t aty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ -∞＜t ＜+∞,求d d yx.解 222222223()d 6(1)6213d 3(1)61()1t taty at t at tt at x a t at t t '+-+===+--'+ (t ≠±1).例9 求极坐标方程r =e a θ(0＜θ＜π/4,a ＞1)所确定的函数y =y (x )的导数.解 由极坐标与直角坐标的关系，得cos e cos ,sin e sin ,a a x r y r θθθθθθ⎧==⎨==⎩故 (e cos )d e sin +e cos sin cos d (e sin )e cos e sin cos sin a a a a a a y a a x a a θθθθθθθθθθθθθθθθθθ'+==='--.例10 求椭圆cos ,sin x a t y bt =⎧⎨=⎩在t =π/4处的切线方程和法线方程.解 d (sin )cot d (cos )yb t bt x a t a '==-',所以在椭圆上对应于t =π/4的点处的切线和法线的斜率为4d cot d 4t=ybbk x a a ππ==-=-切，a kb =法.切线方程和法线方程分别为bx +ay =和ax -by =a 2-b 2).四、隐函数求导法如果在含变量x 和y 的关系式F (x ，y )= 0中，当x 取某区间I 内的任一值时，相应地总有满足该方程的惟一的y 值与之对应，那么就说方程F (x ，y )=0在该区间内确定了一个隐函数y =y (x ).这时y (x )不一定都能用关于x 的表达式表示.例如方程e y +xy -e -x =0和y =cos(x +y )都能确定隐函数y =y (x ).如果F (x ，y )=0确定的隐函数y =y (x )能用关于x 的表达式表示，则称该隐函数可显化.例如x 3+y 5-1=0，解出y =，就把隐函数化成了显函数.若方程F (x ，y )=0确定了隐函数y =y (x )，则将它代入方程中，得F (x ，y (x ))≡0.对上式两边关于x 求导(若可导)，并注意运用复合函数求导法则，就可以求出y ′(x )来. 例11 求方程y =cos(x +y )所确定的隐函数y =y (x )的导数.解 将方程两边关于x 求导，注意y 是x 的函数，得y ′= -sin(x +y )(1+y ′)，即 sin()1sin()x y y x y -+'=++ ， 1+sin(x +y )≠0. 例12 求由方程e y +xy -e -x = 0所确定的隐函数y = y (x )的导数.解 将方程两边关于x 求导，得e y y ′+y +xy ′+e -x =0，故 e exy y y x -+'=-+ (x +e y ≠0). 在计算幂指函数的导数以及某些乘幂、连乘积、带根号函数的导数时，可以采用先取对数再求导的方法，简称对数求导法.它的运算过程如下：在y =f (x )(f (x )＞0)的两边取对数，得ln y =ln f (x ).上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得y ′=y (ln f (x ))′.例13 求2242(2)(1)(1)x y x x +=+++的导数. 解 先在两边取对数，得242ln 2ln(2)ln(1)ln(1)y x x x =+-+-+.上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得3242442211y x x x y x x x '=--+++， 于是 3242442211x x x y y x x x ⎛⎫'=-- ⎪+++⎝⎭，即22342242(2)442(1)(1)211x x x x y x x x x x ⎛⎫+'=-- ⎪+++++⎝⎭.例14 设()()v x y u x =，u (x )＞0，其中u (x )，v (x )均可导，求y ′.解 两边取对数得ln y =v (x )ln u (x )，两边对x 求导，得()()ln ()()()y u x v x u x v x y u x '''=+， 于是 ()()()()()ln ()()v x v x u x y u x v x u x u x '⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭. 特别地，当()()u x v x x ==时，()(1ln )x x x x x '=+.例15 求y =x sin x (x ＞0)的导数.解 两边取对数得ln y =sin x ln x .两边对x 求导，得sin cos ln y x x x y x'=+. 于是 sin sin cos ln x x y x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭. 第三节 函数的微分一、微分的概念定义1 设函数y =f (x )在U (x 0)内有定义，若∃A ∈R ，使Δy =A Δx +o (Δx ) (2-3-1)成立，则称函数y =f (x )在点x 0处可微分(简称可微)，线性部分A Δx 称为f (x )在x 0处的微分，记为d y =A Δx (其中Δx =x -x 0)，A 称为微分系数.定义中的式(2-3-1)可写为0000000()()()()()lim lim 0x x x x f x f x A x x f x f x A x x x x →→⎛⎫----=-= ⎪--⎝⎭， (2-3-2) 即式(2-3-1)成立的充要条件为 000()()limx x f x f x A x x →-=-. 于是便有下面的定理.定理1 函数y =f (x )在点x 0可微的充要条件是函数y =f (x )在点x 0可导.当f (x )在点x 0处可微时，必有d y =f ′(x 0)Δx . 该定理说明函数的可微性与可导性是等价的.函数y =f (x )在任意点x 的微分，称为函数的微分，记为d y =f ′(x )Δx . (2-3-3)例1 设y =x ，求d y .解 因为y ′=(x )′=1，所以d y =1×Δx =Δx .为方便起见,我们规定:自变量的增量称为自变量的微分,记为d x =Δx .于是式(2-3-3)可记为d y =f ′(x )d x . (2-3-4)例2 求y =sin x 当x =π/4，d x =0.1时的微分.解 d y =(sin x )′d x =cos x d x .当x =π/4,d x =0.1时，有d cos 0.10.07074y π=⨯=≈. 在几何上，y =f (x )在x 0处的微分d y =f ′(x 0)d x 表示曲线y =f (x )在点M (x 0，f (x 0))处切线MT 的纵坐标相应于Δx 的改变量PQ (见图2-2)，因此d y =Δx tan α.图2-2二、微分的运算公式1.函数四则运算的微分设u =u (x )，v =v (x )在点x 处均可微，则有d(Cu )=C d u (C 为常数)，d(u +v )=d u +d v ，d(uv )=u d v +v d u ，2d()=,0u vdu udv v v v -≠. 这些公式由微分的定义及相应的求导公式立即可证得.2.复合函数的微分若y =f (u )及u =φ(x )均可导，则复合函数y =f (φ(x ))对x 的微分为d y =f ′(u )φ′(x )d x . (2-3-5)注意到d u =φ′(x )d x ，则函数y =f (u )对u 的微分为d y =f ′(u )d u . (2-3-6)将(2-3-6)式与(2-3-4)式比较可知，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式d y =f ′(u )d u 保持不变.此性质称为一阶微分的形式不变性.由此性质，我们可以把导数记号d d y x ，d d y u等理解为两个变量的微分之商了，因此，导数有时也称微商.用微商来理解复合函数的导数以及求复合函数的导数就方便多了.例3 设y =d y .解 记u =a 2+x 2，则yd du y y u u '==.又 d u =u ′x d x =2x d x ，故d 2d y x x x ==.为了读者使用的方便，我们将一些基本初等函数的导数和微分对应列表如下.表2-1第四节 高阶导数与高阶微分一、高阶导数若函数y =f (x )在U (x )内可导，其导函数为f ′(x )，且极限0()()lim x f x x f x x∆→''+∆-∆ 存在，则称该极限值为函数f (x )在点x 处的二阶导数，记为f ″(x ), 22d d y x,y ″等. 函数y =f (x )的二阶导数f ″(x )仍是x 的函数，如果它可导，则f ″(x )的导数称为原函数f (x )的三阶导数，记为()f x ''',33d d y x，y '''等. 一般说来，函数y =f (x )的n -1阶导数仍是x 的函数，如果它可导，则它的导数称为原来函数f (x )的n 阶导数，记为()()n f x ，d d n n y x，()n y 等.通常四阶和四阶以上的导数都采用这套记号，而不用“′”.一阶、二阶和三阶导数则采用“′”的记号.由以上叙述可知，求一个函数的高阶导数，原则上是没有什么困难的，只需运用求一阶导数的法则按下列公式计算()(1)()n n y y -'= (n =1,2,…)或写成11d d d d d d n n-n n y y x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()(1)()(())n n f x f x -'=. 如果函数y =f (x )在区间I 上有直到n 阶的连续的导数，我们使用记号f (x )∈C n (I )来表示. 例1 设y =x n ，n 为正整数，求它的各阶导数.解 1()n n y x nx -''==,12()(1)n n y nx n n x --'''==-,……()(1)(1)k n k y n n n k x -=--+ ,……()(1)321!n y n n n =⨯-⨯⨯⨯⨯= ，(1)()()(!)0n n y y n +''===.显然，y =x n 的n +1阶以上的各阶导数均为0.例2 设y =sin x ，求它的n 阶导数()n y .解 cos sin()2y x x π'==+，()cos()sin(2)22y y x x ππ''''==+=+⨯，设 ()sin()2k y x k π=+⋅，则 (1)()()cos()sin (1)22k k y y x k x k +ππ⎡⎤'==+=++⎢⎥⎣⎦.由数学归纳法，知()(sin )sin()2n nx x =+π，n =1，2，….由此式我们可得到y =cos x 的高阶导数公式：()(1)1(cos )(sin )sin()cos()22n n n nx x x x --=-=-+π=+π，即 ()(cos )cos()2n nx x =+π，n =1，2，….例3 设y =ln(1+x )，求()n y .解 11y x '=+，211()()1(1)y y x x '''''===-++，2312()(1)(1)y y x x '⎡⎤''''''==-=⎢⎥++⎣⎦,运用数学归纳法可知()1(1)!(1)(1)n n n n y x --=-+，n =1，2，3，….例4 设y =a x (a ＞0)，求()n y .解 ()ln x x y a a a ''==，2(ln )ln x x y a a a a '''==.设 ()ln k x k y a a =，则 ()(1)1ln ln k x k x k+y a a a a +'==.故 ()()ln x n x n a a a =, n =1,2,….特别地,有 ()(e )e x n x =, n =1,2,….对于高阶导数,有下面的运算法则:设函数u =u (x )和v =v (x )在点x 处都具有直到n 阶的导数, 则u (x )±v (x ),u (x )v (x )在点x 处也具有n 阶导数,且(u ±v )(n )=u (n )±v (n ), (2-4-1)()()(1)(2)(1)()2!n n n n n n u v u v n u v u v ---'''⋅=⋅+⋅⋅++ ()(1)(1)!n n n n k uv k --++ =()()0C n i n i i ni u v -=⋅⋅∑， (2-4-2) 其中u (0)=u ，v (0)= v ，(1)(1)C !i n n n n i i --+= .(2- 4-2)式称为莱布尼茨(Leibniz)公式，将它与二项展开式对比，就很容易记住. (2-4-1)式由数学归纳法易证.(2-4-2)式证明如下：当n =1时，由(uv )′=u ′v +uv ′知公式成立.