几种常用的连续型分布
几种常用的连续型分布
在统计学中，有许多常用的连续型分布可以用来描述随机变量和概率密度函 数。这些分布具有不同的特征和应用场景。
正态分布
正态分布是最常见的连续概率分布之一，在自然界和社会科学中广泛应用。 它以钟形曲线为特征，对称且准确描述了许多随机现象。比如人的身高、体 重、考试成绩等。
柏松分布
柏松分布描述离散事件在一定时间或空间内发生的次数的概率。例如，在给 定时间段内接到的电话数量等。
伽玛分布
伽玛分布用于描述连续事件中时间间隔发生的概率。例如，等最大或最小范围之间的连续随机变量的概率。它常用于 统计学、机器学习和贝叶斯推理等领域。
指数分布
指数分布用于描述连续事件之间的时间间隔。它在可靠性工程、队列论和金 融领域中具有重要应用。
二项分布
二项分布描述成功和失败的次数的概率。它适用于具有两个可能结果的独立 试验，例如硬币投掷和产品合格率等。
均匀分布
均匀分布的特点是概率密度函数在一个范围内保持恒定。它用于描述连续随 机变量的可能取值范围是完全随机的情况。
数据的基本分布类型
数据的基本分布类型数据的基本分布类型是统计学中常用的概念，用于描述数据的分布特征。
根据数据的性质和分布情况，可以将数据的基本分布类型分为离散型和连续型两大类。
一、离散型分布离散型分布是指数据取值有限且可数的情况。
在离散型分布中，每个数据点都是独立的，不存在连续的取值范围。
下面我们将介绍几种常见的离散型分布。
1. 二项分布二项分布是一种离散型分布，它描述了在n次独立重复实验中成功的次数的概率分布。
例如，抛硬币的结果可以看作是一次二项分布实验，成功表示正面朝上，失败表示反面朝上。
二项分布的概率质量函数可以用来计算在n次实验中成功k次的概率。
2. 泊松分布泊松分布是一种离散型分布，它描述了在一个固定时间段内，某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内电话呼叫的次数、单位面积内的交通事故次数等。
泊松分布的概率质量函数可以用来计算在给定时间段内事件发生k次的概率。
3. 几何分布几何分布是一种离散型分布，它描述了在一系列独立重复实验中，首次成功所需的实验次数的概率分布。
例如，抛硬币直到正面朝上为止的次数可以看作是一次几何分布实验。
几何分布的概率质量函数可以用来计算在第k次实验中首次成功的概率。
二、连续型分布连续型分布是指数据可以取任意实数值的情况。
在连续型分布中，数据点之间存在无穷多个取值可能，可以形成连续的取值范围。
下面我们将介绍几种常见的连续型分布。
1. 正态分布正态分布是一种连续型分布，也称为高斯分布。
正态分布是自然界中许多现象的分布模型，例如人的身高、智力水平等。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差决定了分布的位置和形状。
2. 均匀分布均匀分布是一种连续型分布，它的概率密度函数在一个区间上是常数。
均匀分布常用于描述随机变量在一定范围内等可能地取值的情况，例如掷骰子的结果。
均匀分布的概率密度函数可以用来计算在给定区间内随机变量取值的概率。
3. 指数分布指数分布是一种连续型分布，它描述了事件发生的时间间隔的概率分布。
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
常见的连续型随机变量的分布
1.均匀分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f2.指数分布 密度分布函数 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ 3.伽玛分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f x ααααλ4.正态分布 密度分布函数 222)(21)(σμπσ--=x e x f5.对数正态分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>=--e l s e x e x x f x ,00,21)(222)(l n σμπσ6.贝塔分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-ΓΓ+Γ=--e l s e x x x r r r r x f r r ,010,)1()()()()(112121217.爱尔兰分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--0,00,)!1()(1x x e x r x f x r r λλ8.拉普拉斯分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=--λμλx e x f 21)(%泊松分布概率密度作图：x=0:20;y1=poisspdf(x,2.5);y2=poisspdf(x,5);y3=poisspdf(x,10);hold onplot(x,y1,':r*')plot(x,y2,':b*')plot(x,y3,':g*')hold offtitle('Poisson 分布')正态分布标准差意义的图示mu=3; sigma=0.5;x=mu+sigma*[-3:-1,1:3];yf=normcdf(x,mu,sigma);P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)];xd=1:0.1:5;yd=normpdf(xd,mu,sigma);%for k=1:3xx{k}=x(4-k):sigma/10:x(3+k);yy{k}=normpdf(xx{k},mu,sigma);endsubplot(1,3,1),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(3),xx{1},x(4)],[0,yy{1},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(1))),hold offsubplot(1,3,2),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(2),xx{2},x(5)],[0,yy{2},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(2))),hold offsubplot(1,3,3),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(1),xx{3},x(6)],[0,yy{3},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(3))),hold offv=4;xi=0.9;x_xi=chi2inv(xi,v);x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,v);%。
