有限长单位脉冲响应FIR滤波器的设计方法
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§4.2 窗口设计法（时域）
• 窗函数设计方法的基本思想 • 矩形窗及其对滤波器的频响影响 • 窗函数设计法（步骤举例）
§4.2 窗口设计法（时域）
如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数
，那么
去逼近
，逼近方法有三种：
窗口设计法（时域逼近）
频率采样法（频域逼近）
以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为 例,讨论FIR的设计问题。
a. 对于给定的理想低通滤波器
，计算 hd (n)
：低通滤波器的延时
则
hd (n)
1
2
Hd
e j
e jnd
1 c e je jnd sin(c (n ))
2 c
(n )
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，如 果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是 线性相位FIR滤波器，延时 应为h(n)长度N的一半,即
最优化设计（等波纹逼近）
时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近
理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响 通过付氏反变换获得
hd
(n)
1
2
2
o Hd
e j
e jn d
但一般来说，理想频响
是分段恒定，在边界频率
处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往 都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的
(N 1) / 2
b.计算 h(n)
h(n) hd (n)wR (n)
hd (n) 0
o n N 1 n为其它值
其中
c.计算H (e j ) 。 H (e j ) H d (e j ) *WR (e j )
设
为窗口函数的频谱:
W (e j )
wR (n)e jn
n
N 1
e jn
，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最 简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以 形象地想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)， 因此 ，h(n)也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积，即
h(n)=w(n) hd(n)
在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN(n)，当然以后我们 还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其 它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。
因主瓣附近
WR ()
sin(N / 2) sin( / 2)
N
sin(N / 2) N / 2
N
sin x
x
其中x=Nω/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能 改变WR(ω)的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，主瓣变窄， 频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（ Gibbs）效应。
矩形窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）
4个特殊频率点看卷积结果：
（1）ω=0时, H(0)等于 WR ( ) 在[-ωc, ωc]内的积分面积 因一般 c 2 N 故H(0)近似为 WR( ) ，在[-π, π]内的积分面积
（2）ω=ωc时，一半重叠， H(ωc)=0.5 H(0);
（3） ω=ωc –2π/N时，第一旁瓣（负数）在通带 外，出现正肩峰；卷积结果有最大值 （ 4） ω=ωc +2π/N 时，第一旁瓣（负数）在 通带内，出现负肩峰。
n0
1 e jN 1 e j
j
e
N 1 2
sin(N
/
2)
sin( / 2)
用幅度函数和相位函数来表示，则有
W (e j ) WR ( )e j
其线性相位部分
则是表示延时一半长度
对频响起作用的是它的幅度函数
WR
sinN / 2 sin / 2
矩形窗函数及其幅度函数（见P94图4.4）
]RN
(n)
0.5RN
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
0.25 e
j
2n
N 1
e
j
2n
N 1
RN
(n)
利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数
W（ω）可用矩形窗的幅度函数表示为：
窗口函数对理想特性的影响：
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 4 N ， 等于WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长）
②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于
WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状）
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值比例不变。
)
d
e
j
1
2
Hd
(
)WR
(
)d
如果也以幅度函数
和相位函数来表示 H（ejω）,
H (e j ) H ( )e j
则实际FIR滤波器的幅度函数H(ω)为
H () 1
2
H d ( )WR ( )d
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。也 正是由此而产生了所谓的截断效应-吉布斯效应.