设当n =k 时公式成立，即()()()()(1)(2)()(1)C 2!kk i k i i k k k k k i k k y u v u v ku v u v uv ---=-'''=⋅⋅=++++∑ .两边求导，得(1)(1)()()(1)k k k k k y u v u v k u v u v ++-''''⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦(1)(2)()(1)(1)2!k k k k k k u v u v u v uv --++''''''⎡⎤⎡⎤+++++⎣⎦⎣⎦1(1)()10C k i k i i k i u v ++-+==⋅⋅∑，即n =k +1时公式(2-4-2)也成立，从而(2-4-2)成立.例5 设y =x 2·e 2x ，求y (20).解 设u =e 2x ，v =x 2，则u (i )=2i ·e 2x (i =1，2，…，20)，v ′=2x ，v ″=2,v (i )=0 (i =3,4,…,20).代入莱布尼茨公式,得y (20)=(x 2·e 2x )(20)202219218220192e 202e 22e 22!x x x x x ⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅20222e (2095)x x x =⋅⋅++.例6 设e x +y -xy =1，求y ″(0).解 方程两边对x 求导，得(1+y ′)e x +y -y -xy ′=0.上式两边再对x 求导，得(1+y ′)2e x +y +y ″e x +y -2y ′-xy ″=0.令x =0，可得y =0，y ′(0)= -1，将这些值代入上式得y ″(0)= -2.例7已知cos,sin,x a ty b t=⎧⎨=⎩求22ddyx.解d(sin)coscot d(cos)siny b t b t bt x a t a t a'==-=-'.注意dcotdy btx a=-，x=a cos t仍是参数方程，所以仍须用参数方程求导法则，从而22d d cot()d d ddd(cos)dby ty at xxx a tt'⎛⎫- ⎪⎝⎭=='2321csc cscsinb bt ta a t a=⋅⋅=-⋅-.*二、高阶微分对于函数y=f(x)，类似于高阶导数可以定义高阶微分.设f(x)有直至n阶的导数，自变量的增量仍为d x，则二阶微分定义为d2y=d(d y)=d(f′(x)d x)=d(f′(x))d x=f″(x)d x·d x=f″(x)d x2；三阶微分定义为d3y=d(d2y)=d(f″(x)d x2)=d(f″(x))d x2=f'''(x)d x d x2=f'''(x)d x3;一般地，定义n阶微分为d n y=d(d n-1y)=f(n)(x)d x n. (2-4-3) 以上公式中的x都是自变量，d x n表示n个d x的乘积(n=2,3,4,…).对于复合函数来说，二阶及二阶以上的微分已不再具有公式(2-4-3)的形式了.例如,设y=f(u)，u=φ(x)，且都具有相应的可微性，则d y=f′(u)d u，而d2y=d(f′(u)d u)=d(f′(u))d u+f′(u)d(d u)=f″(u)d u2+f′(u)d2u. (2-4-4)这是因为d u不再是固定的了，它依赖于自变量x，即d u=φ′(x)d x.(2-4-4)式说明高阶微分已不再具有形式不变性了.这是高阶微分与一阶微分的重要区别之一.例8 设y=x sin x，求d2y.解d y=(x sin x)′d x=(sin x+x cos x)d x;d2y=d(d y)=(sin x+x cos x)′d x2=(cos x+cos x-x sin x)d x2=(2cos x-x sin x)d x2.例9设u=u(x),v=v(x)均有二阶导数,y=u(x)v(x),求d2y.解d y=y′d x=［u(x)v(x)］′d x=［u′(x)v(x)+u(x)v′(x)］d xd 2y =d(d y )=d ［(u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x ))d x ］=［u ′(x )v (x )+u (x )v ′(x )］′d x 2=［u ″(x )v (x )+2u ′(x )v ′(x )+ u (x )v ″(x )］d x 2.第五节 微分中值定理本节介绍微分学中有重要应用的反映导数更深刻性质的微分中值定理.定理1 [罗尔(Ro lle)定理] 若f (x )∈C (［a ,b ］),f (x )在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )，则∃ξ∈(a ，b )使得f ′(ξ)=0.证 由f (x )∈C (［a ，b ］)知f (x )在［a ，b ］上必取得最大值M 与最小值m .若M ＞m ，则M 与m 中至少有一个不等于f (x )在区间端点的值.不妨设M ≠f (a ).由最值定理，∃ξ∈(a ,b ),使f (ξ)=M .又0()()()lim 0x f x f f xξξξ++∆→+∆-'=≤∆，0()()()lim 0x f x f f x ξξξ--∆→+∆-'=≥∆， 故 f ′(ξ)=0.若M =m ，则f (x )在［a ，b ］上为常数，故(a ，b )内任一点都可成为ξ，使f ′(ξ)=0. 罗尔定理的几何意义是：若y =f (x )满足定理的条件，则其图像在［a ，b ］上对应的曲线弧AB 上一定存在一点具有水平切线，如图2-3所示.图2-3定理2［拉格朗日(L ag r ang e)中值定理］ 若f (x )∈C (［a ，b ］)，f (x )在(a ，b )内可导，则∃ξ∈(a ，b )使得f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a ). (2-5-1)证 考虑辅助函数Φ(x )=f (x )-λx (其中λ待定)，为了使Φ(x )满足定理1的条件，令Φ(a )=Φ(b )得 λ=()()f b f a b a--， 即 Φ(x )=f (x )-()()f b f a b a --x . 于是由定理1,∃ξ∈(a ，b )，使Φ′(ξ)=0，即f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a ).如图2-4所示，连结曲线弧 AB 两端的弦AB ，其斜率为()()f b f a b a--.因此，定理的几何意义是：满足定理条件的曲线弧 AB 上一定存在一点具有平行于弦AB 的切线.图2-4显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.式(2-5-1)称为拉格朗日中值公式，显然，当b ＜a 时，式(2-5-1)也成立.设x 和x +Δx 是(a ，b )内的两点，其中Δx 可正可负，于是在以x 及x +Δx 为端点的闭区间上有f (x +Δx )-f (x )=f ′(ξ)Δx ，其中ξ为x 与x +Δx 之间的某值，记ξ = x +θΔx ，0＜θ＜1，则f (x +Δx )-f (x )=f ′(x +θΔx )Δx (0＜θ＜1). (2-5-2)(2-5-2) 式称为有限增量公式.推论1 若函数f (x )在区间I 上的导数恒为零，则f (x )在区间I 上为一常数. 证 x 1，x 2∈I ，x 1＜x 2，在［x 1,x 2］上应用定理2,得f (x 2)-f (x 1) =f ′(ξ)(x 2-x 1),ξ∈(x 1,x 2).由于f ′(ξ)=0,故f (x 2)=f (x 1).由x 1,x 2的任意性可知,函数f (x )在区间I 上为一常数.在第一节我们知“常数的导数为零”，推论1就是其逆命题.由推论1立即可得以下结论. 推论2 若∀x ∈I ，f ′(x )=g ′(x )，则在I 上f (x )=g (x )+C (C 为常数).例1 求证arcsin x +arccos x =π2，x ∈［-1，1］. 证 令f (x )=arcsin x +arccos x ，则f ′(x )=，x ∈(-1，1).由推论1得f (x )=C ，x ∈(-1，1).又 因f (0)=π2，且f (±1)= π2. 故 f (x )=arcsin x +arccos x =π2,x ∈［-1,1］.例2 证明不等式arc tan x 2-arc tan x 1≤x 2-x 1(其中x 1＜x 2).证 设f (x )=arc tan x ，在［x 1，x 2］上利用拉格朗日中值定理， 得 arc tan x 2-arc tan x 1=211ξ+(x 2-x 1)，x 1＜ξ＜x 2. 因为211ξ+≤1，所以 arc tan x 2-arc tan x 1≤x 2-x 1.例3 设函数f (x )=x (x -2)(x -4)(x -6)，说明方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内有几个实根，并指出它们所属区间.解 因为f ′(x )是三次多项式，所以方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内最多有3个实根.又由于f (0)=f (2)=f (4)=f (6)=0，f (x )在区间［0，2］，［2，4］，［4，6］上满足罗尔定理的条件.故 ξ1∈(0，2)，ξ2∈(2，4)，ξ3∈(4，6)，使f ′(ξ1)=0，f ′(ξ2)=0，f ′(ξ3)=0.即方程f ′(x )=0在(-∞，+∞)内有3个实根，分别属于区间(0，2)，(2，4)，(4，6).例4 若f (x )＞0在［a ，b ］上连续，在(a ,b )内可导，则∃ξ∈(a ，b )，使得()()ln()()()f b f b a f a f ξξ'=-. 证 原式即()ln ()ln ()()()f f b f a b a f ξξ'-=-. 令φ(x )=ln f (x ),有 φ′(x )=()()f x f x '.显然φ(x )在［a ，b ］上满足拉格朗日中值定理的条件，在［a ，b ］上应用定理可得所证. 下面再考虑由参数方程x =g (t )，y =f (t )，t ∈［a ，b ］给出的曲线段，其两端点分别为A (g (a )，f (a ))，B (g (b )，f (b )).连结A ，B 的弦AB 的斜率为()()()()f b f ag b g a -- (见图2-5)，而曲线上任何一点处的切线斜率为d ()d ()x f t y g t '='.图2-5若曲线上存在一点C ［对应参数t =ξ∈(a ，b )］，在该点曲线的切线与弦AB 平行，则可得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.定理3［柯西(CaUchy )中值定理］ 若f (x )，g (x )∈C (［a ，b ］)均在(a ，b )内可导，且g ′(x )≠0，则∃ξ∈(a ，b )使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.证 由g ′(x )≠0和拉格朗日中值定理得g (b )-g (a )=g ′(η)(b -a )≠0, η∈(a ,b ).由此有g (b )≠g (a )，考虑辅助函数Φ(x )=f (x )-λg (x )(λ待定).为使Φ(x )满足罗尔中值定理的条件，令Φ(a )=Φ(b )，得λ=()()()()f b f ag b g a --.取λ的值如上，由罗尔定理知∃ξ∈(a ，b )，使Φ′(ξ)=0，即()()()()0()()f b f a fg g b g a ξξ-''-=-，即()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-. 由此定理得证.显而易见,若取g (x )≡x ,则定理3成为定理2,因此定理3是定理1,2的推广,它是这三个中值定理中最一般的形式.例5 设函数f (x )在［x 1,x 2］上连续，在(a ,b )内可导,且x 1·x 2＞0，证明∃ξ∈(x 1，x 2)，使112212()()()()x f x x f x f f x x ξξξ-'=--.证 原式可写成122121()()()()11f x f x x x f f x x ξξξ-'=--. 令φ(x )=()f x x ，ψ(x )=1x.它们在［x 1，x 2］上满足柯西中值定理的条件，且有 ()()x x ϕψ''=f (x )-xf ′(x ). 应用柯西中值定理即得所证.第六节 泰勒公式在本章前面已知道，如果f (x )在点x 0处可微，则f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+o (x -x 0).