数学物理方法课件
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《数学物理方法》课件第7章
小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题， 都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边 值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我 们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后 求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问 题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程 的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉 斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明 设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)， 则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)， 并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的 单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中， 设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的 变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为
数学物理方法 ppt课件
解： 令
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
浅谈数学物理方法课程的学习PPT课件
得到非平衡态的速度分布函数
量子力学：用薛定谔方程
( 2 2 Zes2 ) E
2
描绘电子在库仑场中的运动
第16页/共53页
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂” 数理方法是学习专业课的奠基石
材料物理： 热处理 热传导方程 光学、电子科技: 电磁波传播 波动方程
第20页/共53页
二、数学物理方法在物理学中的地位
3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
数学物理方法研究物理问题的三个步骤： ➢导(写)出定解问题 (泛定方程、定解条件) ➢求解 ➢对解答进行分析 其间一系列的过程都不可缺少清晰的逻辑推理和 创造性思维，由此学生分析问题和解决问题的能 力也就自然地得到了训练和培养
第25页/共53页
三、如何学好数学物理方法
1.认真学好先行课
普物 重点:力学、电学、热学 高数 重点:微积分、常微分方程解法
求解方程：
行波法：求解常微分方程的先求通 解再用定 解条件定特解的思想
分离变量法、积分变换法： 均用到化偏微分方程为常微分方程的求解
所有求解方程的过程离不开微分、积分手段。
——萧伯纳
第38页/共53页
三、如何学好数学物理方法
6.学会举一反三，懂得由树木见森林。
第28页/共53页
三、如何学好数学物理方法
例：求解三维无界空间的波动问题 z z
M (x, y, z)
utt u |t0
a 2 u x3
y2z
x x at sin cos y y at sin sin
ut |t0 0
z z at cos
数学物理方法2描述课件
z
r sin
r
采用球坐标系
x
r sin sin
y
r sin cos
Lˆ2
2
sin
sin
Lˆ2z
sin2
通过求解L2和Lz 的本征方程得到本征函数和本征值 如下(过程略):
Lˆ2Yl,m ( ,) L2Yl,m ( ,)
LˆzYl,m ( ,) LzYl,m ( ,)
L2 l(l 1) 2
考虑电子在 r～ r+dr 球壳的几率
Wnl (r)dr
Ylm
(
,
)
2
d
Rn2l
(r
)r
2dr
4
Ylm ( ,) 2 d 1 (球谐函数是归一的)
4
Wnl (r)dr Rn2l (r)r 2dr un2l (r )dr
Wnl (r)=u2nl(r)的意义呢？
Wnl (r)
电子径向几率密度与半径的关系
决定电子轨道角动量L(l)、能量 Enl
3) 轨道磁量子数ml: ml=0, 1, 2, …, l 决定轨道角动量的方向
4) 自旋磁量子数ms: ms= 1/2
决定自旋角动量的方向
二、泡利不相容原理
1. 费米子和玻色子 实验表明, 现在发现大多数微观粒子的自旋量 子数取半整数, 如电子, 中子, 质子, 中子自旋 均为s=1/2；
1 (电子径向波函数是是归一的)
Wnlm ( ,)d Ylm ( ,) 2 d
Wnlm ( ， )的意义呢？
规定: l=0, 1, 2 ,3,…分别对应 s, p, d, f, …轨道
电子在基态时角向几率分布是球对称分布的 电子在激发态时的角向几率分布亦有某种对称性
最新数学物理方法(MethodofmathematicalPhysics)PPT
-2 -1 0
2021/1/22
数学物理方法
1
（MethodofmathematicalPhysics）
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义：w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
2021/1/22
数学物理方法 （MethodofmathematicalPhysics）
正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，
即 ∇u ∇ v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
2021/1/22
数学物理方法
22
（MethodofmathematicalPhysics）
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
2021/1/22
数学物理方法
1
（MethodofmathematicalPhysics）
