欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(导数和微分)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》(上)配套题库-章节题库(级数的一般理论)【圣才出品】
第12章级数的一般理论1．设α＞0，判断（并证明）下列两个级数的收敛性：解：（1）当α＞1时级数显然绝对收敛．（2）当n≤x＜n＋1时，函数有Taylor展开令则（3）积分因为当α＞1/2时，，对于任何所以由Dirich-let判别法则知上述积分收敛．于是当α＞1/2时级数收敛．由步骤（2）可知因为α＋1/2＞1，所以α＞1/2时级数收敛．（4）同法可证α＞1/2时级数收敛．（5）设0＜α≤1/2．那么由步骤（3），发散（读者补出证明）．由步骤（2）有因为α＋1/2＞1/2，α＋1＞1，并根据步骤（4）中的结论，可知上式右边后二级数收敛，因此级数发散．（6）同法可证0＜α≤1/2时级数发散．2．已知是正项发散级数，实数λ＞0．求下列级数的和：解：（1）用表示所给级数的前n项之和，并令那么也就是将此式两边从k＝2到k＝n求和，即得关系式（2）根据并且应用不等式：当时，（可以用数学归纳法证明），即可得到因为级数发散，所以由上式可以推出由此及步骤（1）中的关系式即得级数之和3．（1）设是一个正数列，满足条件那么级数当α＞1时收敛，当α≤1时发散（Gauss判别法则）．（2）讨论下列级数的收敛性：解：（1）①令则其中γ＝min{2，β}．因此因为γ＞1，所以级数收敛，于是由得知存在（记为a），从而②因为所以级数当α＞1时收敛，当α≤1时发散．（2）记级数通项为则于是x＞1时级数收敛；x＜1时级数发散．当x＝1时，因为α＝1/6＜1，所以依本题（1）知级数发散．4．设是正实数列，如果级数收敛，那么级数也收敛．解：令则单调递增，而且记则单调递增．因此只需证明它有界，即可得到题中的结论．依题意可知用T表示题设收敛级数由Cauchy-Schwarz不等式得所以用除上式两边，其中（因为则因而有界．于是本题得证．5．设a，b＞0，证明并求级数的和．证明：因为所以然后根据即可推出所要的公式．特别地，据此可得分部分式得因为，所以于是。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(映射与实函数)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第3章映射与实函数3.1复习笔记一、映射1．相关定义（1）常量与变量常量是指在过程进行中，保持不变的量，否则，称为变量．在任何过程中都是不变的量称为绝对常量。
除去绝对常量，在某一过程中的常量在另一过程中可能成为变量．（2）映射设为X到Y的某种对应法则，若按这个法则，对集中的每个x存在惟一与之对应；而对中的每个x不存在与之对应，则称这个对应法则为X到Y具定义域的一个函数（映射）．其中，x称为自变量，y称为因变量．集称为的定义域，有时为明确起见将记为.当时，称f在X上是全定义的．集合Y称为的值域．对每个按法则f所对应的惟一y常记为，称在点x的值．因变量y的取值范围显然为集，称为f的值域．X到Y的映射f（定义域不必是全X）可简记为2．像与逆像（1）定义如果，则称y为x在f下的像，而x称为y在f下的逆像．y的逆像全体记为：（2）相关符号当为单点集时，同一记号也可用来表示元素x本身，用来表示集合和用来表示元素x的含义是不一样的．3．函数相等的定义设f与g是x到y的两个函数，如果它们有相同的定义域且对定义域中每点x有，则称f与g相等，并记为．4．单射、满射与双射设f：X→Y．若必有，则称f为单射．若值域，则称f为满射．若（全定义！）且f既是单射又是满射，则称f为双射．单射、满射及双射又可分别称为1-1映射、到上映射及一一映射（或一一对应）．5．复合映射设及为两个映射，X到Y的映射称为g与f的复合映射．它的定义域由来确定，u称为中间变量．6．逆映射（1）定义设是单射，对，方程必惟一解．这惟一解x就是：给出了Y到X的一个映射，其定义域为，映射称为f的逆映射．（2）定理①设是单射，则逆映射必存在且满足及②设是双射，则也是双射．二、一元实函数1．初等函数（1）基本初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数．（2）初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及复合所产生的一类函数称为初等函数．2．函数的分段表示（1）分段函数定义设A，B为两个互不相交的集，函数和分别于集A和集B上有定义，则定义了上的一个分段函数，这就是函数的分段表示法．（2）重要的分段函数①符号函数②Dirichlet函数无法用图形表示出来．③不超过x的最大整数[x]可分段表示成三、函数的几何特性1．奇偶性（1）定义设的定义域为，其中关于原点对称，即，若，，则称为偶函数；若，则称为奇函数．（2）性质偶函数的图形关于Y轴对称，奇函数的图形关于原点中心对称且（若）．（3）常见的奇函数与偶函数函数，（称为双曲余弦）是偶函数，而，是奇函数，注意不是偶函数．2．周期性若，使得，则称f为周期函数，T称为周期．注意：定义要求具有以下性质：．3．单调性若在数集上有定义，且当时必有则称于上单调增加（严格单调增加），并简记作（f严格↑）．上述不等式若改为则称f（x）于上单调减少（严格单调减少），简记作（f严格↓）．4．有界性若f的值域是一个有界集，则称f是有界函数．即若固定数M＞0，使有．则称f是有界函数．5．最值与极值（1）最值设f于上有定义，像集中的最大（小）数称为f在上的最大（小）值．使f取最大（小）值的自变量x的值称为最大（小）值点．函数的最大值与最小值统称为最值．（2）极值①设f于上有定义，．如果存在使得则称为f的极大值点，而称为极大值．②设f于上有定义，．如果存在，使得则称为f的极小值点，而称为极小值．3.2名校考研真题详解一、选择题1．有下列几个命题（1）任何周期函数一定存在最小正周期．（2）[x]是周期函数．（3）不是周期函数．（4）xcosx不是周期函数．其中正确的命题有（）。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(隐函数存在定理和隐函数求导法)【圣才出品】
19.2 名校考研真题详解
1．设 f 为可微函数， 试对以下两种情况，分别求 在点
和方程 处的值．
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（①）
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（1）由方程①确定了隐函数 z＝z（x，y）；
（2）由方程①确定了隐函数 y＝y（x，z）．[华中师范大学研]
的一个邻域内
对各个变元有连续的偏导数；
（2）
（3）F，G 关于 x，y，u，v 的 Jacobi 矩阵
在点 的秩为 2，不失一般性，设
则存在点 的一个邻域，在此邻域内由方程组 F（x，y，u，v）＝0，G（x，y，u，v）＝0
可以确定惟一的函数 u＝u（x，y），v＝v（x，y），
满足 F（x，y，u（x，y）），v（x，y））＝0，G（x，y，u（x，y），v（x，y））＝0，
解：应用 Lagrange 乘数法，令
，
对 L 求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有
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当 x、y、z 都不为 0 时，求得该方程组的解为
所以最大值为
11．求 庆大学研]
解：令
． ，（n 为正整数）在条件 x≥0、y≥0，常数 a＞0 下的极值．[重
可以解出
这里要求分母 即
．称
是函数 F，G 关于 u，v 的 Jacobi 行列式，记为
同样，再记
那么
可写为
二、隐函数存在定理 1．一个方程的情形 （1）二元函数隐函数存在定理 设二元函数 F（x，y）满足下列条件： ①在矩形区域 数； ②
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欧阳光中《数学分析》(上册)章节题库-第七章至第十章【圣才出品】
），x 为[a，b]中任意点．特别，在（1）式中取
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并利用已知条件