此式表明：对于任何在x 0处有一阶导数的函数，在U (x 0)内能用关于(x -x 0)的一个一次多项式来近似表示它，多项式的系数就是该函数在x 0处的函数值和一阶导数值，这种近似表示的误差是比(x -x 0)高阶的无穷小.于是，人们猜想：如果函数f (x )在点x 0处有n 阶导数，则可以用一个关于(x -x 0)的n 次多项式来近似表示f (x )，该多项式的系数仅与函数f (x )在点x 0的函数值和各阶导数值有关，这种近似表示的误差是比(x -x 0)n 高阶的无穷小.泰勒(Tayl o r)对这个猜想进行了研究，并得到了下面的结论.定理1(泰勒中值定理) 若f (x )在U (x 0)内具有n +1阶导数，则∀x ∈U (x 0)，有f (x )=()000()()()!k nk n k f x x x R x k =-+∑, (2-6-1) 其中R n (x )=o ((x -x 0)n )，且(1)1000(())()()(1)!n n n f x x x R x x x n θ+++-=-+, 0＜θ＜1. (2-6-2)公式(2-6-1)称为f (x )在点x 0的n 阶泰勒公式，式中R n (x )称为余项.式(2-6-2)表示的余项称为拉格朗日余项，而R n (x )=o ((x -x 0)n )称为皮亚诺(Peano)余项.()000()()()!k nk n k f x P x x x k ==-∑称为n 阶泰勒多项式.运用泰勒多项式近似表示函数f (x )的误差可由余项进行估计.例如，若∀x ∈U (x 0)，有｜f (n +1)(x )｜≤M ，则可得误差估计式10()()()(1)!n n n M R x f x P x x x n +=-≤-+.特别地，当公式(2-6-1)中的x 0=0时，通常称为麦克劳林(MaclaUrin)公式，即f (x )=∑nk =0f (k )(0)k ！xk +Rn (x )， (2-6-3)其中 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+，0＜θ＜1.很显然，拉格朗日中值公式是带拉格朗日余项的零阶泰勒公式，泰勒中值定理也是拉格朗日中值定理的推广.例1 求f (x )=e x 的n 阶麦克劳林公式.解 f (k )(x )=e x ，f (k )(0)=1(k =0，1，2，…).e x=21()2!!nn x x x o x n +++++. 其拉格朗日余项为1e ()(1)!xn n R x x n θ+=+,θ∈(0,1).例2 求f (x )=sin x 的n 阶麦克劳林公式.解 f (k )(x )=πsin()2x k +⋅ (k =0，1，2，…)，故()0,2(0)(1),21k jk jf k j =⎧=⎨-=+⎩ (j=0，1，2，…). 取n =2m ，得sin x =352112(1)()3!5!(21)!m m m x x x x o x m ---+-+-+- .其拉格朗日余项为212(21)πsin 2()(21)!m m m x R x x m θ++⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=+21cos (1)(21)!mm x xm θ+=-+， θ∈(0，1). 类似地有cos x =242211(1)()2!4!(2)!mm m x x x o x m +-+-+-+ ， 其拉格朗日余项为12221cos ()(1)(22)!m m m x R x x m θ+++=-+, θ∈(0,1).例3 求f (x )=ln(1+x )的n 阶麦克劳林展开式. 解 ()1(1)!()(1)(1)k k kk fx x --=-+ ，(k =1,2,…), 故f (k )(0)=(-1)k -1(k -1)! (k =1,2,…,n ).又 f (0)=0,f (n +1)(ξ)1!(1)(1)n n ξ+=-+, 其中，ξ在0与x 之间.于是,当x ∈(-1,+∞)时,ln(1+x )=234111(1)(1)2!3!4!(1)(1)nn n nn x x x x x x n n ξ+-+-+-++-+-++ , 其中ξ在0与x 之间.利用泰勒公式可以求极限.例4 求极限2240cos e limx x x x -→-.解 利用泰勒公式,有cos x =2441()2!4!x x o x -++, 2222421e1()2!2!2!x x x o x -⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是 24421cos e ()12x x x o x --=-+. 所以244244001()cos e 112limlim 12x x x x o x x x x -→→-+-==-. 第七节 洛必达法则本节我们将利用微分中值定理来考虑某些重要类型的极限.由第二章我们知道在某一极限过程中,f (x )和g (x )都是无穷小量或都是无穷大量时,f (x )/g (x )的极限可能存在,也可能不存在.通常称这种极限为不定式(或待定型),并分别简记为00或∞∞. 洛必达(L’H ospital)法则是处理不定式极限的重要工具，是计算00型、∞∞型极限的简单而有效的法则.该法则的理论依据是柯西中值定理.一、型不定式 定理1设f (x )，g (x )满足： (1) 0lim x x →f (x )=0，0lim x x →g (x )=0；(2)在U ︒(x 0)内可导，且g ′(x )≠0; (3) 0limx x →()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 0limx x →()()f xg x = 0lim x x →()()f x g x ''. 证 由于极限0limx x →()()f xg x 与f (x )和g (x )在x =x 0处有无定义没有关系，不妨设f (x 0)=g (x 0)=0.这样，由条件(1)、(2)知f (x )及g (x )在U (x 0)连续.设x ∈U (x 0)，则在［x ，x 0］或［x 0，x ］上，柯西中值定理的条件得到满足，于是有00()()()()()()()()f x f x f x fg x g x g x g ξξ'-=='-, 其中ξ在x 与x 0之间.令x →x 0(从而ξ→x 0)，上式两端取极限，再由条件(3)就得到limx x →()()f x g x =0lim x ξ→()()f g ξξ''= 0lim x x →()()f xg x ''， 对于当x →∞时的型不定式，洛必达法则也成立. 推论1 f (x )，g (x )满足 (1)lim x →∞f (x )=0，lim x →∞g (x )=0；(2) 当｜x ｜＞X 时可导，且g ′(x )≠0; (3) limx →∞()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 ()()limlim()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='. 证 令t =1x，则x →∞时t →0，从而 01lim ()lim ()0t x f f x t →→∞==，1lim ()lim ()0x x g g x t→∞→∞==. 由定理1，得2002111()()()()()lim lim lim lim 111()()()()()x t t x f f f x f x t t t g x g x g g t t t→∞→→→∞'-'===''-. 显然，若lim ()()f xg x ''仍为00型不定式，且f ′(x )，g ′(x )满足定理条件，则可继续使用洛必达法则而得到()()()limlim lim ()()()f x f x f xg x g x g x '''==''',且仍然可以依此类推.例1 求33221216lim 248x x x x x x →-+--+.解 32322222121631263lim lim lim 248344642x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===--+---.例2 求πarctan 2lim x x x→+∞-. 解 2221πa r c t a n 12l i m l i m l i m 1111x x x x xx x x x→+∞→+∞→+∞--+===+-. 二、∞∞型不定式定理2设f (x )，g (x )满足 (1) 0lim x x →f (x )=∞，0lim x x →g (x )=∞；(2) 在U ︒(x 0)内可导，且g ′(x )≠0;(3) 0limx x →()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 00()()limlim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. 该定理也是应用柯西中值定理来证明的，因过程较繁，故略. 推论2若f (x )，g (x )满足 (1) lim x →∞f (x )=∞，lim x →∞g (x )=∞；(2) 当｜x ｜＞X 时可导，且g ′(x )≠0； (3) limx →∞()()f xg x ''存在(或为∞)， 则 ()()limlim ()()x x f x f x g x g x →∞→∞'='. 例3 求ln limax xx →+∞ (α＞0).解 11l n 1l i m l i m l i m 0a a a x x xxx x a x a x-→+∞→+∞→+∞===. 例4 求lim eax x x →+∞ (α＞0).解 1lim lim e e a a x xx x x ax -→+∞→+∞=.若0＜α≤1，则上式右端极限为0；若α＞1，则上式右端仍是∞∞型不定式，这时总存在自然数n 使n -1＜α≤n ，逐次应用洛必达法则直到第n 次有1lim lim e ea a x x x x x ax -→+∞→+∞== (1)(1)lim 0e a nxx a a a n x n -→+∞--+= （次）. 故 lim 0eax x x →+∞= (α＞0).例5 求π2tan limtan 3x xx →.。
数学基本知识：一元函数的微分
数学基本知识：一元函数的微分对于某一个函数F(x)，下面引入一个相关函数来观察其函数极限g(x) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x上式中的x0暂视为一个常数。
将上式改写为：g(x,x0) = (F(x0 + x) - F(x0))/ x其中g(x,x0)表示此函数含有参数x0（暂视为常数）。
显然，如果F(x)在x=x0点上连续，则g(x,x0)在x=0这个点上是个待定型0/0。
若g(x,x0)的x=0点是个可去间断点（即其在此点上的左右极限存在且相等），通过重新定义g(0,x0)使其等于g(x,x0)在此点上的极限，则可得到唯一的值g(0,x0) = lim[x→0] g(x,x0)现在，换一种形式表示上式f(x) = g(0,x) = lim[∆x→0] g(∆x,x) = lim[∆x→0] [(F(x + ∆x) - F(x))/ ∆x]其中，将原x换成∆x（表示x的一个小的差分量），将x0换成x （视原x0为变量且用x代之）。
即f(x) = lim[∆x→0] [(F(x + ∆x) - F(x))/ ∆x]这就是通常所用的导函数定义形式。
记为f(x) = d/dx F(x)（或dF(x)/dx、F'(x)）如前所述，这是个一元实函数集上的映射。
如果将导函数的定义写成如下形式f(x) = lim[x'→x] [(F(x') - F(x)) / (x' - x)]则可以看出导函数f(x)其实就是与函数F(x)交点为(x,F(x))和(x',F(x'))的割线之斜率在x'→x时的极限，即过点(x,F(x))的切线斜率。
这就是导函数的几何意义。
我们已经知道，导函数可表示成f(x) = dF(x)/dx。
其中dF(x)/dx 原本只是个“符号”，是映射d/dx F(x)的另一种表示。
如果考虑函数F(x)过点(x,F(x))的切线上的点，其切线上任意两点的差分商∆y/∆x都等于f(x)，换种写法为∆y = f(x)∆x （= F'(x)∆x）令差分无限小，且用dy和dx代之，便有dy = f(x)dx （= F'(x)dx）这就是所谓的微分形式（简称微分）。
9.第三章一元函数微分学(微分的概念)
特别注意：
(1)微分与导数虽然有着密切的联系,但它们是有区别的；
(2)导数是函数在一点处的变化率,而微分是函数在一点处由
自变量增量所引起的函数增量的主要部分； (3)导数的值只与 x 有关,而微分的值一般与x 和x 都有关. 例 2 求函数 y x2 1在 x=1,x=0.1 时的改变量 y和 dy.
