线性规划理论及其应用[文献综述]
线性规划及其应用研究
线性规划及其应用研究线性规划是一种用于解决最优化问题的数学方法，可以在给定的约束条件下，找到一组最优的决策变量值，使目标函数达到最大或最小值。
线性规划经常用于生产计划、货运和库存管理、投资组合、资源分配和成本优化等问题。
在线性规划中，目标函数和约束条件均为线性表达式，最优解通常位于可行域的角点处，因此线性规划也被称为角点方法。
线性规划的最优解可以使用单纯性算法来求解，这是一种通过在可行域中不断寻找更优解的方法，直到找到最优解为止。
线性规划的应用很广泛。
例如，在生产计划中，公司需要在多种产品和工艺的组合中制定最优的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
线性规划可以帮助公司确定生产每种产品的数量，以及所需的原材料和生产设备的数量。
在货运和库存管理中，线性规划可以帮助公司确定国际物流的最优路径，以最小化运费和时间成本。
在投资组合中，线性规划可以帮助投资者确定最优的投资组合，以最小化风险和最大化收益。
在资源分配和成本优化中，线性规划可以帮助公司确定最优的资源分配方案，以最小化成本和最大化效益。
线性规划也被广泛地应用于卫生保健领域。
例如，在医疗资源分配中，线性规划可以帮助医院合理地分配人力资源和医疗设备，以最大程度地满足不同患者的需求。
线性规划还可以帮助研究人员确定最优的药品剂量和治疗方案，以最大化治疗效果和最小化不良反应。
除了经济和卫生保健领域，线性规划在交通、能源、环境和教育等领域也有广泛的应用。
例如，在交通运输领域，线性规划可以帮助城市规划师设计最优的交通系统，以最小化拥堵和交通事故。
在能源领域，线性规划可以帮助能源公司确定最优的风电和太阳能发电方案，以最大化清洁能源的利用。
在环境保护领域，线性规划可以帮助政府制定最优的环境保护政策和资源管理方案，以最大化环境效益和生态可持续性。
在教育领域，线性规划可以帮助学校和教育部门确定最优的教学资源分配方案，以最大化学生的学习效果和教育资源的利用效率。
综上所述，线性规划是一种强大的优化工具，可以帮助解决各种复杂的最优化问题。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立以及应用案例。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，用于限制决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
3. 决策变量：线性规划中的决策变量是需要确定的变量，其取值决定了目标函数的取值。
决策变量通常表示为非负数，即x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0。
三、线性规划模型建立线性规划的模型建立包括确定目标函数、约束条件以及决策变量的取值范围。
下面以一个生产计划问题为例，详细说明线性规划模型的建立过程。
假设某工厂生产两种产品A和B，每天可用的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
产品A每小时需要2人工时，产品B每小时需要3人工时。
工厂每天可用的人工时为20小时。
现在需要确定每天生产的产品数量，以最大化利润。
1. 确定目标函数：由于目标是最大化利润，因此目标函数为z = 100A + 150B，其中A为产品A的数量，B为产品B的数量。
2. 确定约束条件：根据生产时间和人工时的限制，可以得到以下约束条件：- 2A + 3B ≤ 20（人工时限制）- A, B ≥ 0（非负数限制）3. 确定决策变量的取值范围：由于产品数量不能为负数，因此决策变量的取值范围为A, B ≥ 0。
四、线性规划的应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍线性规划的应用案例。
某物流公司需要将货物从仓库分配到不同的配送中心，以满足客户的需求。
线性规划理论在系统管理中的应用
线性规划理论在系统管理中的应用随着社会的发展，管理日益成为企业成功的重要因素。
管理的好坏直接影响着企业的生产效率和经济效益。
近年来，随着计算机技术的发展，线性规划理论逐渐应用到系统管理中，其应用范围日益扩大。
一、线性规划理论的基本概念线性规划理论是数学规划理论的一种。
它是一种数学优化技术，是在一组线性约束条件下优化线性目标函数的方法。
线性规划中的变量和约束条件都是线性的。
对于一个线性规划系统，通常有如下元素：1.决策变量：表示一个系统中可调节的量。
2.目标函数：表示系统中需要最大化或最小化的变量。
3.约束条件：表示系统中的限制条件。
4.非负限制：表示所有决策变量的值必须大于等于零。
通过对这些元素的分析和求解，可以得到最优解。
二、线性规划在生产管理中的应用1.资源分配问题资源分配问题是生产管理中经常面临的问题。
通过线性规划理论，可以将生产中需要分配的资源（委员、设备、材料等）进行优化分配，使得生产成本最小化，生产效率最大化。
比如，企业需要生产 A、 B、 C 三种产品，资源有限，怎样分配才能使得利润最大化？2.库存管理问题库存管理是生产管理中常见的问题。
通过线性规划理论，可以解决企业如何设定安全库存量、订单量等问题，在减少库存成本的同时，保证供应链顺畅。
比如，企业需要购进一批原材料，怎样控制库存，以达到成本最小化？三、线性规划在供应链管理中的应用供应链管理是企业管理中重要的环节。
通过线性规划理论，可以优化供应链中的各个环节，最大程度地降低成本、提高效率。
比如，企业需要平衡供应商、生产商、零售商以及客户之间的关系，线性规划可以帮助企业实现供应链最优解。
四、线性规划在财务管理中的应用财务管理中常常面临资产配置和负债规划的问题。
通过线性规划理论，可以优化财务管理中的各个环节，达到最大化利润、最小化成本的目标。
比如，企业资金有限，通过线性规划可以实现资金的最优配置，以达到最大程度地降低成本，提高效率。
五、线性规划在市场营销中的应用市场营销中面临的重要问题是市场定位。
1.运筹学-线性规划理论及应用
3x1 + 4x2 ≥ 1.5
x1 ，x2 ≥ 0
28
二维线性规划的可行域是一个什么形状？ 多边形，而且是“凸”形的多边形。 最优解在什么位置获得？ 在边界，而且是在某个顶点获得。
29
线性规划 Linear Programming（LP）
图解法的启示
1. 线性规划问题解的可能情况 a.唯一最优解 b.无穷多最优解 c.无解（没有有界最优解，无可行解）