则有
其中 c1 满足 同理，在（1）式中取
并利用已知条件
则得
其中 c2 满足
．于是，
取 c 如下：若
则令
于是，a<c<b 且
（2），即得
从而，
证明：证法一 令
在[0，1/2]上应用 Lagrange 中值定理得
其中
同理，在[1/2，1]上应用 Lagrange 中值定理得
其中η∈（1/2，1），因此ξ≠η，最后，由题设，F（0）＝0，F（1）＝0，所以
于是
从而 证法二 令
那么
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于是在此区间上，函数
定理的条件．所以，至少存在一点
使
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满足 满足罗尔
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6．设函数 f（x）于区间（a，b）内有连续的导函数 f′（x）．对于区间（a，b）内任何 一点ξ可否从此区间中指出另外的两点 x1 及 x2 使满足于
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第 7 章 微分学基本定理及应用
1．设函数 f（x）在含有[a，b]的某个开区间内二次可导，而且 f′（a）＝f′（b）＝0， 则存在ξ∈（a，b）使得
证明：因为 f′（a）＝f′（b）＝0，所以由 Taylor 公式，存在
1]上应用 Rolle 定理知．
使得
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欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(导数的应用)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第8章导数的应用8.1复习笔记一、判断函数的单调性1．定理若f在〈a，b〉上连续，在〈a，b〉上可微且则2．推论在上述定理的全部条件下加上集不包含任何正长度的区间，则f严格二、极值和最值1．极值的充分判别法（1）判别法1设f在上连续，在上可微．如果当时，当时，那么必是f的极大值点．若判别法1中的不等号反向，则是f的极小值点．（2）判别法2若是ｆ的驻点且存在，则在时，必是f的极小（大）值点．2．f∈Ｃ[a，b]时的最值求法（1）区间[a，b]上最值的存在性若有限，则有界闭区间[a，b]上的连续函数必存在最大（小）值．（2）最值的可能点①设是f的最值点，如果，则必是它的极值可疑点，否则就是区间的端点a，b．②定理设的极值可疑点的全体为则3．任意区间上的函数最值求法（1）在任意区间〈a，b〉（开的或闭的，有界的或无界的）上，f的最值不一定存在，如果f在（a，b）上的确界能被f取到时，则确界就是最值．（2）设f在〈a，b〉上连续，有极值可疑点，且f（a＋）和f（b－）存在（有限或±∞）．当a＝－∞时，这里的f（a＋）由f（－∞）来代替．同样，当b＝＋∞时，f（b－）改为f（＋∞），记则三、函数的凸性1．凸函数（1）凸函数定义①设f在〈a，b〉上有定义，如果对一切及0＜λ＜1，成立不等式则称f是〈a，b〉上的下凸函数，简称为凸函数．如果不等式严格成立，则称f是〈a，b〉上的严格凸函数．②若－f是下凸函数，则称f是上凸函数．（2）凸函数的判别法①定理设f于〈a，b〉上可微，则f严格下凸严格②推论a．若f在〈a，b〉上二阶可微且，则f于（a，b）上严格下凸．b．若f在〈a，b〉上二阶可微且，则f于（a，b）上严格上凸．2．凸函数的性质（1）性质1（a，b）上的凸函数f（x）必连续且点点存在有限左右导数（2）性质2设f在〈a，b〉凸，则过任意点必存在直线使得f（x）的图形在该直线上方若f（x）严格凸，则上述不等式当且仅当时等号成立．（3）性质3设f在〈a，b〉凸，则对一切及正数列，成立不等式如果f严格凸，则上述不等式当且仅当时变成等式．3．0.618方法（黄金分割搜索法）（1）黄金分割法的用途0.618方法适用于求凸函数的最小值的数值解，同时对函数没有可微性要求．（2）命题设若则最小值点必在之中；若则最小值点必在之中．（3）黄金分割法求[a，b]上的严格下凸连续函数f的近似最小值点的算法：①取并求出及；②a．若，则取新区间为，为进一步提高精度，可取并求出而已不用另求了．b．若，则取新区间为，并求出，而已求出．反复以上过程，直到将最小值点定位在指定小的区间上为止．注：每次定位，区间长度缩短到原来的0.618倍，因此n次定位可将最小值点定在长度为的区间之中．四、函数作图1．渐近线（1）垂直渐近线若（或）为∞，则称x＝a为f的垂直渐近线．（2）斜渐进线和水平渐近线设f在（a，＋∞）上有定义，如果存在直线Y＝kx＋b，满足称该直线为f（x）在x→＋∞时的渐近线．若＝0，则称渐近线为水平渐近线，否则是斜渐近线．（3）渐近线的求法有两个求f在x→±∞的渐近线方法．①方法1若f（x）＝kx＋b＋ （1），其中（或则Y＝kx＋b是f在x→＋∞（或x→－∞）时的渐近线．②方法2Y＝kx＋b是f在x→＋∞的渐近线下列极限均存在2．y＝f（X）作图的一般步骤作f（x）图形的一般步骤：（1）确定函数f（x）的定义域、奇偶性及周期性．（2）求出f所有的极值可疑点（包括不连续点），记为，这里是f（x）的定义域的两个端点．（3）求出（在连续点，即为，是f的单调区间，这是因为在内不变号．若与不全存在，则可从的符号来确定f的单调情况．（4）求出它的渐近线．（5）求f的凸性区间．3．极坐标方程r＝r（θ）的作图设r（θ）是周期函数，周期为T＝απ且α是有理数．由于极坐标关于θ是以2π为周期进行循环的，故要得到r＝r（θ）的完整图形，θ应取在[0，2nπ]上，这里区间[0，2nπ]恰由整数个长为απ且互不重叠的子区间构成，即2n／α是整数．4．隐函数及参数方程的作图要作由F（x，y）＝0所决定的隐函数的图形，一般是先将方程F（x，y）＝0化成参数方程或极坐标方程的形式后再来作图的．五、向量值函数1．向量值函数（1）向量值函数的定义参数方程x＝x（t），y＝y（t），t∈〈α，β〉可写成向量形式：r＝r（t）＝（x（t），y（t））这里r＝（x，y）是起点在原点的向量，映射t→r（t）称为（二维）向量值函数．（2）向量值函数r（t）的极限、连续、导数及微分的定义①若都存在，则定义即向量值函数的极限等于各个分量的极限；②若x（t），y（t）在〈α，β〉上连续，则称r（t）＝（x（t），y（t））于〈α，β〉上连续；。
欧阳光中数学分析答案
欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章euclid空间上的点集拓扑16．1euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的使用20．1偏导数在几何上的使用20．2方向导数和梯度20．3taylor公式20．4极值20．5logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3green 公式23．4green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3gauss公式24．4stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3b函数和函数第二十六章lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3lebesgue积分26．4（l）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7fubini定理练习及习题解答? 序言复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(广义重积分)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第22章广义重积分22.1复习笔记一、无界集上的广义重积分1．无界集上的广义重积分的定义（1）定义假设①D是边界为（二维）零集的无界集；②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界，则定义广义二重积分为特别约定，这里的D R使常义积分存在，即若某D R，使不存在，则放弃这个D R．