数学人教版《弧弦圆心角》完美版
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《弧、弦、圆心角》精品课件21人教版
又∴∠ACB=60°，
圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB
（2）如果
，那么____________，_____________．
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与 射线OA′重合，∵∠AOB＝∠A′OB′∴射线 OB与OB′重合．∵同圆的半径
相等 ，即OA=OA′OB=OB′，从而点 A与 A′重合，B与B′重合．
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重合
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重合
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重合
弧、弦、圆心角 圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____， 所对的弦________；
∴
重合，AB与A′B′重合．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
今天这节课我们将运用圆的旋转对称性去探究弧、弦、圆心角的关系定理。
∠AOB＝∠A′OB′
︵ 重合，︵B与B′重合．
︵ ︵ ∴AB与A' B ' 重合，AB与A′B′重合．
AB A' B ',
AB A' B '.
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
二、探究
如图，若AB=A′B′，你能发现哪些等量关系？为什么？
圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB
（2）如果
，那么____________，_____________．
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与 射线OA′重合，∵∠AOB＝∠A′OB′∴射线 OB与OB′重合．∵同圆的半径
相等 ，即OA=OA′OB=OB′，从而点 A与 A′重合，B与B′重合．
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重合
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重合
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重合
弧、弦、圆心角 圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____， 所对的弦________；
∴
重合，AB与A′B′重合．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
今天这节课我们将运用圆的旋转对称性去探究弧、弦、圆心角的关系定理。
∠AOB＝∠A′OB′
︵ 重合，︵B与B′重合．
︵ ︵ ∴AB与A' B ' 重合，AB与A′B′重合．
AB A' B ',
AB A' B '.
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
二、探究
如图，若AB=A′B′，你能发现哪些等量关系？为什么？
弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
A
B
A′
B′
O·
·O ′
由∠AOB＝∠A′O ′ B′︵可得到：︵
AB A' B '.
AB A' B '.
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB
根据圆心角、弧、弦、
的关系可知： ⌒⌒
AB AB
AB A'B'.
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等.
（2）如果 AB = CD ，那么___A_B__=_C_D____，_A__O_B_____C_O_D__． （3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B___=___C_D__，___A_B__=_C_D_．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
OE﹦OF
B
∵
α
∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
Oα
A1
A B1
探究二 在同圆中，
︵︵
（1）、如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
AB A' B '. 成立吗 ?
（1）
探究二 在同圆中，
（2）︵、如︵果 AB A' B'. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
AB A' B '. 成立吗 ?
（2）
小结 弧、弦与圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等．
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角__相__等_， 所对的
弦___相_等____；
3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角__相__等__，所对 的弧___相__等____．
人教版9年级数学上册全册课件弧弦圆心角
圆心角、弧、 弦、弦心距之 间的关系
证明圆弧相等：（1）定义
（2）垂径定理
（3）圆心角、弧、 弦、之间的关系
证明线段相等：（1）利用原来的证角相等，三角形全等等方法 （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦、之间的关系
为C1 、C2，
∵A1B1∥O102，
∴ O1C1= O2C2
A1O1B1 A2O2B2
1. 如图，在⊙O中， AB = 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC ,∠ACB=60° A
证明：
B
∵ AB = AC ∴ AB=AC．
又∠ACB=60°，∴ AB=BC=CA.
O·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
推论 _在_同_圆__或_等__圆_中_，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦所对的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
例题
【例1】如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的 圆和角的两边分别交于点 A、B和C、D，求证：AB=CD.
证明：作OM⊥AB，
M
ON⊥CD，M，N为垂足.
（2）如果OE=OF，那么 _∠A_AB_=O__CB_D=__∠_C_O_,D___A__B_=_C_,D__⌒___⌒_____.
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（3）如果AB=CD，那么 _∠_A_O__B_=__∠_C_O__D__,___⌒A__B_=⌒_C__DO_,E_=_O__F________.
（4）如果∠AOB=∠COD，那么 __O__E_=_O__F_,__A_B_=__C_D_,__⌒A__B_=⌒_C__D_.
圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形重合.因
此 圆是中心对称图形，对称中心是圆心
人教版九年级上册数学课件弧、弦、圆心角
例题精讲：
例1.如图,在⊙O中,⌒AB=A⌒C ,∠ACB=60°
A
(3)若⊙O的半径为r,则等边
ABC三角形的边长为____3_r__
O
B
C
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.3弧、弦、圆心角(共22张PPT )
例题精讲：
例1.如图,在⊙O中,⌒AB=A⌒C ,∠ACB=60°
(4)延长AO，分别交BC于点P
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.3弧、弦、圆心角(共22张PPT )
圆心角定理
?在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
符号语言： ∵∠AOB=∠A⌒1OB⌒1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 圆心角_相__等__， 所对的弦__相__等____；
A
E
B
O·
D
F C
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(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与 OF相等吗？为什么？相 等
理由是：∵AB=CD ， ∴∠AOB=∠COD. 又∵AO=CO，BO=DO， ∴△AOB ≌ △COD. 又∵OE、OF是AB与CD对应边上的高，∴ OE = OF.
O
A
B
AB
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4.如图,AB是⊙O的直径，⌒BC=C⌒D=D⌒E ,∠COD=35°, 求∠AOE的度数．
⌒ ⌒⌒ 解： ∵ BC=CD=DE ，且∠COD=35°
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⑵在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它
们 所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
当AB=CD时
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它所对的圆心角相等， 所对的优弧和劣弧分别相等。
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C（A）
O1
D（B）
在同圆或等圆 中，如果两个圆 心角、两条弧、 两条弦中有一组 量相等，那么它 们所对应的其余 各组量也相等。
圆是不是中心对称图形 ？如果是，对称中心在哪里？ 把圆绕圆心旋转任意一个角度，和原来的圆会出现什 么结果? （重合）
因此：圆具有旋转不变性，即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度， 都能与原来的图形_重合.
下列图形中，哪一个图形无论绕中心旋转多少度，都能与自
身重合？( ④ )
①
②
③
④
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
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1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。 3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
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课本P89 习题24.1 第2、3题
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课本P85练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么__A_B____=___C_D，____A_O__B_____C__O_D__．
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1．思考
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心，
·
它具有旋转不变性.
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来 的圆重合．
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
三、 探究
人教版数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ A′ O B′ 的位置，你能
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
O
由此可以看出，点 N′仍落在圆上．
人教版数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件
2．性质
人教版数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
O
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来 的圆重合．
所对的弦_相__等___；
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它们所对的圆心角__相__等__， 所对的弧_相__等___．
同圆或等圆 中，两个圆心角、 两条弧、两条弦 中有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相等．
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5．巩固
人教版数学九年级上册 24.1.3弧、弦、圆心角课件
24.1 弧、弦、圆心角的关系
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个 重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
弧弦圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明：∵A⌒B = A⌒C
A
∴AB=AC
又∠ACB=60°
O·
∴AB=BC=CA
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC
在同圆或等圆中，相等
的圆心角，所对的弦的弦心
C'
C
距相等吗?
① 圆心角
知
②
弧
一
③
弦
得 三
④弦心距
随堂演练
基础巩固 1.如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E,∠AOE=72°， 则∠COD的度数是( A ) A．36° B．72°
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角
A
B
· O
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB 所所对对的的弦弧为为AA⌒BB，。
【对应练习】
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
有对应的 弧和弦吗
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
任意给圆心角，对应出现三个量：
A
B
弧
圆心角
·
O
弦
这三个量之间会有什么关系呢？
如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A' B'
B 由∠AOB＝∠AO'B'得到
A AB＝A'B'
⌒AB ＝ A⌒'B'
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发 现的等量关系是否依然成立？为什么？
B
A
B
A
'
'
由∠AOB＝∠AO'B'得到
人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D
的关系是（ A ） A. A⌒B=2C⌒D C. A⌒B<C⌒D
B. A⌒B>C⌒D D. 不能确定
课堂检测
能力提升题
如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，A⌒D=B⌒C
求证:AB＝CD.
C
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵ A⌒D=B⌒C
探究新知
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
A
O·
B
·O
A
B
顶点在圆心上
探究新知
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB . 2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 A⌒B.