每公斤含营养成分 ABC D 0.1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.1 0.4 0.6 2.0 1.7
13
解：设购买M、N饲料各为x1,x2 ，则 Min z = 10x1 + 4x2 s.t. 0.1x1 + 0x2 ≥ 0.4 0x1 + 0.1x2 ≥ 0.6 0.1x1 + 0.2x2 ≥ 2 0.2x1 + 0.1x2 ≥ 1.7 x1 ,x2 , ≥ 0
前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上
述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
12
练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取 有关数据如下：试决定买M与N二种饲料各 多少公斤而使支出的总费用为最少？
售价 （元/公斤）
M
10
N
4
牲畜每日每头需要量
8=5X1+4X2
D 此点是唯一最优解
（0，2）
可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=5X1+4X2
27
练习：用图解法求解下面的线性规划。
对偶线性规划理论及其在经济中的应用[文献综述]
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毕业论文文献综述信息与计算科学对偶线性规划理论及其在经济中的应用一、前言部分任一线性规划问题都存在另一与之伴随的线性规划问题，他们从不同角度对一个实际问题提出并进行描述，组成一对互为对偶的线性规划问题。
什么是“对偶问题”呢？对偶问题实际上是换一个角度来分析原问题。
在线性规划分析方法中，假设原问题的目标是尽可能地利用可利用的资源来获得最大化利润的话，那么从问题的另一个侧面来思考问题，目标变成尽可能地利用原问题所给出的利润指标来调整范围条件来减少资源的消耗，于是以原问题目标函数中的决策变量系数作为新问题的资源，其所形成的线性规划模型就成为对偶问题的线性规划模型。
当原问题与对偶问题的最优化目标函数值相同时，可以揭示公平交易最为根本的东西：无论是从买方看，还是从卖方看，都实现了自己的交易目标最优化。
在一桩交易中，卖方总是希望获利最大化，而买方则是希望采购成本最小化，他们的成交底线在哪里呢？从对偶规划的角度看，如果交易双方都是理性交易的话，他们的成交底线应该是相同的，即卖方的利益最大化目标值等于买方的成本最小化目标值。
[1]所以，对偶线性规划理论在经济中的应用是很有实用价值，也是很值得研究的。
二、主题部分2.1 对偶线性规划理论概述2.1.1 对偶线性规划理论的发展历程及现状[2] [3]线性规划理论产生于20世纪30年代。
1939年，苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题。
1947年，美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法─单纯形法，为这门学科奠定了基础。
1947年，美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
1951年，美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域；1960年，康托罗维奇再次发表《最佳资源利用的经济计算》，创立了享誉全球的线性规划要点，对资源最优分配理论做出了贡献。
线性规划方法及其应用
05
线性规划方法优缺点分析
优点分析
有效处理多变量问题
线性规划能够同时处理多个决策变量，通过 优化算法寻找最优解。
直观易懂的数学模型
线性规划在各个领域都有广泛的应用，如生 产计划、资源分配、运输问题等。
广泛应用
线性规划的数学模型相对简单，易于理解和 应用。
可求解大规模问题
随着计算机技术的发展，线性规划可以求解 大规模的问题，满足实际应用的需求。
复杂约束处理
研究如何处理包含复杂约束条件的线性规划问题，提高求解效率和 准确性。
不确定性问题建模
针对包含不确定性因素的线性规划问题，发展有效的建模和求解方 法。
应用领域拓展
探索线性规划方法在更多领域（如机器学习、大数据分析等）的应用 潜力，推动相关领域的理论和技术创新。
感谢您的观看
THANKS
3
考虑不确定性
将不确定性因素引入资源分配问题中，通过线性 规划求解鲁棒性强的资源分配策略，以应对潜在 的风险和变化。
04
线性规划软件介绍
MATLAB软件介绍
1
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的数学 计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、 数据分析以及数值计算等领域。
2
MATLAB提供了丰富的工具箱，其中包括优化工 具箱（Optimization Toolbox），可用于解决线 性规划问题。
线性规划方法及其应用
目录
• 线性规划基本概念 • 线性规划方法 • 线性规划应用举例 • 线性规划软件介绍 • 线性规划方法优缺点分析 • 线性规划方法发展趋势与展望
01
线性规划基本概念
定义与特点
定义：线性规划是一种数学方法，用于 优化一组线性不等式约束下的线性目标 函数。
线性规划的应用
② 把Y 旳体现式改写成两个不等式增添到约束条件中去
Y 8X1110X2116X31, 2
Y 6X12 15X22 21X32 ; 3
于是得到该问题旳LP模型为：
Max Z=Y
xx1211
x21 x22
00 50
s.t.x31 x32 75
86xx1112
10x21 15x22
——这是最佳旳方法吗？
合理套裁肯定会有更加好旳效果。 先设法列出全部旳下料方案，思绪如图。
7.4
方案 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 2.9 2 1 1 1 0 0 0 0 2.1 0 2 1 0 3 2 1 0 1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 用料 7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0 料头 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