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义：w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
2021/1/22
数学物理方法 （MethodofmathematicalPhysics）
正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，
即 ∇u ∇ v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
2021/1/22
数学物理方法
22
（MethodofmathematicalPhysics）
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
《数学物理方法概论》课件
与工程领域的交叉研究，将为解决实际工程问题提供更加精准和高效的算 法和模型。
与经济、金融等领域的交叉研究，将为各行业的决策和预测提供更加科学 和可靠的支持。
05 案例分析
弦振动方程的求解与分析
弦振动方程的建立
基于物理背景，通过拉格朗日方程和哈密顿 原理推导弦振动方程。
弦振动方程的求解
利用分离变量法、积分变换法等数学技巧求 解弦振动方程。
02 数学物理方程的建立与求 解
微分方程的建立
总结词
描述微分方程的建立过程
详细描述
微分方程是描述物理现象变化规律的重要工具。在建立微分方程时，需要先对物理现象进行观察和抽 象，找出影响现象的关键因素，并建立相应的数学模型。然后通过数学推导，将模型转化为微分方程 的形式。
偏微分方程的建立
总结词
描述偏微分方程的建立过程
投资组合优化
数学物理方法在投资组合优化领域用于确定最 优投资组合。
金融衍生品定价
数学物理方法在金融衍生品定价领域用于确定衍生品价格和制定交易策略。
04 数学物理方法的展望与挑 战
数学物理方法的未来发展方向
数学物理方法将进一步与计算机科学、人工智 能等新兴领域结合，发展出更加智能化的算法 和模型。
、解释和预测自然现象。
抽象性
使用数学语言描述物理现象，需要一定的 抽象思维。
跨学科性
融合数学和物理学知识，提供多角度分析 问题的视角。
应用广泛性
适用于各种物理领域，如力学、电磁学、 热学等。
数学物理方法的重要性
理论意义
促进数学和物理学的发展，加深对自然现象本质的认 识。
实践意义
为解决实际问题提供有效工具，如工程设计、实验数 据分析等。
与经济、金融等领域的交叉研究，将为各行业的决策和预测提供更加科学 和可靠的支持。
05 案例分析
弦振动方程的求解与分析
弦振动方程的建立
基于物理背景，通过拉格朗日方程和哈密顿 原理推导弦振动方程。
弦振动方程的求解
利用分离变量法、积分变换法等数学技巧求 解弦振动方程。
02 数学物理方程的建立与求 解
微分方程的建立
总结词
描述微分方程的建立过程
详细描述
微分方程是描述物理现象变化规律的重要工具。在建立微分方程时，需要先对物理现象进行观察和抽 象，找出影响现象的关键因素，并建立相应的数学模型。然后通过数学推导，将模型转化为微分方程 的形式。
偏微分方程的建立
总结词
描述偏微分方程的建立过程
投资组合优化
数学物理方法在投资组合优化领域用于确定最 优投资组合。
金融衍生品定价
数学物理方法在金融衍生品定价领域用于确定衍生品价格和制定交易策略。
04 数学物理方法的展望与挑 战
数学物理方法的未来发展方向
数学物理方法将进一步与计算机科学、人工智 能等新兴领域结合，发展出更加智能化的算法 和模型。
、解释和预测自然现象。
抽象性
使用数学语言描述物理现象，需要一定的 抽象思维。
跨学科性
融合数学和物理学知识，提供多角度分析 问题的视角。
应用广泛性
适用于各种物理领域，如力学、电磁学、 热学等。
数学物理方法的重要性
理论意义
促进数学和物理学的发展，加深对自然现象本质的认 识。
实践意义
为解决实际问题提供有效工具，如工程设计、实验数 据分析等。
数学物理方法概论课件
(1) ()x (x) (x) (2) (x y) xy (3) ( )x xx
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
四、线性子空间
设V是F上的线性空间，如果 V V
（即 V 是V中的某些向量的集合），且满足：
（1）对任意的 x,y V ,(xy) V
（2）对任意的 F ,x V ,则 x V
定V中的一个元素y, 记为 y x ,数乘满足：
1x x ( ) x ( x ) ( ) x x x (x y) x y
数1的数乘 结合律 左分配律 右分配律
则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理）
§ 2.1 线性空间
数学物理方法概论课件
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
一、群
设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意
aG,bG有 abG 这种运算称为封闭运算。
定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G ,
它满足以下三个公理：
（1）运算满足结合律： (ab)ca(bc)
（2） 存在单位元素e，有 e a a e a
§ 2 线性空间
例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为
1 1
2 2
33=I
1 3
2 1
23=F
1 2
2 3
13=D
1 2
2 1
33=A
1 1
2 3
23=C
1 3
2 2
13=B
定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次。
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
四、线性子空间
设V是F上的线性空间，如果 V V
（即 V 是V中的某些向量的集合），且满足：
（1）对任意的 x,y V ,(xy) V
（2）对任意的 F ,x V ,则 x V
定V中的一个元素y, 记为 y x ,数乘满足：
1x x ( ) x ( x ) ( ) x x x (x y) x y
数1的数乘 结合律 左分配律 右分配律
则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理）
§ 2.1 线性空间
数学物理方法概论课件
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