B M
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
OA
任意给圆心角，对应出现三个量： 弧
圆心角 弦
探究新知
练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并
A
B
O·
C
D
O ·′
归纳
通过平移和旋转将 两个等圆变成同一个圆， 可得：
如果∠AOB=∠COD， 那弦么A，⌒BA=B弦=CC⌒DD.，
探究新知
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们 所对的弧相等，所对的弦也相等．
CB
D O
①∠AOB=∠COD
A
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
AB =A＇B＇
探究新知
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，A⌒B与
C⌒D，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ C
归纳 由圆的旋转不变性，可得：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， A⌒B与C⌒D ，弦AB=弦CD
人教版九级数学上2413弧弦圆心角(共53张PPT)[可修改版ppt]
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⌒⌒
AB=CD
，那么__A__B_=，CD___A_O_B__．COD
（3）如果∠AOB=∠COD，那么A__B⌒_=_C⌒_D，__A_B_=．CD
A
E
B
O·
D
F C
2.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
(4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F， OE与OF相等吗？为什么？
解: 相 等 因为AB=CD ，
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆 重合。
180°
所以圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
1、圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转任意角度后仍与原来 的圆重合。
180°
圆有旋转不变性
一、概念
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
∠AOB为圆心角
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③
④
三个量：
圆心角
所对的弧 所对的弦
A O·
B
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
探究1
B′
A′ B
·
O
A
A′ B
B′
·
O
A
已知：∠AOB＝∠A′OB
B
D
垂径定理的推论：
② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
人教版数学九年级上册.. 弧、弦、圆心角完美课件
，
∠ACB=60°，求证：
∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：∵ A⌒B = A⌒C
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
又∵∠ACB=60°,
O·
∴△ABC是等边三角形
B
C
∴AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .1. 3 弧 、弦、 圆心角 课件
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .1. 3 弧 、弦、 圆心角 课件
2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
_（ _2A _）_O _如B __果 __ _C A_⌒B_O _=D _C_⌒D__．，那么___A_B_=_C_D_____，
__ _A __O _B __ __ __C _O _．D
（ __3_）__如__A果_⌒B_∠=_A_CO⌒_D．B=∠ACBO=DCD，那么_____________，
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。
6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
课件《弧、弦、圆心角》PPT全文课件_人教版1
你能发现哪些等量关系? 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
●1. 能识别圆心角.
●2. 探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆 的中心对称性和旋转不变性.
●3. 能用弧，弦、圆心角的关系解决圆中的计算 题、证明题.
回顾旧知 垂径定理及逆定理
●如图,在下列五个条件中:
知一得三
(4)圆心角所对弦的弦心距. 其中有一组量相等， A 其他三组量也相等 C
B’ C’ A’
BO
例题
已知：在⊙O中，AB＝AC ，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
A
证明：
⌒⌒ ∵AB=AC
∴AB=AC． 又∠ACB=60°，
O ·
∴AB=BC=CA．
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
而判同一圆 判的：半判径别相下等列，各图OA中=的OA角′，是O不B是=O圆B心′，角，并说明理由.
探连索接并 圆掌上握任弧意、两弦点、的圆线心段角叫的做关弦系．，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
O
探同索，并 则掌⊙握O的弧直、径弦长、为圆_心__角_的__关__系. ，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
不可以，如图.
B D OC A
抢答题 1.等弦所对的弧相等.
（ ×）
2.等弧所对的弦相等.
（ √）
× 3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ）
4. 如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ，
∠COD=35°，∠AOE = 75° ． E D
C
A
O·
B
练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．⌒ ⌒
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
●1. 能识别圆心角.
●2. 探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆 的中心对称性和旋转不变性.
●3. 能用弧，弦、圆心角的关系解决圆中的计算 题、证明题.
回顾旧知 垂径定理及逆定理
●如图,在下列五个条件中:
知一得三
(4)圆心角所对弦的弦心距. 其中有一组量相等， A 其他三组量也相等 C
B’ C’ A’
BO
例题
已知：在⊙O中，AB＝AC ，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
A
证明：
⌒⌒ ∵AB=AC
∴AB=AC． 又∠ACB=60°，
O ·
∴AB=BC=CA．
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
而判同一圆 判的：半判径别相下等列，各图OA中=的OA角′，是O不B是=O圆B心′，角，并说明理由.
探连索接并 圆掌上握任弧意、两弦点、的圆线心段角叫的做关弦系．，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
O
探同索，并 则掌⊙握O的弧直、径弦长、为圆_心__角_的__关__系. ，了解圆的中心对称性和旋转不变性.