四
x4 x4
五
x5 x5
六
x6
x6
人数 28
15
24
25
19
31
28
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x2 x3 x4 x5 ≥ 28
x2
x3
x4
x5
x6
≥15
x3
x1
x4 x4
x5 x5
x6 x6
x7 x7
≥ ≥
24 25
x1
x2
x5
设xi为按第i种方案下料旳棒料根数， 建立LP模型如下：
8
MinZ xi
i 1
2x1 1x2 1x3 1x4 0x5 0x6 0x7 0x8 100
s.t.10xx11
2x2 0x2
线性规划的方法及应用
线性规划的方法及应用1 引言运筹学最初是由于第二次世界大战的军事需要而发展起来的，它是一种科学方法，是一种以定量的研究优化问题并寻求其确定解答的方法体系．线性规划（Linear Progromming ，简称LP ）是运筹学的一个重要分支，其研究始于20世纪30年代末，许多人把线性规划的发展列为20世纪中期最重要的科学进步之一．1947年美国的数学家丹泽格提出了一般的线性规划数学模型和求解线性规划问题的通用方法――单纯形法，从而使线性规划在理论上趋于成熟．此后随着电子计算机的出现，计算技术发展到一个高阶段，单纯形法步骤可以编成计算机程序，从而使线性规划在实际中的应用日益广泛和深入．目前，从解决工程问题的最优化问题到工业、农业、交通运输、军事国防等部门的计划管理与决策分析，乃至整个国民经济的综合平衡，线性规划都有用武之地，它已成为现代管理科学的重要基础之一．2 线性规划的提出经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现．这类问题可以用数学语言表达，即先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通常用变量的函数形式（称为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约束条件）．当变量连续取值，且目标函数和约束条件为线性时，称这类模型为线性规划的模型．有关对线性规划问题建模、求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支．线性规划实际上是:求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解.从而线性规划模型的基本结构为： ①变量：变量又叫未知数，它是实际系统的位置因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如n x x x ,,,21 等．②目标函数：将实际系统的目标用数学形式表示出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值，利润极大值）或极小值（如成本极小值，费用极小值等等）． ③约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制因素．它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应设备能力、计划指标．产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件．约束条件的数学表示有三种，即≤=≥,,,线性规划的变量应为非负值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负．线性规划问题有多种形式，函数有的要求实现最大化，有的要求最小化；约束条件可以是“≤”，也可以是“≥”，还可以是“=”，这种多样性给讨论带来不便. 为了便于讨论其一般解法，我们通常将线性规划问题的约束条件归结为线性方程和一组非负性限制条件，并且对目标函数统一成求最大值,也就是说,将线性规划问题的数学模型化成如下形式,并称它为线性规划问题的标准形式:),,2,1(..max11m i b x at s x c f ij nj ijjnj j ===∑∑==),,2,1(0n j x j =≥任何非标准形式的线性规划问题都能化成上述标准形式,这是由于不等式约束k j nj ijb x a≤∑=1等价于约束条件0,1≥=+++=∑k n k k n nj j ijx b x x a；不等式约束l j nj ijb x a≥∑=1等价于约束条件；0,1≥=-++=∑l n l l n nj j ijx b x x a这里增添的变量k n x +和l n x +称为松弛变量.还有,求函数f 的最小值解可转化为求函数f -的最 大值解.以下讨论线性规划问题时以标准型为主.3 线性规划的解法3.1 图解法满足约束条件的决策变量的一组值叫做这个线性规划的一个可行解;把所有可行解构成的集合叫做这个线性规划的可行域.因此,求解一个线性规划的问题,使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为线性规划的最优解.一般求解线性规划问题是讨论它的最优解．下面介绍只有两个决策变量的线性规划问题的图解法.例１ 用图解法求解21m axx x f +-=22..21-≥-x x t s2221≤-x x 521≤+x x12,0x x ≥解 第一步 先画出可行域 以21,x x 为坐标轴作直角坐标系,因为0,021≥≥x x ，所以问题的可行解必在第一象限（含坐标轴）；约束条件222-≥-x x 要求问题的可行解必在直线222-=-x x 的右下方的半平面上；约束条件2221≤-x x ，要求问题的可行解必在直线2221=-x x 的左上方的半平面上；约束条件521≤+x x ，要求问题的可行解必在直线521=+x x 的左下方的半平面上.因为所有的约束条件都必须同时满足,所以问题的可行解域必为闭区域4321Q Q Q OQ ,如图3.1.1中的阴影部分. 第二步 从可行域中找出最优解现在分析目标函数21x x f +-=,在坐标平面上,它可以看作是以f 为参数的一族平行线:f x x +=12位于同一条直线上的点,都有相同的目标函数值,因而称它为等值线.当f 由小变大时,直线f x x +=12沿其法线方向向左上方移动.当移动到2Q 点时,f 的取值最大,这就得出了本题的最优解,如图3.1.2 ,此时f 最大,得 3411max =+⨯-=f .