（2）敛散性若等式右端极限存在且有限，则称广义二重积分收敛，反之，称为发散．2．非负函数的广义二重积分（1）设f（x，y）≥0且满足条件①D是边界为（二维）零集的无界集；②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界，若存在一串使得极限存在且有限，则广义重积分必收敛，且3．绝对可积（收敛）性（1）绝对收敛若积分与同时收敛，则称积分绝对收敛（或绝对可积）．（2）条件收敛若积分收敛但绝对值积分发散，则称积分为条件收敛（或条件可积）．（3）结论当函数f非负时，可积必绝对可积．（4）定理设f（x，y）满足条件①D是边界为（二维）零集的无界集；②f（x，y）于D上几乎处处连续且f（x，y）于D的任一有界子集上保持有界，则广义积分收敛必绝对收敛．二、无界函数的重积分1．无界函数积分的定义（1）定义设D为有界集，它的边界是（二维）零集，f（x，y）于集D上是几乎处处连续的且有惟一奇点，即f于点P无界．又设，f于有界．表示在δ邻域中，以点P为内点的集，并要求积分存在．定义无界函数的广义二重积分为（2）敛散性若右端极限存在且有限，则称收敛（或称可积），反之称为发散（不可积）．2．无界函数积分定理（1）设D为有界集，它的边界是（二维）零集，f（x，y）于集D上是几乎处处连续的且有惟一奇点，即f于点P无界．又设，f于有界．表示在δ邻域中，以点P为内点的集，并要求积分存在．又设f非负，则收敛使收敛．（2）无界函数的重积分可积必绝对可积．注：被积函数f（x，y）已满足起始条件，特别是几乎处处连续．没有上述条件，若问收敛时是否也收敛，则结论否定．3．含奇线积分（1）奇线奇点连接成的线称为奇线．（2）含奇线积分的定义设为奇线，取的δ邻域集合表示位于内的一个集，它以上每点为内点，且存在，定义为含奇线积分．22.2名校考研真题详解1．求[北京师范大学2005研]解：由于所以2．求，其中表示整个平面。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(偏导数的应用)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第20章偏导数的应用20.1复习笔记一、偏导数在几何上的应用1．曲线的切向量、切线和法平面（1）光滑曲线设空间曲线l的参数方程是其中t是参数，又设都在[a，b]上连续，并且对每一个不全为0，这样的曲线称为光滑曲线．表示成向量值函数为r（t）的导数定义为（2）光滑曲线的切向量光滑曲线l在点P的切向量τ，即（3）光滑曲线的切线和法平面设其中那么曲线l在点P0的切线方程和法平面方程分别是2．曲面的法向量、法线和切平面（1）显示形式的光滑曲面的法向量若光滑曲面S的方程是在处曲面S的法向量为（2）隐式形式的光滑曲面的法向量光滑曲面S的方程并且光滑曲面的法向量为也可简单地写为（3）参数形式的光滑曲面的法向量光滑曲面S的方程是u，v是参数，并假定Jacobi矩阵的秩为2．不失一般性，设则法向量为二、方向导数和梯度1．数量场（1）数量场的定义设D是中的一个区域，f是定义在D内的一个实值函数，即则称在D内有了一个数量场f．（2）等量线的定义设f是D内的一个数量场，称（C是常数）是数量场f的等量面（或等值面）．即在S内每一点x处，它所对应的数值是相同的，都等于C．特别当D是R2中的区域时，称S是等量线（或等值线）．2．方向导数（1）方向导数的定义设D是R3中的一个区域，f是D内的一个数量场，P0∈D，l是R3中的一个单位向量，如果极限存在，则称此极限是数量场f在点P0沿方向l的方向导数，记为．即也称它是函数f在点P0沿方向l的方向导数．它表示数量场f在点P0沿方向l的变化率．（2）方向导数存在的充分条件设函数f在点P0可微，则f在点P0沿任何方向l的方向导数存在，并且有其中是方向l的方向余弦．3．梯度（1）梯度的定义设数量场f（x，y，z）定义于某个三维区域D内，又设函数f具有关于各个变元的连续偏导数，称向量是在点的梯度，记为，即（2）梯度与方向导数的关系θ是向量和向量l之间的夹角．①当θ＝0时达到最大，即当l的方向是的方向时最大．即在点沿的方向，其方向导数最大．②当时达到的最大值等于．（3）梯度与等值面之间的关系①gradf的方向和等值面的法向量的方向是一致的（可能相差一个符号），如果选取法向量的方向是朝向数量场增加的方向，那么该法向量n的方向就和梯度的方向相同．②令n0是单位法向量，则有gradf的方向与n0相同，其大小等于f沿n0的方向导数．（4）梯度的性质设f，g都可微，则①②③④．其中φ（u）在点可微．三、泰勒公式1．二元函数的泰勒公式（1）定理（带拉格朗日余项）设函数f（x，y）在开圆盘内有关于x，y的各个n＋1阶连续偏导数．对D内任意一点记则右端最后的一项称为拉格朗日余项，其中算子的意义如下：（2）推论（带Pean0余项）设函数f（x，y）在开圆盘内有关于x，y的各个n阶微分．对D内任意一点记则其中是Pean0余项．2．n元函数的泰勒公式设n元函数在开球内有关于的各个n＋1阶连续偏导数．对内任一点记则其中．四、极值1．二元极值必要性条件。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(广义积分的敛散性)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第13章广义积分的敛散性13.1复习笔记一、广义积分的绝对收敛性判别法1．条件收敛和绝对收敛（1）广义积分的柯西收敛准则设f（x）在区间［a，b〉上有惟一奇点b，则广义积分收敛对成立（2）广义积分的收敛（发散）定义设f（x）在区间［a，b〉上有惟一奇点b，①如果和收敛，则称广义积分绝对收敛（又称为绝对可积）；②如果但收敛，则称条件收敛（又称为条件可积）．注意：从上述定义直接可知，当f（x）≥0时，收敛和绝对收敛是等价的．（3）相关定理绝对值积分收敛，且f于［a，b〉上有惟一奇点，则绝对收敛．2．广义积分的比较判别法假定f和g在［a，b〉上有惟一奇点b，如果|f（x）|≤|g（x）|，则也绝对收敛．反之，如果发散，则也发散．3．广义积分的等价量判别法设f和g在［a，b〉上存在惟一奇点b且则同时收敛或发散．二、广义积分的Abel-Dirichlet判别法1．积分型Abel不等式设u（x）单调，v'（x）可积，则不等式右边的项是v（x）在区间[a，b]上的振幅，M，m分别是v（x）在[a，b]上的上、下确界．2．Abel-Dirichlet判别法（A．D．判别法）设广义积分有惟一奇点b（a，b可以无限），若f（x）＝u（x）v'（x），即其中u（x）单调且u（x），v（x）中一个是有界函数，另一个在x→b－时趋向于零，则上述积分必收敛．3．广义积分和级数的关系设f（x）≥0，又是一个单调增加数列，则积分．13.2名校考研真题详解1．举例说明连续函数f（x）使收敛，但未必有证明：当f（x）在[a，＋∞）上单调且收敛时有[南京农业大学2005研]证明：例如令则由Dirichlet判别法知收敛，但不存在．不妨设f（x）存[a，＋∞）上单调递减，则当x≥a时，有f（x）≥0．事实上，若存在使得，由于当x≥a时，故发散，矛盾．由于收敛，故存在A＞2使得当x＞A时，有．再由f（x）在[a，＋∞）上单调递减知当x＞A时，有下式成立即2．设收敛，且f（x）在[a，＋∞）上一致连续，证明：[上海交通大学研]证明：反证法设当x→∞时，f（x）不趋于0，则存在，对任意的．有，使得．因为f（x）一致连续，所以对此，存在δ＞0，使得对任意的，有，则对任意的，有从而，由Cauchy收敛准则知发散，矛盾．3．讨论的敛散性．[中国地质大学研]解：对于，由于，所以当q＜1时，收敛．对于，易知当p＞1或p=1且q＞1时，收敛．综上所述，所以当p＞1且q＜1时，收敛．4．设积分绝对收敛，证明：在（－∞，＋∞）上一致连续．[东南大学研]证明：方法一：题目所要证明可以归结为对任意的ε，存在δ＞0，，只要，就有．由于当－A＜x＜A时，有故有已知存在，所以当A充分大时，可使，至此再将A固定，取，则当时，有，所以方法二：因为，而绝对收敛，所以由Weierstrass 判别法可知，g（α）绝对收敛．如果说f（x）在（－∞，＋∞）上连续，则上述结论成立，所以g（α）在（－∞，＋∞）上连续．下证存在．若该极限存在，则由上海交通大学2003年题目可知，g（α）在（－∞，＋∞）上一致连续．因为收敛，故对任意的ε，存在G＞0，使得，且f（x）可积，所以，则g （α）在（－∞，＋∞）上一致连续．5．讨论反常积分的敛散性．