A (x x)2 x 2 2x x (x)2
0
0
0
A 由两部分组成,第一部分是2x x 0
是x的线性函数,当x 0时,
x0 x
x0 x0
x
第二部分(x)2是比x 高阶的无穷小,
由此可见,如果边长改变很微小时,面积的改变量 A可近
似地用第一部分代替.
2 微分的概念
定义 如果函数 y f (x) 在点 x 处的改变量 y可以表示为
0
0
dy f (x)x
例 1 求 y x2在 x 1和 x 3处的微分
解 函数 y x2在 x 1处的微分为 dy (x2 ) x 2x
x1
函数 y x2在 x 3处的微分 dy (x2 ) x 6x
x3
3 可微的充要条件
定理 2 函数 y f (x) 在点 x 处可微的充要条件是 f (x) 在点 x 处可导,且
解 y f x x f x x x2 1 x2 1 2xx x2,
y x1 21 0.1 (0.1)2 0.21
x0.1
dy f xx x2 1x 2xx,
dy 21 0.1 0.2 x 1 x 0.1
4 复合函数的微分
复合函数的微分法则
设函数 y f (u),u (x)都可微,则复合函数 y f [ (x)]的微分为
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
一元微分
一、一元函数微分法1、重要导数表：1,1(ln )',()',1,x a x x a x ax >⎧=-=⎨-<⎩1[()]'(1)()n n x a x a n x a x a ---=+--，[ln(x +=22221111(arctan )',ln(ln )',2x a x a a x a a a x x a -==++- [ln sec tan ]'sec ,[ln csc cot ]'csc ,[ln csc ]'cot ,[ln sec ]'tan θθθθθθθθθθ+=-=-==()()(1)()11(1)!()!,()ln ,[ln()](),()n m n x n x n n n n n m n mn m n x n n m a a a x a x a x a A x n m++->⎧-⎪===±==⎨±±⎪<⎩)2sin()(sin )(πn ax a ax n n +=，)2cos()(cos )(πn ax a ax n n +=. 2、一元函数微分法：设)(x f y =二阶可导，且'0y ≠，则'()1'x y y =，3''()'''x y y y =-；设(),()x t y t 二阶可导，若()y y x =由(),()x x t y y t ==所确定，则'()'()'()y x y t x t = ，3''()['()'()]()[()()()()]()y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t '''''''==-；()0b a d f t dt dx =⎰，()()()[()]'()[()]'()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰； ()()()0[()()][()][()]nn kn k k n k u x v x C u x v x -==⋅∑，注意用麦克劳林展开式求()(0)n f ； 2[()()]()[()]()[()],[()()][()()()()]().d u x v x v x d u x u x d v x d u x v x v x du x u x dv x x =+=-二、多元函数微分法1、多元复合函数的求导法：[(),()]z f u x v x = ，则全导数dz z du z dv dx u dx v dx∂∂=⋅+⋅∂∂，或'()'()'()u v z x u x f v x f =+ [(),(,)]z f u x v x y = ，则'()x u x v z u x f v f =+，y y v z v f =[(,),(,)]z f u x y v x y = ，则x x u x v z u f v f =+，y y u y v z u f v f =+()()()()xx x u x x v x xx u xx v x x uu x uv x x vu x vv xx u xx vz u f v f u f v f u u f v f v u f v f u f v f =+++=+++++222uv vuf f x uu x x uv x vv xx u xx v u f u v f v f u f v f =++++=;222yy y uu y y uv y vv yy u yy v z u f u v f v f u f v f =++++()xy x y uu x y x y uv x y vv xy u xy v yx z u u f u v v u f v v f u f v f z =+++++=.2、隐函数的求导法（两端求导法与公式法）： 公式法1：(,)0F x y =，若0y F ≠，则存在()y y x =，且'()x y y x F F =-公式法2：(,,)0F x y z =，若0z F ≠，则存在(,)z z x y =，且x x z y y z z F F z F F =-=-， 若(,,)0F x y z =确定(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y ===，则1y z x x y z ∙∙=-. 3、多元函数高阶混合偏导数的求导法：若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关. 4、多元函数的求微法： 若[(,),(,)]z f u x y v x y = 可微，则u v x y dz z du z dv z dx z dy =+=+若(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩确定()()y y x z z x =⎧⎨=⎩，则由00x y z xy z F dx F dy F dz G dx G dy G dz ++=⎧⎨++=⎩计算'(),'()y x z x .三、一（多）元函数性态1、函数的奇偶性：()'()'()()f x f x f x f x ⇒⇒为可导的奇（偶）函数为偶（奇）函数，为奇函数为偶函数;()()()()0()()f x f x x xaaf x f t dt a f t dt f x ⇒=⇒⎰⎰连续连续奇（偶）偶（奇()）,奇（偶）偶（奇）； 若(,)(,)f x y f x y -= ，则(,)f x y 为x I ∈(I 为关于原点对称的区间)上的奇（偶）函数.2、函数的周期性：()(0)()'()'()()f T f f x T f x T f x Tf x T =⇒⇒为周期的导函数为周期的函数，周期为周期为;()0()()()()().Tf t dt f x x x aaf t dt T f x T f x T f t dt T =⎰⇒⇒⎰⎰连续周期为周期为，为周期的连续函数周期为3、函数的单调性（含局部）：'()'()()0()()f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内单调增减.()()()f x f x 单调区间的分界点可能为驻点,尖点连续但一导不存在,间断点；视条件而定；4、函数的凹凸性（含局部）：''()''()()0()()();f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内是向上凹凸的()()f x f x 的拐点必为连续的坐标点,其横坐标可能为二导零点,二导不存在点；视条件而定；00000''()0(''()/),''()(,());f x f x f x x x f x ==⇒在两邻的符号相反为拐点00''()0000000''()''()0,'''()0(,());lim 0(,())f x x x x f x f x f x x f x A x f x x x →=≠⇒=≠⇒-在处连续为拐点为拐点;32201()lim ''(1'),()()ds ds K x y y R x s K x α→∆===+=∆弧微分曲率半径. 5、函数的极值性（局部）：()()f x f x 的极值点必含于定义域,其可能为驻点,尖点,间断点；若可导,其极值点必为驻点；00000'()0('()/),'()()(),()();f x f x f x x x f x ==⇒在两邻由正到负由负到正为极大小点为极大小值00'()00000'()'()0,''()()0();lim ()0()f x x x x f x f x f x x A x x x →=<>⇒=<>⇒-在处连续为极大小点为极大小点;000000200()()''()lim ()0()'()0,lim ()0().()n x x x x f x f x f x A x f x A x x x x x →→-=<>⇒==<>⇒--为极大小点;为极大小点设),(y x f z =在其驻点),(00y x 的某邻域内有二阶连续偏导数，则02<-B AC 时无极值；02>-B AC 时有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值.6、条件极值：一般有三个方法：一是降元法；二是升元法--拉格朗日乘数法；三是几何法（1）在所给条件0),,(=Φz y x 下, 求目标函数),,(z y x f u =的极值. 引进拉格朗日函数 ),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L Φ+=λλ（2）若所给的限制条件有两个(,,)0x y z Φ=和(,,)0x y z ψ=，求目标函数),,(z y x f u =的极值. 引进拉格朗日函数 (,,,)(,,)(,,)(,,)L x y z f x y z x y z x y z λλμ=+Φ+ψ. 7、多元函数的最大值与最小值（闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值）： （1） 求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值； （2） 求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值； （3） 将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 注：在证明不等式(,)DA f x y dB σ≤≤⎰⎰的问题时，需将),(y x f 在D 上的最值问题与积分估值定理联合考虑.四、典型例题例1、设[ln(f x +=)]1[ln(2x x f ++''．解：[ln([ln()][ln(f x df x d x x '=+=，则[ln('[ln()]ln(f x df x d x ''=+= 注：[(())]'(())'()(())f u x f u x u x f u x ''=≠．例2、函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '=0.5． 提示：22[()]'2'()dy f x x xf x x =∆=∆．例3、设)(x f y =是由方程组⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 所确定的隐函数，求202|t d ydx =．解：⎩⎨⎧='+''-+-=''⇒⎩⎨⎧=-'++='0)()()2(sin cos 6)(0)1sin )((cos 26)(2t y t y y t e t e t x t e t y t e t t x y yy y 因e t y t x t y t t t ='='====000)(,6)(,1)(，有 2002)(,6)(e t y t x t t =''=''==而 223()[]()()()()()()()d y t d y y t x t y t x t dt x t dx x t x t ''''''''-==''，故 220(23)4x d y e e dx =-=． 例4、设232+-=x x xy ，求)(n y ．解： ])2(2)1(1[!)1()21(2)11(11)()()(++-++⋅-=-++=n n n n n n x x n x x y ．注：可用麦克劳林展开式求()(0)n y ． 例5、设,siny x eu x-=则2111(2,)(2,)(,)xy yx y x d u u u x dx πππ=⎛⎫=== ⎪⎝⎭2()e π.例6、设)(),(xyg yx xy f z +=, f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数, 求xy z .解：1221x yz yf f g y x'''=+-， 111122212222223111()()xy x x y z f y xf f f xf f g g y y y y x x '''''''''''''=+--+--- 112212323211x y xyf f f f g g y y x x'''=-+---例7、设函数),(v u F 可微，(,)0F x z z y αβ=确定了(,)z z x y =，其中αβ、为常数，且满足0αβ≠，则x y xz yz βα+=z αβ．提示：运用两端求导法与公式法的过程中，要注意链式法则，本题也可用全微分法． 例8、设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,若,F f 都具有一阶连续偏导数，试求'()y x .解：方程的两边求微分得0x t xy t dy f dx f dtF dx F dy F dt =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得'()y x =x t t x t t y f F f F F f F -+.例9、设函数),(y x f z =在点)1,1(处可微, ,1)1,1(=f (1,1)2,(1,1)3x y f f ==,)),(,()(x x f x f x =ϕ, 求13)(=x x dx d ϕ 解：1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ. 322()3()()3()[(,(,))(,(,))(,)]x y d d d x x x x f x f x x f x f x x f x x dx dx dxϕϕϕϕ===+ 23()[(,(,))(,(,))((,)(,))]x y x y x f x f x x f x f x x f x x f x x ϕ=++故13)(=x x dx d ϕ=3(1)[(1,1)(1,1)((1,1)(1,1))]51x y x y f f f f ϕ++=. 例10、设(,)u x y 二阶偏导数连续，且0xx yy u u -=，(, 2)u x x x =，2(, 2)x u x x x =， 求(, 2)xx u x x ，(, 2)xy u x x ，(, 2)yy u x x .解：等式x x x u =)2,(两端对x 求导,得(,2)2(,2)1x y u x x u x x +=，则21(,2)(1)2y u x x x =-这两个等式,对x 求导得(,2)2(,2)2xx xy u x x u x x x +=, (,2)2(,2)yx yy u x x u x x x +=- 由已知条件得,xx yy xy yx u u u u ==, 故解得x u u yy xx 34-==， x u xy 35= . 例11、设(,)ax y z u x y e +=，0xy u =，试确定常数a ，使0xy x y z z z z --+=.解：(),(),[()()]ax y ax y ax y x x y y x x xy y z e u au z e u u z e u au u au +++=+=+=++++ ，由0xy u =，可得(1)01ax y xy x y y z z z z e a u a +--+=-=⇒=.例12、对螺旋线θρe =在)2,(),(2πθρπe =处的切线的直角坐标方程为2πe y x =+．