显然用图解法求解线性规划问题时,简单直观；但是当决策变量多于两个的时候,用图解法就失效了.3.2 单纯形法这一方法是丹泽格在1947年提出的，它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划近30年．单纯形法是求解线性规划问题的最重要、最基本的方法，它的解题思路[7](p27)是：将线性规划问题化为标准型后，先找出一个单位可行基，对这个可行基给出可行解，然后用判定定理——称为检验数，判定其是否为最优解．若是，求解过程结束；若不是，在单位可行基的基础上，进行换基迭代，该过程叫做迭代，直到得出最优解或证明无最优解为止.它有很强的程序性,它的具体操作是从一张叫做初始表的表格开始的.初始表由四部分构成[7](p27-28):第一部分A A B =-1(B 是单位可行基) 即约束方程组的系数矩阵.第二部分b b B =-1(B 是单位可行基) 即约束方程组的常数项构成的列向量.第三部分是检验数C A CB --1 (B C 为单位可行基变量所对应的目标函数中的系数列向量;C 是目标函数的系数行向量).第四部分b C B 该数为目标函数值.它的表格形式为:例２ 用单纯形法求解 2136m axx x f +=40x 23..21≤+x t s 21421≤+x x12,0x x ≥ ．解 第一步 将原问题化为标准型 43210036m ax x x x x f +++=40x 23..321=++x x t s214421=++x x x )4,3,2,1(0=≥j x j ．第二步 观察原问题是否存在现成的单位可行基 因为约束方程组的系数矩阵为),,,(101401234321p p p p A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ，所以原问题存在现成的单位可行基()1341001B p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第三步 列出初始表，计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-10140123)111A A B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-2140)211b b B ， 3)1B C 是目标函数中基变量43,x x 的系数构成的列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛00，)0,0,3,6()4111--=-=--C C A B C B ，15)0B C b = ，1346)B x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .由上面计算结果，列出初始表（如下表）表3.2.1第四步 判定由初始表知，检验数中含有负数，故可行解Tx )21,40,0,0(=不是最优解，还需 要进行迭代运算（若检验数均为非负数，则可行解即为最优解） 第五步 迭代运算迭代一：①确定主元在检验数中，找出最小负数。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
本文将针对线性规划的应用进行详细介绍，包括定义、模型建立、解决方法以及实际案例分析。
二、定义线性规划是一种在给定约束条件下，通过最大化或者最小化线性目标函数来求解最优解的方法。
线性规划的数学模型可以表示为：最大化（或者最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件： a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数。
三、模型建立1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，例如生产数量、投资金额等。
2. 建立目标函数：根据问题要求，将目标转化为线性函数，确定目标函数的系数。
3. 设定约束条件：根据问题的限制条件，建立约束条件的线性不等式。
4. 确定变量的取值范围：根据实际情况确定变量的取值范围，通常为非负数。
四、解决方法线性规划问题可以通过多种方法求解，其中最常用的方法包括单纯形法和内点法。
1. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代计算来逐步接近最优解的方法。
它从初始基本可行解开始，通过交换基变量和非基变量来改进解的质量，直到找到最优解为止。
2. 内点法：内点法是一种通过寻觅目标函数的内部点来逼近最优解的方法。
它通过迭代计算来逐步接近最优解，相比于单纯形法，内点法在处理大规模问题时更为高效。
五、实际案例分析为了进一步说明线性规划的应用，我们以一个生产计划优化问题为例进行分析。
假设某公司生产两种产品A和B，每天可用的生产时间为8小时。
线性规划的应用简版
线性规划的应用标题：线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决实际问题中的决策和规划。
它在各个领域中有广泛的应用，包括生产、物流、金融、能源等。
本文将从五个大点阐述线性规划的应用，包括生产优化、资源分配、运输问题、投资决策和供应链管理。
正文内容：1. 生产优化1.1 最大化利润1.2 最小化成本1.3 最大化产量1.4 最小化资源浪费1.5 最优化生产计划2. 资源分配2.1 最优化人力资源分配2.2 最优化物资分配2.3 最大化资源利用率2.4 最小化资源浪费2.5 资源分配的灵活性和可持续性3. 运输问题3.1 最优化运输路径3.2 最小化运输成本3.3 最大化运输效率3.4 最优化运输计划3.5 运输问题的灵活性和可持续性4. 投资决策4.1 最大化投资回报率4.2 最小化风险4.3 最优化投资组合4.4 最大化资金利用效率4.5 投资决策的长期可持续性5. 供应链管理5.1 最优化供应链设计5.2 最小化库存成本5.3 最大化供应链效率5.4 最优化订单管理5.5 供应链管理的灵活性和可持续性总结：线性规划在生产优化、资源分配、运输问题、投资决策和供应链管理等方面有着广泛的应用。
通过最大化利润、最小化成本、最优化资源利用率等目标，可以帮助企业和组织做出更明智的决策。
然而，线性规划的应用也需要考虑灵活性和可持续性，以适应不断变化的市场环境和资源约束。
因此，深入理解和应用线性规划方法对于解决实际问题具有重要意义。
线性规划理论在实际问题中的应用.
