含有导函数的不等式如何构造原函数 耿 9

含有导函数的不等式如何构造原函数耿9.30

下面的例子精选出来，希望同学们认真练习，熟悉各种情况下原函数是如何构造。

题型一：通过观察导函数结构去构造原函数的基本题型

例1.设、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当时，

()()()()0f x g x f x g x ''+>，且，则不等式0的解集是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

例2.定义在R 上的奇函数()y f x =满足(3)0f =，且不等式()'()f x xf x >-在(0,)+∞上恒成立，则函数()()lg |1|g x xf x x =++的零点的个数为（ ）B

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

例 3.已知定义域为{|0}x x ≠的偶函数()f x ，其导函数为'()f x ，对任意正实数x 满足

'()2()xf x f x >-，则2

1()(1)x f x f x x -⎛⎫<- ⎪⎝⎭

不等式的解集是（ ）

A ．1(,)2+∞

B ．1(,)2-∞

C ．1(,0)(0,)2-∞

D ．1(0,)2

例4.定义在(0,

)2

π

上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有'()()tan f x f x x >⋅成

立．则（ ）

()()63f ππ< B ．)1

(1cos 2)6

(3f f ⋅>⋅π

C ()2()64f ππ>

D ()()43

f ππ

>

例5.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x '满足

()()

01

f x f x x '->-，

22(2)()x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（ ） B

A ．(1)(0)f f <

B ．3

(3)(0)f e f >⋅ B ． C ．(2)(0)f e f >⋅ D ．4(4)(0)f e f <⋅

()f x ()g x 0x <(3)0g -=()f x ()g x <(,3)(0,3)-∞-(3,0)(3,)-+∞(,3)(3,)-∞-+∞(3,0)(0,3)-

例6.定义域为R 的可导函数y=f(x)的导函数为f ′(x)，满足f(x)＞f ′(x)且f(0)=1，则不等式

＜1的解为（ ）

A ．(﹣∞, 0)

B ．(0, +∞) B ．

C ．(﹣∞, 2)

D ．(2, +∞)

例7.若定义在上的函数

满足

则不等式

（为自然对数的底数）的解集为（ ）

例8.已知函数()()y f x x R =∈的图像过点(1,0)，'()f x 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，若0x >，'()1xf x >下恒成立，则不等式()ln f x x ≤的解集为（ ）B

A ．1(0,]e

B ．(0,1] B ．

C ．(0,]e

D ．(1,]e

例9．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x '>-，()04f =，则不等式

()ln31x f x e ->+的解集为（ ）A

A ．()0,+∞

B ．1,2⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

B ．

C ．()1,+∞

D ．(),e +∞

例10.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)1f -=-，且当0x >时， 有'()()xf x f x >，则不等式()f x x >的解集是（ ）C A ．(1,)+∞ B ．(1,0)- C ．(1,0)

(1,)-+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞

R

例11.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()2().f x f x '>且1()2

f e =，则不等式2(ln )f x x <（为自然对数的底数）的解集为（ ） 11．已知函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1ln ln 21f x f f x ⎛⎫

+< ⎪⎝⎭

的解集为（ ）

A ．(),e +∞

B ．()0,e

C ．()10,1,e e ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

D ．1,e e ⎛⎫

⎪⎝⎭

12．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当x ＞0时，

()()0xf x f x -'＜，则使得()0f x ＞成立的x 的取值范围是（ ）

A ．()

,1()0,1--∞ B ．()

()

1,01,∞-+ C ．(),110),(--∞-

D ．()()0,11,+∞

11

．

已

知

函

数

()sin 3

f x x x π=+-，则

12340292015201520152015f f f f ⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

的值为（ ）

A ．4029

B ．4029-

C ．8058

D ．8058-

12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()2

2f x f x x +-=，

当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．1

2

- B ．1-

C ．32

-

D ．2-