一、群
设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意
aG,bG有 abG 这种运算称为封闭运算。
定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G ,
它满足以下三个公理：
（1）运算满足结合律： (ab)ca(bc)
（2） 存在单位元素e，有 e a a e a
§ 2 线性空间
例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为
1 1
2 2
33=I
1 3
2 1
23=F
1 2
2 3
13=D
1 2
2 1
33=A
1 1
2 3
23=C
1 3
2 2
13=B
定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次。
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
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随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
数学物理方法第三版.ppt
在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
数学物理方法第六章-勒让德函数课件
正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止．将 k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标
数学物理方法第四版期末总结ppt课件
d [ (i)3k (z i)k1] 1
(i)3k (k 1)(z i)k2
z i dz k0
z i k0
3
(k 2)i3(k3) (z i)k , (1 z i ) k
28
三、有限远孤立奇点分类及其类型判定
奇点名称 0 z z0 R 的洛朗级数 可去奇点 不含负幂项
22
例1 求幂级数 k(z i)k 的收敛圆. k 0
解
ak k
R lim ak a k
k 1
lim k k k 1
1
收敛圆: z i 1
23
例2
幂级数 ez zk
k0 k !
的收敛域。
1
解:
R lim ak lim
a k
k
k 1
k! 1
(k 1)!
lim k 1 , k
b2，…，bn外连续，则f(z)沿l正向积分 l f (z)dz 之值
等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍.
n
l
f
(z)dz
2 i
Re sf
j 1
(bj )
注意: 左边的积分是沿l 的正向进行的；
右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有的奇点。
31
二、计算留数 各孤立奇点留数的计算公式
法二 零点和极点的关系
若z = z0是
f(z)的m阶零点，则z =
z0必是
1 f (z)
的
m阶极点。
2)
1
zk
1 z k0
3)
1
(1)k zk
1 z k0
( z ) ( z 1) ( z 1)
4) sin z (1)k
数学物理方法课件《第一章 复变函数》
Argz=Argz2-Argz1
z z2 z1 r：
1 )
一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) a rg z 1 a rg z 2
§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根
1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
4
2 k )
2e
2
2 k ) i sin (
2
2
2k ) e
2 k )
1 co s( 0 2 k ) i sin ( 0 2 k ) e
i ( 0 2 k ) i ( 2 k )
2 2[co s( 2 k ) i sin ( 2 k )] 2 e
1 i 1 i
(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )
i
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系，则 ( x, y)
( x , y ),
任意点 P ( x , y ) 一对有序实数 z x iy 平面上的点
P( x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为 此时，轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴
( x ， y )的点 P 表示 .
平面 — 复平面或 z 平面
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
z z2 z1 r：
1 )
一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) a rg z 1 a rg z 2
§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根
1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
4
2 k )
2e
2
2 k ) i sin (
2
2
2k ) e
2 k )
1 co s( 0 2 k ) i sin ( 0 2 k ) e
i ( 0 2 k ) i ( 2 k )
2 2[co s( 2 k ) i sin ( 2 k )] 2 e
1 i 1 i
(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )
i
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系，则 ( x, y)
( x , y ),
任意点 P ( x , y ) 一对有序实数 z x iy 平面上的点
P( x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为 此时，轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴
( x ， y )的点 P 表示 .
