高斯函数有关的高考压轴题.doc

与高斯函数有关的高考压轴题
董永春
（成都戴氏高考中考肖家河总校数学组，四川成都，611000）
1高斯函数问题的提出
早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设用R,用[刘或表示不超过x的最大整数，并用〃｛” 〃表示兀的非负纯小数，则y = [x]称为高斯函数，也叫取整幣数。

高斯函数[兀]的定义域是/?,值域为乙其图象是不连续的水平线段。

在初中、尚屮数学竞赛屮经常岀现含有取整函数的问题。

笔者在髙三复习时发现欧拉常数问题⑴在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。

下面从一些考题去体会高斯函数。

2高斯函数有关的准备
我们只提出本文需要的一些性质x = [x] + x-l<[x]<x<[x] + l,
「10”打-10[10讥]表示取兀的各分位小数。

3高斯函数有关问题的解决
例1 （2012四川16）记[兀]为不超过实数兀的最大整数，例如，[2] = 2, [1.5] = 1 ,
E +1一1
[-0.3] = -lo设d为正整数，数列｛£｝满足西£+严[—]（,?G N*）,现有下列命题：
①当a = 5时，数列｛暫｝的前3项依次为5,3,2；
②对数列｛xj都存在正整数k ,当n>k时总有兀=x匕；
③当71 >1 时，x n>y/a-\；
④对某个正整数若兀如》檢，则兀=|奶]。

其中的真命题有一①—③—④______ o （写出所有真命题的编号）
分析：①显然成立，对于②，取。

=3,州=3,兀2=1,土=3,“=1,…为摆动数列，②错。

对于③，市题意知—和益都是整数，故“+]=[——]>
r
a n £ + [一] r -i r -]
r
从而[ ---- 1 一暫 no 即—-x H >0=> — -x n > — -x w >0,即—-x w >0
2
L%」
兀 此」
L E
」
=>
分析：此题涉及了高斯函数的性质x-\<[x]<x,借助均值不等式，比较攵杂。

其实可以 考虑特殊值法进行验证。

例2 (2012成都三诊12)设兀是实数，定义[x]为不大于X 的最大整数，如[2.3] = 2,
[-23] = -3 , 己知函数 /(x) = [3x+l] + -, g(x)=
2 A -l,-l<x<0。

若方程
2
I g(x-l) + 2,0< A :<3
/(x) -2x = 0的解集为M,方程g(x)-2x = 0的解集为N,则集合MoN 中的所有元 素Z 和为 (A)-l
(B)0 (C)l
(D)2
i i 3 i
分析:[3兀+1] + — — 2x — 0 => 3x < [3x +1] — 2A - — — 5 3x +1 => —— < A - < ——,
7
i
i
i
2 2 1 J
2 4 1
3 1 5 1 7 2x — = —2 => x =—,； 若 2兀—=—3 => x =—； 若 2x — = —
4 => x =— (舍)； 2 4 2 4 2 4
知耐=卜扌,—計，数形结合知N={0,l,2}所以答案为C 。

点评：本题涉及了竞赛数学的解含有高斯函数的方程，一般的处理方法是利用性质 x — l< [x] 5
x 很关键
例3(2008湖南10,2010南充二诊12)设[刘表示不超过兀的最大整数，(如⑵=2,闻“),
对于给定的ne N\定义c”二 讪-1)・.・(—[兀]+ 1), XG [|,+oo),则当XG [-,3)时，
"x(x 一 - [x] + 1) 2
函数的值域是
(C)(4,y]u(y,28] (D)(4,y]o[28,56)
(A)[y,28] (B)[y,56)
3 、 —,2 时，[x] = 1, 2丿
16 Q =|为减函数,知Q el 4,y ； XG [2,3), [%] = 2,
点评：本题体现了高斯函数的分段特色，组合数的整数问题又是一个热点研究课题。

