第11章：有限元分析中的若干问题

第10章 有限元分析中的若干问题
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3）在不改变原构件的力学特性的前提下施加位移边界约束（目的在于消除刚体 位移）。如果这些消除模型刚体位移的约束加得恰当，则在约束处不会出现不正 常的支反力。如果不恰当，会改变结构原来的受力状态和边界条件，从而得到错 误的结果。
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A1 =
υ
1−υ
, A2 =
1 − 2υ 2(1 − υ )
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6.4 空间四面体单元的单元刚度矩阵
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根据平面问题章节运用虚功原理推倒的单元刚度矩阵的普遍公式，空间四面体单 元刚度矩阵可以表示为：
[K ] ＝∫V [B ] [D][B ]dV = [B ]T [D][B ]V
u( x , y , z ) = N i
[
Nj
Nk
Nl
]
u( x , y , z ) = N i
[
Nj
Nk
Nl
]
u( x , y , z ) = N i
[
Nj
Nk
Nl
]
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现将 (6 − 2) u, v , w 三个方向的位移写成向 量形式：
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ui v i wi uj vj 0 w j 0 u k Nl vk w k ul vl wl
−1
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[1
x
y
[
Nj
Nk
Nl
]
1×4
− − − − − 插值函数或形函数
则有：
其中：
1 ( a i + bi x + c i y + d i z ) 6V 1 Nj =− (a j + b j x + c j y + d j z ) 6V 1 Nk = ( a k + bk x + c k y + d k z ) 6V 1 Nl = − (a l + b l x + c l y + d l z ) 6V 1 x i y i z i 1 x yj zj j 6V＝ a i , bi , c i , d i ( i , j , k , l轮换)：代数余子式 1 x k y k z k 1 xl yl zl
e T
e
注： ], [D ]是常量阵，可以提到积分外 [B
经过化简，并把单元刚度矩阵表成按节点分块的形式，有： − K ij K ik − K il K ii − K K jj − K jk K jl ji e [K ] = K ki − K kj K kk − K kl K lj − K lk K ll − K li 其中任一分块K rs 3×3)由下式计算 （ K rs = Br [D ]B sV
e
IN k IN k
IN l [δ ] IN l
]
e
]
− − − − − − − − − − − − − − − − − − (6 − 3)
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6.2 空间四面体单元内任意一点的应变
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空间三维单元的应变共有6个分量，即3个正应变和3个剪应变。利用几何方程 由位移函数求出应变。 根据弹性力学几何方程有： ∂u ∂x ∂v bi ε x ∂y 0 ε y ∂w ∂z εz 1 0 = ∂u ∂v = γ xy + 6V c i 0 γ yz ∂y ∂x ∂v ∂w γ zx + d i ∂z ∂y ∂w ∂u ∂x + ∂z ui v i wi uj vj w j u k vk w k ul vl wl
(6 − 4)
可以看出，四面体单元应变矩阵是常量阵，单元中应变分量都是常量，当然其应
第10章 有限元分析中的若干问题 6.3 空间四面体单元内任意一点的应力
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根据弹性力学的物理方程，则四面体单元内任意一点的应力可表示 为：
σ x σ y σ [σ ]＝ z = [D ][ε ] = [D ][B ][δ ]e ＝[S ][δ ]e − − − − − − − − − − − − − (6－5） τ xy τ yz τ zx 由于 [D ], [B ]均为常量阵，故 [σ ]也为常量阵，即四面体 单元内任意一点的应力 为常量。 1 A 1 E (1 − υ ) A1 其中 : [D ] = (1 + υ )(1 − 2υ ) 0 0 0 A1 1 A1 0 0 0 A1 A1 1 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 , 0 0 A2
−1
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u( x, y, z 来自百度文库 = [1 x
y
ui u j u k ul vi v j v k vl wi w j w k wl
同理可得：
−1
v ( x , y, z ) = [1 x
y
w ( x , y, z ) = [1 x
y
zi zj zk zl
−1
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若定义： 1 x i 1 x j z ]1×4 1 x k 1 x l Ni = yi yj yk yl zi zj = N i zk z l 4×4