平面 — 复平面或 z 平面
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
数学物理方法第九章课件
的解。
第九章的习题解答
习题1
求解无限长杆在垂直磁场中的扭转问题。利用分离变量法将偏微分 方程化为常微分方程，得出杆的扭转角与磁场强度的关系。
习题2
求解三维空间中的电场问题。利用分离变量法将偏微分方程化为三 个常微分方程，进而得出电势的解。
习题3
求解波动方程在非周期边界条件下的解。通过分离变量法将波动方程 化为常微分方程，得到波函数的解。
本章内容的总结
偏微分方程
偏微分方程是描述物理现象的重要工具，例如波动、热传导、弹性力学等问题都可以用偏微 分方程来描述。
本章介绍了偏微分方程的基本概念和分类，以及如何求解偏微分方程，包括分离变量法、有 限差分法等。
后续学习的展望
更深层次的数学物理方法
这些方法在解决物理问题时具有更广泛的应用，例如在 量子力学、相对论等领域。
在掌握基本的数学物理方法后，可以进一步学习这些方 法在各个领域的应用，例如在材料科学、生物医学、环 境科学等领域的应用。
在后续的学习中，可以进一步学习更深入的数学物理方 法，例如广义函数与分布、积分方程、微分几何等。
应用领域的拓展
通过深入了解这些应用，可以更好地理解数学物理方法 在解决实际问题中的作用和价值。
在工程学中的应用
结构分析
数学物理方法能够用于分 析工程结构中的力学问题， 如弹性力学、断裂力学等。
控制系统设计
数学物理方法能够用于设 计各种控制系统，如航空 航天、机器人等领域。
信号处理
数学物理方法能够用于信 号处理和图像处理，如图 像压缩、图像增强等。
在其他领域的应用
经济学
数学物理方法能够用于分析经济现象和预测经济 趋势，如金融市场分析、风险评估等。
数学物理方法定义
第九章的习题解答
习题1
求解无限长杆在垂直磁场中的扭转问题。利用分离变量法将偏微分 方程化为常微分方程，得出杆的扭转角与磁场强度的关系。
习题2
求解三维空间中的电场问题。利用分离变量法将偏微分方程化为三 个常微分方程，进而得出电势的解。
习题3
求解波动方程在非周期边界条件下的解。通过分离变量法将波动方程 化为常微分方程，得到波函数的解。
本章内容的总结
偏微分方程
偏微分方程是描述物理现象的重要工具，例如波动、热传导、弹性力学等问题都可以用偏微 分方程来描述。
本章介绍了偏微分方程的基本概念和分类，以及如何求解偏微分方程，包括分离变量法、有 限差分法等。
后续学习的展望
更深层次的数学物理方法
这些方法在解决物理问题时具有更广泛的应用，例如在 量子力学、相对论等领域。
在掌握基本的数学物理方法后，可以进一步学习这些方 法在各个领域的应用，例如在材料科学、生物医学、环 境科学等领域的应用。
在后续的学习中，可以进一步学习更深入的数学物理方 法，例如广义函数与分布、积分方程、微分几何等。
应用领域的拓展
通过深入了解这些应用，可以更好地理解数学物理方法 在解决实际问题中的作用和价值。
在工程学中的应用
结构分析
数学物理方法能够用于分 析工程结构中的力学问题， 如弹性力学、断裂力学等。
控制系统设计
数学物理方法能够用于设 计各种控制系统，如航空 航天、机器人等领域。
信号处理
数学物理方法能够用于信 号处理和图像处理，如图 像压缩、图像增强等。
在其他领域的应用
经济学
数学物理方法能够用于分析经济现象和预测经济 趋势，如金融市场分析、风险评估等。
数学物理方法定义
《数学物理方法》课件
2
应用于实际问题，帮助学生理解方法 的实际应用。
通过习题解析，培养学生分析和解决
问题的能力，加深对方法的理解。
3
实际应用案例
介绍数学物理方法在实际工程和科学 研究中的应用案例，激发学生对学习 的兴趣。
课程成果
掌握数学物理方法
提升问题解决能力
学生将掌握数学物理方法的基本原理和应用能力， 为未来的学习和研究打下良好基础。
《数学物理方法》PPT课 件
这是《数学物理方法》的PPT课件，旨在与大家分享数学物理方法的知识。 通过引人入胜的内容和精美的图片，让学习过程变得轻松有趣。
ห้องสมุดไป่ตู้
课程介绍
课程背景
探索数学与物理的结合，拓宽科学研究的范围。
课程目标
培养学生分析和解决问题的能力，提升数学物理应用水平。
授课内容概述
涵盖微积分、线性代数、微分方程和矩阵论等数学方法，以及统计力学、量子力学和电磁场 理论等物理方法。
通过课程的实践和习题解析，学生将提升问题解 决和数学建模的能力。
结论和要点
综合数学和物理
《数学物理方法》课程将 数学与物理相结合，帮助 学生更好地理解物理现象 和问题。
培养实践能力
通过课程实践和案例分析， 培养学生分析和解决实际 问题的能力。
激发学习兴趣
优秀的示例分析和实际应 用案例将激发学生对数学 物理方法的学习兴趣。
数学方法
微积分
研究连续变化的量 和其导数，为数学 建模和物理问题分 析提供基础。
线性代数
研究向量、矩阵和 线性变换，为数学 和物理领域的数据 处理与分析提供工 具。
微分方程
研究函数及其导数 的关系方程，为实 际问题的建模和求 解提供数学方法。
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x2 y2 i2xy
2）、 1 (z z*) Re z 2
1 (z z*) Im z 2i
3）、
1 2
( z1
z2 )*
1 2
( z1*
z
* 2
)