例13、设()f x 连续，在0x 可导，且200()f x x =，()00'2f x x >，则存在0>δ ，使得（C ）（A ）20()f x x -在00()x x δ+，内单增 （B ）20()f x x -在00()x x δ-，内单减（C ）对任意的00()x x x δ∈+，有2()f x x >（D ）对任意的00()x x x δ∈-，有2()f x x > 提示：令2()()F x f x x =-.例14、曲线()234(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的一个拐点为（C ）（A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0)例15、设()f x 在0x =某邻域内有二阶连续导数，且"0()lim11cos x xf x x→=-，则（C ） （A ）'(0)0f =，且(0)f 是()f x 的极值（B ）'(0)0f ≠，但(0)f 是()f x 的极值（C ）"(0)0f =，且(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点 （D ）"(0)0f ≠，但(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点例16、设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ） （A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<D ）0dy y <∆<例17、()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()0xf t dt ⎰是（B ）（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数提示：令()()(),000,0f x x f x f x +>⎧⎪=⎨+=⎪⎩，()()0000lim lim 0x x x x f t dt f t dt +++→→==⎰⎰ 例18、求证：（1）()0()()()(),f x a T Taf x f x T f x dxf x dx +=+=⎰⎰可积（2）()0()()()()f x nT Tf x f x T f x dxn f x dx =+=⎰⎰可积．提示：（1）令0()()(),a T TaF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R ∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx =-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T TkTk k k f x dx f x dx f kT u du f x dx n f x dx ---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例19、设)(u ϕ是连续的正值函数，试证明：⎰--=ccdu u u x x f )()(ϕ在],[c c -上是上凹的.证明：⎰⎰-+-=-cxxcdu u u x du u u x x f )()()()()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰---+-=xc xcxcxcdu u u du u x du u u du u x )()()()(ϕϕϕϕ⎰⎰>=''+='-ucxcx x f du u du u x f 0)(2)(,)()()(ϕϕϕ，故，原题得证.例20、数列21{(12)}n n +中的最大项为916．提示：设21()(12),[1,)x f x x x +=∈+∞，令()0f x '=，则在2ln 2x =处()f x 取得最大值，又2223<<，而19(2),(3)216f f ==，故该数列的最大值为第三项：169． 例21、设)(x f 二阶导数连续,且xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(， 试问（1）若)1( ≠=a a x 是极值点时,是极小值点还时极大值点？（2）若1=x 是极值点时,是极大值点还是极小值点?提示：（1）将0)(='a f 代入xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(，得1()(1)1)(0)af a e a a -''=--≠，则)(x f 在a x =取极小值；（2）由1()2()(1)1)xf x f x e x -'''-=--，知11lim ()2lim ()1x x f x f x →→'''-=则,01)1(>=''f 又0)1(='f ，故1=x 为)(x f 的极小值点. 例22、已知函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续, 且1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x , 则(A )A 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点.B 点(0,0)是),(y x f 的极大值点.C 点(0,0)是),(y x f 的极小值点.D 无法判断点(0,0)是否为),(y x f 的极值点？提示:由),(y x f 在点(0,0)的连续性及1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x ，知0)0,0(=f .且α+=+-1)(),(222y x xy y x f ,其中0lim 00=→→αy x ，则222222)()(),(y x y x xy y x f ++++=α 令x y =, 得22(,)()f x x x o x =+，令x y -=, 得22(,)()f x x x o x -=-+.从而),(y x f 在(0,0)点的邻域内始终可正可负, 又0)0,0(=f , 由极值定义选(A).例23、 2(,)()x z x y e ax b y -=+-满足条件20b a =≥时，(1,0)z -为其极大值. 提示：由必要条件知，2b a =，再由充分条件知0a >，经验证0a =也可以. 例24、已知()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=， )(x y y =由11y y xe --=所确定， 设(ln sin )()z f y x g x =-=，判定()g x 在0x =处的极值性.提示：在11y y xe --=中, 令0=x 得(0)1y =，将其两边对x 求导，110y y y e xe y --''--=， 再对x 求导得111210y y y y y e y e y xe y xe y ----'''''''----= 将1,0==y x 代入上面两式得(0)1,(0) 2.y y '''=='()(cos )(ln sin )z x y y x f y x ''=--，222''()(cos )(ln sin )[()sin ](ln sin )z x y y x f y x y y y y x f y x '''''''=--+-+-将(0)1y =，(0)1(0)2y y '''==，，(0)1f '=代入上面两式得0'()0,x z x ==0''()1x z x ==.例25、求由方程010422222=--+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值.[解一] ⎩⎨⎧='-+'+='--'+0422204222y y x x z z z y z z z x )(a由函数极值的必要条件知0,0='='y x z z ,将其代入)(a 得驻点)1,1(-P .又 z z A Pxx-=''=21 ，0=''=P xy z B ，zz C P yy -=''=21因为 2210(2)AC B z -=>- )2(≠z ，故)1,1(-=f z 为极值. 将1,1-==y x 代入方程010422222=--+-++z y x z y x ,得6,221=-=z z 将21-=z 代入)(b 中可知0A >，故2)1,1(-=-=f z 为极小值. 将61=z 代入)(b 中可知0A <，故6)1,1(=-=f z 为极大值. [解二] 配方法. 22)1()1(162+---±=-y x z显然,6=z 为极大值, 2-=z 为极小值.例26、已知函数(,)z f x y = 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =．求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 解:2222()dz xdx ydy d x y C =-=-+，则22(,)z f x y x y C ==-+，再由(1,1)2f =，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f令20,20x y f x f y ===-=得可能极值点为(0,0)，且(0,0)2f =再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令22(,)(,)(1)4y L x y f x y x λ=++-， 由2212(1)0,20,1024x y y L x L y x λλ=+==-+=+-=() 得可能极值点为(0,2)±，(1,0)± ，而,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ， 可见(,)z f x y =在区域D 内的最大值为3，最小值为-2.推广：求证：2214y x σ+≤≤≤⎰⎰.例27.求曲线1:0z C y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2230:0x y C z +-=⎧⎨=⎩之间的距离.解：任取1(s C ∈，2(32,,0)t t C -∈，则222(23)D d s t t s ==+-++由2(23)10,4(23)20s t D s t D s t t =+-+==+-+=，得唯一驻点1(,1)2P ，从几何意义知d 客观存在，故所求距离为1(,1)22d =．注：（1）d =3．从几何意义上知，(,,)P x y z 到12(1,2,0),(3,1,2)P P --的距离之和最小为123PP =．（2）函数(,)f u v =． 提示：该题可转化为在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短，作椭圆切线平行于已知直线求解，或以椭圆方程为条件，其上点到直线的距离平方为目标函数，用拉格朗日乘数法完成．例28.求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值.解 令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ有 02=++=μλx yz L x ， 02=++=μλy xz L y ，02=++=μλz xy L z 得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+222222，又0,1222=++=++z y x z y x得z x =， 解得驻点)61,62,61(1-P ，)61,62,61(2--P 。
一元函数的导数与微分
一元函数的导数与微分导数和微分是微积分的重要概念，它们描述了一元函数的变化率和局部线性逼近，对于函数的研究和应用具有重要的意义。
本文将介绍一元函数的导数和微分的概念、性质以及应用。
一、导数的概念对于给定的一元函数f(x)，在某一点x=a处，函数的导数表示函数在该点的变化率。
导数用符号f'(a)或df(a)/dx表示。
导数的定义为：f'(a) = lim_(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim表示极限运算。
这个定义可以解释为函数曲线在点(a,f(a))处的切线的斜率。
二、导数的性质1. 可导性：如果函数f(x)在某一点x=a处可导，则该点为可导点。
2. 连续性：如果函数f(x)在某一点x=a处可导，则该点也是函数f(x)在该点处连续的必要条件。
3. 导数的代数运算：导数具有线性性质，即对于常数c，以及可导函数f(x)和g(x)，有以下性质：a) (cf(x))' = cf'(x)b) (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)c) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)d) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g^2(x) (其中g(x)≠0)三、微分的概念微分是导数的一个重要应用，它表示函数在某一点附近的线性逼近。
给定函数f(x)和点x=a，函数在该点附近的微分表示为：df(a) = f'(a)dx其中df(a)表示函数f(x)在点x=a处的微分，dx表示自变量的一个微小增量。
四、微分与导数的关系微分与导数是密切相关的概念。
对于函数f(x)，如果它在点x=a处可导，则在该点附近的微分可以表示为：df(a) = f'(a)dx通过微分，可以得到函数在某一点附近的局部线性逼近。
高等数学讲义-- 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§ 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
、导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' <设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。
()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。
（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3． 已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
《数学分析》第三章 一元函数微分学