线性规划理论在实际问题中的应用【内容摘要】根据地区自然、经济特点和国民经济需要来调整农业结构，是充分合理利用资源促进农业生产发展的一个关键问题,也是制定农业区划和农业发展规划的重要内容,而农业结构最优化方案的论证,又是其中的一个核心问题。
将线性规划应用于农作物布局中，科学地提高了粮食的总产量，对农作物的统筹安排有明显的借鉴意义．【关健字】线性规划、农作物布局、数学模型导言无论是哪一流派的经济专家都不能不承认这样一个事实:中国必须依靠仅占世界可耕地7％的土地上的产品养活几乎占全世界四分之一的人口。
但总的来说,从发展角度来看,中国农业的发展状况并没有使中国的国民经济的发展建立在更加稳定的基础上.从历史和比较的角度来看,新中国的农业取得了了不起的成就，但从人均正长的角度来看，中国的农业发展不能算是成功的,但普遍承认的是中国的合作化运动对提高农业生产率具有潜在的积极的作用:集体化为提高积累、动员大量人力在农闲期间参加水利建设，在个体经营的情况下农民不得不在有限的土地上进行多种经营，即使进一步的分工更为经济,以便满足家庭的多种需要。
中国农业产量的周期性变化于农业政策是密切相连的，但政策本身并不能对农业生产能力的增长做出全面的解释，技术进步、土地资源、其它投入的增长都是至关重要的因素.农业政策在技术和投入的有效利用方面产生了影响，对长期增长也有一些影响,但从长远的观点看，投入和技术将发挥基本的作用。
中国是一个劳动力剩余和土地短缺的社会，耕地面积有限任然是中国农业发展面临的一个主要困难．中国绝大多数可耕地均以长期使用和耕种,现存技术允许的范围的亩产量以接近最高水平。
进入新世纪后,中国农业面临如下机遇：１中国经济的持续和健康发展为中国农业发展创造了日益宽松的环境,农业即将进入于工业平等的新阶段。
2农产品市场需求日益旺盛,给农业发展带来广阔的发展前景。
新的农业科技革命将为农业发展提供强大的技术支撑。
但中国农业将面临国外优质廉价农产品的冲击,农业生产和农民收入也将受到一定的影响,耕地和水资源日趋紧缺,承受的压力越来越大；农业经济区域发展不公平,地区差距越来越大;农业生态环境压力加大；农业生产成本不断提高,边际效益不断下降,农民增收压力加大，这对实现农业现代化产生不利影响.针对农业发展问题,就土地资源稀缺分析如何使资源得到最优配置,应用线性规划建立数学模型使得农作物布局得到合理安排，大幅度提高经济收益,以某乡作物种植计划为例:某乡共有可耕地20００亩,其中沙质土地400亩，粘质土地600亩,中性土地１０00亩,主要种植3类作物: 第1类是以水稻为主的粮食类作物，第2类是蔬菜类，第3类是经济作物，以本地特产茉莉花为代表作物。
线性规划在数学中的应用
线性规划在数学中的应用线性规划是一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从经济学、运筹学和工程学等角度，分别探讨线性规划在不同领域中的应用。
一、经济学中的线性规划应用在经济学中，线性规划被广泛应用于资源分配和生产计划等问题。
例如，一个公司要决定如何分配有限的资源以最大化利润，线性规划可以帮助他们找到最优的资源分配方案。
同时，线性规划还可以用于优化生产计划，使得生产成本最小化，同时满足市场需求。
二、运筹学中的线性规划应用运筹学是一门研究如何进行最优决策的学科，线性规划在其中起到了重要的作用。
在运输问题中，线性规划可以帮助我们确定如何将有限的资源分配给不同的需求点，以最小化总运输成本。
此外，线性规划还可以应用于排队论、库存管理和项目管理等问题，帮助我们找到最优的解决方案。
三、工程学中的线性规划应用在工程学中，线性规划被广泛应用于工程设计和资源优化等方面。
例如，在网络设计中，线性规划可以帮助我们确定网络的结构和连接方式，以最小化总成本或最大化网络的性能。
此外，线性规划还可以应用于电力系统优化、交通规划和供应链管理等问题，帮助我们找到最优的解决方案。
总结起来，线性规划在经济学、运筹学和工程学等领域都有广泛的应用。
它可以帮助我们解决资源分配、生产计划、运输问题和工程设计等各种实际问题。
通过合理地建立数学模型和运用线性规划算法，我们可以找到最优的解决方案，提高效率和经济效益。
然而，尽管线性规划在各个领域中的应用非常广泛，但它也有一些局限性。
首先，线性规划只适用于线性约束和线性目标函数的问题，对于非线性问题无能为力。
其次，线性规划的解是基于模型的假设和参数，如果模型的假设或参数有误，得到的解可能不准确。
此外，线性规划的求解过程可能非常复杂，需要运用高级的数学算法和计算机技术。
因此，在实际应用中，我们需要综合考虑问题的特点和限制条件，选择合适的优化方法。
有时候，非线性规划、整数规划或者其他优化方法可能更适合解决特定的问题。
线性规划及其应用分析
线性规划及其应用分析摘要线性规划是数学中的一种基础分析方法，广泛应用于现代工业、经济、管理、金融等领域。
本文旨在介绍线性规划的基本概念、方法和理论，以及其在实际应用中的一些成功案例。
首先，介绍线性规划的基本概念和形式化表示方法。
然后，详细讨论线性规划的求解方法、优化策略和求解复杂度。
最后，结合成功案例和应用领域，分析线性规划的优点和限制，展望其未来发展方向。
关键词：线性规划，数学分析，应用案例，优化策略，未来发展AbstractLinear programming is a fundamental method in mathematics, widely used in modern industry, economics, management, finance and other fields. This paper aims to introduce the basic concepts, methods and theories of linear programming, as well as some successful cases in its practical applications. Firstly, the basic concepts and formalized representation methods of linear programming are introduced. Then, the solution methods, optimization strategies and solution complexity of linear programming are discussed in detail. Finally, combining with successful cases and application fields, the advantages and limitations of linear programming are analyzed, and its future development direction is prospected.Keywords: Linear programming, mathematical analysis, application cases, optimization strategies, future development1. 引言线性规划是运筹学中最基础、最具有广泛应用价值的方法之一，它可以处理多种约束条件下的多目标优化问题，是现代工业、经济、管理、金融等领域中重要的决策支持工具。