己]=1
拓展变式（2011泸州诊断16）设闵表示不超过兀的最大整数（如[2] = 2, 4
）,对于给
定的“wZ,定义c”二"5 — 1）…⑺—⑷+ ° *厲+°°））,给出下列命题：
n
x （x -1）…（兀—[兀]+ 1）
（1） [V7] = 3； （2） [-log 23] = -l ； （3） C]-5 =2；
（4）当XG [-,3）时，函数Cf 的值域是（4,—]u （—,28]・
2 3 3
其屮正确命题的序号为 ________ .（填上所有正确命题的序号） 分析：此题实际就是上题的改编与拓展。

例4 （2012成都4屮三诊12） [X]表示不超过兀的最大整数，数列｛%｝、｛b n ｝分别满足
(A)16 (B)32 (C)33 (D)34
是有意义的，卜0」42857142857."十,2辟,7丄4,2,...为周期数列。

幣入易知 b n = 0,0,0,0,0丄
0,0,0,0,0丄…,故 S]" = 16
点评：a n =[10n x]-10[10/,-,x]就是取兀的各分位小数,在数论⑵中应用很广。

例5 （2012乐山一诊16） •定义函数Xx ） = [x[x],其屮[x]表示不超过x 的最大整数，如： [1.5]
= 1,[-1.3] = -2当xw[0,/?）SwN*）时，设函数/U ）的值域为A,记集合A 中的元素 个数为％,
则式子生型的最小值为
n ---------------
分析：当 XG [0,1)时，.广(兀)二 x[x] =[x-0] = 0; XG [1,2)时，/(x) = [x[x]]
8x7 x-(x-l)
为减函数，知
10"兀 -IO T I ()z xl
，b
n = ■
a“+l
% +1
k + 1 ■
' + 1.01
£<10。

S 〃为数列
10丄 -10 10。

丄 .7_
. 7_ 103- -10 102- . 7.
. 7.
其中N,
{$}的前/!项和，当X = ^k = l 时，则S 1(X)=()
分析：由勺=
1 ； 〃 =
2 吋,
= 2；・.・这些式子
5 A 「-i
= [x.l] = [x] = l；XG[2,3）时，将[2,3）等分为两段，XG 2,—时，f（x）= x[x]]
L 2丿L
「5 、r-
= [x-2] = 4；兀韦，3j时，.广（兀）=国叩十・2] = 5,类似的，将[3,4）等分为三段, 会得到
3个函数值，将[4,5）等分为四段，会得到4个函数值XG [0,对（/?€ N*）时有, 函数的值域中元素的个数为色=1 + 1 + 2 + 3 +・・.+ （〃一1） =1 +巴匸U , 笙型二丄5 +些）一丄，易知当,1
= 13或斤=14时纟匸型的最小值为13・
斤 2 n 2 n
点评：关键是[兀[对的变化将相应的区I'可分段是很关键的，可以通过尝试取得。

例6 （2011成都五校联考16）设xw R,记不超过x的最大整数为[x],令｛x｝ = x-[x],若已知产+ ” ,占二[亦+ 1] , c =占十'‘给出下列结论：①21nb = lna + lnc ；②
ln2/? = lntzlnc；③ lnd + lnb + lnc = 0；④In a • lnb • Inc = 1 ；⑤ Ina + lnb +Inc = 1.
分析：借助｛x]=x-[x],得方=
其中正确的结论是________ （写出所有正确结论的序号）
知①③正确.
综上，初等数学研究已经渗透到高考和数学竞赛中，我们应该去追溯问题的本原，让学生感受数学之美，从文化的角度去培养学生的数学素养。

参考文献：
[1]董永春，与Euler常数有关的高考压轴题[J]・中学数学研究，2012, 3 （15-17）
[2]董永春，对形如J/?+/ n + k的十分位问题的讨论[J]・四川理工学院学报，2010, 1
（36-37）
[3]陈传理张同君，竞赛数学教程[M].高等教育出版社，2008
[4]李文林，数学史概论[M].高等教育出版社，2011（2）.
[5]匡继昌，常用不等式[M].山东科学技术出版社，2010
[6]姜照华，初中数学竞赛中的高斯函数问题[J].中等数学，2010, 11 （2-5）。