[复旦大学研]解：易知当p－2＞－1，即p＞1时，收敛；当p≤1时，发散．由于，所以当5－p＞1，即p＜4时，收敛；当p≥4时，发散．故当且仅当1＜p＜4时，收敛．6．求[中山大学2007研]解：由于，且所以收敛．因为，所以发散，故发散．7．求证：（1）（2）[浙江大学研]证明：（1）在右端积分中作变换t=x+m，得设，广义积分是收敛的，因此（2）由（1）得。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(Lebesgue积分)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第26章Lebesgue积分26.1复习笔记一、可测函数1．广义实数系将±∞加入到实数系R，得称为广义实数系，±∞称为广义实数，其余实数称为有限实数．在上取值的实值函数称为广义实值函数．注意：在含＋∞的运算中应避免出现不定式，但约定数字0乘以±∞为零，即0（±∞）＝0．2．几乎处处收敛（1）几乎处处收敛的定义若存在一个零测度集，仅当x∈I－E时，则称在I上几乎处处收敛到f，可记为：也可记为（2）命题几乎处处成立的定义任何一个命题若除去一个零测度集外成立，则称该命题几乎处处成立．3．补充知识（1）定理将非负二重级数，非负二次级数中的项任意排成一重级数则必成立：（2）推论若二重级数的正、负项级数至少有一个收敛，则显然成立4．阶梯函数（1）阶梯函数的定义在有限个互不相交的有界区间上取有限常值在并集外等于零的函数φ称为阶梯函数，可表示成阶梯函数的图形下方是有限个矩形，这有限个矩形面积代数和记为这里表示区间的长．（2）区间I上的阶梯函数定义设φ仅在区间I上有定义，若在I外补充定义φ（x）＝0后，φ（x）成为阶梯函数，则称φ是区间I上的阶梯函数．（3）集△的长度定义记集，其中是区间，设它们互不相交，则集△的长度定义为5．可测函数（1）可测函数的定义设f是区间I上a．e．有定义的广义实值函数，若在I上存在阶梯函数则称f 是I上的可测函数，并记f∈M（I）．注意：①阶梯函数φ本身必可测；②若f∈M（I），则g∈M（I）；③若f∈M（I），又区间则特别可知狄利克雷函数D（x）可测．常量函数可测．（2）可测函数的性质①设f，g于I上可测，则，，都于I上可测．②设f，g于I上可测且均为a．e．有限，则f±g，fg，（要求{x|g（x）＝0，x∈I}是个零测度集）也于I上可测．③设f∈M（I），g∈C（－∞，＋∞）（若±∞∈R（f），极限存在（可以是±∞）），复合函数g（f）∈M（I）．二、若干预备引理1．三条引理（1）若非负阶梯函数的总面积有限，则“高”之和也必a．e．有限（即非负级数a．e．收敛）．（2）为非负阶梯函数且则（3）设为非负阶梯函数，若则特别，当时成立2．关于（R）积分的一个命题设f 于[a，b]（R）可积，则f 于[a，b]上必可测且存在阶梯函数满足在f（x）≥0时可要求三、Lebesgue 积分1．Lebesgue 积分的定义设f 于I 上有a．e．定义且阶梯函数，使得，其中至少一个有限，则称f 于I 上存在（L）积分（Lebesgue 积分），定义（L）积分为：若有限，则称f于I上（L）可积2．相关定理（1）定理1阶梯函数满足：这时，f几乎处处有限．（2）定义的一意性若另有阶梯函数，同样满足则3．（L）积分的性质（1）最简单的性质①若则f于I上a．e．有限；②若存在，则f∈M（I）；③若（于I上），则且特别地，Dirichlet函数且；④若存在，（于I上），则也存在且等于；⑤若存在，是I的子区间，则也存在．（2）基本性质下面将简写为①若在I上且和存在，则特别地，当且存在时．若I＝（a，b），a≤b，则可记为但若a＞b，则；②若存在，α∈R，则也存在，且；③若和存在且不是不定式（特别当时），则也存在，且；④若存在，则必存在，且；当时，⑤若可积，则也必可积．特别的，当f可积时，也必可积；⑥设区间是除端点外互不相交的区间，则存在同时存在且不为异号无穷大．当条件成立时，；⑦则必阶梯函数列使得若m≤f（x）≤M，x∈I，则还可要求⑧设存在（a，b包括±∞），则下式右边的积分也存在且等式成立：；。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(极限论及实数理论的补充)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第11章极限论及实数理论的补充11.1复习笔记一、Cauchy收敛准则及迭代法1．基本数列（1）基本数列的定义若，即对每个，都能找到一个自然数N，对一切n，m≥N成立不等式称{x n}为（Cauchy）基本数列．（2）引理1若{x n}收敛，则{x n}必是基本数列．2．数列极限的Cauchy收敛准则（1）引理2基本数列必有界．（2）Cauchy收敛准则是基本数列．3．实数系的完备性由实数所组成的基本数列{x n}必存在实数极限，这个性质称为实数系的完备性．注意：有理数域不具有完备性．4．函数极限的Cauchy收敛准则Cauchy收敛准则的两种叙述（1）设f在点a某个去心邻域有定义，则极限存在且为有限（2）ε-σ定义设f在点a某个去心邻域有定义，，当时，5．压缩映射原理（1）不动点的定义设是定义在[a，b]上的一个函数，方程的解称为的不动点．（2）不动点的存在性①不动点存在的必要条件取，递推式为，设一切，如果是连续函数且存在且为有限，则在式子两边令，可得．从而知是的一个不动点．②不动点存在的充分条件a．压缩映射的定义如果存在一个常数k，满足，使得对一切成立不等式则称是[a，b]上的一个压缩映射，显然，压缩映射必连续．b．压缩映射原理设是[a，b]上的压缩映射且由递推公式定义的[a，b]，n＝0，1，2，…，则在[a，b]上存在惟一的不动点，且．（3）不动点的惟一性设是[a，b]上的压缩映射且，则在[a，b]上存在惟一的不动点．6．牛顿迭代法（1）牛顿迭代公式设y＝f（x）于[a，b]上可微，f'（x）≠0且f（a）f（b）＜0，则f（x）在[a，b]上存在一实根，记为．同时，设x是根的一个近似值，x n下一步的近似值x n＋1，则这个求近似值的迭代公式称为牛顿迭代公式．（2）压缩映射原理的推论若①f（x）于[a，b]两次可微且f'（x）≠0；②存在一个数，对一切，成立③存在，使得一切则f（x）在[a，b]上存在惟一实根，且二、上极限和下极限1．上（下）极限的定义若数列{x}的极限不存在且存在子列，其中a是有限数或或}的一个极限点．数列{x n}的最大（最小）极（不包括不定号无穷大），则称为a数列{x限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为2．上（下）极限的存在性每个数列{x}的上极限和下极限必存在且惟一（有限或或），且3．上（下）极限和极限的关系（1）根据上（下）极限的定义，有}存在极限（包括或{x n}的上极限和下极限相同，即极限（2）定理{x点惟一，当条件满足时，三、实数系基本定理1．有限开覆盖定理（1）覆盖的定义[a，b]是一个给定的有界闭区间，{Oα}是一族开区间，若则称开区间族{Oα}覆盖了[a，b]．（2）有限开覆盖定理若开区间族{Oα}覆盖了有界闭区间[a，b]，则从{Oα}必可挑出有限个开区间Oα1，…，Oαn同样覆盖了[a，b]：2．实数系基本定理小结（1）确界存在定理；（2）单调有界数列极限存在定理；（3）闭区间套定理；（4）Bolzano-Weierstrass定理；（5）Cauchy收敛准则；（6）有限开覆盖定理．以上这些定理是相互等价的．3．实数系的一种引进法（1）QD10函数在有理数集Q上定义的、值域为1，0两值的单调减少函数称为QD10函数，用R表示所有QD10函数所组成的集合，该集合中每个元素就是一个QD10函数．譬如，对每个有理数r，函数注意：①R中的元素可分两部分一类元素（见上）及余下其他元素；②在R中引进与函数相等概念稍不同的等于“＝”概念：，称α＝β，若函数α＋（t）＝β＋（t），，显然这等价于α－（t）＝β－（t），在这种等于的概念下，r＋＝r－（称为有理数），它们可与有理数r等同起来．③引进“≤”概念：若α＋（t）≤β＋（t），（等价于α－（t）≤β－（t），，则称是指且．显然关系式α＜β，α＝β，α＞β有且仅有一个成立．（2）确界存在定理R中非空、上有界集A必存在上确界supA．11.2名校考研真题详解1．设为[0，1]上的一个连续函数列，若对任意的是有界数列．用闭区间套定理证明存在[0，1]的一个长度不为0的子区间及常数C，使得[南京理工大学2006研]证明：反证法假设在任何（非空）子区间上都不一致有界，则存在及的某个闭子区间上，恒使得又因连续，根据保号性，在含x有在上仍不一致有界，所以存在及，使得．根据连续保号性，存在闭子区间使得上恒有如此继续下去，便得一串闭区间在上恒有．利用闭区间套定理知，存在从而所以在处无界，与已知条件矛盾，结论得证．2．用有限覆盖定理证明有界性定理：闭区间上的连续函数必有界．[天津工业大学2006研]证明：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，要证明f（x）在[a，b]上有界．由连续函数的局部有界性，对每一点都存在邻域及正数使得考虑开区间集。