例：讨论式子 Re(1/ z) 2在复平面上的意义
解：
Re(1/ z) 2
z x yi
1 z
1 x yi
x yi x2 y2
Re(1/ z)
ei ei2 ei3 ein
W ei ei2 ei3 ein Wei ei2 ei3 ei(n1) Wei W ei(n1) ei
Argz 2k
(k 0,1,2)
0 arg z 2
为辐角的主值，为主
辐角，记为 arg z
y r
A(x, y)
Argz x
y r Argz
x
Argz y x r
y Argz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的 深度和意义。
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数
§1.1 复数与复数运算
（一） 复数的基本 概念 1、 复数表示
复数： z x yi
式中 i 1
x、y为实数，称为 复数的实部与虚部
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z1 z2
e e i1
i 2
1
2
ei(1 2 ) 12
12[cos(1 2 ) i sin( 1 2 )]
z1 z2 z1 z2
arg( z1 z2 ) arg z1 arg z2
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1 y1i)(x2 y2i) z2 x2 y2i (x2 y2i)(x2 y2i)
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
或指数式： z1 z2
x1 y1i x2 y2i
ei1 1
ei2 2
z1 z2
1 2
e i(1 2 )
1 2
[cos(1
2 ) i sin( 1
2 )]
Hale Waihona Puke 4、复数的乘方与方根乘方 z n ( ei )n nein
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
x x2 y2
2
x2 y2 x 2
为 (x 1 )2 y 2 ( 1 )2 圆上各点
4
4
例：计算 W a ib
解： 令
z a ib z (cos i sin ) W a ib [ z (cos i sin )]1/2
z a2 b2
sin b
a2 b2
z 1/2[cos( 2k ) i sin( 2k )]
y
y1 y2 y1
z1
y2 x1
z1 z2
z2
x
x2 x1 x2
z1 z2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 (x1 y1i)(x2 y2i)
1/ n i( 2k ) / n
n z 1/ nei / n
z e n
1/ n i( 2 ) / n
z e n
1/ n i( 4 ) / n
e z e n
1/ n i(2 / n)
1/ n i / n
注意：
1）、 z z* z 2 x2 y2
z z z2 (x yi)(x yi)
n (cos n i sin n) 故： (cos i sin )n cos n i sin n
方根 n z n ei e 1/ n i / n
e 1/ n i( 2k ) / n
(k 0,1,2,3) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k 2
k n
z e n
a cos cos 2 cos 3 cos n b sin sin 2 sin 3 sin n
W a ib cos cos 2 cos 3 cos n i(sin sin 2 sin 3 sin n )
(cos i sin ) (cos 2 i sin 2 ) (cos n i sin n )
(cos i sin )
ei
cos 1 (ei ei )
2
sin 1 (ei ei )
2i
（二） 无限远点 N
零点 无限远点
Riemann球面 复球面
A
z
S
（三）复数的运算 1、复数的加减法
z1 z2 x1 y1i (x2 y2i)
(x1 x2 ) ( y1 y2)i
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x2 y2 为复数的模
arctg( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
x cos y sin
arctg( y / x) Argz
由于辐角的周期性， 辐角有无穷多
e 应用： 2k i 1 1 e i
i e(2k /2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
解：z位于第二象限
arg z arctg y arctg( 3) 2
x
3
Argz arg z 2k 2k 2
3
共轭复数： z* (cos i sin )*
2
2
cos
a a2 b2
W2
W1
z 1/2[cos( ) i sin( )]
2
2
z 1/2[cos( 2 ) i sin( 2 )]
2
2
sin
2
1 cos
2
例：计算 cos cos 2 cos 3 cos n sin sin 2 sin 3 sin n
解： 令