三角函数解三角形向量数列测试卷

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三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

三角函数数列经典习题(含答案)

试卷2（总分：201 考试时间：197分钟）学校___________________ 班级____________ 姓名___________ 得分___________一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分) 设等比数列的公比，前n项和为，则（）A. 2B. 4C.D.2、(5分) 记等差数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于( )A.2B.3C.6D.73、(5分) 已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）A．138 B．135 C．95 D．23 4、(5分) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1 024C.1225 D.1 3785、(5分) 等差数列{a n}的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列{a n}的前10项之和是( )A.90B.100 C .145 D.1906、(5分) 已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5＝105,a 2+a 4+a 6＝99,则a 20等于( )A.-1B.1C.3D.77、(5分) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若,则等于( )A.2B.C.D.38、(5分) 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )A.13B.35C.49D.639、(5分) {a n }为等差数列,且a 7－2a 4＝－1,a 3＝0,则公差d 等于( )A.－2 B. C.D.210、(5分) 已知等比数列{a n }满足a n ＞0,n ＝1,2,…,且a 5·a 2n -5＝22n (n≥3)，则当n≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1＝( )A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n 2D.(n-1)211、(5分) 函数=()cosx 的最小正周期为( )A.2πB.C.πD.12、(5分) 函数y ＝2cos 2()-1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分)1、(5分) 已知函数f(x)=2x ,等差数列{a n }的公差为2.若f(a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4,则log2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]= .2、(5分) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=___________.3、(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5－5S 3＝5,则a 4＝__________.4、(5分) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=__________.三、解答题 ( 本大题共 10 题, 共计 121 分)1、(12分) 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,设S n ＝a 1+a 2q+…+a n q n －1,T n ＝a 1－a 2q+…+(－1)n －1a n q n－1,q≠0,n∈N *.(1)若q ＝1,a 1＝1,S 3＝15,求数列{a n }的通项公式; (2)若a 1＝d 且S 1,S 2,S 3成等比数列,求q 的值;(3)若q≠±1,证明(1－q)S 2n －(1+q)T 2n ,n∈N *.2、(10分) 已知等差数列{a n}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{a n}的前n项和S n.3、(12分) 已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,,n∈N*.(1)令bn =an+1-an,证明{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.4、(12分) 已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2+2n,数列{b n}的前n项和T n＝2-b n.(1)求数列{an }与{bn}的通项公式;(2)设cn ＝an2·bn,证明当且仅当n≥3时,cn+1＜cn.5、(14分) 已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0),等比数列{b n }的公比为q(q ＞1).设S n ＝a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ,T n ＝a 1b 1－a 2b 2+…+(－1)n －1a n b n ,n∈N *. (1)若a 1＝b 1＝1,d ＝2,q ＝3,求S 3的值;(2)若b 1＝1,证明,n∈N *;(3)若正整数n 满足2≤n≤q,设k 1,k 2,…,k n 和l 1,l 2,…,l n 是1,2,…,n 的两个不同的排列,,,证明c 1≠c 2.6、(12分) 在△ABC 中, ,.(1)求sinA 的值; (2)设,求△ABC 的面积.7、(12分) 已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).（1）求向量b+c的长度的最大值；（2）设，且a⊥(b+c)，求cosβ的值.8、(12分) 在△ABC中,sin(C-A)＝1,.(1)求sinA的值;(2)设,求△ABC的面积.9、(13分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,. (Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.10、(12分) 在△ABC中,,AC ＝3,sinC ＝2sinA.(1)求AB 的值;(2)求sin()的值.试卷2（总分：201 考试时间：197分钟）学校___________________ 班级____________ 姓名___________ 得分___________一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分)C 解法一:由等比数列定义,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=+a 2+a 2q+a 2q 2,得解法二:S 4=,a 2=a 1q,∴.2、(5分)答案：B 由条件a 1+a 2=4,a 1+a 2+a 3+a 4=20, ∴a 3+a 4=16. ∴a 1+2d+a 2+2d=16. ∴4d=12.∴d=3.3、(5分)C 解析:∵a 2+a 4=4=2a 3,∴a 3=2.又∵a3+a5=10=2a4,∴a4=5.∴公差d=a4-a3=3,a1=-4.∴S10=10×(-4)+×3=95.4、(5分)C解析:正方形数即为n2(n∈N*).又三角形数满足:a1=1,a2=3,an-an-1=n,故可得,经验证可得, 5、(5分)B解析：设等差数列{an }的公差为d(d≠0),由题意可建立方程a22=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),由a 1=1可以解出d=2,∴数列{an}的前10项之和.6、(5分)B解析:设其公差为d,∵a1+a3+a5＝105,∴3a3＝105.∴a3＝35.同理,由a2+a4+a6＝99得a4＝33,∴d＝a4-a3＝-2.a 20＝a4+16d＝33+16×(-2)＝1.7、(5分)B解析:设其公比为q.由已知可得, ∴q3＝2..另解:可知S3,S6－S3,S9－S6成等比数列,则可设S6＝3,S3＝1,则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6),解得S9＝7,故.8、(5分)C解析：.9、(5分)B解析:本题考查等差数列的通项公式,a7－2a4＝a3+4d－2a3－2d＝a3+2d＝－1,所以.10、(5分) C解析:由{an }为等比数列,则a5·a2n-5＝a1·a2n-1＝,则(a1·a3·a5·…·a2n-1)2＝(22n)n a1·a3·…·a2n-1＝,故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1＝log2(a1·a3·…·a2n-1)＝n2.11、(5分)A解析:=()cosx==2sin(),∴T=2π,选A.12、(5分)A解析:y＝2cos2()-1＝cos()＝sin2x.∴f(x)的最小正周期为π,且为奇函数.二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分)1、(5分)-6 解析：∵f(x)=2x,∴log2［f(a1)f(a2)…f(a10)］=log2=a1+a2+…+a10.∵a2+a4+a6+a8+a10=2,∵{an}为d=2的等差数列,∴a1+a3+a5+a7+a9=-8.∴a1+a2+…+a10=-6.2、(5分)24解析:∵ ,∴a1+a9=16.∵a1+a9=2a5,∴a5=8.3、(5分)解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,则由6S5－5S3＝5,6×(5a1+10d)－5(3a1+3d)＝5,得6(a1+3d)＝2,∴a4＝.4、(5分) 3解析:S6=4S3.∴a4=a1·q3=1×3=3.三、解答题 ( 本大题共 10 题, 共计 121 分)1、(12分)本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分12分.(1)解:由题设知,S3＝a1+(a1+d)q+(a1+2d)q2.将q＝1,a1＝1,S3＝15代入上式,解得d＝4.所以,an＝4n－3,n∈N*.(2)解:当a1＝d时,S1＝d,S2＝d+2dq,S3＝d+2dq+3dq2.因为S1,S2,S3成等比数列,所以S22＝S1S3,即(d+2dq)2＝d(d+2dq+3dq2). 注意到d≠0,整理得q2+2q＝0. 因为q≠0,解得q＝－2.(3)证明:由题设知,S 2n ＝a1+a2q+a3q2+a4q3+…+a2nq2n－1,①T 2n ＝a1－a2q+a3q2－a4q3+…－a2nq2n－1.②①式减去②式,得S 2n －T2n＝2(a2q+a4q3+…+a2nq2n－1).①式加上②式,得S 2n +T2n＝2(a1+a3q2+…+a2n－1q上标2n－2).③③式两边同乘q,得q(S2n +T2n)＝2(a1q+a3q3+…+a2n－1q2n－1).所以,(1－q)S2n －(1+q)T2n＝(S2n－T2n)－q(S2n+T2n)＝2d(q+q3+…+q2n－1),n∈N*.2、(10分)分析：考查等差数列的基本性质及求和公式.解：设{an}的公差为d,则即解得或因此,Sn =-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).3、(12分)分析:第(1)问利用等比数列的定义(q≠0).第(2)问利用迭加法求通项a n =(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.解:(1)证明:b1=a2-a1=1,当n≥2时,b n =a n+1-a n =,∴{b n }是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知b n =a n+1-a n =()n-1,当n≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+1+()+…+()n-2===,当n=1时,,∴(n∈N *).4、(12分)本小题主要考查等差数列,等比数列,不等式等有关知识,考查数列的通项与其前n 项和之间的关系,考查抽象概括和运算求解能力. 解:(1)a 1＝S 1＝4.对于n≥2,有a n ＝S n -S n-1＝2n(n+1)-2(n-1)n ＝4n.综上,{a n }的通项公式a n ＝4n.将n ＝1代入T n ＝2-b n ,得b 1＝2-b 1,故T 1＝b 1＝1. (求b n 方法一)对于n≥2,由T n-1＝2-b n-1,T n ＝2-b n ,得b n ＝T n -T n-1＝-(b n -b n-1), ,b n ＝21-n .(求b n 方法二)对于n≥2,由T n ＝2-b n 得T n ＝2-(T n -T n-1),2T n ＝2+T n-1, ,T n -2＝21-n (T 1-2)＝-21-n ,T n ＝2-21-n ,b n ＝T n -T n-1＝(2-21-n )-(2-22-n )＝21-n . 综上,{b n }的通项公式b n ＝21-n .(2)方法一:由c n ＝a n 2·b n ＝n 225-n ,得.当且仅当n≥3时，,即c n+1＜c n .方法二:由c n ＝a n 2·b n ＝n 225-n ,得c n+1-c n ＝24-n ［（n+1)2-2n 2］＝24-n ［-(n-1)2+2］. 当且仅当n≥3时，c n+1-c n ＜0,即c n+1＜c n .5、(14分)分析:本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力. (1)解:由题设,可得a n ＝2n －1,b n ＝3n －1,n∈N *. 所以,S 3＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3＝1×1+3×3+5×9＝55. (2)证明:由题设,可得b n ＝q n －1,则 S 2n ＝a 1+a 2q+a 3q 2+a 4q 3+…+a 2n q 2n －1,① T 2n ＝a 1－a 2q+a 3q 2－a 4q 3+…－a 2n q 2n －1.②①式减去②式,得S 2n －T 2n ＝2(a 2q+a 4q 3+…+a 2n q 2n －1). ①式加上②式,得S 2n +T 2n ＝2(a 1+a 3q 2+…+a 2n －1q 2n －2).③ ③式两边同乘q,得q(S 2n +T 2n )＝2(a 1q+a 3q 3+…+a 2n －1q 2n －1). 所以,(1－q)S 2n －(1+q)T 2n ＝(S 2n －T 2n )－q(S 2n +T 2n ) ＝2d(q+q 3+…+q 2n －1),n∈N *.(3)证明:＝(k 1－l 1)db 1+(k 2－l 2)db 1q+…+(k n －l n )db 1q n －1. 因为d≠0,b 1≠0,所以.①若k n ≠l n ,取i ＝n.②若k n ＝l n ,取i 满足k i ≠l i ,且k j ＝l j ,i+1≤j≤n. 由①,②及题设知,1＜i≤n,且.(ⅰ)当k i ＜l i 时,得k i －l i ≤－1.由q≥n,得k t －l t ≤q－1,t ＝1,2,…,i－1, 即k 1－l 1≤q－1,(k 2－l 2)q≤(q －1)q,…,(k i －1－l i －1)q i －2≤(q－1)q i －2. 又(k i －l i )q i －1≤－q i －1,所以.因此c1－c2≠0,即c1≠c2.(ⅱ)当ki ＞li时,同理可得≤－1,因此c1≠c2.综上,c1≠c2.6、(12分)本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力.解:(1)由和A+B+C＝π,得,0＜A＜.故cos2A＝sinB,即,.(2)由(1)得.又由正弦定理,得,,所以.7、(12分)分析：本小题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基础知识,考查基本运算能力.(1)解法一:b+c=(cosβ-1,sinβ),则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cosβ=-1时,有|b+c|=2,∴向量b+c的长度的最大值为2.解法二:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2.当cosβ=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2,∴向量b+c的长度的最大值为2.(2)解法一:由已知可得b+c=(cosβ-1,sinβ),a·(b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos(α-β)-cosα.∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cos(α-β)=cosα.由,得cos()=,即(k∈Z).∴或β=2kπ,k∈Z.于是cosβ=0或cosβ=1.解法二:若,则a=(,).又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0),得a·(b+c)=(,)·(cosβ-1,sinβ)=. ∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1.∴sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,解得cosβ=0或cosβ=1.经检验,cosβ=0或cosβ=1即为所求.8、(12分)本题主要考查了正弦定理,以及与三角形有关的知识,考查运算求解能力. 解:(1)由sin(C-A)＝1,-π＜C-A＜π,知.又A+B+C＝π,所以,即,0＜A＜.故cos2A＝sinB,即,.(2)由(1)得.又由正弦定理,得,,所以.9、(13分)分析：第(Ⅰ)小问利用A+B+C=π,将C转化为即可,第(Ⅱ)小问利用面积公式易解.解:(Ⅰ)因为角A,B,C为△ABC的内角,且,,所以，.于是)=.(Ⅱ)由（Ⅰ)知,.又因为,所以在△ABC中，由正弦定理得.。