欧阳光中《数学分析》(上)配套题库-名校考研真题(极限论及实数理论的补充)【圣才出品】
第11章极限论及实数理论的补充1．设为[0，1]上的一个连续函数列，若对任意的是有界数列．用闭区间套定理证明存在[0，1]的一个长度不为0的子区间及常数C，使得[南京理工大学2006研]证明：反证法假设在任何（非空）子区间上都不一致有界，则存在及使得又因连续，根据保号性，在含x 1的某个闭子区间上，恒有在上仍不一致有界，所以存在及，使得．根据连续保号性，存在闭子区间使得上恒有如此继续下去，便得一串闭区间在上恒有．利用闭区间套定理知，存在从而所以在处无界，与已知条件矛盾，结论得证．2．用有限覆盖定理证明有界性定理：闭区间上的连续函数必有界．[天津工业大学2006研]证明：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，要证明f（x）在[a，b]上有界．由连续函数的局部有界性，对每一点都存在邻域及正数使得考虑开区间集显然H是[a，b]的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集覆盖了[a，b]，且存在正数使得对一切有令则对任意的，x必属于某个从而，这就证得f（x）在[a，b]上有界．3．设f（x）在[a，b]上递增，证明：存在使得．[西南师范大学研]证明：用确界原理证明．若f（a）＝a或f（b）＝b，结论成立．下面假设f（a）>a，f（b）＜b，证．因为，故E非空且有上界b，从而必有上确界，可记证．对任意的有而f（x）在[a，b]上递增，故．又故有．即f(x 0)为E的一个上界，从而．另一方面，由于f（x）在[a，b]上递增，于是有由此得出，即．而，故又有，合之即有成立．4．证明有界闭区间[a，b]上的连续函数f（x）一定有界．[北京交通大学研]证明：令在[a，x]上有界，因为f（x）在a点连续，所以存在使f（x）在上有界，即由此知又因为E显然有上界b，于是存在下证β＝b且β∈E．若β＜b，即则由f（x）在β点的连续性知，存在有｜f｜在有上界又由β为E的上确界知，存在即在有上界于是为在的一个上界，即这与β的定义矛盾．矛盾即说明β＝b．类似地，由f（x）在b点的连续性知，存在使f（x）在上有界；又由b＝β知，存在使f（x）在上有界，从而f（x）在[a，b]上有界．5．设为一个无界数列，但非无穷大量，证明：存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列．[哈尔滨工业大学研]证明：首先证明存在无穷大量的子列．由的无界性，对任意的M，存在，使，变动M，存在，有．存在，有．反复使用无界性，如此得到且所以为无穷大量．其次证明存在收敛子列．因为非无穷大量，即不收敛到，故存在M>0，对任意的存在．使得．于是对k＝1，存在，使得．对，存在，使得，如此下去，可得一有界子列从而由致密性定理可知中存在收敛子列．6．设f（x）在（0，1]上连续，并且证明：对任意的都存在使得[兰州大学2006研]证明：由于故存在满足且．所以对任意的由连续函数的局部保号性，存在N>0，使得当n＞N时，由连续函数的介值性知存在或使得所以有使得。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(连续函数和单调函数)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第5章连续函数和单调函数5.1复习笔记一、区间上的连续函数1．某点处连续和单侧连续（1）函数在一点的连续的定义函数ｆ在点x0连续是指且f在x0和x0的某个邻域δ（x0）内有定义．（2）单侧连续的定义如果f（x）在x的某个右邻域0＜x－x0＜δ,左邻域（－δ＜x－x0＜0）中有定义，且，则称f在点x0右（左）连续．（3）单侧连续和某点处连续的关系若f在点x0连续．即：f在点x0连续在点x0既左连续又右连续．2．区间上的连续性（1）开区间上连续性的定义当a＜b时，f（x）在（a，b）上每点都连续，则ｆ(x)在开区间（a，b）上连续．（2）闭区间上连续性的定义f（x）在（a，b）连续且在点a右连续，在点b左连续，则f在闭区间[a，b]上连续．（3）连续函数类用记号C（I）表示由区间I上所有的连续函数所组成的集合．3．连续函数的四则运算（1）定理若是常数，则（分母g（x）≠0，）及也都属于C（I）．（2）推论1若f∈C（I），则，并且有（n是自然数）．（3）推论2多项式函数．4．连续函数的复合运算（1）定理连续，f（x）在点连续，则f（g（x））在点x0也连续．即设y=g（x）在点x连续函数的复合函数也连续．（2）推论仅单侧连续，f（x）在点连续，则f（g（x））于点①如果g（x）在点xx0也为相同的单侧连续．②初等函数都是连续函数。
5．不连续点（1）不连续点的定义设f（x）于x0的某个去心邻域中有定义．如果在点x0不满足连续性条件，则x0称为f（x）的不连续点（亦称间断点）．（2）f（x）的间断点及其分类①第一类间断点f（x0＋）和f（x0－）均存在且有限．a．可去间断点：b．跳跃间断点：②第二类间断点和至少有一个不存在．（无穷大属于不存在之列）（3）连续延拓原理设x0是f（x）的可去间断点，记其中，则于点x0连续．称为f（x）的连续延拓．二、区间上连续函数的基本性质1．零点存在定理（1）连续函数零点存在定理若且，则f（x）在[a，b]中至少存在一个零点．（2）定理的几何解释零点存在定理是说连续函数的图形穿过x轴时必与x轴有交点，这个交点的横坐标就是f（x）的零点．2．值域定理（1）值域定理有界闭区间上的连续函数的值域也必是有界闭区间．即，若[a，b]是有界闭区间，f∈C[a，b]，则（2）推论①（连续有界定理）有界闭区间上的连续函数必有界；②（最值定理）有界闭区间上的连续函数必存在最大值与最小值；③（介值定理）对一切μ∈[m，M]，必存在使得注意：如果f在[a，b]有一点不连续，那么f（x）的有界性、最值存在性均可能不成立．3．一致连续性（1）一致连续的定义①设f在〈a，b〉≡I上有定义，如果极限则称f（x）在区间I上一致连续．②设f在〈a，b〉≡I上有定义，若对，满足时，有注意：若f在（a，b）上一致连续，则f必在（a，b）连续．（2）不一致连续定义①f在（a，b）上不一致连续，使得②f（x）于（a，b）上不一致连续及数列，满足，使得注意：连续性一般推不出一致连续性．（3）Cantor定理有界闭区间上的连续函数必一致连续．三、单调函数的性质1．不连续点的性质（1）性质1在区间（a，b）上定义的单调函数f于（a，b）的不连续点必是第一类不连续点．（2）性质2单调函数的不连续点至多为可列个．2．值域性质性质3如果f在〈a，b〉上单调，则3．反函数存在定理性质4（严格单调连续函数的反函数存在定理）设y＝f（x）在〈a，b〉上连续且严格单调增加，则值域是区间，反函数是区间I上的连续且严格单调增加函数．4．有界变差函数（1）有界变差函数的定义设g和h是有界闭区间上的两个单调增加函数，则称上的有界变差函数．上的有界变差函数的全体记为显然，上的单调函数必定是有界变差函数．（2）性质5有界变差函数f的内部不连续点必定是第一类不连续点．（3）性质6①若f在区间和上分别为有界变差函数，则f在上也为有界变差函数．②若可分成有限个子区间，在每个子区间上f（x）是单调的，则f必定是上的有界变差函数．（4）性质7若，则这里α是数．5.2名校考研真题详解1．设f（x）在[a，b]上连续，对任意的x∈[a，b]，存在y∈[a，b]，使，证明：存在，使得。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(集合)【圣才出品】
称为点 a 的δ闭邻域. ③去心邻域 设 a∈R，δ＞0．集合
则称为点 a 的δ去心邻域．