不可以，如图.
B D OC A
抢答题 1.等弦所对的弧相等.
（ ×）
2.等弧所对的弦相等.
（ √）
× 3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ）
4. 如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ，
∠COD=35°，∠AOE = 75° ． E D
C
A
O·
B
练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．⌒ ⌒
《弧弦圆心角》完整版课件
那么A⌒B与C⌒D，弦AB与弦CD有 （1）如果AB=CD，那么___________，____________．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？ （1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由； （1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；
· O
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；
1 判断四边形BDCO的形状，并说明理由； （2）如果
，那么____________，_____________．
如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
圆心角、弧、弦之间的关系
AB
C
O
E
D
18
变式
CD AB
CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间
的关系又是什么？
AB
C
O
E
D
19
6.如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF， 连接OE、OF，并延长交⊙O于点A、B.
（（12））试求判证断：△A⌒CO=EB⌒FD的. 形状，并说明理由；
O
E C
A
F D
B
如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O
求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
圆心角∠AOB所对的弦为 AB， 所对的弧为A⌒B.
B
3
1.判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
①
圆周角（后
②
面会学到）
课件《弧、弦、圆心角》优秀课件完整版_人教版1
掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论， 并初步学会运用这些关系解决有关问题；
如图 1，已知⊙O 的弦 AB 与半径 OE、OF 分别交于
AB=A′B′
24.1.3 弧、弦、圆心角 角________，所对的弦也________．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
弧、弦与圆心角的关系定理
又∠ACB=60°，
O·
B
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
五、练习
（如1图），如果ABA、BC=CDD是，⊙那O么的_两__A条⌒_B弦__．_C⌒_D___，____ _A _O _B __ _ __C _O _D ___．
（（23） ）如如果 果∠AABOB=C∠DC，OD那，么那_么__A___B__A_=_⌒_BC___D___C__⌒_D__，___ __A ，_O ___B __ __A_ _B__C _=_O __C_D _D__．．
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
O · 并初步学会运用这些关系解决有关问题；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
角________，所对的弦也________．
如图，已知AB、CD为
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
如图 1，已知⊙O 的弦 AB 与半径 OE、OF 分别交于
AB=A′B′
24.1.3 弧、弦、圆心角 角________，所对的弦也________．
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
弧、弦与圆心角的关系定理
又∠ACB=60°，
O·
B
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
五、练习
（如1图），如果ABA、BC=CDD是，⊙那O么的_两__A条⌒_B弦__．_C⌒_D___，____ _A _O _B __ _ __C _O _D ___．
（（23） ）如如果 果∠AABOB=C∠DC，OD那，么那_么__A___B__A_=_⌒_BC___D___C__⌒_D__，___ __A ，_O ___B __ __A_ _B__C _=_O __C_D _D__．．
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
O · 并初步学会运用这些关系解决有关问题；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
角________，所对的弦也________．
如图，已知AB、CD为
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
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AC＝AE
小关系是
．
15．如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以点 C 为圆
︵
70
心，CA 长为半径的圆交 AB 于点 D，则AD所对的圆心角为
度．
16点，
ME⊥AB 于点 E，NF⊥AB 于点 F.在下列结论中：①A︵M＝M︵N＝B︵N；②ME
2
OA＝
cm.
知识点 2：弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角
在同圆或等圆中，如果两个
弧
、两条
和两
弦
条
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
相等
别
.
︵ 3．(教材 P85 练习 T2 变式)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C，D 是BE
上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是
C
()
A．40°
点 E 是点 D 关于 AB 的对称点，M 是 AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE
＝60°；②∠CED＝12∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM 的最小值是 10.
上述结论中正确的个数是
C
()
A．1
B．2
C．3
D．4
14．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，弦 DE∥AB，则 AC 与 AE 的大
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 1：圆心角的概念
圆心
顶点在
做圆心角．
相交
，角的两边与圆
，像这样的角叫
1．如图，下列各角是圆心角的是 A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC
B
()
2．如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB＝120°，弦 AB＝2 3 cm，则
(填特殊平行四边形的名称)．
8．如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，AB＝CD，连接 AD， ︵︵
BC，求证：AD＝BC.