三角函数与解三角形测试卷(二)

三角函数与解三角形测试卷（二）一、单选题1．在△ABC 中，60A ∠=︒，6a =，4b =，则满足条件的△ABC （） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．cos y x =B ．sin y x =C ．cos 2xy =D ．tan y x =3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45和60，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为（）A ．54mB ．47mC ．50mD ．44m5．已知函数()13π2sin (0,)6f x x m x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++=（） A ．4πB ．2πC ．4π3D ．7π36．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．63B ．33C ．±2D ．±227．tan10tan 503tan10tan 50++的值为（） A ．33B ．3C ．1D ．3-8．已知()1sin 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-9．已知函数()()sin 20,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移6π个单位后得到sin 2y x =的图象 C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为3D ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数10．在ABC 中，A ，B ，C 分别为ABC 三边a ，b ，c 所对的角，若cos 32B B =，且cos cos 2sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的最大值是（） A ．1 B 3C ．2 D ．2311．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222022a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B +的值为（）A ．0B ．1C ．2021D ．202212．已知M 是ABC 内的一点，且2AB AC ⋅=，4BAC π∠=，12MBC ABC S S =△△，则11MABMACS S +△△的最小值是（）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题13．已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22230b c ac --=，sin()2sin A B A +=，则cos C ___________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b B c b C =++，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则△ABC 面积的最小值为______．16．已知函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且函数()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，则实数ω的取值范围是_______. 三、解答题17．设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且()cos 2A B C ++=.(1)求角C 的大小；(2)若向量()sin ,1m A =-与()2,sin n B =互相垂直，求a 、b 的值.18．从①)sin sin sin c C a A b B -=-；② sin 22A A =补充到下面横线处，并解答：在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，AB =(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的圆心为O ，11cos 14AOB ∠=，求BC 的长. 注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.19．在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．20．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan tan b A b B += (1)求角B ；(2)D 是AC 边上的点，若1CD =，3AD BD ==，求sin A 的值． 21．如图，在平面四边形ABCD 中，3,2,4B BC ABC π∠==的面积 2.ABCS =(1)求AC 的长；(2)从条件①､条件②､条件③这三个条件中任选两个作为已知，判断DCA BCA ∠=∠是否可能成立，并说明理由. 条件①：4D π∠=；条件②：4=AD ；条件③：6CD =.22．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC )32b c a-的取值范围．参考答案：1．A 【解析】【分析】根据正弦定理进行判断即可. 【详解】由正弦定理可知：4sin 1sin sin sin a bB A B B==⇒=，显然不存在这样的角B ，故选：A 2．B 【解析】【分析】利用最小正周期为π排除选项AC ；利用在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减排除选项D ；选项B 以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，判断正确.【详解】选项A ：cos y x =最小正周期为2π.判断错误；选项B ：sin y x =最小正周期为π，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.判断正确；选项C ：cos 2xy =最小正周期为4π.判断错误；选项D ：tan y x =在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 判断错误.故选：B 3．B 【解析】【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可. 【详解】因为2sin ()2x f x x =+，定义域为R所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B. 4．A 【解析】【分析】根据题意求得AM =AMC 中由正弦定理求出CM ，即可在直角CDM 中求出CD .【详解】由题可得在直角ABM 中，45AMB ∠=︒，36AB =，所以AM = 在AMC 中，180604575AMC ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，所以180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒，所以由正弦定理可得sin 45sin 60AM CM=︒︒，所以CM ==则在直角CDM 中，sin6054CD CM =⋅︒=，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故选：A. 5．A 【解析】【分析】根据正弦函数的对称性，结合函数零点的定义进行求解即可. 【详解】令()2sin 02sin f x x m m x =-=⇒=，当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数有三个零点，因此函数,2sin y m y x ==的图象有三个不同的交点，因为13ππ12sin2sin 21662==⨯=，所以[0,1]m ∈，显然有123π13π0π<2π26x x x ≤<<≤≤≤，而12,x x 关于直线π2x =对称，23,x x 关于直线3π2x =对称，所以21231232π3π224π22x x x x x x x ++=+++=⨯+⨯=，故选：A 6．D 【解析】【分析】根据两角和的正弦公式展开，之后再用辅助角公式可得sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数的关系求解即可. 【详解】sin sin()13πθθ++=，则1sin sin 12θθθ+=，即3sin 12θθ+=，1cos 2θθ+=sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以tan 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选：D 7．B 【解析】【分析】由()tan 60tan 10503=+=，利用两角和差正切公式可整理得到结果. 【详解】()tan10tan 50tan 60tan 105031tan10tan 50+=+==-，tan10tan 5033tan10tan 50∴+=-，tan10tan 503tan10tan 503∴++=. 故选：B. 8．B 【解析】【分析】首先根据正弦两角和差公式得到2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，再利用同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】由题知：()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩，解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-. 故选：B 9．D 【解析】【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断【详解】因为()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，因为()f x 的图象过点2,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以由五点作图法可知43362πππω⋅+=，得1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，对于A ，因为2sin sin 13362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=-为()f x 的图象的一条对称轴，所以A 错误，对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位后，得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B错误，对于C ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-，所以C 错误，对于D ，sin 2sin 2cos 26662f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，所以()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，所以D 正确，故选：D 10．D 【解析】【分析】根据已知条件求得,B b ，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值问题求解即可. 【详解】cos 2B B =得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又7666B πππ<+<，所以3B π=. 在ABC 中，由正弦定理得：cos cos cos cos sin cos sin cos sin 2sin sin sin sin 3sin B C c B b C C B B C A A Bb c bc b C b C C+++====所以32sin b B=()2sin sin 2sin 2sin sin 36b a c A C A A A B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故当62A ππ+=，即3A π=时，a c +取得最大值故选：D 11．C 【解析】【分析】将给定三角式切化弦，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理及已知计算作答. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得：22222cos 2021ab C a b c c =-=+，所以sin sin 22tan tan 2sin sin cos cos cos sin sin sin tan (tan tan )sin (sin cos cos sin )()cos cos cos A BA B A B C A B C A B C A B C A B A B C A B⋅⋅==+++ 222sin sin cos 2sin sin cos 2cos 2021sin sin()sin A B C A B C ab CC A B C c ====+.故选：C 12．A 【解析】【分析】利用向量数量积公式及三角形面积公式可得ABC 的面积，结合已知可得12MAB MACS S+=，再根据基本不等式即可求解. 【详解】∵2AB AC ⋅=，4BAC π∠=，∴cos 222AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=⋅∠=⇒⋅= ∴1sin 4512ABCSAB AC =⋅︒=，因为ABCMBCMABMACS SSS=++，12MBC ABC S S =△△，所以1122MAB MACABCSSS +==，所以()22221122442MAC MAC MAB MABMABMACMABMAC MAB MAC MAB MACS S S S S SS S S S S S ⎛⎫++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 448=+=，当且仅当22MAC MABMAB MACS S S S =，即14MACMABS S==时取等. 故选：A. 13．0 【解析】【分析】利用诱导公式化简每一个式子，再把已知代入即得解. 【详解】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.故答案为：0 14【解析】【分析】利用正弦定理角化边及其余弦定理即可求解. 【详解】∵sin()2sin A B A +=，∴sin 2sin C A =, 由正弦定理得2c a =，∵ 22230b c ac --=，∴22222b c c ac -=+，由余弦定理得：2222cos b c a ac B -=-，∴2224cos a ac B c ac -=+， ∴ 222228cos 42a a B a a -=+， ∴228cos 4a B a -=，解得1cos 2B =-，又∵0πB <<，∴2π3B =, 将2c a =代入22230b c ac --=得b =, 由正弦定理可得sin sin b c B C =，即22πsin sin 3c C =，解得sin 7C =，又∵π02C <<，∴cos C ===. 15．【解析】【分析】利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理即可求出角A ，由三角形面积相等，结合基本不等式求面积的最小值. 【详解】本题考查解三角形的应用，考查逻辑推理的核心素养．因为()sin sin sin a A b B c b C =++，所以222a b c bc =++．由余弦定理易得1cos 2A =-，又0A π<<所以23A π=．因为AD 平分角A ，所以∠BAD ＝∠CAD ＝60°．由ABCABDACDSSS=+，得111sin120sin 60sin 60222bc c AD b AD ︒=⋅︒+⋅︒，即()2bc b c =+≥16bc ≥，当且仅当b ＝c 时，等号成立，所以△ABC 面积的最小值为故答案为： 16．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】第一步，函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增结合()2sin f x xω=（0>ω）在ππ22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增得到3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得出203ω<≤ . 第二步，()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，解出实数ω的取值范围.第三步，求出交集即可. 【详解】由题及ππ22x ω-≤≤得()2sin f x x ω=（0>ω）在ππ,22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，又函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得203ω<≤ . ()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，所以，1544ω≤<，所以，1243ω≤≤. 故答案为：1243⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.17．(1)3C π=(2)a =b = 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）由平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理可得出2b a =，再利用余弦定理可求得a 、b 的值. (1)()cos cos 2sin 26A B C C C C π⎛⎫++=+=+= ⎪⎝⎭，所以，sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0C π<<，则7666C πππ<+<，62C ππ∴+=，解得3C π=. (2)解：由已知2sin sin 0m n A B ⋅=-=，则2b a =，由余弦定理可得22222292cos 3c a b ab C a b ab a ==+-=+-=，因此，a =b =18．(1)π6A =(2)BC =【解析】【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解. (1)解：选择条件①：因为)sin sin sin c C a A b B -=-，由正弦定理，可得)22c a bb -=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-. 因为()0,πA ∈，所以π6A =.选择条件②：因为sin 22A A =所以π2sin 23A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 23A ⎛⎫+=⎪⎝⎭因为()0,πA ∈所以ππ7π2,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以π2π233A +=，π6A =.(2)由题意，O 是ABC 外接圆的圆心，所以2AOB C ∠=，所以211cos cos 212sin 14AOB C C ∠==-=故此sin C =. 在ABC 中，由正弦定理，sin sin AB BC C A=12BC=，解得BC =19．(1)3A π=(2)134【解析】【分析】（1）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简可得sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求得A ；（2）利用面积桥可求得AB ，利用余弦定理求得BC 后可得CD ，由勾股定理可得结果.(1)21sin cos sin cos cos sin sin cos sin 6662A A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311113sin 2cos 2sin 24442644A x A π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭；()0,A π∈，112,666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，262A ππ∴-=，解得：3A π=.(2)D 是BC 中点，1228632ABCADCSSAC DE DE ∴==⨯⋅==又1sin 23632ABCSAB AC A AB =⋅==3AB =；在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 9642449BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=， 7BC ∴=，则72CD =，224927134164CE CD DE ∴=-=-. 20．(1)3B π=(2)21sin A = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得cos B ，由此可得B ；（2）设ABD BAD θ∠=∠=；在ABC 和BDC 分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于sin θ的方程，解方程可求得结果.(1)由3tan tan c b A b B +=sin sin 3cos cos A B c A B +=由正弦定理得：()sin sin sin sin cos cos sin 3sin cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B CA B A B A B +++===()()sin sin sin A B C C π+=-=，又()0,C π∈，sin 0C ∴≠，sin cos 3cos cos B A A B ∴=；tan A 有意义，cos 0A ∴≠，sin 3cos B B ∴=，即tan 3B =，又()0,B π∈，3B π∴=.(2)AD BD =，ABD BAD ∴∠=∠，设ABD BAD θ∠=∠=，则2BDC θ∠=，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC AC ABCθ=∠，即4sin 83sin 3BC θθπ==；在BDC 中，由余弦定理得：2222cos 2106cos 2BC BD CD BD CD θθ=+-⋅=-；()2264sin 106cos 210612sin 3θθθ∴=-=--，解得：23sin 7θ=，即23sin 7A =，又()0,A π∈，21sin A ∴=21．(1)25(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由面积公式先求出AB 的长，进而根据余弦定理求出AC 的长.（2）由题设，可以随意选择两个条件，去判断DCA ∠与BCA ∠是否可能相等.但是优先选择哪两个条件思维逻辑最清晰､解题过程最简洁是同学们应该思考的.由第一问可知，ABC 是唯一确定的三角形，sin ,cos BCA BCA ∠∠都是可求的，而要判断DCA ∠与BCA ∠是否可能相等，可转化为判断它们的某一个三角函数值是否相等，因此首选条件②和条件③，此时ADC 中的三条边长都知道，容易计算余弦值.如果看到条件①4D π∠=，正好满足D B π∠+∠=，能够想到四点共圆，那么圆周角相等则对应的弦长相等，因此选条件①和条件②也非常简单.最麻烦的是选择条件①和条件③，因为此时ADC 中知道的条件是边边角，ADC 不一定唯一确定，需要讨论. (1) 因为3,2,24ABCB BC S π∠===，所以在ABC 中，由1sin 2ABCSAB BC B =⋅⋅，得2sin ABC S AB BC B ===⋅由余弦定理2222cos AC ABBC AB BC B =-+⋅，得2842220AC ⎛=+-⋅⋅= ⎝⎭，所以AC =(2)选择条件②：4=AD 和条件③：6CD =，在ADC 中由余弦定理可得222cos 2CD CA AD DCA CD CA ∠+-==⋅，在ABC 中由余弦定理可得222cos 2CB CA AB BCA CB CA ∠+-=⋅，因为cos cos DCA BCA ∠∠≠，所以DCA BCA ∠∠≠；选择条件①：4D π∠=和条件②：4=AD ，在ADC 中，由正弦定理可得sin sin AC ADD DCA∠=，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC ABB BCA=∠，所以，若DCABCA ∠=∠，则AD AB =，与4,AD AB == 所以DCA BCA ∠∠≠；选择条件①：4D π∠=和条件③：6CD =，在ABC 中由余弦定理可得222cos 2CB CA AB BCA CB CA ∠+-=⋅. 在ADC 中，由余弦定理2222cos AC ADDC AD DC D =+-⋅，可得2160AD -+=，所以AD =AD =当AD=ADC中，由余弦定理可得222cos2CD CA ADDCACD CA∠+-==⋅因为cos cosDCA BCA∠∠=，且(),0,DCA BCA∠∠π∈，所以DCA BCA∠=∠.当AD=ADC中，由余弦定理可得222cos2CD CA ADDCACD CA∠+-=⋅，因为cos cosDCA BCA∠∠≠，所以DCA BCA∠∠≠.所以选择条件①和条件③时，当AD=DCA BCA∠=∠成立；当AD= DCA BCA∠∠≠.22．(1)3Aπ=；(2)11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）角换边，在利用余弦定理求解；（2）边换角，将待求表达式表示成关于B的三角函数，利用锐角三角形条件求出B的范围，最后再求表达式的范围即可.(1)因为()()sin sin2sin sin sina A c C Bb C B=-++，所以由正弦定理得()()22a c cb bc b=-++，整理得222b c a bc+-=，由余弦定理得2221cos22b c aAbc+-==．因为0Aπ<<，所以3Aπ=．(2)由正弦定理得)sin sin2sin sin sin sin sin2sin33b c B CB C B B Ba Aππ--⎛⎫⎛⎫==-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为ABC为锐角三角形，所以0,220,32BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，所以636B πππ-<-<，所以11sin 232B π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，故)2b c a-的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