第三章一元函数微分学一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点微分学是数学分析的核心内容之一，导数是微分学的重要概念，用导数研究函数的性质是数学分析研究函数的一个特征.数学分析中的积分学、级数理论等也与导数有密切的联系.本章首先引入了函数导数与微分的概念；分析了可导性与连续性的联系；进而又讲述了导数的计算与高阶导数；最后介绍了几个比较重要的微分中值定理与导数的应用. 在学习过程中我们要注意导数与微分的概念及其实际意义；微分中值定理及其应用.本章的重点与难点主要有以下几个方面：● 函数导数的概念、可导性与连续性的关系；费马定理、导函数的介值定理；导数的运算（复合函数、反函数的求导法则）；掌握参变量方程所确定的函数的导数；高阶导数的概念及其求法.● 微分（含高阶微分）概念的理解及其运算法则；函数连续性、可导性、可微性之间的关系.● 拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理及它们定理的应用推广；极值的三个充分条件及其证明过程；对函数凸性概念的理解及相关命题的证明；函数图象性态的列表表示法.三、本章的基本知识要点（一）导数与微分1. 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f ' 类似的，定义函数f 在点0x 处的左导数与右导数：x x f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(0000，)(0x f +'xx f x x f x ∆-∆+=+→∆)()(lim 000右导数和左导数统称为单侧导数．2. 设函数()x f y =定义在点0x 的某邻域()0x U 内．当给0x 一个增量x ∆，()00x U x x ∈∆+时，相应地得到函数的增量为()()00x f x x f y -∆+=∆.如果存在常数A ，使得y ∆能表示成()x x A y ∆+∆=∆则称函数f 在点0x 可微，并称()1式中的第一项x A ∆为f 在点0x 的微分，记作x A dy x x ∆==0或 ()x A x df x x ∆==0.由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0≠A 时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部．容易看出，函数f 在点0x 可导和可微是等价的. 3. 导数与微分的基本性质.（1）（有限增量公式）若f 在点0x 可导，则()()x x x f y ∆+∆'=∆ 0（0→∆x ）；（2）（可导的充要条件）若函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，则)(0x f '存在⇔)(0x f +'与)(0x f -'都存在，且)(0x f +'=)(0x f -'； （3）（可导与可微的关系）函数f 在点0x 可导和可微是等价的；（4）（可微与连续性的关系）若f 在点0x 可微，则f 在点0x 必连续（反之不真）；（5）（导数的几何意义）导数的几何意义解释是曲线的斜率，即函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点)(0,0y x 的切线斜率若α表示这条切线与x 轴正向的夹角，则)(0x f '.tan α=从而0)(0>'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；0)(0<'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为钝角；0)(0='x f 示切线与x 轴平行；（6）（费马定理）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导．若点0x 为f 的极值点，则必有.0)(0='x f我们称满足方程)(x f '的点为稳定点．（7）（达布定理）若函数f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f -+'≠'，k 为介于)(a f +'，)(b f -'之间任一实数，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得k f =')(ξ.4.求导（微分）法则.（1）（线性法则）'')'(g f g f βαβα±=±（其中βα,为常数）； （2）（乘积法则）'')'(g f g f g f +=； （3）（商法则）22')'1(,'')'(g g g g fg g f g f -=-=（其中0≠g ）； （4）（复合函数求导法则）)())(()))(((x g x g f x g f ''='（也称链式法则）；（5）（反函数求导法则）dxdydx dy 1=； （6）（莱布尼茨法则）()(),)(0)(k k n kn nk n g f C g f -=∑= 其中)!(!!k n k n C k n -=是组合系数.5. 若函数f 的导函数'f ，在点0x 可导，则称'f ，在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作()0''x f，即()()()0''00''0limx f x x x f x f x x =--→同时称f 在点0x 为二阶可导．利用数学归纳法可由f 的1-n 阶导函数定义f 的n 阶导函数(或简称n 阶导数)，二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数f 在点0x 处的n 阶导数记作 ()()()00||,0x x n n x x n n dxyd yx f==或 相应地，n 阶导函数记作: ()()n n n n dx y d y f或,.这里n n dx y d 亦写作为y dxd n n．6. 一阶微分形式不变性：不管u 是自变量还是中间量，f 的一阶微分始终具有()du u f u df '=)(的形式.7.基本初等函数的求导公式 （1）0)'(=c (c 为常数)； （2）1)'(-=αααxx (α为任意实数)；（3）x x x x sin )'(cos ,cos )'(sin -==； （4）x x x x 22csc )'(cot ,sec )'(tan -== x x x x x x c o t c s c )'(csc ,tan sec )'(sec -== （5）xxxxe e a a a ==)'(,ln )'(；（6）).1(ln ,ln 1)'(log xx a x x a == （二）微分中值定理1.罗尔中值定理 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续；(ii)f 在开区间()b a ,内可导；(iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线.注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.2. 拉格朗日(Lagrange )中值定理 若函数满足如下条件：()fi 在闭区间[]b a ,上连续；()f ii 在开区间()b a ,内可导， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()ab a f b f f --='ξ. 显然，特别当()()b f a f =时，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线俩短点的连线，我们在证明中引入的辅助线函数)(x F ，正是曲线=y )(x f 与直线ab a f b f a f y AB --+=)()()(()(a x -)之差.定理的结论称为拉格朗日公式。
微分和导数的区别
(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即△y/△x的极限。
微分起源于微量分析，如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和，其线性主部称微分。
当△x很小时，△y的数值大小主要由微分A△x决定，而o(△x)对其大小的影响是很小的。
(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，
|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，
总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，
而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量。
可参ห้องสมุดไป่ตู้任何一本教材的图形理解。
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx, 微分dy=f'(x)dx，这里公式本身也体现了它们的区别。
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。
数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在其中一点附近的变化情况。
全微分的计算公式是一种广义的求导公式，适用于多元函数以及复合函数的求导。
下面将详细介绍全微分的计算公式。
1.一元函数的全微分对于一元函数f(x)，在其中一点x=a处的全微分df可以通过求导来计算，计算公式为：df = f'(a)dx其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量的微小变化量。
例如，对于函数f(x) = x^2，在点x=2处的全微分df可以通过求导得到：f'(x)=2xdf = f'(2)dx = 2(2)dx = 4dx2.多元函数的全微分对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在其中一点P(x1=a1,x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到，计算公式为：df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn其中，∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数，dxi表示第i个自变量的微小变化量。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点P(2, 3)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到：∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2ydf = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = (2x)(dx) + (2y)(dy) = 4dx + 6dy3.复合函数的全微分对于复合函数f(g(x1, x2, ..., xn))，其中g(x1, x2, ..., xn)为自变量，f(t)为中间变量，t=g(x1, x2, ..., xn)。
在其中一点P(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过链式法则来计算，计算公式为：df = (∂f/∂t)(∂t/∂x1)dx1 + (∂f/∂t)(∂t/∂x2)dx2 + ... +(∂f/∂t)(∂t/∂xn)dxn其中， (∂f/∂t) 和 (∂t/∂xi) 分别表示对中间变量t和自变量xi求偏导数。
微积分讲义_第三章-一元函数的导数和微分
3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知 【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为 法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理 凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。 我们有：不连续一定不可导 极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。 【答疑编号11030110：针对该题提问】 解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章 一元函数的导数和 微分
一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微分学中的一个重要概念，用于描述自变量的微小变化对应的因变量的微小变化。
全微分的计算公式包括一元函数和多元函数的情况。
一、一元函数的全微分计算公式：对于一元函数f(x)，全微分df表示函数f(x)在点x处的微小变化量，可以表示为：df = f'(x)dx其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数，dx是自变量x的微小变化量。
二、多元函数的全微分计算公式：对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，全微分df表示函数f(x1,x2, ..., xn)在点(x1, x2, ..., xn)处各个自变量的微小变化量对应的因变量的总的微小变化量，可以表示为：df = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn表示函数f(x1, x2, ..., xn)对应的自变量x1, x2, ..., xn的偏导数，dx1, dx2, ..., dxn分别表示自变量x1, x2, ..., xn的微小变化量。
三、计算实例：1.对于一元函数f(x)=x^2，求在点x=2处的全微分。
解：首先计算函数f(x)在点x=2处的导数：f'(x) = d(x^2)/dx = 2x代入x=2，得到f'(2)=4因此，函数f(x)在点x=2处的全微分为：df = f'(2)dx = 4dx2. 对于多元函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，求在点(x, y)=(1, 1)处的全微分。
解：首先计算函数f(x,y)分别对应的自变量x和y的偏导数：∂f/∂x = d(x^2 + 2xy + y^2)/dx = 2x + 2y∂f/∂y = d(x^2 + 2xy + y^2)/dy = 2x + 2y代入(x,y)=(1,1)，得到∂f/∂x=∂f/∂y=4因此，函数f(x,y)在点(x,y)=(1,1)处的全微分为：df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy = 4dx + 4dy以上就是一元函数和多元函数的全微分的计算公式。
第2章一元函数微分学教材
第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 （一）导数的定义与几何意义 1．导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，若极限x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x 存在，即在0x 可导0x x -)()(lim)('0x x x f x f x f -=→导数存在，左右导数存在相同； 2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系 1．微分的定义 )()(y 0x x x A ∆+∆=∆ο)(x ∆ο是0→∆x 是比x ∆高阶的无穷小，可微函数y=)(x f 在点0x 处的微分是该函数在点0x 处函数增量的线性主要部分 2.微分的几何意义y ∆是曲线y=)(x f 在点0x 处相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量微分dyx x =是曲线y=)(x f 在点0x 处切线相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 处可微⇒ )(x f 在点0x 处连续但连续不一定可导、可微y=)(x f 在点0x 处可微时dy=dx x f x x f )(')('00=∆（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性若)(x f 在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若)(x f 在区间可导，对于任意x 在区间内，都有对应)(x f 的一个确定的导数值)('x f ，构成一个新的函数，称为导函数，记作dxx df dx dy x f )(;;y )(''； 3.