第四章应力应变关系

4 应力应变关系

4.1弹性变形时应力和应变的关系

当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即

1()1()

1()

111222x x y z y y x z

z z x y

xy xy yz yz zx zx

E E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪

⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩

，， （4.1）

式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()

21E G ν=+关系。

由上式可得

11212()()33m x y z x y z m E E νν

εεεεσσσσ--=++=

++= （4.2） 于是

11

()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=

-= 或

1112''22x m x x m G G E

ν

εεσσσ-=+

=+ 类似地可以得到

1112''22y m y y m G G E ν

εεσσσ-=+

=+ 1112''22z m z z m G G E

ν

εεσσσ-=+=+

于是，方程（4.1）可写成如下形式

1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx

zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

即

'1122ij ij m ij ij m G E

ν

εεεσδσ-'=+=

+ （4.3）

显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。前者与球应力分量成正比，即

12m m E νεσ-= （4.4）

后者与偏差应力分量成正比，即

''12''12''1211

1222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zx

G G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===

⎩

，，

或简写为

2ij ij G σε''= （4.5）

此即为广义Hooke 定律。

4.2塑性变形时应力和应变的关系

弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke 定律为其基础的；而在塑性力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，又与所研究的具体材料和塑性应变有关。

塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两大类，即增量理论和全量理论。

4.2.1增量理论

在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而与加载的历程无关。但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态不是单值关系，而与加载的历史有关。图4.1所示低碳钢拉伸实验的结果表明：在应力超过弹性极限条件下卸载时，其应力应变基本呈平行于弹性线的线性关系，直到材料反向时的屈服极限's σ，这就是材料的卸载规律（图4.1a ）。因此，当材料发生塑性

图4.1 单向拉伸随加载历史变化的应力应变关系

变形时，即使应力水平相同，不同加载历程所对应的应变值也会不同（图4.1b ）。同样，对于同一应变值，不同加载历程所对应的应力值也会不同（图4.1c ）。因此，只有明确了加载历程，才能得到应力应变间的对应关系。

既然塑性变形时的应变与加载历史有关，而且也不容易得到全量应变与应力状态间的对应关系，人们自然想到建立塑性变形每一瞬时应变增量与当时应力状态之间的关系，又因为金属塑性变形过程中体积的变化可以忽略，人们又会想到建立每一瞬时应变增量与当时应力偏量之间的关系，增量理论便建立了这样的关系，这里的“增量”指的是应变增量，是相对全量应变而言的。

增量理论又称流动理论，是历史上最早提出来的阐述塑性变形过程应力应变关系的理论，代表性的有Levy-Mises （列维－米赛斯）理论和Prandtl-Reuss （普朗特－劳斯）理论。

4.2.1.1 Levy-Mises 理论

S.Venant （圣维南）首先提出了应变增量主轴与应力主轴相重合的假定。1871年Levy 进一步提出塑性变形过程中应变增量的各分量与相应的应力偏量分量成比例；1913年Mises 独立地提出了同样假设，并考虑到材料达到塑性状态后的塑性变形较大，因此建议忽略变形中的弹性部分（假定为刚塑性材料），即假定塑性应变增量与应力偏量主轴或应力的主方向重合，即

λτετετεσεσεσεd zx

zx yz

yz xy

xy z z

y

y

x

x

d d d d d d ==

=

=

=

='

'' （4.6a ）

或

λσεd d ij ij '

= （4.6b ）

该式称为Levy-Mises 流动法则，它说明：塑性变形时，应变增量主轴与应力偏量主轴重合，即与应力主轴重合；应变增量的各分量与应力偏量的各相应分量成正比。

显然，上式在主轴的情况下为

λσεσεσεd d d d ==='3

3

'2

2'

11

（4.7）

或表达为应变增量张量与应力张量之间的关系，即