碰撞与冲击动力学-3-2

3-3-2 有限长杆对半无限长杆的碰撞 对于有限长杆来说， 应力波传播到杆端会发生反射， 对于有限长杆来说 ， 应力波传播到杆端会发生反射 ， 反 射后的波通过碰撞界面时发生反射和透射的情况与两杆的波 阻抗之间的关系息息相关。 阻抗之间的关系息息相关。本节仅讨论有限长杆对半无限长 杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。 杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。
3-3-1 两半无限长杆的共轴碰撞 [例 3-3-1]如图 ，两截面完全相同的半无限长杆，其声阻抗分 如图，两截面完全相同的半无限长杆， 别为 ( ρ 0C0 )1 和 ( ρ 0C0 ) 2 ，撞击前杆中应力均为零且无初始应 变，两杆分别以速度v1、v2（> v1）发生碰撞（如图所示）， 两杆分别以速度v 发生碰撞（如图所示） 力解值表达式， 力解值表达式 ， 画出某一时刻的 σ − X 图和某质点位置的
（2）当两材料波阻抗相等时， 当两材料波阻抗相等时，
1 v3 = 2 v2 此时若v 此时若v1=0有 σ = − 1 ρ C v 0 0 2 3 2 相当于两杆发生迎面碰撞， 若v1=- v2<0，相当于两杆发生迎面碰撞，有
v3 = 0 σ 3 = − ρ 0C0v2 = ρ 0C0v1
σ 3′ , v3 和 σ 3′′ , v3 。
同样， 同样，根据波的传播情况可直接画出波系图和 σ − v 图， 波系图中仍设坐标原点在两杆碰撞面处。 波系图中仍设坐标原点在两杆碰撞面处。 σ − v 图中所给中 的对应于 ( ρ0C0 )1 > ( ρ0C0 ) 2 的情况。 的情况。
图3-3-6 波系图中特征线OA 和 OB的方程同前两杆截面相同时的情况 波系图中特征线 OA和OB的方程同前两杆截面相同时的情况， 的方程同前两杆截面相同时的情况， 分别为 X = (C0 )1 t 和 X = −(C0 ) 2 t 。
或由
σ4 = 0 v4 = 2v3 − v2 = 0 σ 4 − σ 3 = − ρ0C0 (v4 − v3 ) ⇒ σ4 = σ2 = 0 σ − σ = ρ C (v − v ) 2 0 0 3 2 3
（叠加原理） 叠加原理）
L2 杆从左端自由界面开始反射右传卸载波， 即t = 时，B2杆从左端自由界面开始反射右传卸载波， C02 2L 使杆中应力和质点速度逐渐卸载到0 使杆中应力和质点速度逐渐卸载到0，t = 2 时卸载波传到碰 C02 撞界面，使碰撞界面处应力和质点速度卸载到0 撞界面，使碰撞界面处应力和质点速度卸载到0，意味着两杆
二OO五年二月
3-3 弹性杆的共轴碰撞 两杆的共轴碰撞是应力波产生并发生相互作用的典型问 题，本节先对半无限长杆之间的碰撞问题进行求解，包括横 本节先对半无限长杆之间的碰撞问题进行求解， 截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。 截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。
（1）当 ( ρ 0C0 ) 2 = ( ρ 0C0 )1 时 两杆波阻抗相等时（但两杆的波速可能不同） 两杆波阻抗相等时（ 但两杆的波速可能不同）， 波阻抗 统一用 ρ 0C0 表示，两杆的波速分别用C01和C02表示。从B2杆 表示，两杆的波速分别用C 表示。 左端面向右传播的稀疏波（卸载波） 左端面向右传播的稀疏波（卸载波）在撞击面处将无反射的 进行传播。 进行传播。依据题意可画出相应的波系图和 σ − v 图。
某一时刻的 σ − X 图和某质点位置的 σ − t 图略。 图略。
讨论： 讨论： （1）当两材料波阻抗相等时， 当两材料波阻抗相等时，
