麦克斯韦速率分布律的推导与验证.

麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证

摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法

推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。

关键词：速度分布函数，实验验证。

一． 内容

1、麦克斯韦速度分布律的内容

当气体处于平衡态时，气体分子的速度在v ~v dv +间隔内，及分子速度分量在

x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +间隔内的分子数dN(v)占总分子数N 的比率为：

2223

()/22x y z d v m ()v v v N 2kT

x y z m v v v kT

N e d d d π-++=（）， 其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，22

2211()v 22

x

y z m v v v m ++=为气体分子平动能。d v N

N （）

表示速度矢量的端点在速度体元d τ内的分子数占总

分子数的比率，换言之，一个分子取得v ~v dv +间隔内速度的几率。

2、分子速度分布函数

2223()/22m f ()2kT

x y z

m v v v kT

e π-++=x y z dN(v)（v ）=Ndv dv dv

f （v ）的物理意义是：分子速度在v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分

子数的比率。 3、速度分量分布函数

2221

/221

/221

/22m f ()2kT m f ()2kT m f ()2kT

x y z mv kT

mv kT

mv kT

e

e

e πππ---===x x x y y y z z z dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv dN(v )（v ）=Ndv 3、麦克斯韦速率分布律

将以,,x y z v v v 为轴的笛氏坐标进行坐标变换，变为球坐标

2,,,,sin {x y z v v v v v d d dv θϕ

θθϕ→→x

y

z

dv

dv dv 分子速度在v ~v dv +，~,~d d θθθϕϕϕ++内的分子数占总分子数的比率为

23

/22

2m ()sin 2kT

mv kT e v d d dv θθϕπ-=dN(v)N 对θ，ϕ积分，得分子的速度在v ~v dv +内分子数占总分子数的比率为

23

/222m 4()2kT

mv kT e v dv ππ-=dN(v)N 4、分子速率分布函数

23

/222m f v 4()2kT

mv kT e v ππ-=dN(v)（）=Ndv

物理意义:分子速率在v 附近，单位速率间隔内的几率。

二． 历史

1859年4月，麦克斯韦偶然的读到克劳修斯关于平均自由路程的那篇论文，很受鼓舞，重燃了他原来在土星卫环问题上运用概率理论的信念，认为可以用所掌握的概率理论对动理论进行更全面的论证。

1859年麦克斯韦写了《气体动力理论的说明》一文。接着他用概率方法找出粒子速度在某一限值内的粒子的平均数，即速率分布律。

麦克斯韦的这一推导受到了克劳修斯的批评，也引起了其他物理学家的怀疑。这是因为他在推导中把速度分解为x ，y 和z 三个分量，并假设他们相互独立的分布。

直到1866年，麦克斯韦对气体分子运动理论做了进一步的研究以后，他写了《气体的动力理论》的长篇论文，讨论气体的输运过程。其中有一段是关于速度分布律的严格推导，这一推导不再有“速度三个分量的分布相互独立”的假设，也得出了上述速度分布律。它不依赖于任何假设，因而结论是普遍的。

三． 麦克斯韦速度分布律的推导

设容器内有一定量的气体处于平衡态，气体总分子数为N ，分子速度在x ，y ，

z 三个方向上的分量为,,x y z v v v 。处于平衡态的气体分子速度分布应该是各向同性的，在速度区间x x x v ~v dv +，y y y v ~v dv +，z z z v ~v dv +内的分子数dN 显然与总分子数N 和速度间隔体元x y z v v v d d d 成正比

即2x y z ()v v v dN NF U d d d = （2222

x y z

U v v v =++） （1） 这里比例系数 2()F U =x y z

dN

Ndv dv dv (2 )

为速度分布函数

由于速度分布函数的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量无关，故可设

2()()()()x y z F U f v f v f v =++ （3）

对上式两边取对数的

2ln ()ln ()ln ()ln ()x y z F U f v f v f v =++

上式分别对,,x y z v v v 求偏导 先对x v

x 22)112v ())dF U U

F U dU ∂∂∂⋅⋅=⋅=∂∂∂x x x x x

f(v 且v f(v v v 整理后可得

22

x d )

111()2v )d dF F U dU ⋅=⋅⋅x x x

f(v f(v v 同理有

22y d )

111()2v )d dF F U dU ⋅=⋅⋅

y y y

f(v f(v v 22

z d )

111()2v )d dF F U dU ⋅=⋅⋅z z z

f(v f(v v 以上三式左边相同，故右边也相等 可令

x y z d )d )d )

1111112v )d 2v )d 2v )d λ⋅=⋅⋅=⋅⋅=y x z x x y y z z

f(v f(v f(v f(v v f(v v f(v v 对上式积分得222

y

x

z v v v y z f Ae f Ae

f Ae λλλx （v ）=（v ）=（v ）=

将其带入（3）式有 222

x y z v +v +v 2

3F(U )=A e

λ（）

（5）

考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故λ应为负值