2．上界与下界
（1）上界
设 A 是一给定的数集，若存在数 M，使得
有 x≤M，则称 M 为集合 A 的一个
上界．
（2）下界
设 A 是一给定的数集，若 数 m，使得
有 x≥m，则称数 m 为集合 A 的一个
下界．
A－B 表示由在 A 中但不在 B 中的元素所组成的集，即 A－B＝{x|x∈A 且 x∉ B}．
（4）补集
设 A 是 X 的一个子集，A 的补集（又称余集） 定义为
，即属于 X 但
不属于 A 的元素的全体组成的集合．
6．集合运算公式
7．无限个集合的运算 （1）可列多个集合
的并集
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若 B 不是 A 的子集，则记为
．
（2）命题
A 是任意一个集合，必有
4．若干逻辑记号
（1）设 P，Q 是两个命题．
表示命题 P 成立时命题 Q 也成立，俗称从 P 可推
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出 Q．
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（2）
表示
且
即 P 成立的充要条件是 Q 成立．
为 infA．上、下确界统称确界．
（2）确界定理
上（下）有界的非空数集必存在（惟一）上（下）确界．
（3）上下确界常用的等价定义
①上确界等价定义
设 A 是一个数集，若数β（包括＋∞与－∞）满足以下两个条件：
a．
有 x≤β；
b．β的任一邻域
中都含集合 A 的元素，
则称β是 A 的上确界．
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解：应用 Lagrange 乘数法，令 ，
对 L 求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有
当 x、y、z 都丌为 0 时，求得该方程组的解为
所以最大值为
11．求 庆大学研]
解：令
． ，（n 为正整数）在条件 x≥0、y≥0，常数 a＞0 下的极值．[重
4．设 z＝z（x，y）由方程
所确定，证明：
南理工大学研、清华大学 2006 研] 证明：对题目中的方程关于 x 求偏导可得
，解得
．[华
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两边关于 y 求导可得
，解得
代入
，可得
．
5．设 z＝f（u），方程
定义了隐函数 u＝u（x，y），其中 f（u）、
解：（1）由题知
，记
（①）试
在方程
两端对 x 求导有
解得 于是
（2）对方程①两端对 x 求导有：
，故
解得
则
2．设方程
求隐函数的偏导数 [北京科技大学研]
解：由于
两边对 x 求导得
②
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解得
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③
类似，等式两边对 y 求导可解得
，则
解得
，所以 f（x，y）的极值为
．
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第 19 章 隐函数存在定理和隐函数求导法
1．设 f 为可微函数，
和方程
对以下两种情况，分别求 在点
处的值．
（1）由方程①确定了隐函数 z＝z（x，y）；
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再证方程 f（x）=0 在（-∞，+∞）内实根个数不可能超过两个，用反证法．
若方程 f（x）=0 有三个（或以上）实根设为
公式．其中余项 满足
称为 Peano 余项．
（2）推论
若
存在，则
这个展开式称为在 a 点的 Taylor 展开式（带 Peano 余项 2．若干初等函数的 Taylor 展开式 （1） （2） （3） （4）①当 时，
这里的记号
，
②当
得
③当
得
（5） （6） 3．Lagrange 型余项
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）．
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欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解 第 7 章 微分学基本定理及应用
7.1 复习笔记
一、微分中值定理
1．关于
定理的几种陈述
（1）若 是 f 的极值点且导数
存在，则
即可微的极值点处的不可导或者导数等于零，无其他可能．
①
再在[c，x]上运用拉格朗日中值定理，可得
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由①式，
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当 x→+∞，上式右端趋于+∞，因为（f +∞）＞0．又
因此方程在
内至少有一个实根．
同理由
类似可证方程 f（x）=0 在
内至少有一个实根，从
而方程 f（x）=0 在（-∞，+∞）内至少有两个实根．
（2）几何意义
在具有水平弦 AB 的可微曲线 上，必存在水平切线．
（3）推论
f 的两个零点
之间必有导数
的零点（若 f 在
上连续，在
上可
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欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第25章含参变量的积分25.1复习笔记一、含参变量的常义积分1．含参变量积分的概念（1）称如下形式的积分为含参变量x的积分．（2）当为常值时，称为固定限参变量积分，否则称为可变限参变量积分．2．含参变量积分的分析性质（1）不变限情形①连续性定理设f（x，y）于矩形[a，b]×[c，d]上二元连续，c，d有限，则函数于[a，b]上也连续．②可导性定理设f（x，y）和于矩形[a，b]×[c，d]上连续，则F（x）于[a，b]上也可导且．（2）可变限情形①连续性定理设f（x，y）于上二元连续，，且于[a，b]上连续，则于[a，b]上也连续．②可导性定理设f（x，y）于上二元连续，，且于[a，b]上连续，若导数存在且连续，则也存在，且二、含参变量的广义积分1．含参变量广义积分的一致收敛（1）定义设已给含参变量的广义积分（I是任意区间），假定对每个x∈I，上述积分已收敛．设为“余积分”，它是x，d的二元函数，于矩形I×[C，＋∞）上有定义．①含参变量广义积分在奇点＋∞处一致收敛的定义若数，使得“余积分”绝对值|r（x，d）|在矩形上点点小于ε（图25-1），即则称于奇点＋∞处，积分在x∈I时一致收敛．图25-1②含参变量广义积分在有限奇点处一致收敛的定义若，使得在矩形上点点小于，即则称在奇点c处积分在x∈I时一致收敛．③当一个含参变量积分有限多个奇点时，只有积分在每个奇点处都一致收敛时才称该积分一致收敛．（2）Abe1不等式（u（x）单调，v'（x）可积）也常用来估计“余积分”．2．一致收敛的判别法（1）Cauchy收敛原理如果一致收敛存在，使得，有（2）Weierstrass判别法设①收敛；②收敛，则，一致收敛．（3）A．D．判别法已给若u（x，y）关于y单调，且u，v有一个是有界函数，另一个在y→＋∞时在区间x∈I上一致收敛于零，则上述积分一致收敛（假定偏导数存在且关于y连续）．3．含参变量广义积分的性质（1）定理1设f（x，y）于矩形I×[c，＋∞）上连续且积分，x∈I内闭一致收敛，则于I上连续（连续性）．（2）定理2设f（x，y）于矩形I×[c，＋∞）上连续且积分，x∈I内闭一致收敛，若区间I＝[a，b]有界，则（3）定理3设于上连续，积分，内闭一致收敛，又存在一点，积分收敛，则内闭一致收敛，且（4）定理4设上连续，公式在下列条件之一满足时成立：①②③（5）定理5设f（x，y）于[a，＋∞）×[c，＋∞）上连续且两个“里层”积分都存在．若存在充分大的及函数满足：其中函数一个可积，另一个局部有界（即在任一个内闭区间上有界），则成立三、B函数和Γ函数1．B函数和Γ函数的定义B函数和Γ函数是指2．B函数和Γ函数的性质（1）连续性B（p，q），Γ'（s）都是连续的．（2）对称性B（p，q）＝B（q，P）；（3）Γ函数是阶乘的拓广Γ（s＋1）＝sΓ（s），s>0．特别Γ（n＋1）＝n!；（4）B函数与Γ函数的关系；（5）余元公式；（6）Legendre公式．3．当s→＋∞时Γ（s）的性态公式特别，当s＝n（自然数）时，得。
