7.4 状态反馈及极点配置

这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等。 通过使s的同次幂系数相等，可得
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极点配置定理_充分性
a0 k0 a0
a1 k1 a1
an 1 kn 1 an 1 求解上述方程组，得到 ki
的值，则
K KP 1 [k 0 k1
[ a0 a0 a1 a1
x Ax Bu 考虑线性定常系统 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。 定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
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极点配置定理_充分性
1. 充分性。 如果线性系统 x Ax Bu 状态完全可控，一定存 在非奇异变换，使其变换为可控标准形。定义非奇异线性变换 矩阵P为P=QW，其中Q为可控性矩阵，
Q [B
a1 a2 W an1 1
AB
a2 a3 1 0
An1B]
x(t ) ( A BK ) x(t ) Br
由此可见，系统的响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征 值决定。如果矩阵K选取适当，则可使矩阵A-BK构成一个渐 近稳定矩阵。矩阵A-BK的特征值即为闭环系统的极点。
这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称为 极点配置问题。
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可配置条件_极点配置定理
相应的特征方程为 sI Ac Bc K 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。 s 1 0 0 s 0 sI Ac Bc K
a0 k0 a1 k1 s n (an1 kn1 ) s n1 s an1 kn1 (a1 k1 ) s (a0 k0 ) 0
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。 ◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
n 1 （s 1（ ) s 2 ) （s n ) s n an s 1 a1 s a0
u r Kx
式中K∈R1×n为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。 下图分别给出了开环控制系统和具有状态反馈的系统的结构图。
r + u B +
x
+
I s
x
C
y
A k
(a) 开环控制系统
(b) 闭环反馈控制系统
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问题的提法
将控制 u r Kx 代入系统 x Ax Bu ，得到
kn1 ]P 1
1 an a ] P 1 n 1
如果系统是状态完全可控的，则通过对应于上式所选取的矩阵K，可任意 配置所有的特征值。 充分性得证。
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极点配置定理_必要性
即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。 现利用反证法证明。 先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK 的特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设原线性系统 x Ax Bu 状态不可控，则其可控性矩阵的 秩小于n，即
0 1 an1 0
0 0 1 Bc P B 0 1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
极点配置定理_充分性
设 K KP [k 0 k1 kn 1 ] 由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bc r
rank[ B AB An1 B ] q n
则必有状态变量与控制u无关，因此，不可能实现全状态反馈， 则不可控子系统的特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置 矩阵A-BK的特征值，此时系统必须是状态完全可控的。 必要性得证。
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极点配置的算法
Ax Bu ，若线性反馈控制律为 u r Kx 给定线性定常系统 x ，则可 由下列步骤确定线性反馈矩阵K，使A-BK的特征值为μ1 , μ2 ,… μn，即闭环系统 的期望极点值(如果 μi是复数特征值，则其共轭必定也是A-BK的特征值)。 ◆考察系统的可控性条件。如果系统是状态完全可控的，则可按下列步骤继续。 ◆计算系统矩阵A的特征多项式，确定 a1 , a2 ,, an 的值。 det( sI A) sI A s n an 1s n 1 a1s a0
0 0 1 Ac P AP 0 a0
x Ac x Bcu
1 0 0 a1
0 1 0 a2
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值为 1 , 2 , , n ，则 期望的特征方程为
( s 1 )( s 2 )
* n 1 * * ( s n ) s n an s ... a s a 1 1 0 0
an1 1 0 0 1 0 0 0
式中ai为特征多项式的系数：
sI A s n an 1s n 1
a1s a0
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极点配置定理_充分性
定义一个新的状态向量 x Px 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的），则矩 阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 x Ax Bu 改写为
线性定常系统的状态反馈和极点配置
状态反馈与极点配置
问题的提法 可配置条件(极点配置定理) 极点配置的算法
输出反馈与极点配置
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问题的提法
给定单输入单输出线性定常被控系统
x Ax Bu
选取线性反馈控制律为
x(t ) R n , u(t ) R1 , A R nn , B R n1