v = A01v1 + A02v2 3 A01 + A02 ρ0C0 (v2 − v1 ) σ 3′ = − A01 1+ A02 σ 3′′ = − ρ0C0 (v2 − v1 ) A02 1&# v1 ) σ 3 − 0 = ( ρ0C0 ) 2 (v3 − v2 )
某一时刻的 σ − X 图和某质点位置的 σ − t 图略。 图略。
讨论： 讨论： （1）若v1=0，相当于对静止杆的碰撞，有 相当于对静止杆的碰撞，
( ρ0C0 ) 2 v2 v3 = ( ρ C ) + ( ρ C ) 0 0 1 0 0 2 v2 σ 3 = − 1 1 + ( ρ0C0 )1 ( ρ0C0 ) 2
图 3-3-1 和 X = −(C0 ) 2 t 。
图3-3-2
波系图中特征线OA和OB的方程分别为 波系图中特征线OA和OB的方程分别为 X = (C0 )1 t
根据波阵面上的动量守恒条件， 根据波阵面上的动量守恒条件，有：
( ρ C ) v + ( ρ0C0 ) 2 v2 v3 = 0 0 1 1 ( ρ0C0 )1 + ( ρ0C0 ) 2 ⇒ v2 − v1 σ3 = − 1 1 + ( ρ0C0 )1 ( ρ0C0 )2
图3-3-9 （图中对应于 C02 < C01 ）
区由于两杆横截面积相等， 3′ 区和 3′′ 区由于两杆横截面积相等，满足界面处应力和 质点速度相等条件，可统一用3区来表示。各区求解过程如下： 质点速度相等条件，可统一用3区来表示。各区求解过程如下： 1区： 2区 ： 3区：
v1 = 0 , σ 1 = 0
1 v3 = 2 v2 σ 3 − 0 = − ρ 0C0 (v3 − v1 ) ⇒ σ 3 − 0 = ρ0C0 (v3 − v2 ) σ = − 1 ρ C v 0 0 2 3 2
v2 , σ 2 = 0
4区：
σ4 = 0 v4 = 0 ⇒ σ 4 = 0 σ 4 − σ 3 = − ρ0C0 (v4 − v3 )
（3）若 ( ρ 0C0 ) 2 → ∞，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有 相当于刚体对弹性杆的碰撞，
v3 = v2 （ （ σ 3′ = − ρ 0C0） v2 − v1 ) 1 A01 σ 3′′ = − （ρ0C0） v2 − v1 ) （ 1 A02
图3-3-8
[ 例 3-3-3] 如图 ， 两截面完全相同的一维长杆 ， 其中有限长杆 如图，两截面完全相同的一维长杆， 长为L 长为L2，声阻抗为 ( ρ0C0 ) 2 ，半无限长杆声阻抗为 ( ρ 0C0 )1 ，有 限长杆以速度v 撞击静止的半无限长杆， 限长杆以速度 v2 撞击静止的半无限长杆 ， 两杆初始应力为零 且无初始应变， 且无初始应变，根据两杆的波阻抗之间的关系分析撞击后应 力波在杆中传播的情况，画出波系图、 力波在杆中传播的情况，画出波系图、 − v 图，求解两杆碰 σ 撞后波系图中各区域的质点速度和应力解值表达式， 撞后波系图中各区域的质点速度和应力解值表达式，画出某 一时刻的 σ − X 图和某质点位置的 σ − t 图。
[ 解 ] 两杆撞击后 ， 由碰撞界面处背向碰撞面方向 传播一次弹 两杆撞击后，由碰撞界面处背向碰撞面方向传播一次弹 性波，为压缩波。设两杆相撞时刻为
t =0 时刻，当
L2 时左传播弹性波到达 B 杆左端 ， 在自由端面发生反 时左传播弹性波到达B 2 杆左端， t= C02 向右传播二次波，为稀疏波，使杆中应力逐渐卸载为0 射，向右传播二次波，为稀疏波，使杆中应力逐渐卸载为0， 2 L2 时到达两杆相接触的界面， 在 t= 时到达两杆相接触的界面，根据两杆的波阻抗关 C02 系的不同，应力波此后传播的情况会不同，下面分别讨论。 系的不同，应力波此后传播的情况会不同，下面分别讨论。
σ 画出波系图、 画出波系图、 − v 图，求解两杆碰撞后杆中的质点速度和应
σ − t 图。