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欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第15章Fourier级数15.1复习笔记一、Fourier级数1．相关概念（1）三角级数的定义形如一类的函数项级数，称为三角级数．（2）三角多项式上述三角级数前n项和称为（n次）三角多项式．（3）Fourier级数假定周期为2π的函数f（x）能展开成上一致收敛的三角级数：其中称系数由上式所确定的三角级数为f（x）的Fourier级数，系数称为f（x）的Fourier系数，并记2．正弦级数和余弦级数（1）设周期为2π的函数f（x）于上绝对可积，如果f（x）是奇函数，则从而这就是正弦级数．（2）当f（x）为偶函数时，必有，这时可得余弦级数3．一般周期函数的Fourier级数设f（x）是周期为T且在[0，T]上绝对可积的函数，f（x）在[0，T]上的Fourier级数：其中4．复数形式下的Fourier级数f（x）在复数形式下的Fourier级数复的Fourier系数二、Fourier级数的收敛性1．Riemann引理（1）Riemann引理设f（x）在（有界或无界）区间〈a，b〉上绝对可积，则（2）推论在[0，T]上绝对可积函数的Fourier系数2．Fourier级数收敛的充要条件（局部性定理）周期为2π的局部绝对可积函数f（x）的Fourier级数在点x的敛散情况及收敛时的极限值仅与f在该点任意指定小的邻域上的值有关，与此邻域外的值无关．3．Dini判别法（1）Dini判别法若于上绝对可积，则，即f的Fourier级数在点x收敛到S：（2）推论f是2π周期的局部绝对可积函数，若于x点存在左右极限f（x±）及所示的有限单侧导数，则Fourier级数于x点成立4．Jordan判别法设f在上单调（或有界变差），（1）若，则（2）若则三、Fourier级数的性质1．逐项积分定理设周期为2π的函数f（x）局部绝对可积且则收敛，且逐项积分公式成立：．2．Fourier级数逐项求导问题假定f（x）是周期为2π的连续可微函数，且的Fourier级数：其中表示的Fourier系数．由此可得故周期为2π的连续可微函数f的Fourier级数必可逐项求导，求导后得的Fourier级数．3．最佳平方逼近（1）定理设为f的Fourier系数，并设是f的Fourier级数前n项和，当且仅当时，平方误差最小，且最小值为（2）Besse1不等式（3）Parseva1等式四、用多项式逼近连续函数1．引理为2π周期、分段线性的连续函数，则的Fourier级数必一致收敛到2．Weierstrass定理（a，b有限）多项式p（x），使得15.2名校考研真题详解。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(曲线积分)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第23章曲线积分23.1复习笔记一、第一类曲线积分1．定义（1）积分称为第一类曲线积分，这里是分段光滑曲线，ds是弧长微分，若可表示成其中x（t），y（t），z（t）分段连续可微，则而f（x，y，z）是上有定义的函数．（2）第一类曲线积分的精确定义是上式右边的积分是定积分，所要特别注意的只是下限α须小于等于上限β，这样保证f≥0且当存在时有2．基本性质（1）线性性若存在，则（2）可加性若互不相交，则（3）几何意义当f＝1时，表示了曲线的弧长．二、第二类曲线积分1．基本概念（1）定义积分称为第二类曲线积分，这里r＝（x，y，z），dr＝（dx，dy，dz），f（x，y，z）＝（P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z））是曲线上有定义的向量值函数，并要求是分段光滑曲线，即它可表示成r＝r（t）＝（x（t），y（t），z（t）），为分段连续可微函数，在每段内满足（2）不同方向上的积分从A到B的积分为而从B到A的积分为2．基本性质（1）第二类曲线积分同样有线性性与可加性．（2）若是平面曲线（在xy平面上），且P＝P（x，y），Q＝Q（x，y），R＝0，则第二类曲线积分可写成3．全微分情形（1）全微分式若在含的一个开集中存在可微函数，使得则称Pdx＋Qdy为全微分式（或恰当式），此时第二类曲线积分易求出（是光滑或分段光滑曲线）：其中分别为起点A和终点B的坐标．（2）常见的全微分式子（3）平面全微分公式指出积分仅与端点A，B有关，与曲线的具体形状无关．因此，在全微分情形下，曲线积分可写成（4）空间全微分若在含的开集中存在可微函数，使P，Q，R是x，y，z的三元连续函数，类似平面情形，有其中是空间分段光滑曲线．4．两类曲线积分互换设是光滑曲线,设是切向，是单位切向，它可用方向余弦来表示其中α，β，γ分别是单位向量与x轴、y轴、z轴正向的夹角．弧长微分故由此可将第二类曲线积分化为第一类曲线积分：这里f＝（P，Q，R）．注：（1）以上公式是在情形下作出的．若则应加一负号：（2）有时反过来要将第一类曲线积分化为第二类曲线积分．设由于单位切向量满足，故最后一个积分已是第二类曲线积分，其中三、Green公式1．不含奇点情形的Green公式设C是闭曲线（分段光滑），按逆时针走向，设它所围的闭区域为D（图23-1）则当P （x，y），Q（x，y）于D上连续可微时，有图23-1注：（1）当C不是闭曲线时上述公式自然不能用．（2）公式中C的走向必须按逆时针（称为正向）．若C为负向（记为C），则公式应加个负号：（3）P，Q于D（包括边界C）上要求点点连续可微．2．区域D“有洞”情形的Green公式（1）只有一个“洞”的情形设C为正向闭曲线（分段光滑）为在C所围的区域内部的负向闭曲线（分段光滑），之间的闭区域记为D（图23-2）．设P（x，y），Q（x，y）于D上连续可微．可得到区域D“有洞”情形的Green公式：其中外圈C为正向，内圈为反向．若表示正向曲线，则上式也可写成其中外圈C，内圈都为正向．图23-2（2）有n个“洞”的情形在外圈C内部有n个小圈，都是正向，则D为C内、所有C k外的闭区域（图23-3），P，Q于D上连续可微．。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(Euclid空间上的点集拓扑)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第16章Euclid空间上的点集拓扑16.1复习笔记一、Euclid空间上点集拓扑的基本概念1．集合的直积设A，B是两个非空集合，用A，B构造一个新的集合这个新的集合称为A和B的直积，记为A×B，即2．Euclid空间（1）空间的定义设R是所有实数组成的集合，令其元素是称它是中的一点，它有n个坐标，是它的第i个坐标，也可以称x是中的向量，n称为向量x的维数．（2）空间中的两种运算在中规定两种运算：加和数乘，设定义加法和数乘运算分别为很明显容易验证，下面的运算成立：①交换律：x＋y＝y＋x；②结合律：（x＋y）＋z＝x＋（y＋z）；③中零向量0，使0＋x＝x；④的负向量－x：（－x）＋x＝0；⑤⑥⑦⑧于是成为线性空间．（3）中两个向量的内积①内积的定义设定义x和y的内积它是一个实数，内积又可记为x·y或xy．②内积的性质a.（x，y）＝（y，x）；b.（x＋y，z）＝（x，z）＋（y，z）；c.（λx，y）＝λ（x，y）；d.（x，x）≥0，（x，x）＝0当且仅当x＝0．（4）n维Euclid空间具有内积的线性空间，称为n维Euclid空间，简称欧氏空间．3．Euclid范数和距离（1）范数的定义设x＝定义x的范数是：称是中的Euclid范数．（2）范数的性质①当且仅当x＝0；②（三角不等式）；③λ是任一实数．④（Schwarz不等式）设则（3）距离的定义设定义的距离是那么（4）距离的性质：①当且仅当x＝y；②（三角形不等式）；③4．空间中邻域的定义设对任意一个实数记称是点a的邻域，或者称它是以点a为中心、以为半径的n维开球．注意：从形式上看，它和直线上的邻域的表达形式是完全一样的，只不过在这里，a和x都是中的点，是中的Euclid范数，称为点a的去心邻域．5．