运筹学中的线性规划理论与应用
运筹学中的线性规划理论与应用线性规划是运筹学中的一种重要工具，被广泛应用于经济、管理、工程等领域。
它的核心思想是通过建立数学模型，以线性目标函数和线性约束条件为基础，以最优化为目标，找到最佳的决策方案。
在本文中，我将讨论线性规划的基本概念和理论，并介绍其在实际应用中的案例。
一、线性规划的基本概念和理论线性规划主要研究如何分配有限资源以达到最优化的利益。
在线性规划中，决策变量、目标函数和约束条件是构建数学模型的三个基本要素。
1. 决策变量决策变量是指在问题中需要做决策的变量，通常表示为一个向量。
例如，在生产计划中，决策变量可以表示为不同产品的生产数量。
2. 目标函数目标函数是指在线性规划中需要最大化或最小化的目标指标。
目标函数通常是由决策变量线性组合而成的。
3. 约束条件约束条件是指在线性规划中限制决策变量取值范围的条件。
约束条件通常是由一系列线性不等式或等式组成的。
在线性规划问题中，通过将目标函数和约束条件转化为数学表达式，可以建立一个数学模型。
这个模型可以通过一系列数学方法求解，以达到最优化的目标。
二、线性规划在实际应用中的案例线性规划在现代管理和决策中有着广泛的应用。
以下是几个典型的案例。
1. 生产计划在生产计划中，线性规划可以用于确定不同产品的生产数量，以最大化利润或满足市场需求。
2. 配送问题在物流配送中，线性规划可以用于合理安排不同配送点的货物数量和时间，以最小化配送成本。
3. 投资组合在金融领域，线性规划可以用于确定不同投资项目的投资比例，以最大化收益或降低风险。
4. 网络流问题在网络建设中，线性规划可以用于确定网络中各节点之间的流量分配，以最大化网络传输效率。
这些案例只是线性规划在实际应用中的冰山一角。
在现代运筹学和管理科学中，线性规划以其简单、有效和灵活的特点，成为了决策分析的重要工具。
总结：线性规划是运筹学中的一种重要工具，通过建立数学模型，以线性目标函数和约束条件为基础，以最优化为目标，解决实际决策问题。
线性规划模型在理论经济学中的应用
线性规划模型在理论经济学中的应用线性规划作为一种数学模型，在理论经济学中具有广泛的应用。
它通过最大化或最小化一个线性目标函数来实现经济资源的有效配置。
本文将探讨线性规划模型在几个重要的经济学领域中的应用，并分析其对经济决策和政策制定的影响。
首先，线性规划模型在生产与供应链管理中的应用是十分重要的。
生产企业需要根据有限的资源以及消费者的需求，确定生产目标、生产规模和生产方案。
线性规划模型可以帮助企业找到在资源约束下实现最大利润或最小成本的最优生产方案。
通过线性规划模型，企业可以优化生产计划，并合理安排原材料的采购、生产设备的使用和产品的配送，从而提高生产效率和供应链的运作效能。
其次，线性规划模型在投资组合和资产配置中的运用也是非常重要的。
投资组合是指将有限的资金分配到不同的投资标的上以实现最大化回报或最小化风险的过程。
线性规划模型可以帮助投资者优化投资组合的权重分配，以实现预期收益最大化或风险最小化。
此外，线性规划模型还可以用来优化资产配置，即在给定的风险水平下，确定在不同资产之间的分配比例，以最大化预期回报。
第三，线性规划模型在市场平衡分析中的应用是不可忽视的。
市场平衡是指市场供求双方达到一种相对稳定的状态，这种状态下市场上的商品或服务的供给量等于需求量。
通过线性规划模型，可以对市场进行分析，找到使得市场达到均衡的价格和数量，并计算市场的供给弹性和需求弹性。
这有助于政府和企业了解市场的运行规律，制定相应的政策和策略，以实现市场的稳定和经济的可持续发展。
最后，线性规划模型在资源优化和环境保护中的应用也具有重要意义。
资源是有限的，而需求却是无限的，我们需要合理、高效地利用资源以满足人类的需求。
线性规划模型可以帮助我们优化资源配置，最大化资源利用效率，并减少资源的浪费。
同时，线性规划模型还可以用来优化环境保护策略，比如在降低污染物排放的条件下，最大限度地提高企业的经济效益。
综上所述，线性规划模型在理论经济学中的应用是非常广泛的。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用实例。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2，...，am1x1 +am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中aij为系数，bi为常数。
3. 变量的非负性：线性规划的变量通常要求非负，即xi ≥ 0。
三、线性规划的应用实例1. 生产计划问题假设一个工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要2小时的生产时间，每单位产品B需要3小时的生产时间。
工厂每天有10小时的生产时间可用。
产品A的利润为100元，产品B的利润为150元。
工厂的目标是最大化利润。
根据以上信息，我们可以建立线性规划模型：目标函数：Z = 100x1 + 150x2约束条件：2x1 + 3x2 ≤ 10变量的非负性：x1, x2 ≥ 0通过求解该线性规划模型，可以得到最优解，即生产产品A和产品B的数量，以达到最大利润。
2. 资源分配问题假设一个公司有两个项目，每个项目需要不同数量的人力资源和资金。
项目1需要3人力资源和5000元资金，项目2需要5人力资源和8000元资金。
公司的目标是最大化项目的总利润。
项目1的利润为20000元，项目2的利润为30000元。
公司的人力资源和资金有限，分别为10人和20000元。
根据以上信息，我们可以建立线性规划模型：目标函数：Z = 20000x1 + 30000x2约束条件：3x1 + 5x2 ≤ 105000x1 + 8000x2 ≤ 20000变量的非负性：x1, x2 ≥ 0通过求解该线性规划模型，可以得到最优解，即分配给项目1和项目2的人力资源和资金数量，以达到最大利润。
线性规划的应用
线性规划的应用[摘要] 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具它在帮助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。
一、线性规划模型的结构企业是一个复杂的系统要研究它必须将其抽象出来形成模型。