三角函数向量解三角形数列综合测试含答案

三角函数、向量、解三角形、数列综合测试含答案大冶一中孙雷一、选择题每题只有一个正确选项,共60分1.若向量===BAC CB AB ∠),0,1-(),23,21(则 A.30° B.60° C. 120° D. 150°2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ,)(PC PB PA +•的最小值是A.-8B. -14C.-26D.-303.已知在正方形ABCD 中,点E 为CD 的中点,点F 为CB 上靠近点B 的三等分点,O 为AC 与BD 的交点,则=DB A.OF AE 51858-+ B.OF AE 74718-+ C.OF AE 58518-+ D. OF AE 71874-+ 4.已知）2π-απ-(523-αsin -αcos <<=,则=+αααtan -1)tan 1(2sin A.7528- B.7528 C.7556- D. 7556 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3,则实数=mA.6-B.5-C.3-D.2-6.已知α为锐角,且2)8π-α(tan =,则=α2sin A.102 B.1023 C.1027 D. 4237.已知向量)sin 41-(α，=a ,)4πα0)(1-α(cos <<=，b ,且b a //,则=)4π-αcos( A.21- B.21 C.23- D.23 8.在ABC △中,3:2:1::=A B C ,则=a b c ::A.1:2:3B.3:2:1C.1:3:2D. 2: 3:19.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,若B A C sin sin sin 3+=,53cos =C ,且4=ABC S △,则=c A.364 B.4 C.362 D.5 10.在ABC △中,°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上,且772sin =∠BAD ,则CD =A. 334B.43 C.33 D.332 11.我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题：“今有女善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布3135尺,则这位女子织布的天数是 A.2 B.3 C.4 D.112.数列}{n a 中,01=a ,且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ,则数列})1-(1{2n a 前2019项和为A.20194036B.10102019C.20194037D.20204039 二、填空题共20分13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值,且1-20192020<a a ,则当0<n S 时n 的最小值为_____________. 14.已知数列}{n a 满足2321)2(+=n a a a a n ,则该数列的通项公式为______________.15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+,且121==a a ,则数列}{n a 的前2020项的和为_______________.16.ABC △中,Ab B a B Ac C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+,若1=+b a ,则c 的取值范围是___________.三、解答题共70分17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,81=a ,10-10=S1求n a ,n S ；2设||||||21n n a a a T +++= ,求n T .18.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,且552sin =B ,6=•BC BA 1求ABC △的面积；2若8=+c a ,求b 的值.19.已知函数)(|2||-|)(R a x a x x f ∈++=1当1=a 时,求不等式5≥)(x f 的解集；2当]1,0[∈x 时,不等式|4|≤)(+x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.20.已知函数)0(23-sin 3cos sin )(2>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π,将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位长度,再向下平移21个单位长度,得到函数=y )(x g 的图象 1求函数)(x f 的单调递减区间；2在锐角ABC △中,角C B A ,,的对边为c b a ,,,若2,0)2(==a A g ,求ABC △面积的最大值.21.已知关于x 的函数1-2-2π3cos(cos 2)(2）x x x f += 1求不等式0)(>x f 的解集;2若关于x 的不等式x a x x f sin ≥|2sin )(|+在区间]4π3,3π[上有解,求实数a 的取值范围.22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且31-34n n a S =,等差数列}{n b 各项均为正数,223b a =,4246b b a += 1求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；2设数列}{n c 的前n 项和为n T ,对一切*N n ∈有n n n b na c a c a c =++ 22112成立,求n T .。

向量、解三角形、数列、不等式测试卷

向量、解三角形、数列、不等式测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ,当298n a =时，n 等于（ ) Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．1012。

ABC ∆中,若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（）A ．21B ．23 C.1 D.3 3。

如图,在△ABC 中，1,3,,,2BD DC AE ED AB a AC b BE ====若则= （ ) A ．1133a b + B ．1124a b -+ C ．1124a b + D ．1133a b -+ 4。

已知3≥x ，函数11-+=x x y 的最小值是（） A ．27 B ．4 C ．8 D ．6 5.设a 、b 、c 是单位向量,且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最小值为（ )A 、2- (B)22- （C ）1- （D)12-6.在各项均为正数的等比数列{}n b 中,若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（）（A ） 5 （B) 6 (C)7(D)8 7。

设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 ( ）A ． 5 B. 3 C 。

7 D 。

-88.在ABC ∆中，80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 ( ) A 。

一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 9。

已知b a ,满足:a =3，b =2，b a +=4,则b a -=( )A ．3B ．5C ．3D 1010.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（）A 、63B 、108C 、75D 、8311、若｛a n }是等差数列,首项a 1＞0，a 4＋a 5＞0，a 4·a 5＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值为（ )．A ．4B ．5C ．7D ．812、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是( )A ．()10,8B ．()10,8C ． ()10,8D ．()8,10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13。