收敛（1）空间中收敛的定义设点列，如果有则称点列收敛，收敛于a，又称a是点列的极限，记为或．（2）极限的惟一性定理设收敛，则其极限是惟一的．即若设，．（3）坐标的收敛定理设则下列等价①②即收敛的充要条件是相应的坐标收敛（i＝1，2，…，n）．6．内点、外点、边界点、极限点设S是中的一个子集，即．（1）内点的定义设并且存在点x的一个邻域则称x是S的一个内点．S中所有内点的全体称为S的内部，记为．（2）外点的定义设并且存在Y的一个邻域，使（或者写为是S的补集，则称y是S的一个外点．（3）边界点的定义对点z（z可能属于S也可能不属于S），如果在点z的任何邻域内，既有S中的点，又有非S中的点，也就是说则称ｚ是S的一个边界点，并称S的所有边界点的全体是S的边界，记为（4）极限点的定义设，若x的任何邻域中总含有S中的点，则称x为S的极限点，若x的任何去心邻域中都有S中的点，则称x为S的聚点．7．开集（1）定义设S是中的一个子集，如果S中的每一点都是S的内点，则称S是中的一个开集，也就是说开集是由内点组成的，或者说．（2）定理开集具有以下三条最重要的特征：①任意个开集之并集仍旧是开集；②有限多个开集之交集仍旧是开集；③整个和空集都是开集．8．闭集（1）闭集的定义设S是的一个子集，如果它的补集是中的一个开集，则称S是中的一个闭集．注：整个和空集既是开集又是闭集．（2）定理集S是闭集的充要条件是：S的一切极限点必属于S．（3）闭包的定义对任何集S，记显然是一个闭集．称是S的闭包．闭包又可以写为9．区域设D是中的一个集合，如果对D内任何两点x和y，都可以用D内的一条连续曲线l将x和y相连接，则称D是一个道路连通集（简称连通集）．连通的开集称为开区域，开区域D的闭包D称为闭区域．二、Euclid空闻上点集拓扑的基本定理1．矩形套定理设是中的一列闭矩形（图16-1），满足：（1）（2）的直径其中即为的对角线的长度；则交集是单点集．。
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但 能有二阶导数，且
不存在，故在 x=0 处，最高
3．设 f（x）是定义在 R 上的函数，且对任意的
，都有
若 f＇（0）=1，证明：对任意的 x∈R，都有
。[江苏大学 2006 研]
证明：在
中令
，有
。又由
（x）不恒为零，故有 f（0）=1。由导数的定义和
可得
。 知，f
解：
，因为方程组中第二个方程是 y 关于 t 的一个隐函数，则
对第二个方程关于 t 求导可得
dx。根据这个定义，在
存在时，有
一般地，在
存在时，n 阶微分为
从上式可得
即
等于 y 的 n 阶微分 除以自变量 x 的增量 dx 的 n 次方：
5．一阶微分形式的不变性
（1）若 x 是自变量，则
其中
若 t 是自变量，则
其中
前后两个 dy 是不相同的。
这就是一阶微分形式不变
性。
（2）二阶微分及更高阶微分不具有形式不变性。
称为自变量 x 的微分。
2．微分与函数增量的关系、可微性
（1）设 y（x）在点 x 可导．根据导数定义
于是
去分母得
（2）一元函数 y（x）的可导性和可微性是两个等价的概念。
3．微分的几何意义
当 y'（x）存在时，y（x）在点 x 的切线方程是
，其中 X，
Y 为流动坐标，将坐标系 OXY 的原点 O 平移到点
如果 存在且有限，则称 f 在点 x 可导。导数
又常记为 或
或
。
（2）定理
可导点必连续，即若 f 在点 x 可导，则 f 在 x 连续。
注：在函数 f 的连续点不一定可导。
（3）切线方程
①导数为有限时切线的定义
若 f 在点 x 可导，故 f 在点 x 连续，此时过
的切线必存在且切线方程为
其中 X，Y 为流动坐标，这里 x 是固定的。
6.2 名校考研真题详解
1．设 f（x）在[-1，1]上有二阶连续偏导数，f（0）=0，令 ，
证明：
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（1）g（x）在 x=0 处连续且可导，并计算 g＇（0）； （2）g＇（0）在 x=0 处也连续。[南京大学、复旦大学、南京理工大学、中北大学研、 上海理工大学、华东师范大学 2006 研] 证明：（1）由于
或
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2．莱布尼兹公式 设 u（x），v（x）存在 n 阶导程
确定了隐函数
对恒等式
可求出 y'（假定 y'存在），类似地，从
可求出 （假定 存在）． 4．参数方程的求导法则 若函数 y＝y（x）是由参数方程
1．导数的四则运算法则
（1）设 u（x）可导，则
（2）设
都可导，则
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（3）设 u（x）可导且
则
（4）设 u（x），v（x）可导且
则
（5）导数公式：
2．反函数求导公式
设
在
上严格单调且连续，又设反函数 x＝x（y）可导，则当
4．设
，求 ．[华南理工大学、南京师范大学研]
解：对方程两边关于 x 求导可得 述的一阶导数表达式 两边再关于 x 求导得 达式，得
，所以
对上
，代入
的表
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。
5．设 y=y（x）由等式
确定，求
．[中国地质大学 2006 研]
所给出的，其中 x（t），y（t）均可导且
则
求导：
四、微分
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1．微分的定义
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设 x 是自变量，函数 y（x）在点 x 可导，导数 y'（x）与 x 的增量△x 的乘积
称为 y（x）在点 x 的微分 dy：
注：将 改记为
存在，且
时，
当
时，
3．复合函数的求导法则
设
都可导，则复合函数
在其定义域也可导，且
或简写为
，这种求导方式称为链导法。
三、高阶导数和其他求导法则
1．高阶导数的定义
函数 y（x）的一阶导数
也是 x 的函数，对它仍有求导数问题。
的导数
称为二阶导数，并记作
或
．即
。依次类推，n－1
阶导数
的导数
称为 n 阶导数，记为
与 X＝x 对应的法线方程是水平直线 Y＝f（x）。
4．基本导数公式
（1）C'＝0（常数 C 的导数为 0）；
（2） x ＝1；
（3）
在 xα的定义域内部）；
（4）设函数 u（x），v（x）可导，α，β是常数，则
；
特别地，
。
注：在用导数公式求导数
在点 x＝a 的值
时，须先求导再代入 x＝a，即
二、求导法则
②导数为无穷时切线的定义
若
，则当 x 是 f 的连续点时，过（x，f（x））的垂直线 X＝x（斜率＝∞）
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就为过点（x，f（x））的切线。
注：若 f'（x）＝ ，不定义切线。
（4）法线方程 过切点且与切线相垂直的直线称为法线。因此，与切线方程对应的法线方程是
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欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解 第 6 章 导数和微分
6.1 复习笔记
一、导数概念 1．导数的定义 （1）可导的定义 设函数 y＝f（x）于（a，b）上有定义，x∈（a，b）固定，则定义导数 f'（x）为差商 △y/△x 的极限：
上，同时记新坐标为
因此，切线方程在新坐标下的方程是
即微分。就是说，微分是坐标系
下的切线方程.
4．高阶微分
图 6-1
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当 dx 固定时，一阶微分
是 x 的函数，对它又可求微分 d（dy），这个
微分称为二阶微分，并记作 规定求二阶（及下面的高阶）微分时，x 的增量统一取为
并由 L’Hospital 法则知
所以，g（x）在 x=0 处连续且可导， （2）由于
所以由 L’Hospital 法则知
故 g＇（x）在 x=0 处也连续。
2．问函数
，在 x=0 处最高能有多少阶导数？这个导数值是多
少，并给出证明。[中北大学研] 解：当 x≠0 时，有
所以
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