窗口函数的形状及长度N的选择是窗口设计法的关键
设计步骤：
设
H d (e j ) hd (n)
Hd (e j ) hd (n) hd (n)w(n)
H (e j ) h(n)
1）由定义
2)DFT[h(n)] H (e j ) 插值获取 3）卷积
三种求滤波器频响的方法
一.矩形窗口法：频率响应及其产生的效应
理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式
Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα
其中幅度函数为
1
Hd () 0
| | c c | |
两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有
H
(e
j
)
Hd
(e
j
)
*WR
(e
j
)
1
2
Hd
(e
j
)WR[e
j( ) ]d
1
2
Hd
(
)e
jWR
(
)e
j (
②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在 主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和 通带平稳性。
但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来 换取对旁瓣的抑制。
几种常用的窗函数：
1. 矩形窗，上面已讲过，不再细述
2. 汉宁窗（升余弦窗）
w(n)
1 2
[1
cos
2n
N 1
用矩形窗设计的c=/2 FIR滤波器的幅度响应
0 N=15 N=31
-10
-21
-30
-40
0
0.25
0.5
0.75
1
肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内 的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。
改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有 许多种，但要满足以下两点要求：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；
• 窗函数设计方法的基本思想 • 矩形窗及其对滤波器的频响影响 • 窗函数设计法（步骤举例）
§4.2 窗口设计法（时域）
如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数
，那么
去逼近
，逼近方法有三种：
窗口设计法（时域逼近）
频率采样法（频域逼近）
以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为 例,讨论FIR的设计问题。
a. 对于给定的理想低通滤波器
，计算 hd (n)
：低通滤波器的延时
则
hd (n)
1
2
Hd
e j
e jnd
1 c e je jnd sin(c (n ))
2 c
(n )
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，如 果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的是 线性相位FIR滤波器，延时 应为h(n)长度N的一半,即
最优化设计（等波纹逼近）
时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近
理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响 通过付氏反变换获得
hd
(n)
1
2
2
o Hd
e j
e jn d
但一般来说，理想频响
是分段恒定，在边界频率
处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往 都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的
(N 1) / 2
b.计算 h(n)
h(n) hd (n)wR (n)
hd (n) 0
o n N 1 n为其它值
其中
c.计算H (e j ) 。 H (e j ) H d (e j ) *WR (e j )
设
为窗口函数的频谱:
W (e j )
wR (n)e jn
n
N 1
e jn
，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最 简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以 形象地想象为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)， 因此 ，h(n)也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积，即
h(n)=w(n) hd(n)
在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN(n)，当然以后我们 还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其 它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。
因主瓣附近
WR ()
sin(N / 2) sin( / 2)
N
sin(N / 2) N / 2
N
sin x
x
其中x=Nω/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能 改变WR(ω)的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，主瓣变窄， 频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（ Gibbs）效应。
矩形窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）
4个特殊频率点看卷积结果：
（1）ω=0时, H(0)等于 WR ( ) 在[-ωc, ωc]内的积分面积 因一般 c 2 N 故H(0)近似为 WR( ) ，在[-π, π]内的积分面积
（2）ω=ωc时，一半重叠， H(ωc)=0.5 H(0);
（3） ω=ωc –2π/N时，第一旁瓣（负数）在通带 外，出现正肩峰；卷积结果有最大值 （ 4） ω=ωc +2π/N 时，第一旁瓣（负数）在 通带内，出现负肩峰。
n0
1 e jN 1 e j
j
e
N 1 2
sin(N
/
2)
sin( / 2)
用幅度函数和相位函数来表示，则有
W (e j ) WR ( )e j
其线性相位部分
则是表示延时一半长度
对频响起作用的是它的幅度函数
WR
sinN / 2 sin / 2
矩形窗函数及其幅度函数（见P94图4.4）
]RN
(n)
0.5RN
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
0.25 e
j
2n
N 1
e
j
2n
N 1
RN
(n)
利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数
W（ω）可用矩形窗的幅度函数表示为：
窗口函数对理想特性的影响：
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 4 N ， 等于WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长）
②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于
WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状）
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值比例不变。
)
d
e
j
1
2
Hd
(
)WR
(
)d
如果也以幅度函数
和相位函数来表示 H（ejω）,
H (e j ) H ( )e j
则实际FIR滤波器的幅度函数H(ω)为
H () 1
2
H d ( )WR ( )d
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。也 正是由此而产生了所谓的截断效应-吉布斯效应.
窗口函数的形状及长度N的选择是窗口设计法的关键
设计步骤：
设
H d (e j ) hd (n)
Hd (e j ) hd (n) hd (n)w(n)
H (e j ) h(n)
1）由定义
2)DFT[h(n)] H (e j ) 插值获取 3）卷积
三种求滤波器频响的方法
一.矩形窗口法：频率响应及其产生的效应
理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式
Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα
其中幅度函数为
1
Hd () 0
| | c c | |
两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有
H
(e
j
)
Hd
(e
j
)
*WR
(e
j
)
1
2
Hd
(e
j
)WR[e
j( ) ]d
1
2
Hd
(
)e
jWR
(
)e
j (
②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在 主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和 通带平稳性。
但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来 换取对旁瓣的抑制。
几种常用的窗函数：
1. 矩形窗，上面已讲过，不再细述
2. 汉宁窗（升余弦窗）
w(n)
1 2
[1
cos
2n
N 1
用矩形窗设计的c=/2 FIR滤波器的幅度响应
0 N=15 N=31
-10
-21
-30
-40
0
0.25
0.5
0.75
1
肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内 的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。
改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有 许多种，但要满足以下两点要求：
①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；