二阶导数及高阶导数二阶导数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d dx y d x f ;;y )(''22''； n 阶导数n nn)(n)(;y )(dxy d x f ； N 阶导数定义xx f x x f x f∆-∆+=→∆)()(lim )(01-n 01-n 0x 0n)(）（）（若)(x f 在0x 处n 阶可导，则)(x f 在0x 的某领域比具有一切比低于n 阶的导数 （五）奇偶函数与周期函数的导数性质)(x f 为奇函数⇒)('x f 为偶函数；)(x f 为偶函数⇒)('x f 为奇函数；不能反推 )(x f 以T 为周期⇒)('x f 也以T 为周期二、按定义求导数及其适用的情形 （一）按定义求导数x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出 情形2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导 情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限xx f x x f ∆-∆+→∆)()(lim000x n n x x f x x f )()(lim 0n -++∞→ 其中0lim n =+∞→n x三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则 （一）基本初等函数导数表与求导法则 1．基本初等函数导数表a x x aa a xx x xx x x x x x t a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )an (22='='⋅-='⋅='-='=' 222211)ot (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcc x x arct x x x x +-='+='--='-=' x xx x x xx e e x x 22'''''sec cos 1)(tan cos )(sin 1)(ln )(0c ======）（)()()())()(sin )(cos ''''x f x f x f x f xx x x x ==-= xx 1)(ln '=2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则[])(')(')()('x g x f x g x f ±=±[])(')()()(')()('x g x f x g x f x g x f +=)()(')(-)()(')()(2'x g x g x f x g x f x g x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡（三）复合函数的微分法则dxdudu dy dx y •=d（四）初等函数求导法 利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用—由复合函数求导法则导出的微分法则 （一）幂指数函数)()(x g x f 的求导法 1.将)()(x g x f 表成)(ln )(ex f x g 后求导2.对数求导法，对)()(x g x f y =两边取对数得)(ln )(ln x f x g y =，两边对x 求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便)()()(21x f x f x f y n •⋅⋅⋅••= 先取绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出的复合函数与是)(),()()(x g v x f u u y x f y v x g ====dxdv u v dx du u u dx y v v •∂∂+•∂∂=）（）（d（二）反函数求导法'1d y dy x = 3'''22-d y y dy x =（三）变限积分的求导法设)(x f 在闭区间连续，)(),(x x ψϕ在闭区间可导⎰=)()(;)(x x dt t f y ϕψ[][])()()()()()('')()(x x f x x f dt t f dx d dt t f dx d dx dy x ax a ψψϕϕψϕ-=-=⎰⎰（四）隐函数微分法设有二元方程F （x ，y ）=0，若存在函数y=y （x ）使得F （x ，y （x ））=0，对区间上任何x 成立，则称y=y （x ）为方程F （x ，y ）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数A x f A x h x g x h x g ====+)(,)()(),()(0'0'0'-00则且若（二）按定义求分界点的导数或左右导数无定义在、000)()(x x h x gx x x h x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆+A)(lim)()(lim)('000000xx x g x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆A)(lim)()(lim)('0-000-00- 上述极限存在且相当，则存在)(0'x f（三）分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值 可导且连续，A x f x x =→)(lim '六、高阶导数及n 阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出)(n y 的公式（二）利用简单得初等函数的n 阶导数公式（1）b ax n n b ax e a e ++=)(）（ x n x e e =)(）（（2）[])2sin()sin()(πn b ax a b ax n n ++=+ [])2sin(sin )(πn x x n += （3）[])2(cos )(cos )(πn b ax a b ax n n ++=+ ())2cos(cos )(πn x x n +=（4）[]n n n b ax n a b ax -++-⋅⋅⋅-=+βββββ))(1()1()()([]n n x n x -+-⋅⋅⋅-=βββββ)1()1()( （5）1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax n a b ax (6) []n n n n b ax n a b ax )(!1-)1()ln(1-)(+-=+）（ []nn n xn x !1-)1(ln 1-)(）（-= (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解)1)(1(1,21+-⋅⋅⋅+-+=+--x x x x x n x n n n n 为奇数时，当 )1-)(1(1-,21x x x x x n x n n n n +⋅⋅⋅+-+=--为偶数时，当2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f （x ）在x=0x 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求)(0)(x f n七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义 1.费马定理及其几何意义)(x f 在x=0x 处可导且取得极值，则导数为0，0x 为驻点，驻点切线与x 轴平行2.罗尔定理及其几何意义[]0)('),(),()(),(,)(=∈=ξξf b a b f a f b a b a x f 使得则存在上可导，又上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于x 轴3.拉格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）[])(')()(),(,),(,)(ξξf ab a f b f b a b a b a x f =--∈使得则存在上可导，上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于割线)10(,)(')()( θθx x x f y x f x x f ∆•∆+=∆=-∆+4.柯西中值定理[])(')(')()()()(),(,0)('),(,)(),(ξξξg f a g b g a f b f b a x g b a b a x g x f =--∈≠使得则存在上可导，且上连续，在在设 （三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，,)(x x g =罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明 1．函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况 3.几何意义单调增加与x 轴锐角；单调减少与x 轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义 左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2．极值第二充分判别定理及其几个意义，具体再讨论极小值，极大值，当当二阶可导，且在点设0)('',0)('',0)('',0)(')(00000==x f x f x f x f x x f几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法 1.凹凸的定义[]凹上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+[]凸上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+2.凹凸性充要判别定理及其几何意义[][]()是单调增函数在是凹的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]()是单调减函数在是凸的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凹的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≥[][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凸的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≤（五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，)(x f 在0x 的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理)(x f 连续，二阶可导，且二阶导数在0x 反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 b kx y y x +=∞→∞→;；[]b kx x f k xx f b kx y x x =-≠=⇔+=+∞→+∞→)(lim ,0)(lim且九、微分学的几何应用与经济应用 （一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线))(('00o x x x f y y -+=2.用隐式方程表示的平面曲线0)(),()(),(),(,0),(000000=-∂∂+-∂∂=y y yy x f x x x y x f y x f y x f 切线方程有连续的一阶偏导数，其中（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念xdx y dydxdyy x Ex y Ex y x y ==E ,E 的弹性记为对 需求函数)(P Q Q =dpdQQ p Ep Q =E收益对价格的弹性dpdRR p Ep R =E 因为pQ R =+=+==1)(1)(1E dp dQp Q Q dp pQ d Q Ep R EpQ E 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间[]的求法和最小值的最大值上连续函数的m M )(,x f b a 1.求出驻点，即一阶导数为0 2.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) )(x f 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法 1．通过一阶导数左右两端符号判断 2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式，皮亚诺余项）（即））（（其中阶导数，则处有在点设0)(lim ),()(),()(!)()(!2)())((')()()(00000)(20000000=-→-=+-++-''+-+=→n n x x nn n n n x x x R x x x x x R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n x x f ο （二）带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式[][]10),()()!1()(),()(!)()(!2)())((')()(,,1),()(0010)1(00)(2000000 θθξξξ且之间，也可表示为与在而，拉格朗日余项其中有阶连续导数，对于任何上有阶导数，在区间内有的区间在包含点设x x x x x x x n f R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f b a x n b a n b a x x f n n n n n n -+=-+=+-++-''+-+=∈+++n n x n f x f x f f x f x !)0(!2)0()0()0()(0)(20++''+'+== 时即为麦克劳林公式：十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 （一）泰勒公式的唯一性!)(,),('),(,)()()()()(0)(01000020201000n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f n n nn n =⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法 1.直接求法))(1,0(,)!1(1)(),()()(!)(!1!211102+∞<<-∞∈+==+=++⋅⋅⋅+++=+=∑x x e n x R x x R x R k x x R x n x x e n x n n n n nk kn n xθοθ其中)()1,0()!12(cos )1()(),()()()!12()1()()!12()1(!5!3sin 1222221121212153+∞<<-∞∈+-==+--=+--+-+-=+=----∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)()1,0()!22(cos )1()(),()()()!2()1()()!2()1(!4!21cos 221121212120212242+∞<<-∞∈+-==+-=+-+-+-=++++++=+∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)1,0(),1,1()1()!1()()1()(),()()(!)1()1(1)(!)1()1(!2)1(1)1(1112∈-∈++--==++--+=++--++-++=++--=∑θθαααοαααααααααααx x x n n x R x x R x R x k k x R x n n x x x n n n n n n nk kn n ，其中(])1,0(,1,1)1()1(1)1()(),()()()1()(1)1(3121)1ln(111111132∈-∈+++-==+-=+-+-+-=++--++=--∑θθθοαx x x x x n x R x x R x R k x x R x n x x x x n n n n nn n n n nk k k n nn ，）（其中2.