向量解三角形数列综合测试卷

向量、解三角形、数列综合题一．选择题（每题4分，共32分）（）1. 若2||,1||,0===⋅，则=-|2| A.0 B.22 C.4 D.8（）2. 11(1,0),(,)22a b == ，则...().//2A a bB a bC a b bD a b =∙=-⊥ （）3.已知A B C ∆和点M 满足0M A M B M C ++= .若存在实数m 使得A B A C A M m --→--→--→+= 成立，则m= A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 （）4. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣= A.8 B.4 C. 2 D.1（）5. ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r r ，CA b =uu r r ，1a =r ，2b =r ，则CD =u u u r 12213443 (33335555)A a bB a bC a bD a b ++++r r r r r r r r （）6. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若14611,6a a a =-+=-，当n S 取最小值时，n = A.6 B. 7 C.8 D.9（）7. 已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =A.（）8. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158 二．填空题（每题4分，共28分）9. 锐角ABC ∆，22sin sin()sin()sin 33A B B B ππ=+-+，12,AB AC a ∙== c b <，则_________b =10.数列{}n a 满足：11113(1)2(1)1,,0(1),211n n n n n n a a a a a n a a +++++==<≥--数列{}n b 满足：221(1)n n n b a a n +=-≥，则______________,______________n n a b ==11. ABC V 中，cot cot a b a A b B +=+，内角C =________________12. △ABC 中, 22a b -=,sin C B =,则内角A= _____________ 13. 22()cos()2cos 32x f x x π=++，ABC ∆中，3,1,1)(===c b B f ，则a =_____ 14. 数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n a n的最小值为__________. 15. 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD=12DC ，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC 的面积为3∠BAC=_______三．解答题（每题8分，共40分）16. 在△ABC 中，2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.17. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

平面向量、数列,解三角形练习题1

考点：等差数列、等比数列的性质. 9．B 【解析】试题分析：因为 a n 为等比数列，由
2
S6 3 设 S6 3a, S3 a ，所以 S3 , S6 S3 .S9 S6 S3
为等比数列，即 a, 2a, S9 S6 成等比数列,所以 S9 S6 4a ,解得: S9 7 a ,所以
S9 7 a 7 ,所以答案为 B． S6 3a 3
考点：1．等比数列的性质；2．计算． 10．B 【解析】试题分析：等差数列 a n 中， a 1 ， a 2015 为方程 x 2 10 x 16 0 的两根，则
a1 a 2015 10 ， a1 a 2015 a 2 a 2014 10 ， a1 a 2015 2a1008 10 ， a1008 5 ，则 a 2 a1008 a 2014 10+5= 15 ．
答案第 2页，总 8页
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11 ，选 C． 13 【命题意图】本题考查等差数列的性质，考查计算能力． 12．B
所以 a8
【解析】 a1 1, an 1 (an 1) 2 ，所以 a2 0, a3 1, a4 0, ，即当 n 为奇数时，
考点：正弦定理 6．D．【解析】
3 1 3 试题解析：依题由 S bc sin A ，得 sin A ，所以 A 60 或 120 ，故选 D 2 2 2
考点：正弦定理的应用解三角形 7．B 【解析】
答案第 1页，总 8页
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试题分析： A 60 0 , B 450 , BC 3 2 由正弦定理可得，

三角函数与解三角形_测试题(有解析、答案)

三角函数与解三角形测试题（有解析、答案）(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7 解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，得tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.答案：A2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30° ＝12. 答案：C3．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：∵y ＝sin(2x －π3)＝sin2(x －π6)，∴只要将y ＝sin2x 的图像向右平移π6个单位便得到y ＝sin(2x －π3)的图像．答案：D4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.答案：D5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：由T ＝2πω＝2ππ2＝4，可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递增， x ＝0时y ＝0，x ＝1时y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为1，第二个波峰对应的x 值为5，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为5. 答案：C6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴f (x )max ＝2.答案：B7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π3解析：由已知得：f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，由于函数为奇函数，故有θ＋π3＝kπ⇒θ＝kπ－π3(k ∈Z)，可淘汰BC 选项，然后分别将A和D 选项代入检验，易知当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin2x 其在区间[－π4，0]上递减．答案：D8．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.14解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝0，∴sin αcos π6＋cos αsin π6＋cos α＝34，∴12sin α＋32cos α＝14，∴sin(α＋π3)＝14，∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：C9．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π4解析：T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4. 答案：C10．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)解析：T ＝π，∴ω＝2.∵图像关于直线x ＝2π3对称，∴sin(2π3ω＋φ)＝±1即2π3×2＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z 又∵－π2<φ<π2∴φ＝π6∴f (x )＝A sin(2x ＋π6)．再用检验法．答案：D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________解析：由已知得cos α＝－32，则sin2α＝2sin αcos α＝2×12×(－32)＝－32.答案：－3212．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图像知，函数的周期为32×T ＝π，∴T ＝2π3.∵f (π4)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4＋T 2)＝－f (π4)＝0.答案：013．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案： 214．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.解析：因为图像的对称中心是与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x ＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]得x 0＝－π6.答案：－π615．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B－sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan Atan B＝4. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．解：(1)∵cos(β－π4)＝13，∴cos(2β－π2)＝2cos 2(β－π4)－1＝2×19－1＝－79，即sin2β＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴f (α)＝cos α－sin α＝2cos(α＋π4) ＝2cos[(α＋β)－(β－π4)]＝2[cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)]＝2(－35×13＋45×223)＝16－3215.17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435. 18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c . 解：由题lg a ＋lgcos A ＝lg b ＋lgcos B ，故a cos A ＝b cos B . 由正弦定理sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . 又cos A >0，cos B >0，故A ，B ∈(0，π2),2A,2B ∈(0，π)因a ≠b ⇒A ≠B ，故2A ＝π－2B . 即A ＋B ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由于m ⊥n ，所以2a 2－3b 2＝0 ① 且(m ＋n )·(－m ＋n )＝n 2－m 2＝14，即8b 2－3a 2＝14 ② 联立①②解得a 2＝6，b 2＝4，故在直角△ABC 中，a ＝6，b ＝2，c ＝10.19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．解：(1)∵a 与b 共线， ∴32cos x ＋sin x ＝0.∴tan x ＝－32. 故2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)∵a ＋b ＝(sin x ＋cos x ，12)，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)．∴sin x cos x ＋cos 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4， ∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴f (x )的值域为[－22，12]． 20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3. 令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)． 21．(本小题满分13分)已知函数y ＝|cos x ＋sin x |.(1)画出函数在x ∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x 在R 上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x 是△ABC 的一个内角，且y 2＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵y ＝|cos x ＋sin x |＝2|sin(x ＋π4)|，∴当x ∈[－π4，7π4]时，其图像如图所示．(2)函数的最小正周期是π，在[－π4，3π4]上的单调递增区间是[－π4，π4]；由图像可以看出，当x ＝kπ＋π4(k ∈Z)时，该函数有最大值，最大值是 2.(3)若x 是△ABC 的一个内角，则有0<x <π， ∴0<2x <2π.由y 2＝1，得|cos x ＋sin x |2＝1⇒1＋sin2x ＝1. ∴sin2x ＝0，∴2x ＝π，x ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。

平面向量、数列,解三角形练习题2

考点：1.等差数列的前 n 项和；2.通项公式. 13．D 【解析】试题分析：由题可知，
a5 a13 a9 a A a A ，由公式 n 2 n 1 可有 9 17 成立，又因 b5 b13 b9 bn B2 n 1 b9 B17
为
An 4n 2 a A 7 ，即 9 17 。 Bn 5n 5 b9 B17 8
b2 a2
C.
b2 a
D.
b a2
15．设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 9 81 ，则 a 2 a5 a8 （ A．26 二、填空题. B．27 C．28 D．29 ．
）
16．在等差数列 an 中， a7 m, a14 n, 则 a28
期中测试（二）
一、选择题. 1．已知 a =（-2，1）， b =（ x ， A．1 B．2 C．3
1 ），且 a // b ，则 x =（ 2 D．5
）
2．已知向量 a (k， 3)， b (1， 4)， c (2， 1) ，且 (2a 3b) c ，则实数 k =（ A．
1 且mn . 2
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 b c 4, ABC 的面积 S 3 ，求 a 的值.
24．等差数列 an 中，a1 3 ，其前 n 项和为 S n . 等比数列 {bn } 的各项均为正数，b1 1 ，且 b2 S 2 12 ，
）
试卷第 1页，总 4页
12．设 S n , Tn 分别是等差数列 {an },{bn } 的前 n 项和，若 A．
5 13
Sn a n (n N * ) ，则 5 （） Tn 2n 1 b6

三角函数与解三角形_测试题(有解析、答案)

三角函数与解三角形测试题(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π38．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.13．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.14．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为2π3，当x∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y＝|cos x＋sin x|.(1)画出函数在x∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x在R上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x是△ABC的一个内角，且y2＝1，试判断△ABC的形状．。

高三数学向量,三角函数,数列测试题

高三数学（文科）测试题（二）(向量、三角函数、数列)一项是符合题目要求的。

）1．化简AC - BD + CD - AB得( ).A ．ABB ．C ．BCD ．02．等比数列}{n a 中，112a =，公比1q =-，则8S =( ).A ．12B ．12-C ．0 D ．13．已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =，则P 点坐标是( ).A ．()8,1-B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．()8,1-4．下图是函数()sin()f x x ϕ=+一个周期内的图像，则ϕ可能等于( ).A ．56π B ．2πC ．6π-D ．6π5．数列}{n a 中，12,111+==+n n a a a ，则}{n a 的通项公式为( ).A ．n 2B ．12+nC ．12-n D ．12+n6．若数列}{n a 的前n 项的和32n n S =-，那么这个数列的通项公式为( ).A ．13()2n n a -=B ．113()2n n a -=⨯ C ．32n a n =-D ．11,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩7．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若3711a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( ).A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 138．化简00sin15得到的结果是( ).A． B．C． D9．已知等差数列{}n a ，首项为19，公差是整数，从第6项开始为负值，则公差为( ).A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-10．△ABC 的内角满足,0cos sin ,0sin tan >+<-A A A A 则A 的范围是( ).A ．)4,0(πB ．)2,4(ππC ．)43,2(ππD ．),43(ππ二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知113(,2sin ),(cos ,),322a b a αα== 且∥b ，则锐角α的值为.12．在等差数列{n a }中，前15项的和1590S =，则8a =.13．有纯酒精(1)aL a >，从中取出1L ，再用水加满；然后再取出1L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次取出L 酒精.14．观察下表中的数字排列规律,第n 行（2n ≥）第2个数是.三、解答题：（本大题满分80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知75,7157==S S ，求数列}{n a 的通项公式．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知31tan ,21tan ==B A 且最长边为1．（1）求角C ；（2）求△ABC 的面积S ．17．（本小题满分14分）已知函数21()cos cos 1()22f x x x x x R =+⋅+∈（1）求函数)(x f 的对称中心，最大值及取得最大值的条件；（2）求)(x f 的单调增区间．18．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(31-=n n a S（1）求1a ，2a 及3a ；（2）证明：数列}{n a 是等比数列，并求n a ．19．（本小题满分14分）四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB（1）若//，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积．20．（本小题满分14分）数列{n a }是公比为q 的等比数列，11a =，12()2n nn a a a n N *+++=∈ （1）求公比q ；（2）令n n b na =，求{n b }的前n 项和n S ．新阳中学2009届高三数学（文科）测试题(向量、三角函数、数列)参考答案1-10 DCBDCDDBBC 11、4π12、6 13、811a ⎛⎫- ⎪⎝⎭14、222n n -+15．解：由题意知7115176772151415752S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩，所以3n a n =-.………12分16．解：（1）由,1tan tan 1tan tan )tan(=-+=+BA BA B A …………2分而在△ABC 中，0<A+B<π，…………………………………3分所以4π=+B A ，则π43=C ；…………………………………5分（2）在△ABC 中，∵∠C 是钝角， ∴∠B 、∠A 是锐角，由31tan =B ，得.1010sin =B …………………………………8分由正弦定理C c B b sin sin =，得.55=b ……………………………10分由21tan =A ，得55sin =A …………………………………12分∴△ABC 的面积101sin 21==A bc S ………………………………14分 17．解：由已知可得11cos 21115()sin 21(cos 22)222224x f x x x x +=⨯+=+即 15()sin(2)264f x x π=++. ……………………6分（1）对称中心为5(,)2124k ππ-，k Z ∈； ……………………8分当,6x k k Z ππ=+∈时max 7()4f x =； ……………………10分（2）由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 36k x k ππππ-≤≤+所以f （x ）的单调增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈. ……………………14分18．解：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，得112a =-；当2n =时，()2122113S a a a =+=-，得214a =，同理可得318a =-. …………………………………6分（2）当2n ≥时，()()1111111113333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，所以112n n a a -=-.故数列}{n a 是公比为12-的等比数列 ……………………10分又112a =-，∴12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………12分19．解：（1）),(y x BC =)2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA …2分// 则有0)4()2(=--⋅-+-⋅x y y x 化简得：02=+y x …………4分（2）)1,6(++=+=y x )3,2(--=+=y x 又⊥则 0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x 化简有：0152422=--++y x y x …………8分联立⎩⎨⎧=--++=+015240222y x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==12y x ……………10分 // ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当⎩⎨⎧=-=36y x )0,8()4,0(-==BD AC，此时1621==S ABCD ……………12分当⎩⎨⎧-==12y x )4,0()0,8(-==，此时1621=⋅=S ABCD ……………14分20．解：（1）∵{a n }为公比为q 的等比数列，a n+2＝12n na a ++（n ∈N *） ∴a n ·q 2＝2n n a q a +，即2q 2―q ―1＝0，解得q ＝－12或 q ＝1 ………6分（2）当a n ＝1时，b n ＝n ， S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝()12n n + ………8分当a n ＝112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭时，b n ＝n ·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭，S n ＝1＋2·（－12）＋3·212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋（n －1）·212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭＋n ·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭①－12 S n ＝（－12）＋2·212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋（n －1）·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭＋n 12n⎛⎫- ⎪⎝⎭②①—②得32 S n ＝1＋12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－n 12n⎛⎫- ⎪⎝⎭＝112112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭+－n ·12n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝22113322n nn ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ S n ＝4412199232n n n ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……14分。