1）平衡条件：结构的整体和任一单元在节点上都必须保持平衡。 2）变形协调条件：不同单元相汇的公共节点在力作用下引起变形，变形后仍然 保持交汇，即位移相同。 3）本构条件：必须满足边界条件（包括整个结构边界及单元间的边界）和材料 的本构关系。 4）刚度等价准则：有限元模型的抗弯、抗扭及抗剪刚度应尽可能等价。
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在应用有限元解决实际问题时，会遇到建立合理的计算模型、 减小解题规模的常用措施问题。
10.1 有限元计算模型的建模准则
有限元建模的总则是根据工程分析精度的要求，建立合适的、 能够模拟实际结构的有限元模型。在连续体离散化及用有限个参数 表征无限个形态自由度过程中不可避免地引入了近似。为使分析结 果有足够的精度，所建立的模型必须在能量上与原连续体等价，具 体应满足以下准则：
u N i v = 0 w 0
0 Ni 0
0 0 Ni
Nj 0 0
0 Nj 0
0 0 Nj
Nk 0 0
0 Nk 0
0 0 Nk
Nl 0 0
0 Nl 0
[N ＝ 令： ] IN i
= IN i
[
则有： ] = [N ][δ ] [d
[
IN j IN j
10.1 有限元计算模型边界条件的处理
1）对于基于位移模式的有限元法，在结构的边界上必须严格满足已知的位移 约束条件。例如，某些边界上的位移、转角等于零或已知值，计算模型必须 实现这一点。 2）当边界与另一个弹性体紧密相连，构成弹性边界条件时，可分两种情况来 处理：υ当弹性体对边界点的支撑刚度已知时，则可将它的作用简化为弹簧， 在此节点上加一边界弹簧元；ϖ当它对边界节点的支撑刚度不清楚时则可将 此弹性体的一部分划分出来和结构连在一起进行分析，所划分区域的大小视 其有影响的区域大小而定。
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5）几何模型逼真准则：几何模型模型要尽可能地逼近真实的结构体，其中要 特别注意曲线与曲面的逼近问题； 6）单元适用性准则：所选单元必须能真实反映结构构件的传力特点，尤其是 对主要受力构件尤为重要。 7）解题规模化小原则：充分利用结构几何、载荷、边界条件的特点，在可能 的情况下将空间问题简化为平面问题、轴对称问题或取三维实体的一部分分 析。
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V是四面体i-j-k-l的体积。为了使四面体的体积不为负值，单元节点编号I,j,k,l必 须依照一定的顺序。在右手坐标系中，当按照i j k的方向转动时，右手螺旋 应向l 的方向前进。
由此可知，空间四面体单元内任意一点的位移分量可以表示为： ui u j = N u + N u + N u + N u i i j j k k l l uk ul ui u j = N u + N u + N u + N u − − − ( 6 − 2) i i j j k k l l uk ul ui u j = N u + N u + N u + N u i i j j k k l l uk ul
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r = i , j, k , l
[B ] = [Bi
− Bj
− Bl − − − − − −几何应变矩阵
]
则空间四面体单元内任意一点的应变可以表示为： ε x ε y εz [d ] = = [B][δ ]e γ xy γ yz γ zx 力分量也是常量。
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先推导 u ( x , y , z )的插值函数形式。 公式（6－1a）写成向量形式为
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仿照平面问题的思路，假设单元各节点位移已知。为节约篇幅，
a1 a u ( x , y , z ) = [1 x y z ] 2 a3 a4 将各节点的位移表示为坐标函数，并写成矩阵形式： u i 1 u 1 j = u k 1 u l 1 xi xj xk xl yi yj yk ym z i a1 a1 1 a 1 z j a2 ⇔ 2 = a3 1 z k a3 zl a 4 a 4 1 xi xj xk xl yi yj yk ym zi zj zk zl
0 0 − dl 0 − cl − bl
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br 0 1 0 令 : Br = 6V c r 0 d r 0 cr 0 br dr 0 0 0 dr 0 cr br Bk
10.1.2 边界条件的处理
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1）满足已知边界条件：对于位移型有限元法，在结构的边界上必 须严格满足已知的位移约束条件。例如，某些边界上的位移。转角 等于零或已知值，计算模型必须让它能实现这一点。对于自由边的 边界条件可不予考虑。 2）消除结构刚体位移（平动＋转动）：当整个结构存在刚体运动 的
−1
ui u j u k ul
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由此可得： 1 x i 1 x j z ] 1 x k 1 x l 1 x i 1 x j z ] 1 x k 1 x l 1 x i 1 x j z ] 1 x k 1 x l yi yj yk yl yi yj yk yl yi yj yk yl zi zj zk zl zi zj zk zl
0 ci 0 bi di 0
0 0 di 0 ci bi
− bj 0 0 −cj 0 −dj
0 −cj 0 − bj −dj 0
0 0 −dj 0 −cj − bj
bk 0 0 ck 0 dk
0 ck 0 bk dk 0
0 0 dk 0 ck bk
− bl 0 0 − cl 0 − dl
0 − cl 0 − bl − dl 0