证明：∵AB＝CD，∴A︵B＝C︵D， ∴A︵B－A︵C＝C︵D－A︵C， ∴A︵D＝B︵C.
易错点 1：忽略“在同圆或等圆中”这一隐含条件
9．在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个
B
()
A．22°
B．44°
C．66°
D．88°
12．如图，点 A，B，C 是⊙O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四
边形，OF⊥AB 交⊙O 于点 F，则∠BAF 等于
B
()
A．12.5°
B．15°
C．20°
D．22.5°
13．★如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，A︵C＝C︵D＝D︵B，
数学人教版《弧、弦、圆心角》完美 版1
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︵︵ 18．如图，在⊙O 中，AB＝2AC，AD⊥OC 于点 D，求证：AB＝2AD．
数学人教版《弧、弦、圆心角》完美 版1
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证明：延长 AD 交⊙O 于点 E. ∵OC⊥AD， ∴A︵E＝2A︵C，AE＝2AD． ∵A︵B＝2A︵C，∴A︵E＝A︵B， ∴AB＝AE，∴AB＝2AD．
数学人教版《弧、弦、圆心角》完美 版1
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︵ 19．如图，∠AOB＝90°，C，D 是AB的三等分点，AB 分别交 OC， OD 于点 E，F.求证：AE＝BF＝CD．
数学人教版《弧、弦、圆心角》完美 版1
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证明：连接 AC，BD， ∵C，D 是A︵B的三等分点， ∴AC＝CD＝DB，且∠AOC＝13×90°＝30°. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝75°.
B．60°
C．80°
D．120°
4．如图，AB 是⊙O 的直径，BC，CD，DA 是⊙O 的弦，且 BC＝
CD＝DA，则∠B 等于
B
()
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
5．如图，已知 A，B，C，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论
中正确的有
D
()
①A︵B＝C︵D； ②B︵D＝A︵C；
圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对弧也相等；
④等弧所对的圆心角相等．其中真命题有
(B )
A．①②③④
B．①②④
C．②③④
D．②④
易错点 2：对圆中的有关线段的关系运用不当而致错 10．如图，在⊙O 中，A︵B＝2C︵D，试判断 AB 与 2CD 的大小关系， 并说明理由． 证明：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等，∴当A︵B＝2C︵D 时，AB＝2CD． 以上解答是否正确？若不正确，请改正．
数学人教版《弧、弦、圆心角》完美 版1
数学人教版《弧、弦、圆心角》完美 版1
∵∠AOB＝90°，OA＝OB， ∴∠OAE＝∠OBF＝45°， ∴∠AEC＝∠OAE＋∠AOE＝45°＋30°＝75°， ∴∠AEC＝∠OCA，∴AE＝AC．同理可证 BF＝BD， ∴AE＝BF＝CD．
数学人教版《弧、弦、圆心角》完美 版1
③AC＝BD; ④∠BOD＝∠AOC．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
︵ 6 ． 如 图 ， 在 ⊙O 中 ， C 是 AB 的 中 点 ， ∠ A ＝ 50° ， 则 ∠ BOC
40°
＝
．
7．已知：如图，A，B 是⊙O 上的两点，∠AOB＝120°，C 是A︵B的
菱形
中点，则四边形 OACB 是
①②③④
＝NF；③AE＝BF；④NF＝ 3AE.正确的有
．
17．如图所示，以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作 圆，交 AD，BC 于点 E，F，延长 BA 交⊙A 于点 G.求证：G︵E＝E︵F.
数学人教版《弧、弦、圆心角》完美 版1
证明：连接 AF. ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠B＝∠GAE，∠EAF＝∠AFB． 又∵AB＝AF，∴∠B＝∠AFB， ∴∠GAE＝∠EAF，∴G︵E＝E︵F.
解：不正确．AB＜2CD． 改正：取A︵B的中点 E，连接 AE，BE， ∵A︵B＝2C︵D，∴A︵E＝B︵E＝C︵D， ∴AE＝BE＝CD．∵AE＋BE＞AB， ∴AB＜2CD．
11．如图，AC 是⊙O 的直径，AB，CD 是⊙O 的两条弦，且 AB∥CD，
E 为弧 AD 的中点，若∠BAC＝44°，则∠AOE 的大小为