高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)

cos
x

0

2

的部分图象如图所示，f
x0

f
0 ，
则正确的选项是（）
试卷第 2页，总 9页
A．

6
,
x0

1
C．

3
,
x0

1
B．

6
,
x0

4 3
D．

3
,
x0

2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ．．设 G 是 ABC 的重心，且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（）

CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2

上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数

2020高考数学专题测试《三角函数解三角形与平面向量和数列》含解析

《三角函数解三角形与平面向量和数列》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2π B．π C．π2 D ．4π答案 A解析 f (x )＝1－2sin 2x2＝cos x ，最小正周期T ＝2π，故选A ．2．已知sin θ<0，tan θ>0，则 1－sin 2θ 化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对答案 B解析由已知可判断出θ是第三象限角，所以1－sin 2θ＝|cos θ|＝－cos θ．故选B ．3．(2018·福建4月质检)已知向量AB →＝(1,1)，AC →＝(2,3)，则下列向量与BC →垂直的是( )A ．a ＝(3,6)B ．b ＝(8，－6)C ．c ＝(6,8)D ．d ＝(－6,3) 答案 D解析 BC →＝AC →－AB →＝(1,2)，因为(1,2)·(－6,3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故选D ． 4．(2018·长沙统考)已知a ，b 为单位向量，且a ⊥(a ＋2b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C解析由题意，a ·(a ＋2b )＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°．故选C ．5．(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案 B解析 ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C ＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B ．6．(2018·广东广州调研)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A ．911B ．511C ．311D ．211 答案 B解析因为N ，P ，B 三点共线，所以AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511．故选B ． 7．(2018·湖南长郡中学调研)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( )A ．2B ．3C ． 2D ． 3 答案 A解析由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理，得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2．故选A ．8．(2018·江西九校联考)已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23B ．13C ．35D ．23答案 B解析由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tanα2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13．9．(2018·东北三省四市二联)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在0，π2上的最小值为( )A ．32 B ．12 C ．－12 D ．－32答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin2x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，可得φ＝－π3，所以f (x )＝sin2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin －π3＝－32．故选D ． 10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．127 答案 A解析因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215，故选A ．11．(2018·河北石家庄一模)已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[2－1,1] 答案 A解析由题意不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)．则a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， |a ＋b －c |＝(1－cos θ)2＋(1－sin θ)2＝3－22sin θ＋π4，令t ＝3－22sin θ＋π4，则3－22≤t ≤3＋22，故|a ＋b －c |∈[2－1，2＋1]．12．(2018·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点π12，0对称D ．关于点5π12，0对称答案 C解析由题意T ＝2πω＝π，得ω＝2，把g (x )＝cos2x 的图象向右平移π3个单位长度得f (x )＝cos2x －π3＝cos2x －2π3＝sin π2－2x ＋2π3＝sin －2x ＋7π6＝sin2x －π6的图象，f π12＝0，f 5π12＝32，因此函数f (x )的图象关于点π12，0对称．故选C ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·合肥质检一)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．答案－12解析依题意，有|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×2cos〈a ，b 〉＋4＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝－12，则a 在b 方向上的投影等于|a |cos 〈a ，b 〉＝－12．14．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．答案 75° 解析由正弦定理得3sin60°＝6sin B ，∴sin B ＝22．又∵c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝75°．15．(2018·河北石家庄质检)已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB→＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．答案 14解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB →＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，即x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14．16．(2018·广州调研) 如图所示，某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 处和D 处，已知CD ＝6000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是________ m ．(结果保留根号)答案 100042解析在△ACD 中，∵∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°， ∴∠CAD ＝60°，由正弦定理可得AD sin45°＝CDsin60°，∴AD ＝6000×2232＝20006(m)．在△BCD 中，由正弦定理得BD sin30°＝CDsin135°，∴BD ＝12×600022＝30002(m)，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴AB ＝ (30002)2＋(20006)2＝100042(m)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55．(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010． (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α ＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310．18．(2018·浙江温州统考)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．列表如下：画出图象如图所示：(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．19．(2018·河南洛阳二模)(本小题满分12分)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π3，半径为42，若点C 是AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)．(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC 的长； (2)求四边形OACB 面积的最大值．解 (1)在△OBC 中，BC ＝4(3－1)，OB ＝OC ＝42，所以由余弦定理得cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝32，所以∠BOC ＝π6，于是BC 的长为π6×42＝22π3．(2)设∠AOC ＝θ，θ∈0，2π3，则∠BOC ＝2π3－θ，S 四边形OACB ＝S △AOC ＋S △BOC＝12×42×42sin θ＋12×42×42sin 2π3－θ＝24sin θ＋83cos θ＝163sin θ＋π6，由于θ∈0，2π3，所以θ＋π6∈π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB 的面积取得最大值163．20．(2018·河南濮阳三模)(本小题满分12分)△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，c ＝3．(1)求角A 的大小；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积．解 (1)因为2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，所以2R sin B sin B －2R sin A sin A ＝(b －c )sin C ，所以b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝60°．(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝19，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos120°，即19＝9＋BE 2－2×3×BE ×－12，解得BE ＝2(负值舍去)，所以AC ＝2．故S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC＝12×3×2×32＝332． 21．(2018·荆门调研)(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(－cos x ，3cos x )，f (x )＝m ·n －32． (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n －32＝－3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝－32sin2x ＋32(1＋cos2x )－32＝－32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6．当2x ＋5π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值3．(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6．而函数g (x )＝3sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，3π2上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6上单调递增．又g ⎝⎛⎭⎪⎫11π6＝－32，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝32．结合图象(如图)，所以方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根时，a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－3，－32．22．(2018·广东茂名二模)(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＝2sin C,2b ＝3c ．(1)求cos C ；(2)若∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且△ABC 的面积为3154，求BD 的长．解 (1)∵sin A ＝2sin C ，∴a ＝2c ．于是，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(2c )2＋32c 2－c 22×2c ×32c＝78．(2)由(1)知cos C ＝78，∴sin C ＝158．∵S △ABC ＝12·2c ·32c ·158＝3154，∴c 2＝4，c ＝2，则a ＝4，b ＝3． ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴a c ＝CD AD＝2，∴CD ＝2AD ．又CD ＋AD ＝3，∴CD ＝2，AD ＝1．在△BCD 中，由余弦定理可得BD 2＝42＋22－2×4×2×78＝6，∴BD＝6．专题测试二一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 答案 D解析由S 3＝6，知a 1＋d ＝2；由a 3＝0，知a 1＋2d ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝0，解得d ＝－2．故选D ．2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198 D ．297 答案 B解析由等差数列的性质得2a 6＝27－a 6，所以a 6＝9，又S 11＝11a 6＝99．故选B ． 3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝12，若a k ＝2－5，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．10 答案 D解析设该数列的公比为q ，则由等比数列的通项公式可得，q 3＝a 4a 1＝14，∴q ＝2－23，∴a k ＝a 1qk －1＝2·qk －1＝2－5，∴qk －1＝2－6，∴2(k －1)3＝6，∴k ＝10．4．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2018＝( ) A ．－1 B ．－12 C ．12 D ．1答案 B解析将x 1＝1代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 3＝1，所以数列{x n }的周期为2，故x 2018＝x 2＝－12．故选B ．5．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10＝S 4，则S 8a 9＝( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 A解析由a 10＝S 4得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0．所以S 8＝8a 1＋8×72d＝8a 1＋28d ＝36d ，所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d9d＝4．故选A ．6．(2018·甘肃天水检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．12n －1C ．23n －1D ．32n －1 答案 D解析因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝32n －1．故选D ．7．数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝( ) A ．－495 B ．765 C ．1080 D ．3105 答案 B解析由a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3可得a n ＝3n －63，则a 21＝0，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝765．故选B ．8．(2018·安徽淮南模拟)已知{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C ．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞) 答案 C解析 ∵{a n }是递增数列，∴∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，化简得λ>－(2n ＋1)，∴λ>－3．故选C ．9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0 D ．S 15>0 答案 C解析因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大，即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见A 错误；易知a 16<a 15<0，S 16＝S 15＋a 16<S 15，B 错误；S 15＝152(a 1＋a 15)＝15a 8<0，D 错误；S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7>0．故C正确．10．(2018·福建漳州调研)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )A ．一鹿、三分鹿之一B ．一鹿C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一答案 B解析由题意可知，五人按等差数列分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且a 1＝1＋23＝53，公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝5，解得d ＝－13，所以a 3＝a 1＋2d ＝53＋2×－13＝1，所以簪裹得一鹿，故选B ．11．(2018·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ．则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A ．n 24 B ．(n －1)24C ．n (n －1)4D ．n (n ＋1)4答案 C解析依题意可得新数列为n 2，n 4，n6，…，1n ×n 2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 2411×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝n 241－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 24·n －1n ＝n (n －1)4．故选C ． 12．(2018·河南六市第一次联考)若正项递增等比数列{a n }满足1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0(λ∈R )，则a 6＋λa 7的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．2D ．4 答案 D解析 ∵{a n }是正项递增的等比数列，∴a 1>0，q >1，由1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0，得1＋(a 2－a 4)＋λq (a 2－a 4)＝0，∴1＋λq ＝1a 4－a 2，∴a 6＋λa 7＝a 6(1＋λq )＝a 6a 4－a 2＝q 4q 2－1＝[(q 2－1)＋1]2q 2－1＝(q 2－1)＋2＋1q 2－1≥2(q 2－1)·1q 2－1＋2＝4(q 2－1>0)，当且仅当q ＝2时取等号，∴a 6＋λa 7的最小值为4．故选D ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________．答案152解析 S 4a 2＝a 1·1－q 41－q a 1q ＝1－q 4q (1－q )＝1－242×(1－2)＝152．14．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________．答案 6解析由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，得a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，所以S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6．15．(2018·江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考)若{a n }，{b n }满足a n b n＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前2018项和为________．答案10092020解析 ∵a n b n ＝1，且a n ＝n 2＋3n ＋2，∴b n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋2)(n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2，∴{b n }的前2018项和为12－13＋13－14＋14－15＋…＋12019－12020＝12－12020＝1010－12020＝10092020．16．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________．答案 2n ＋2＋n (n ＋1)－4解析由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1－2，又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n2－2，所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(2018·云南统测)(本小题满分10分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3，∴q ≠1．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝26，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝728.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.∴a n ＝2×3n －1．(2)证明：由(1)可得S n ＝2×(1－3n)1－3＝3n－1．∴S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1．∴S 2n ＋1－S n S n ＋2＝(3n ＋1－1)2－(3n－1)(3n ＋2－1)＝4×3n．18．(2018·南昌一模)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1．(1)求{a n }的通项公式； (2)记b n ＝log 216S n ＋1，求b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值．解 (1)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4，得 2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2．又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1．所以a n ＝2n －1．(2)由(1)知，S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，所以b n ＝log 216S n ＋1＝2log 224－n＝8－2n ，b n ＋1－b n ＝－2，b 1＝8－2＝6，所以数列{b n }是首项为6，公差为－2的等差数列，所以b 2＝4，b 3＝2，b 4＝0，当n >5时b n <0，所以当n ＝3或n ＝4时，b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值为12．19．(2018·湖南长沙模拟)(本小题满分12分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，S n ＝2－2a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)nlog 12a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解 (1)∵S n ＝2－2a n ＋1，a 1＝1， ∴当n ＝1时，S 1＝2－2a 2，得a 2＝1－S 12＝1－a 12＝12；当n ≥2时，S n －1＝2－2a n ，∴当n ≥2时，a n ＝2a n －2a n ＋1，即a n ＋1＝12a n ，2∴{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1．(2)由(1)知b n ＝(－1)n(n －1)， ∴T n ＝0＋1－2＋3－…＋(－1)n(n －1)，当n 为偶数时，T n ＝(－0＋1)＋(－2＋3)＋…＋[－(n －2)＋n －1]＝n2；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝n ＋12－n ＝1－n2， ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧1－n 2，n 为奇数，n2，n 为偶数.20．(2018·太原三模)(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1．(1)求证：数列1a n是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝12n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解 (1)证明：因为a n ＋1＝a n2a n ＋1，且可知a n ≠0，所以1a n ＋1－1a n＝2，所以数列1a n是等差数列．所以1a n ＝1a 1＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝12n ．(2)因为b n ＝2n 2n ＝n 2n －1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，则12S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，两式相减得 12S n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n22所以S n ＝4－n ＋22n －1．21．(2018·东北三校联考)(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n＋1－b n )(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5．(2)因为b n ＝2n，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1．当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n＋2n －1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2；当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2．由λa n >2n＋n ＋2λ，得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n2n ＋1．又n ＋12n ＋2－n2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取得最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞．22．(2018·河北唐山一模)(本小题满分12分)已知数列{a n }为单调递增数列，S n 为其前n 项和，2S n ＝a 2n ＋n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，证明：T n <12．解 (1)当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 21＋1，所以(a 1－1)2＝0，即a 1＝1，又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1．由2S n ＝a 2n ＋n 得2S n ＋1＝a 2n ＋1＋n ＋1，所以2S n ＋1－2S n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，则2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋1，所以a 2n ＝(a n ＋1－1)2．所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ．(2)证明：b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋22n ＋1·n ·(n ＋1)＝1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1，所以T n ＝11×21－12×22＋12×22－13×23＋…＋1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1＝12－1(n ＋1)·2n ＋1<12．。

