数学物理方法课件

x x2 y2
2
x2 y2 x 2
为 (x 1 )2 y 2 ( 1 )2 圆上各点
4
4
例：计算 W a ib
解： 令
z a ib z (cos i sin ) W a ib [ z (cos i sin )]1/2
z a2 b2
sin b
a2 b2
z 1/2[cos( 2k ) i sin( 2k )]
1/ n i( 2k ) / n
n z 1/ nei / n
z e n
1/ n i( 2 ) / n
z e n
1/ n i( 4 ) / n
e z e n
1/ n i(2 / n)
1/ n i / n
注意：
1）、 z z* z 2 x2 y2
z z z2 (x yi)(x yi)
a cos cos 2 cos 3 cos n b sin sin 2 sin 3 sin n
W a ib cos cos 2 cos 3 cos n i(sin sin 2 sin 3 sin n )
(cos i sin ) (cos 2 i sin 2 ) (cos n i sin n )
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x2 y2 为复数的模
arctg( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
x cos y sin
arctg( y / x) Argz
由于辐角的周期性， 辐角有无穷多
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
(cos i sin )
ei
cos 1 (ei ei )
2
sin 1 (ei ei )
2i
（二） 无限远点 N
零点 无限远点
Riemann球面 复球面
A
z
S
（三）复数的运算 1、复数的加减法
z1 z2 x1 y1i (x2 y2i)
(x1 x2 ) ( y1 y2)i
e 应用： 2k i 1 1 e i
i e(2k /2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
解：z位于第二象限
arg z arctg y arctg( 3) 2
x
3
Argz arg z 2k 2k 2
3
共轭复数： z* (cos i sin )*
ei ei2 ei3 ein
W ei ei2 ei3 ein Wei ei2 ei3 ei(n1) Wei W ei(n1) ei
y
y1 y2 y1
z1
y2 x1
z1 z2
z2
x
x2 x1 x2
z1 z2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 (x1 y1i)(x2 y2i)
2
2
cos
a a2 b2
W2
W1
z 1/2[cos( ) i sin( )]
2
2
z 1/2[cos( 2 ) i sin( 2 )]
2
2
sin
2
1 cos
2
例：计算 cos cos 2 cos 3 cos n sin sin 2 sin 3 sin n
解： 令
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
或指数式： z1 z2
x1 y1i x2 y2i
ei1 1
ei2 2
z1 z2
1 2
e i(1 2 )
1 2
[cos(1
2 ) i sin( 1
2 )]
4、复数的乘方与方根
乘方 z n ( ei )n nein
n (cos n i sin n) 故： (cos i sin )n cos n i sin n
方根 n z n ei e 1/ n i / n
e 1/ n i( 2k ) / n
(k 0,1,2,3) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k 2
k n
z e n
x2 y2 i2xy
2）、 1 (z z*) Re z 2
1 (z z*) Im z 2i
3）、
1 2
( z1
z2 )*
1 2
( z1*
z
* 2
)
例：讨论式子 Re(1/ z) 2在复平面上的意义
解：
Re(1/ z) 2
z x yi
1 z
1 x yi
x yi x2 y2
Re(1/ z)
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z1 z2
e e i1
i 2
1
2
ei(1 2 ) 12
12[cos(1 2 ) i sin( 1 2 )]
z1 z2 z1 z2
arg( z1 z2 ) arg z1 arg z2
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1 y1i)(x2 y2i) z2 x2 y2i (x2 y2i)(x2 y2i)
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的 深度和意义。
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数
§1.1 复数与复数运算
（一） 复数的基本 概念 1、 复数表示
复数： z x yi
式中 i 1
x、y为实数，称为 复数的实部与虚部
Argz 2k
(k 0,1,2)
0 arg z 2
为辐角的主值，为主
辐角，记为 arg z
y r
A(x, y)
Argz x
y r Argz
x
Argz y x r
y ArHale Waihona Puke Baiduz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei