欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(导数和微分)【圣才出品】

称为自变量 x 的微分。
2．微分与函数增量的关系、可微性
（1）设 y（x）在点 x 可导．根据导数定义
于是
去分母得
（2）一元函数 y（x）的可导性和可微性是两个等价的概念。
3．微分的几何意义
当 y'（x）存在时，y（x）在点 x 的切线方程是
，其中 X，
Y 为流动坐标，将坐标系 OXY 的原点 O 平移到点
4．设
，求 ．[华南理工大学、南京师范大学研]
解：对方程两边关于 x 求导可得 述的一阶导数表达式 两边再关于 x 求导得 达式，得
，所以
对上
，代入
的表
8 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
。
5．设 y=y（x）由等式
确定，求
．[中国地质大学 来自百度文库006 研]
解：
，因为方程组中第二个方程是 y 关于 t 的一个隐函数，则
对第二个方程关于 t 求导可得
1．导数的四则运算法则
（1）设 u（x）可导，则
（2）设
都可导，则
2 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
（3）设 u（x）可导且
则
（4）设 u（x），v（x）可导且
则
（5）导数公式：
2．反函数求导公式
设
在
上严格单调且连续，又设反函数 x＝x（y）可导，则当
②导数为无穷时切线的定义
若
，则当 x 是 f 的连续点时，过（x，f（x））的垂直线 X＝x（斜率＝∞）
1 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
就为过点（x，f（x））的切线。
注：若 f'（x）＝ ，不定义切线。
（4）法线方程 过切点且与切线相垂直的直线称为法线。因此，与切线方程对应的法线方程是
或
3 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
2．莱布尼兹公式 设 u（x），v（x）存在 n 阶导数，则
其中
并且有
3．隐函数求导法
设方程
确定了隐函数
对恒等式
可求出 y'（假定 y'存在），类似地，从
可求出 （假定 存在）． 4．参数方程的求导法则 若函数 y＝y（x）是由参数方程
与 X＝x 对应的法线方程是水平直线 Y＝f（x）。
4．基本导数公式
（1）C'＝0（常数 C 的导数为 0）；
（2） x ＝1；
（3）
在 xα的定义域内部）；
（4）设函数 u（x），v（x）可导，α，β是常数，则
；
特别地，
。
注：在用导数公式求导数
在点 x＝a 的值
时，须先求导再代入 x＝a，即
二、求导法则
dx。根据这个定义，在
存在时，有
一般地，在
存在时，n 阶微分为
从上式可得
即
等于 y 的 n 阶微分 除以自变量 x 的增量 dx 的 n 次方：
5．一阶微分形式的不变性
（1）若 x 是自变量，则
其中
若 t 是自变量，则
其中
前后两个 dy 是不相同的。
这就是一阶微分形式不变
性。
（2）二阶微分及更高阶微分不具有形式不变性。
如果 存在且有限，则称 f 在点 x 可导。导数
又常记为 或
或
。
（2）定理
可导点必连续，即若 f 在点 x 可导，则 f 在 x 连续。
注：在函数 f 的连续点不一定可导。
（3）切线方程
①导数为有限时切线的定义
若 f 在点 x 可导，故 f 在点 x 连续，此时过
的切线必存在且切线方程为
其中 X，Y 为流动坐标，这里 x 是固定的。
上，同时记新坐标为
因此，切线方程在新坐标下的方程是
即微分。就是说，微分是坐标系
下的切线方程.
4．高阶微分
图 6-1
5 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
当 dx 固定时，一阶微分
是 x 的函数，对它又可求微分 d（dy），这个
微分称为二阶微分，并记作 规定求二阶（及下面的高阶）微分时，x 的增量统一取为
6.2 名校考研真题详解
1．设 f（x）在[-1，1]上有二阶连续偏导数，f（0）=0，令 ，
证明：
6 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
（1）g（x）在 x=0 处连续且可导，并计算 g＇（0）； （2）g＇（0）在 x=0 处也连续。[南京大学、复旦大学、南京理工大学、中北大学研、 上海理工大学、华东师范大学 2006 研] 证明：（1）由于
所给出的，其中 x（t），y（t）均可导且
则
求导：
四、微分
4 / 11
圣才电子书
www.100xuexi.com
1．微分的定义
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
设 x 是自变量，函数 y（x）在点 x 可导，导数 y'（x）与 x 的增量△x 的乘积
称为 y（x）在点 x 的微分 dy：
注：将 改记为
存在，且
时，
当
时，
3．复合函数的求导法则
设
都可导，则复合函数
在其定义域也可导，且
或简写为
，这种求导方式称为链导法。
三、高阶导数和其他求导法则
1．高阶导数的定义
函数 y（x）的一阶导数
也是 x 的函数，对它仍有求导数问题。
的导数
称为二阶导数，并记作
或
．即
。依次类推，n－1
阶导数
的导数
称为 n 阶导数，记为
并由 L’Hospital 法则知
所以，g（x）在 x=0 处连续且可导， （2）由于
所以由 L’Hospital 法则知
故 g＇（x）在 x=0 处也连续。
2．问函数
，在 x=0 处最高能有多少阶导数？这个导数值是多
少，并给出证明。[中北大学研] 解：当 x≠0 时，有
所以
7 / 11
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
但 能有二阶导数，且
不存在，故在 x=0 处，最高
3．设 f（x）是定义在 R 上的函数，且对任意的
，都有
若 f＇（0）=1，证明：对任意的 x∈R，都有
。[江苏大学 2006 研]
证明：在
中令
，有
。又由
（x）不恒为零，故有 f（0）=1。由导数的定义和
可得
。 知，f
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
www.100xuexi.com
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解 第 6 章 导数和微分
6.1 复习笔记
一、导数概念 1．导数的定义 （1）可导的定义 设函数 y＝f（x）于（a，b）上有定义，x∈（a，b）固定，则定义导数 f'（x）为差商 △y/△x 的极限：