平面向量解三角形数列习题及答案

富顺二中2015级高一下第十一周小练习姓名学号得分一、选择题1. ABC ∆中,若01,2,60a c B ===,则ABC ∆的面积为 BA12B 2C 12. 在ABC ∆中 ,D 是边AB 上的中点,记 ,BC BA ==a c ,则向量CD =CA 12--a c B 12-a c C 12-a +c D 12a +c 3.在等差数列{}()n a n *∈N 中,14a =,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为DA 31n a n =+B 3n a n =+C 31n a n =+或4n a =D 3n a n =+或4n a = 4.在数列{}n a 中,21-=a ,nnn a a a -+=+111,则2016a 等于 D A －2 B 31-C21D3 提示：通过计算出21-=a ,234511,,3,232a a a a =-===-知此数列为周期数列,周期为4,所以201643a a ==,选D5.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,若2:1:36=S S ,则=39:S S C A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3解：设6S t =,则32S t =,由于36396,,S S S S S --成等比数列可得 932S t =,则=39:S S 3:4选C6. 若 0x <,则423x x++的最大值是CA 2+B 2±2- D 以上都不对7.向量(0,1)=a ,1()2=-b ,1)2=-c ,(1,1)x y z ++=a b c ,则222x y z ++的最小值为 BA 1 B43 C 32D 2 二、填空题8．已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c ,则t =_____. 答案2解析1ta b (t )b b ⋅+-⋅＝0,得2t＋1－t ＝0,故t ＝2 9．若=-=+ααππα2tan ),2sin(3)6sin(则 .答案11-解析由已知,sinα＋12cosα＝3cosα；于是tanα＝52从而 tanα＝3；tan 2α232513===-10．若钝角ABC ∆的三边c b a ,,满足c b a <<,三内角的度数成等差数列,则2b ac的取值范围是．答案0,23解析由已知得3B π=,∴026A B A ππ+<⇒<<,22sin sin 4122sin sin()cos(2)(0,)sin 333333ac A C A A A b B ππ==+=-+∈ 三、解答题1．已知等差数列{}()n a n *∈N 的前n 项和为n S ,且满足642S =,5724a a +=.Ⅰ求数列{}n a 的通项n a ； Ⅱ求数列{}2nn a 的前n 项和n T .1．解：Ⅰ设等差数列{}n a 的公差为d ,因为,642S =,5724a a +=,所以 1165642221024a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得 12,2a d ==, 所以 2n a n =；Ⅱ 23111111246...2(1)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2341111111246...2(1)2222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得234111111112222...222222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111114444(2)()222nn n n T n n +-⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．在ABC ∆中,c b a ,,分别是角,,A B C 的对边,向量(cos(),sin())A B A B =--m ,(cos ,sin )B B =-n ,且 35⋅=-m n .Ⅰ求sin A 的值；Ⅱ若5a b ==,求角B 的大小及向量AB 在BC 方向上的投影．解：Ⅰ由 35=-⋅m n ,得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-,得 3cos 5A =-；又0A π<<,所以4sin 5A ==Ⅱ由正弦定理得sin sin a b A B =,得sin 2B =,得4B π=；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,即2223525()5c c =+-⨯⨯⨯-, 解得1C =或7C =-舍去； AB 在 BC 方向上的投影值为cos 2AB BC c B BC⋅=-=-．富顺二中2015级高一下第十一周周末练习姓名学号得分一、选择题1.等比数列{}n a 中,4021=+a a ,6043=+a a ,=+87a a A A ．135 B ．100 C ．95 D ．80 答案A解析由等比数列性质,可知a 1＋a 2,a 3＋a 4,a 5＋a 6,a 7＋a 8仍然成等比数列公比为q ＝3412603402a a a a +==+,所以a 7＋a 8＝40×332⎛⎫⎪⎝⎭＝135.故选A 2.已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2,则)(x f 是 D A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数答案D解析fx ＝1＋cos 2x12122cos x -=1－cos 22x ＝12sin 22x ＝144cos x- f －x ＝fx ,fx 是偶函数；周期为T ＝242ππ=.选D3.在ABC ∆中,A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且cos 3cos cos b C a B c B =-,2BA BC ⋅=,则ABC ∆的面积为 CAB ．32C． D．3.解：由正弦定理得1cos 3cos cos cos sin 3b C a B c B B B =-⇒=⇒=126sin 2ABC BA BC AB BC S AB BC B ∆∴⋅=⇒⨯=⇒=⨯⨯=选 C 4.设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =,若a k 是a 1与a 2k 的等比中项,则k ＝ D A. 2 B. 6 C. 8 D. 4 答案D解析由题意,a k 2＝a 1a 2k ,即a 1＋k －1d 2＝a 1a 1＋2k －1d 亦即k ＋82d 2＝9d 2k ＋8d因为d ≠0,故k ＋82＝18k ＋72 解得k ＝4或k ＝－2舍去.故选D5.在ABC ∆中,若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++,则ABC ∆的形状一定是 BA ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不含60︒角的等腰三角形答案B解析在△ABC 中,A ＋B ＋C ＝π故cosB ＋C ＝－cosA ,sinA ＋C ＝sinB于是已知条件变为sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosAsinB 即sinAcosB ＋cosAsinB ＝1即sinA ＋B ＝1 得 sinC ＝1 得C ＝2π 6.数列{}n a 的通项公式1cos 42n n a π=+)(*∈N n ,其前n 项和为S n ,则S 2012等于 C 答案C 解析记b n ＝cos2n π,则b 1＝0,b 2＝－1,b 3＝0,b 4＝1,b 5＝0,b 6＝－1,……,这是一个以4位周期的周期数列,且每相邻4项之和为0,于是{b n }的前2012项之和为0 a n ＝14＋b n ,于是S 2012＝14×2012＝502.选C 7.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c ,满足22()4,60,a b c C ab +-==且则的值DA 1B 8-23 D 438.已知ABC ∆三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若,,a b c 成等比数列,且2c a =,则cos B = CA14 C 349.已知函数[]),(cos 23sin 21)(b a x x x x f ∈-=的值域为1[,1]2-,设b a -的最大值为M ,最小值为m ,则m M +＝ C A ．2π B ．π C ．2π D ．103π 答案C 解析fx ＝sinx ＋3π,要使得fx 的值域为－12,1,结合图象可知,定义域长度b －a 的最大值为M＝43π比如766,ππ-,最小为m ＝23π比如62,ππ-,所以M ＋m ＝2π.选C 10.已知方程()()22220x mx xnx -+-+=的四个根组成一个首项为12的等比数列,则m n -= BA ．1B ．32C ．52D ．9210.解：不妨设12是方程22x mx -+＝0的一个根,则另一根为4,所以92m =,设方程220x nx -+=的两根为12,x x ,由于122x x ⋅=,所以四个根组成一个首项为12的等比数列为121,,,42x x ,由此121,23x x n ==⇒=,则m n -=32,选B11. 已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若()0a f a ⋅->,则实数a 的取值范围是 AA (1,0)(0,1)-B (,1)(1,)-∞-+∞C (1,0)(1,)-+∞ D (,1)(0,1)-∞-12.设,n n A B 是等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,若7453n n A n B n +=+,则使得nn b a 为整数的正整数n 的个数是 D .A ． 2B ．3C ．4D ．5答案D解析因为{a n },{b n }都是等差数列,由等差中项性质,有2121721457192131n n-n n-a A (n -)n b B (n -)n ++===++ 由题意,得7191n n ++为整数,即7＋121n +为整数又n 为正整数,于是n ＋1是12的约数,可取的值为1,2,3,5,11共5个.选D 二、填空题13.设n S 是等差数列{}()n a n *∈N 的前n 项和,且141,7a a ==,则5S =______25______．14.0cos 20cos 40cos80⋅⋅=___________ 答案18解析00002sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20⋅⋅⋅⋅⋅=000000000sin 40cos 40cos80sin80cos80sin16012sin 204sin 208sin 208⋅⋅⋅====15. 已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是 4 .2228)2(82⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ,整理得()()0322422≥-+++y x y x即()()08242≥++-+y x y x ,又02>+y x ,42≥+∴y x 16.已知一非零“向量数列”{}n a 满足：1,11111(1,1),()(,)(2,)2n n n n n n n a a x y y y n n x x ----*===-+≥∈N .给出下列四个结论：①数列{}n a 是等差数列； ②1512a a ⋅=； ③设22log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,当且仅当2n =时,n T 取得最大值； ④记向量1n n a a -与的夹角为(2)n n θ≥,则均有4n πθ=.其中所有正确结论的序号是 ②④ . 三、解答题17．本小题满分12分设1,1x y ≥≥证明111x y xy xy x y++≤++. 证明：I 由于1,1≥≥y x ,所以,)(1)(1112xy x y y x xy xy y x xy y x ++≤++⇔++≤++将上式中的右式减左式,得,0)1)(1)(1(,1,1).1)(1)(1()1)(1()1)(()1)(1())()(()1)(()1)(())((22≥---≥≥---=+---=-+--+=+-+--=++-++y x xy y x y x xy y x xy xy xy y x xy xy y x y x xy xy y x xy xy x y 所以即然18. 本小题满分12分已知在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且向量(,)a b =m 与(sin ,3)B A =n 垂直.1求角A 的大小；2若,c a c b >>,求bc的取值范围； 3若5,2a b ==,求ABC ∆的面积.解析由已知得sin 3cos 0sin sin 3cos 0a B b A A B B A =⇒=,由于sin 0B ≠,tan 3A ∴=10A π<<,3A π∴=2,c a c b >>,033A CB ππ=⇒>>>,sin sin sin sin()3tan b B B c C A B B===++0tan 3,(0,1)bB c<<∴∈33,25,2,sin sin sin sin 325a b a b A B A A B π====⇒=< 170,cos 25B A B ∴<<∴=,513sin sin()17145C A B c +=+=⇒= 1513sin 22S bc A ∴==19 本小题满分12分如右图所示,在ABC ∆中,36,4AB B π==,D 是BC 边上一点,且3ADB π∠=.Ⅰ求BD 的长；Ⅱ若10CD =,求AC 的长及ADC ∆的面积. 解：Ⅰ在ABD ∆中,由,736sin 12sin sin3AB BADBD ADBππ∠==∠333BD ∴= ……4分Ⅱ36sin 4sin sin3AB BAD ADBππ==∠6AD ∴=在ACD ∆中,由余弦定理得:AC 14= ……………8分1sin 2ACD AD S DC ADC ∆∴=⋅∠161022=⨯⨯⨯= ……………12分20. 本小题满分12分已知函数2()2cos ()214f x x x π=-+,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,1求()f x 的最大值和最小值;2若对任意实数x ,不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立,求实数m 的取值范围.解析I2()2cos ()21cos(2)2242f x x x x x ππ=-+=-+…1分sin 2222sin(2)23x x x π=+=-+ …3分2,(2),42363x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …4分所以当236x ππ-=,即4x π=时,min ()3f x = …5分所以当232x ππ-=,即512x π=时,max ()4f x = …6分II()2f x m -<2()2m f x m ⇔-<<+ …8分因为对任意实数x ,不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立2()2f x m ∴-<-< 即2()2()m f x m f x -<⎧⎨+>⎩ 恒成立所以min max 2()2()m f x m f x -<⎧⎨+>⎩…10分故m 的取值范围为()2,5 ……12分21．本小题满分12分提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况;在一般情况下,大桥上的车流速度v 单位：千米/小时是车流密度x 单位：辆/千米的函数;当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明；当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数． Ⅰ当0200x ≤≤时,求函数()v x 的表达式;Ⅱ当车流密度x 为多大时,车流量单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/每小时()()f x x v x =⋅可以达到最大,并求出最大值精确到1辆/小时解：Ⅰ由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设再由已知得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得 60,020,()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩故函数()f x 的表达式为60,020,()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩Ⅱ依题意并由Ⅰ可得当020,()x f x ≤≤时为增函数,故当20x =时,其最大值为60×20=1200；当20200x ≤≤时,211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤= 当且仅当200x x =-,即100x =时,等号成立;所以,当100,()x f x =时在区间20,200上取得最大值10000.3综上,当100x =时,()f x 在区间0,200上取得最大值1000033333≈;22.本小题满分12分已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211122n S n n =+.数列{}n b 满足2120()n n n b b b n ++*-+=∈N ,且311b =,1239153b b b b +++⋅⋅⋅+=.Ⅰ求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； Ⅱ设3(211)(21)n n n c a b =--,数列{}n c 的前n 项和为n T ,求使不等式57n kT >对一切n *∈N 都成立的最大正整数k 的值.解：Ⅰ当1n =时, 116a S ==；当2n ≥时, 221111111()[(1)(1)]52222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+. 而16a =满足上式;∴5()n a n n =+*∈N .又2120n n n b b b ++-+=即211n n n n b b b b +++-=-,{}n b ∴是等差数列.设公差为d . 又311b =,129153b b b +++= 11211936153b d b d +=⎧∴⎨+=⎩解得15,3b d ==. ∴32n b n =+ Ⅱ31111()(211)(21)(21)(21)22121n n n c a b n n n n ===----+-+12111111[(1)()++()]2335212121n n nT c c c n n n ∴=+++=-+--=-++ 11102321(23)(21)n n n n T T n n n n ++-=-=>++++ n T ∴单调递增,min 11()3n T T ==.令1357k>,得19k <max 18k ∴=.8.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且1a ,3a ,13a 成等比数列,若11a =,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2163n n S a ++的最小值为A ．4B ．3C ．232-D ．92答案A解析由1a ,3a ,13a 成等比数列得22231131111(2)(12)48a a a a d a a d d a d =⇒+=+⇒=,因为0d ≠,因此2122,,21,n n d a S n a n ====-从而2216899(1)22(1)243111n n S n n n a n n n ++==++-≥+⨯-=++++,当且仅当2n =时取等号,所以选A .考点：等差数列与等比数列综合,基本不等式求最值10.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +A ,ω,ϕ均为正的常数的最小正周期为π,当23x π=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是A ()()()220f f f <-<B ()()()022f f f <<- C()()()202f f f -<<D ()()()202f f f <<- 10.解：由图象可知()f x 在区间2[,]63ππ上是减函数,6x π=是一条对称轴,(0)(),(2)(2)3f f f f ππ=-=-,2,2,2[,]363ππππ-∈,且223ππ<-<,所以()(2)(2)3f f f ππ>->,即(0)(2)(2)f f f >->,选A13.解：{,,}2a bab ab +- 14.解：若4c <,则2223474340c c c +>⎧⇒<<⎨+->⎩；若4c ≥,则2224345340c c c <+⎧⇒≤<⎨+->⎩,所以c 的范围是(7,5) 15.解：13CE =,17cos 513α=,17cos ,513CE BC <>=-,向量CE在BC 方向上的投影为175-16.解:函数23sin(),6y x π=+的递增区间为2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈,在[0,]2π上的增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦13.若,a b 是两个不相等的正实数,则它们的等差中项和等比中项组成的集合为________ 14.锐角△ABC 中,如果3,4==b a 那么c 的范围是_____________.15.在△ABC 中,E 是AB 的中点,AB=4,AC=3,BC=5,则向量CE 在BC 方向上的投影为_________16.函数3sin 3cos y x x =+[0,]2x π∈的单调递增区间是．例5．设0,0x y ≥≥, 2212y x +=,则21x y +的最大值为 423∵x≥0, y≥0, x 2+22y=1∴21x y +=22(1)x y +=22122y x +≤222122y x ++=2221222y x ++=423 当且仅当x=23,y=22即x 2= 212y +时, 21x y +取得最大值42353αEBC。

三角函数和向量测试试卷(含答案)

三角函数和向量测试试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．02120sin 等于（） A ．23±B ．23C ．23- D ．212．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）A ．34B ．34-C ．34±D ．3 3．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12 C．2- D．24．若,24παπ<<则（）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ．αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（）A ．52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （）A ．7B ．10C ．13D ．49．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（） A .1925 B .1625 C .1425 D .72510．向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于A ．2-B ．2C ．21D ．12-11．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0 12.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上13．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________。