如果将系统内部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来就称之为数学模型。
线性规划的模型决定于它的定义线性规划的定义是：求一组变量的值在满足一组约束条件下求得目标函数的最优解。
根据这个定义就可以确定线性规划模型的基本结构。
1.变量:变量又叫未知数它是实际系统的未知因素也是决策系统中的可控因素一般称为决策变量常引用英文字母加下标来表示如_l_2_3_m等。
2.目标函数:将实际系统的目标用数学形式表现出来就称为目标函数线性规划的目标函数是求系统目标的数值即极大值（如产值极大值、利润极大值）或者极小值（如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等）。
3.约束条件:约束条件是指实现系统目标的限制因素。
它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等这些因素都对模型的变量起约束作用故称其为约束条件。
约束条件的数学表示形式有三种即≥、＝、≤。
线性规划的变量应为正值因为变量在实际问题中所代表的均为实物所以不能为负。
在经济管理中线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：(1)投资问题―确定有限投资额的最优分配使得收益最大或者见效最快。
(2)计划安排问题―确定生产的品种和数量使得产值或利润最大如资源配制问题。
(3)任务分配问题―分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)使产量最多、效率最高如生产安排问题。
(4)下料问题―如何下料使得边角料损失最小。
(5)运输问题―在物资调运过程中确定最经济的调运方案。
(6)库存问题―如何确定最佳库存量做到即保证生产又节约资金等等。
#线性规划理论在实际问题中的应用82686
Ⅰ线性规划理论在实际问题中的使用ⅰ问题背景描述线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛使用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策。
把线性规划的知识运用到企业中，企业就有必要利用线性规划的知识对战略计划，生产，销售的各个环节进行优化，从而降低生产成本，提高企业的生产效率，通过建立模型并利用相关软件，对经济管理中有限资源进行合理分配，从而获得最佳经济效益。
根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明,线性规划的使用程度名列前矛,有85%的公司频繁地使用线性规划,并取得了显著提高经济效益的效果。
在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的使用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。
在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。
随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛使用创造了极其有利的条件。
线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。
建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际内容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
所建立的数学模型具有以下特点：1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。
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毕业论文文献综述信息与计算科学线性规划理论及其应用一、前言部分[1] [2]线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大化或最小化的问题，最大化问题是要在一个集合上使一个函数达到最大，最小化问题是要在一个集合上使一个函数达到最小。
统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的有力工具。
二、主题部分2.1线性规划理论发展过程及方向2.1.1线性规划发展过程[3][4]法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。
1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。
1947年美国数学家G.B.丹奇克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。
1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。
50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。
例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。
线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。
由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。
1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。
1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。
用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。
现已形成线性规划多项式算法理论。
50年代后线性规划的应用范围不断扩大。
2.1.2线性规划理论的发展方向[5][6][7]线性规划在军事、工农业、交通和城镇规划等领域中得到广泛的应用。
实际问题有的是很大的，大到具有几万、几十万甚至上百万的变量和成千上万的约束条件。
有的问题虽小些，一般也有几百几千的变量和成百上千的约束条件。
显然解这类问题都离不开计算机。
常用的计算机软件有LINGO,LINDO,MATLAB等。
线性规划理论与大系统分析理论相结合，以解决经济、社会、生态、和政治因素交织在一起的复杂社会系统问题，或者解决设计、工艺、质量、生产计划、大型试验、技术改造、成本价格、市场营销等因素交织在一起的企业管理中的复杂问题，是线性规划理论的主要方向之一。