[ 解 ] 两杆初始应力和应变为零 ， 但初始质点速度不为零 ， 分 两杆初始应力和应变为零，但初始质点速度不为零， 别为v 别为 v1 和 v2 ， 撞击后 ， 在两杆中分别形成了方向相反的强间 撞击后， 断弹性波， 根据碰撞界面上压力相等（ 断弹性波 ， 根据碰撞界面上压力相等 （ 等截面时应力也相 等）、质点速度相等条件，两杆从碰撞面开始应力和质点速 质点速度相等条件， 度逐渐分别由 σ 1 = 0, v1 和 σ 2 = 0, v2 变为 σ 3 , v3 。 根据波的传播情况可直接画出波系图和 σ − v 图，波系 图中设坐标原点在两杆碰撞面处。 图中设坐标原点在两杆碰撞面处。
σ − t 图。
[ 解 ] 根据碰撞界面上压力相等 、 质点速度相等条件 ， 由于两 根据碰撞界面上压力相等、质点速度相等条件， 杆横截面不等，故界面处速度相等但应力不相等， 杆横截面不等，故界面处速度相等但应力不相等，两杆从碰 撞面开始应力和质点速度分别由 σ 1 = 0, v1 和 σ 2 = 0, v2 变为
图3-3-4
（4）若 ( ρ 0C0 ) 2 → ∞，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有 相当于刚体对弹性杆的碰撞，
v3 = v2 （ （ 1 σ 3 = − ρ0C0） v2 − v1 )
图3-3-5
[例3-3-2]两截面面积分别为A01和A02的半无限长杆，其声阻抗 两截面面积分别为A 的半无限长杆， 分别为 ( ρ0C0 )1 和 ( ρ 0C0 ) 2 ，撞击前杆中应力均为零且无初始 应变，两杆分别以速度v 应变，两杆分别以速度v1、v2（> v1）发生碰撞（如图所示）， 发生碰撞（如图所示） 画出波系图、 画出波系图、 σ − v 图，求解两杆碰撞后杆中的质点速度和 应力解值表达式， 应力解值表达式，画出某一时刻的 σ − X 图和某质点位置的
根据波阵面上的动量守恒条件， 根据波阵面上的动量守恒条件，有：
v = ( ρ0C0 A0 )1 v1 + ( ρ 0C0 A0 ) 2 v2 3 ( ρ 0C0 A0 )1 + ( ρ 0C0 A0 ) 2 σ 3′ − 0 = −( ρ0C0 )1 (v3 − v1 ) ( ρ C ) (v − v ) ⇒ σ 3′ = − 0 0 1 2 1 σ 3′′ − 0 = ( ρ 0C0 ) 2 (v3 − v2 ) ( ρ 0C0 A0 )1 1+ σ 3′ A01 = σ 3′′ A02 ( ρ0C0 A0 ) 2 σ 3′′ = − ( ρ0C0 ) 2 (v2 − v1 ) (ρ C A ) 1+ 0 0 0 2 ( ρ 0C0 A0 )1
的撞击结束。 的撞击结束。
归纳：对于4区这种向自由界面传播并发生反射形成的三 归纳：对于4 个区域——2 个区域——2、3、4区之间有这样的关系，即 区之间有这样的关系，
v4 = 2v3 − v2 σ4 =σ2
而类似的区域如果是向固定端传播和反射， 而类似的区域如果是向固定端传播和反射，则有
（2）若v1=0， ( ρ 0C0 )1 → ，相当于弹性杆对刚体的碰撞，有 ∞ 相当于弹性杆对刚体的碰撞，
v3 = 0 A02 ( ρ0C0 )2 v2 σ 3′ = − A01 σ 3′′ = −( ρ0C0 )2 v2
图3-3-7 （图中对应于A01>A02） 图中对应于A
1 v3 = 2 (v1 + v2 ) σ = − 1 ρ C (v − v ) 0 0 2 1 3 2
图3-3-3
( （3）若v1=0， ρ 0C0 )1 → ∞，相当于弹性杆对刚体的碰撞，有 相当于弹性杆对刚体的碰撞，
v3 = 0 σ 3 = − ρ0C0v2
v4 = v2 σ 4 = 2σ 3 − σ 2
5区：两杆的撞击结束，B1杆左端变成自由界面，卸载波 两杆的撞击结束， 杆左端变成自由界面， 继续向B 杆中向右传播，使杆中应力变为0 继续向B1杆中向右传播，使杆中应力变为0，则有