间接求法 ①四则运算()()()))(()()(m n a x a x a x n m n ≤-=-+-οοο()()())()()(m n m n a x a x a x +-=-•-οοο()()())()(m n m n a x a x a x +-=-•-οο()()有界在其中δοο a x x f a x a x x f mm--=-•0)(),()()(②复合运算 替代变量法③逐项求导或逐项积分））（（））（（））（（时，有阶导数，则处有在点设10102010010100210020201000)(1)(2)()()()(2)(')()()()()(0++---+-+++-+-=-+-++-+=-+-++-+-+=→⎰n n n xx n n n nn n x x x x n A x x A x x A dt t f x x x x nA x x A A x f x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f οοο十三、一元函数泰勒公式的应用 （一）利用泰勒公式求未定式的极限)();(0);()()(lim )()(lim 0,0,)()()()()(),(m n m n n m BA a x a xB a x a x A x g x f B A a x a x B x g a x a x A x f a x x g x f m m nn a x a x m m nn ∞==-+--+-=≠≠-+-=-+-==→→））（（））（（））（（））（（时，有在点设οοοο（二）用泰勒公式确定无穷小的阶阶数数是导数不为零的最小阶无穷小，无穷小的阶的是因此，））（（，则，若））（（时，有阶导数，则处有在点设n a x x f x x x x n x f x f x f x f x f x f x x x x n x f x x x f x f x f x x n x x f nn n n n n n n )()()(!)()(0)(0)()(')(,)(!)())((')()()(000)(0)(0)1-(00000)(00000--+-=≠====-+-++-+=→οο（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求)(0)(x f nn n n n n n n A n x f A x f A x f n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f !)()(')(!)(,),('),(,)()()()()(0)(10000)(01000020201000====⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→，，因此则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x 的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x 的变限积分的导数题型五、求一元函数的n 阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间端点函数值有关的微分中值命题题型十、一元函数的最值问题1. 函数型的最值问题2. 应用型的最值问题题型十一、求泰勒公式1. 求带皮亚诺余项的泰勒公式2. 求带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式题型十二、用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶1. 用泰勒公式求极限2. 用泰勒公式确定无穷小的阶题型十三、用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点。
一元函数微分学及其应用(课件)
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
数分：一元函数微分学习题课
y 1 cos x sin x ln sin x cos x y x sin x
所以
y x(sin x )
cos x
1 ( sin x ln sin x cos x cot x ) x
【例11】设 y 分析
x ( x 5) 2 3 ，求 y 。 ( x 1)
所以切点坐标为 1， 0
再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对 x求导，得
e xy y xy 2 y 0
将 x 1 , y 0代入上式, 得 y 1 1
则所求切线方程为
y x 1
1 f ( x) f ( x) f (ln x) f (ln x) x
2
1 x
1 1 x2
所以
dy y dx
1 dx 2 1 x
y x(sin x )cos x ，求y 。 【例10】设
分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。
解：应用对数求导法。函数两边取对数得
ln y ln x cos x ln sin x
方程两边对 x 求导得
1 f ( y )
函数 y f
1
( x ) 在对应的 I x 内也可导，且 [ f 1 ( x )]
dy 1 或 。 dx dx dy
3．复合函数求导法则 设 y f (u) 及 u g( x )都是可导函数，则复合函数 y f ( g( x )) 也是可导函数且 y ( x ) f [ g( x ) ] g ( x ) 。 4．隐函数求导法则 由方程 F ( x, y ) 0 确定了y f ( x )，方程两端对 x 求导，在 求导过程中牢记 y 是 x 的函数 ( y f ( x )) ，方程中含有 y 的
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一元函数的导数与微分【大纲要求】1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的几何意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。
了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分。
3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
【考试内容要点】1.导数的定义：导数，左导数，右导数定义，导数存在定理2.微分定义：可微定义，可导与可微的关系3.导数与微分的几何意义与物理意义，曲线的切线和法线方程(从几何图形上看)4.连续，可导与可微之间的关系5.常见函数求导公式6.求导法则(1) 四则混合运算法则；(2) 复合函数求导法则；(3) 隐函数求导法；(4) 反函数求导法； (5) 对数求导法7.高阶导数①高阶导数定义②莱布尼兹公式③常见函数的高阶导数【题型与方法论】题型2.1 导数与微分的概念1.(01,3) 设0)0(=f 则)(x f 在0x =处可导⇔( B )(A) 20cosh)1(lim h f h −→存在 (B) h e f h h )1(lim 0−→存在 (C) 20sinh)(limhh f h −→存在 (D) h h f h f h )()2(lim 0−→存在 解答：首先，若()f x 在0x =可导，则00()(0)()(0)limlimx x f x f f x f x x→→−′==存在。
从这一点来看，只要)(x f 在x =0处可导，则A,B,C,D 四个极限都是存在的。
事实上， 对选项A，22222000001(1cosh)(1cosh)1cosh (1cosh)1cosh 12lim lim lim lim (0)lim (0)1cosh 1cosh 2h h h h h hf f f ff h h h h →→→→→−−−−−′′====−−对选项B，00000(1)(1)1(1)1lim lim lim lim (0)lim (0)11h h h h h h h h h h h h f e f e e f e e hf f h e h e h h →→→→→−−−−−−′′====−−− 对选项C，32222000001(sinh)(sinh)sinh (sinh)sinh 6lim lim lim lim (0)lim 0sinh sinh h h h h h hf h f h h f h h f h h h h h h →→→→→−−−−−′====−−对选项D，0000(2)()(2)(0)(0)()(2)(0)()(0)limlim lim lim2(0)(0)(0)h h h h f h f h f h f f f h f h f f h f h h h h f f f →→→→−−+−−−==−′′′=−= 因此，(0)f ′若存在，各个极限都存在。
以下来看充分性。
再看A 选项，若2(1cosh)limh f h→−存在，1cosh 220000(1cosh)(1cosh)1cosh 1(1cosh)1()(0)lim lim lim lim1cosh 21cosh 20x h h h x f f f f x f h h x =−→→→→+−−−−−===−−− 但这只能说明()f x 在0x =处是右可导的。
这种反例太多，例如()f x x =。
再看B 选项，若0(1)lim h h f e h→−存在，10000000(1)(1)1(1)1(1)()lim lim lim lim lim lim lim 111hh h h h h h x e h h h h h h h h h x f e f e e f e e f e h f x h e h e h e h x=−→→→→→→→−−−−−−−====−−−−这是因为1h e −在0h =的左右邻域内发生变号。
因此，()f x 在0x =是可导的。
B 选项对。
再看C 选项，2200(sinh)(sinh)sinhlimlimsinh h h f h f h h h h h →→−−−=−。
虽然sinh h −在0h =的一个邻域内是变号的，但由于20sinh lim 0h h h →−=，因此(sinh)sinhf h h −−未必有极限。
例如，()f x x =。
虽然有20(sinh)lim 0h f h h →−=，但()f x 于0x =不可导。
再看D 选项，这也不对。
之前由(0)f ′存在，推出000(2)()(2)(0)()(0)(2)(0)()(0)limlim lim lim 2(0)(0)(0)h h h h f h f h f h f f h f f h f f h f f f f h h h h h →→→→−−−−−⎛⎞′′′=−=−=−=⎜⎟⎝⎠但反之0(2)()limh f h f h h →−存在，却无法推出0()(0)limh f h f h→−存在。
我们可以取反例： 0,0()1,1x f x x =⎧=⎨≠⎩，则0(2)()limh f h f h h →−存在，但0()(0)limh f h f h→−不存在。
点评：紧紧抓住导数的定义，即可解答此问题。
2.(04,4) 设函数()f x 连续，且,0)0(>′f 则存在0>δ，使得( C ) (A) ()f x 在(0,)δ内单调增加 (B) ()f x 在)0,(δ−内单调减少(C) 对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D) 对任意的)0,(δ−∈x 有()(0)f x f > 解答：0()(0)(0)lim0x f x f f x→−′=>，由极限的保号性，存在一个0δ>，当0x <<δ，有()(0)0f x f x−>，于是在(0,)δ上，()(0)0f x f −>，即()(0)f x f >；在(,0)−δ上， ()(0)0f x f −<，即()(0)f x f <。
这样，C 选项是对的，D 选项是错的。
(0)0f ′>并不能说明()f x 在其一个邻域哪怕在其一个左或右去心邻域内具有单调性，其实，需要在0x =的一个邻域内()0f x ′>，才能在0x =的一个邻域内有单调性。
我们举一个反例如下：211sin ,0()20,0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则1112sin cos ,02()10,02x x x x f x x ⎧−+≠⎪⎪′=⎨⎪>=⎪⎩ 11()022f n π′±=−<，130(21)2f n π⎡⎤′±=>⎢⎥−⎣⎦。
由于1lim 0n n →∞=，因此，()f x 在0x =任何一个左、右去心邻域都既有导数大于零，又有导数小于零的点。
由于()f x ′在0x =的任何一个左、右去心邻域内连续，因此，()f x 的任何一个左、右去心邻域内，既有单调递增的子区域，又有单调递减的子区域。
因此，()f x 在0x =的任何左、右邻域都不具有单调性。
点评：考查导数的定义，极限的保号性，函数单调性的判别等知识。
3.(07,4) 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是( D )(A) 若0()lim x f x x→存在，则(0)0f =(B) 若0()()limx f x f x x→+−存在，则(0)0f = (C) 若0()lim x f x x→存在，则(0)f ′存在(D) 若0()()lim x f x f x x →−−存在，则(0)f ′存在解答： A 选项，若0()limx f x x→存在，则00000()()()lim ()lim lim lim 0.lim 0x x x x x f x f x f x f x x x x x x →→→→→====由()f x 在0x =的连续性，0(0)lim ()0x f f x →==。
B 选项，若0()()limx f x f x x→+−存在，同上面，可知[]0lim ()()0x f x f x →+−=。
由()f x 在0x =的连续性，[]0lim ()()2(0)0x f x f x f →+−==，即(0)0f =。
C 选项，若0()limx f x x →存在，同前面，我们得到0(0)lim ()0x f f x →==。
于是，00()(0)()(0)lim lim0x x f x f f x f x x→→−′==−存在。
D 选项，若0()()lim x f x f x x →−−存在，却无法说明(0)f ′存在。
如果(0)f ′存在，那么0()()()(0)()(0)limlim 2(0)x x f x f x f x f f x f f x x x →→−−−−−⎡⎤′=+=⎢⎥−⎣⎦但反过来，如果极限0()()limx f x f x x →−−存在，并不能说明0()(0)lim x f x f x→−存在。
事实上，我们有经典的反例()f x x =，则0()()lim 0x f x f x x →−−=，但(0)f ′存在。
点评：考查导数的定义，求极限的运算法则。
题型2.2 微分法与导数的计算一 隐函数求导4.(02,3) 已知0162=−++x xy e y ，则(0)y ′′=______-2_______。
解答：方程两边关于x 求导，得到6620y e y y xy x ′′+++=(*)容易求得，当0x =时，0y =，这样，(0)0y ′=。
(*)两边继续关于x 求导，得到2()66620y y e y e y y y xy ′′′′′′′+++++=代入0x =，(0)0y ′=，可以得到(0)2y ′′=−。
点评：反函数的求导是将y 视为函数，两边关于x 求导，运用复合函数求导法则，即得。
一般结论是：若y 为方程(,)0F x y =所决定的函数，(,)F x y 具有对x ，y 的连续偏导，0y F ′≠，则x y F y F ′′=−′。
二 参数函数求导5.(10,4) 设tx e −=，20ln(1)ty u du =+∫，求202|t d ydx== 0 。
解答：22()ln(1)ln(1)()t tdy y t t e t dx x t e −′+===−+′−， 这样，222222222()ln(1)ln(1)21ln(1)()()1t t t t t d dy d te e t e t d y t dt dx dt t e t dx x t x t e t −⎡⎤−+++⎣⎦⎡⎤+===−=++⎢⎥′′−+⎣⎦ 因此，202|0t d ydx==。