在大系统理论中，对于一些含有几个层级的系统（系统含有分系统，分系统又含有子系统，子系统又含有更小的子系统等），通常采用递阶分析的方法进行分解和分析。
从系统观点考虑问题的多学科优化理论和方法的研究与应用，已经成为线性规划理论的重要发展方向之一。
我国的现代化建设进程中，众多大系统工程（如三峡工程、载人航天工程）中，也大量的采用了系统工程的一些科学方法，并取得了显著的成效。
反过来，实践的发展又不断地催生新的理论，或者不断地开拓已有应用范围，不断地创新理论和方法，是所有学科发展的生命力源泉之所在，线性规划理论的发展也不例外。
2.2线性规划的具体实现2.2.1 线性规划问题的基本步骤[8]（1）提出并抽象问题（2）建立数学模型（3）求解（4）检验解（5）解得灵敏度分析（6）解得回归2.2.2 线性规划方法的运用原则[8]（1）合作原则（2）打破常规原则（3）相互渗透原则（4）客观独立性原则（5）包容性原则（6）平衡性原则2.2.3 线性规划问题的数学模型的一般形式[2]（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值2.2.4 线性规划的模型建立[1][2][9]从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
所建立的数学模型具有以下特点：1、每个模型都有若干个决策变量123(,,,)n x x x x ，其中n 为决策变量个数。
决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。
2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化(max)或最小化(min)，二者统称为最优化()opt 。
3、约束条件也是决策变量的线性函数。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
2.2.5线性规划的解法求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。
为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。
对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。
这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。
它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。
通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。
2.2.5.1单纯形法[1][2]单纯形法是求解线性规划问题的一般方法，原则上它适用于任何线性规划问题。
这是丹齐克在1947年提出来的. 它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n 维向量空间n R 中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
大量的实际表明,这是一种行之有效的解法.单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
下面把单纯形法的计算步骤及迭代过程归结如下图：并得出单纯形表：1111B B C C B A C B b B A B b ----⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭这样就可以得出一般线性规划问题的解。
有关单纯形法的进一步讨论，当线性规划问题化为标准形式后约束条件的系数矩阵中含有单位矩阵，以此作初始基，用人工变量法（大M 法）求解。
用大M 法处理人工变量，在用手工计算求解时不会碰到麻烦，但用电子计算机求解时，由于计算机取值时的误差，有可能使计算结果发生错误。
为了克服这个困难，可以对添加人工变量后的线性规划问题分两个阶段来计算，称两阶段法。
2.2.5.2 对偶单纯形法[6]每一个线性规划问题都有另一个与其相互关联的问题，这个新问题具有非常重要的性质，用这些性质可以更加有效地获得原来问题的解。
为区别起见，我们称原来的问题为原问题，称与原问题相关联的问题为对偶问题。
1.对偶理论以如下的线性规划问题和其对偶问题：:min ..0P cxAx b s t x ≥⎧⎨≥⎩ :max ..0D wb wA c s t w ≤⎧⎨≥⎩ 这里P 表示原问题，D 表示对偶问题。
2.对偶单纯形法对偶单纯形算法可以概括如下：(1)找出原问题的一个基B ，构成起始对偶基可行解，是c 对所有的j 有10--=-≥j j j B j c z c C B a构成原始对偶单纯形法表；(2)假如10b B b --=≥,则当前的解是最优解，停止计算。
否则选择枢行r ，其0r b -<， 例如选择你最小者：{}min r i i b b --= (3)假如对所有列,0rj j y ≥，则对偶问题无界，原问题无解，停止计算。
否则选择枢列k ；（4）以rk y 为枢元素变换对偶单纯形表，然后转达步骤（2）。
2.2.5.3 灵敏度分析[2][6]灵敏度分析一词的含义是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。
灵敏度分析意义很大。
其一，很多实际问题中数据常常是不够精确的，很多是估计出来的，因此调整数据是常事。
其二，当一个用于决策的问题得出最优解后，决策者为了通观全局，常常要研究其中某些因素（数据）的改变对当前最优决策所造成的影响。
其三，当作多种方案比较时，这些不同方案常常是某些数据不同而已。
灵敏度分析的步骤可归纳如下：1.将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表来。
具体方法是，按照下列公式计算出由参数ij a ，i b ，j c 的变化而引起的最终单纯形表上有关数字的变化。
1b B b -'∆=∆1j j p B p -'∆=∆1()mj j j ij i i c z c a y *='-=-∑2. 检查原问题是否仍为可行解。
3. 检查对偶问题是否仍为可行解。
4. 按下表所列情况得出结论或决定继续计算的步骤。
2.2.6 线性规划的其他算法和问题[1][6]1.分解算法分解算法是一种处理大型问题的方法，它把一个大型问题分解成若干个规模较小的问题来求解，这种方法不仅可以减少存储量，也能减少计算量。
因为线性规划的计算量对于约束条件的个数m 很敏感，统计表明，计算量大约与3m 成正比，因此，若把一个大型问题转化为求解若干个小型问题，由于每个小型问题的约束条件个数较少，可使总的计算量大大减少。