三角函数向量解三角形练习题50套带答案

第四章三角函数练习一角的的概念的推广(一)要点1．正角、负角和零角：规定，一条射线绕它的端点按逆时针方向旋转形成的角为正角.按顺时针方向旋转形成的角为负角.射线没有旋转,形成零角.2．象限角:在平面直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的终边在x轴的非负半轴上,角的终边落在第几象限内,就称这个角是第几象限角.3. 轴上角:当角的终边落在坐标轴上时,就称之为轴上角,它不属于任何象限.同步练习1.给出命题:①－880是第四象限角;②2560是第三象限角;③4800是第二象限角;④－3000是第一象限角.其中正确的有别( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.有下列四个角:⑴－2100,⑵－1900,⑶－6300,⑷12300其中第二象限的角为( )(A)⑴⑷(B)⑴⑶⑷(C)⑴⑵⑷(D)⑴⑵⑶⑷3.下列各组的两个角中,终边不重合的一组是( )(A) －210与6990(B) 1800与－5400(C) 900与9900(D) 1500与69004.时针的分针经过期2小时40分钟,它所转过的角是______度,这个角是第____象限角.5.在00～3600范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角或哪个轴上的角.⑴6900; ⑵5400; ⑶－2000; ⑷－4500.6.在平面直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角.⑴－3300; ⑵－18300; ⑶－6300; ⑷9900.7.在[－1800, 12600]内,写出与1800角终边相同的所有角.练习二角的概念的推广（二）要点1．与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+k ·3600,k ∈Z}.2．第一象限角、锐角和小于900的角的区别与联系.1.下列命题中,正确的是 ( )(A)第一象限角必是锐角 (B)终边相同的角必相等(C)相等的角终边位置必相同 (D)不相等的角终边位置必不相同2. 以下四个命题:⑴小于900的角为锐角 ; ⑵钝角是第二象限角; ⑶第一象限角不一定是负角;⑷第二象限角必大于第一象限角.其中正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C) 3 (D)43. 角α的终边上一点的坐标是(2,－2),则角α的集合是________________.4. 与－20050终边相同且绝对值最小的角是________________.5. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－3600≤α≤3600的元素α写出来.⑴ 600; ⑵ －834030/.6.写出下列角的集合:⑴终边在y 轴负半轴上的角;⑵终边在坐标轴上的角;⑶终边在第二、第四象限角平分线上的角;⑷终边在第三象限的角;⑸终边在第四象限的角. [思考与研究]若α是第一象限角,试确定2α、2α、3α所在的象限.练习三弧度制 (一)要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π6. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin17. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.8. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.练习五任意角的三角函数 (一)要点1. 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.三角函数的定义域:sin α,cos α的定义域都是R,tan α的定义域是{α|α≠k π＋2π, k ∈Z}. 2. 三角函数值在各个象限的符号:第一象限全正,第二象限只有正弦正,第三象限只有正切正,第四象限只有余弦正. 同步练习1.当α为第二象限角时ααsin |sin |－|cos |cos αα的值是 ( ) (A)－2 (B)0 (C)－1 (D)22.设角α的终边过点P(－3α,－4α),(α≠0),则sin α－cos α的值是 ( ) (A)51 (B)－ 51 (C)－ 51或－57 (D) －51或51 3.在三角形ABC 中,若cosA ·tanB ·cotC<0,则这个三角形的的形状是_____. 4.设θ为第二象限角,其终边上一点为P(m,5),且cos α,则α的值为_______. 5.已知β的终边经过点P(m,－3)(m ≠0),且cos β=2m,求sin β,tan β的值.6.求cos 3π－tan 45π＋43tan 26π＋sin 611π＋cos 267π－sin 23π的值.7.求函数y=xxsin 1tan +的定义域.练习六任意角的三角函数(二)要点1. 终边相同角的同名三角函数值相等(公式一),利用这组公式可以将任意角的三角函数值化为00～3600(或0～2π)间的角的三角函数值. 2. 三角函数线都是有向线段、线段的方向表示三角函数值的正负,线段的长度表示三角函数值的绝对值.书写三角函数线时,要注意起点与与终点的次序. 同步练习 1.sin637π的值等于 ( ) (A)21 (B)23 (C)－ 21(D) －232.设α、β是第二象限角,若sin α>sin β,则 ( )(A)tan α>tan β (B)cos α<cot β (C)cos α>cos β (D)sec α>sec β 3. 在下列各题中的_____处,填上适当的符号(>,=,<). ⑴sin1560·cos(－4400)_____0; ⑵cot(－817π)·sin(－34π)_______0;⑶5.1tan 4sin ____0;⑷sin320π·tan(－417π)·cos 27π______0. 4. 已知α∈(－π,π),且cos α>－23,则角α的取值范围是________. 5. 计算:(1) m 2sin(－6300)+n 2tan(－3150)－2mncos(－7200);(2) sin(－623π)+cos 713πtan4π－cos 313π.6. 在单位圆中,用阴影线表示满足条件的θ的终边的范围: (1)tan θ≥1 (2)cos θ＜21 (3)－21<sin θ≤237. 设0<α<2π,利用单位圆中的三角函数线证明:sin α+cos α>1练习七同角三角函数的基本关系式(一)要点同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,ααcos sin =tan α,tan α·cot α=1.(1)公式中应注意“同角”二字,如sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)注意α的范围,第二个关系式中α≠k π＋2π(k ∈Z),第三个关系式中α≠2πk (k ∈Z).(3)对公式的的使用要做到顺用、逆用、变用、活用.同步练习1.下列各式正确的是 ( ) (A)sin 2300＋cos 2600=1 (B)sin23π/cos 23π=tan 23π (C)tan2π·cot2π=1 (D)sin 220050+cos 220050=12.下列各式能成立的是 ( ) (A)sin α=cos α=21 (B)cos α=21且tan α=2 (C)sin α=21且tan α=33 (D)tan α=2且cot α=－213. 已知cos θ=31,,则1+tan 4θ=______. 4. 已知sin α+ sin 2α=1则cos 2α+cos 4α的值等于_________. 5. 已知sin α=－53,α是第四象限角,求cos α、tan α的值.6. 已知cot α=－3,求sin α、cos α的值.7. 已知cos α=m(|m|≤1),求tan α和sin α.练习八同角三角函数的基本关系式(二)要点1. 化简三角函数式的一般要求是(1)能求出函数值的要求出函数值,函数种类尽可能的少;(2)要使化简后的式子项数最少,次数最低;(3)尽量化去含有根式的式子,尽可能的不含分母.2. 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,一般由繁到简,可采用:①左边⇒右边 ②右边⇒左边③左边－右边=0④分别从左右两边推出相同的结果. 同步练习1.化简02100sin 1-等于 ( )2.若tan α=a,且sin α=21aa +,则α是 ( )(A) 第一、二象限角 (B)第一、三象限角 (C)第一、四象限角 (D)第二、三象限角3. 化简sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=____________4. 若tanx=3则xx22cos 1sin +的值是___________ 5. 化简下列各式: (1) ααcos 1cos 1-+-ααcos 1cos 1+-,其中α为第二象限角;(2)αααα2222tan sin tan sin -.6. 证明下列恒等式(1) cos α(αcos 2+tan α) (αcos 1-2tan α)=2cos α-3tan α (2) x x x x 2sin 2cos 2cos 2sin 2122--=xx2tan 12tan 1+-练习九正余弦的诱导公式(一)要点1.公式二:sin(1800+α)=-sin α,cos(1800+α)=-cos α. 公式三: sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α.2. 公式中的α是任意角,但在记忆时,可把α看作锐角,从而1800+α可看作第三象限角, -α可看作第四象限角. 同步练习1.下列等式中,恒成立的是 ( )(A) sin(1800+2000)=sin2000(B)cos(-α)=-cos α(C) cos(1800+2000)=-cos2000(D)sin(-α)=sin α 2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是 ( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3. 计算sin34πcos(-6π)tan(-45π)=_________.4. 化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=_____5. 求下列各三角函数值:(1) sin(-13200) (2) tan9450(3)cos655π(4)cot(-322π)6.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ; (2)若sin(π+α)= 41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ-)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++--值;(3) 已知sin(3π-α)= 31;求sin(6π+α),sin(310π-α)的值.7. 化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++练习十正余弦的诱导公式(二)要点1.公式四: sin(1800-α)=sin α,cos(1800-α)=-cos α.公式五sin(3600-α)=-sin α,cos(3600-α)=cos α.2.记忆公式时, 1800-α可看作第二象限角, 3600-α可看作第四象限角同步练习 1.sin(-619π)的值是 ( ) (A)21 (B) -21(C)23 (D) -232.已知cos(π-x)=-21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于 ( ) (A)21(B)± 23 (C)23 (D) -233.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______. 4. 已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________.5. 求值0200170cos 110cos 10cos 10sin 21---6. 已知cos(π-α)=-21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)7. 已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值数学家陈景润陈景润（1933~1996），中国数学家、中国科学院院士。

三角函数、向量、解三角形、数列练习题

《三角函数》练习题1.在0360 到内，与2120 角终边相同的角是 .2.若tan 2α=，则22222sin cos sin 2cos αααα-=+ .3.已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+= .4.不等式[]cos 0,0,2x x π<∈的解集为 .5.函数3tan()6y x πω=+的周期为2π，则ω= .6.函数2sin(4)4y x π=-的图像向左平移3π个单位所得图像的解析式为 .7.cos81cos 21sin81cos69+= .8.已知tan 2,tan 3αβ==,且,αβ是锐角，则αβ+= .9.已知1sin cos ,3αα+=则sin 2α= .10.函数()sin cos f x x x =-的最大值为 .11.（1）若12sin(),cos(2)633ππαα-=+求.（2）若2(0,),sin cos ,cos 222πθθθθ∈-=求.12.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；（2）求函数()f x 的单调递增区间.13.已知函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,),()2,22f πααα∈=求的值.《平面向量》练习题1.△ABC 中，D 在BC 上，且=2BD DC ，把AC 表成AB AD和的线性组合 .2.等边△ABC 中，AB BC与的夹角为 .3.已知向量12e e与不共线，若1212ke e e ke k ++= 和共线，则 .4.已知13(1,1),(1,1),22a b a b ==--=则 .5.已知4,6,,60,a b a b a b ==<>=则在方向上的投影为 .6.若(4,2),(6,),a b m a b ==⊥且，则m 的值为 .7.已知(1,2),(2,1),22a b a b a b =-=--++则与的夹角的余弦值为 .8.已知,120,a b <>=1,3a b == ，则5-a b = .9.与(1,2)a =-垂直的单位向量b = . 10.已知(4,3),a =1,b = 且=5a b ⋅ ，则b = .11.已知(1,2),(,1)a b x ==.（1）若(2)(2)a b a b +-∥，求x 的值；（2）若(2)(2)a b a b +⊥-，求x 的值.12.已知(sin ,1cos ),(1,0),3m B B n π=-= 且与向量的夹角为其中,,A B C 是△ABC 的内角，求角B 的大小.13.已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===-.（1）求b c +的最大值；（2）设,(),cos 4a b c παβ=⊥+ 且求的值.《解三角形》练习题1.一个三角形的两内角分别为4560 和，如果45 角所对的边长为6，那么60 角所对的边长为 .2.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状为 . 3.在△ABC 中，若4,2,120b a C === ，则c = . 4.在△ABC 中，4,6,62,=ABC a b S C ===△则角 . 5.在△ABC 中，222,a c b ab -+=则=C 角 . 6.在△ABC 中，:1:2,:1:3,=A B a b A ==则 .7.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60 ，另两边之比为8:5，则这个三角形的面积为 .8.在△ABC 中，sin :sin :sin 4:3:2,cos A B C C ==那么 . 9.在△ABC 中，2,3,4,ABC a b c S ====△则 .10.在△ABC 中，60,A = 且最大边长与最小边长是方程2327320x x -+=的两实根，那么BC = .11.在锐角△ABC 中，32sin 0a b A -=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5,,7,cos a c a c b A +=>=且求.12.在△ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin(2)4A π-的值.13. 在△ABC 中，已知3cos()16cos cos B C B C --=. （Ⅰ）求cos A ；（Ⅱ）若3,a =△ABC 的面积为22，求,b c .《数列》练习题1.已知数列{}n a 的通项公式为11(1),2n n a +--=则该数列的前四项依次为 . 2.等差数列1,1,3,,89--- 的项数是 .3.等差数列{}n a 中，若1472589,0,a a a a a a ++=++=则369a a a ++= .4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45812,a a S =-=则 .5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若111,2,23,k k a d S S k +==-==则 .6.已知数列{}n a 满足231n S n n =-+，则{}n a 的通项公式为n a = .7.等差数列{}n a 中，39156a a a ++=-，则17S = .8.等差数列{}n a 中，3930,210,S S ==则6S = .9.等差数列{}n a 中，132013242012a a a a a a ++=++ .10.若三个数成等差数列，且这三个数的和为9，平方和为59，则这三个数按从小到大的顺序排列为 .11.已知数列{}n a 为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式. （Ⅰ）598070,112a a ==.（Ⅱ）前三项分别为1,23,25a a a +--.12.设数列{}n a 满足11220,111n na a a +=-=++且,求{}n a 的通项公式.13.设数列{}n a 满足210,n S n n n N +=-+∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当n S 取得最大值时，求序号n 的值.。