(完整版)常用连续型分布性质汇总及其关系
常用连续型分布性质汇总及其关系1. 常用分布1．1 正态分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为()()()222222(),.,.x t xp x x F x e dt x μσμσ-----∞=-∞<<+∞=-∞<<+∞ 则称X 服从正态分布，记作()2~,,X N μσ，其中参数,0.μσ-∞<<+∞>（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。
测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。
（3）关于参数,μσ：μ是正态分布的的数学期望，即()E X μ=，称μ为正态分布的位置参数。
μ为正态分布的对称中心，在μ的左侧和()p x 下的面积为0.5；在μ的右侧和()p x 下的面积也是0.5，所以μ也是正态分布的中位数。
2σ是正态分布的方差，即2().Var X σ=σ是正态分布的标准差，σ愈小，正态分布愈集中，σ愈大，正态分布愈分散。
σ又称为是正态分布的的尺度参数。
（4）称0,1μσ==时的正态分布(0,1)N 为标准正态分布。
记U 为标准正态分布变量，()u ϕ和()u Φ为标准正态分布的密度函数和分布函数。
()u ϕ和()u φ满足：()()()();1.u u u u ϕϕ-=Φ-=-Φ（5）标准化变换：若()2~,,X N μσ则()~0,1.X U N μσ-=（6）若()2~,,X N μσ则对任意实数a 与b ，有()(),()1(),()()(),b P X b a P a X b a P a X b μσμσμμσσ-≤=Φ-<=-Φ--<≤=Φ-Φ0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973, 3.k P X k k k k k μσ=⎧⎪-<=Φ-Φ-==⎨⎪=⎩（7）特征函数 22()exp{}.2t t i t σϕμ=-（标准正态分布2()exp{}2t t ϕ=-）1.2.均匀分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为1().0a x b P x b a else ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩ 0,,(),.1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩ 则称X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，记作()~,.X U a b（2）背景：向区间(,)a b 随机投点，落点坐标X 一定服从均匀分布(),.U a b（3）()2(),().212b a a b E X Var X -+==（4）特征函数().()itb itae e t b a itϕ-=- 1.3. 指数分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为,0,()0,.x e x P x else λλ-⎧≥=⎨⎩ 1,0,().0,.x e x F x else λ-⎧-≥=⎨⎩ 则称X 服从指数分布，记作()~,X Exp λ其中参数0.λ>（2）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失败，则首次冲击到来的时间X （寿命）服从指数分布，很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。
常用分布函数及特征函数
常用分布函数及特征函数概述：在概率论和统计学中，分布函数和特征函数是描述随机变量的重要工具。
分布函数描述了随机变量的取值与概率之间的关系，而特征函数则描述了随机变量的特性。
下面将介绍一些常用的分布函数及其对应的特征函数。
1. 正态分布（Normal distribution）：正态分布是自然界中非常常见的一种连续型概率分布。
正态分布的分布函数由两个参数决定：均值（mean）和标准差（standard deviation）。
其特征函数可以写成：φ(t) = exp(itμ-σ^2t^2/2)其中，μ是均值，σ是标准差。
2. 泊松分布（Poisson distribution）：泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间内事件发生的次数。
泊松分布的分布函数由一个参数决定：λ（平均事件发生率）。
其特征函数可以写成：φ(t) = exp(λ(e^(it)-1))3. 二项分布（Binomial distribution）：二项分布是一种离散型概率分布，常用于描述在一系列独立的是/非试验中成功次数的概率。
二项分布的分布函数由两个参数决定：n（试验次数）和p（成功的概率）。
其特征函数可以写成：φ(t) = (pe^(it) + q)^n其中，q=1-p。
4. 均匀分布（Uniform distribution）：均匀分布是一种连续型概率分布，指随机变量在其中一区间内的取值概率相等。
均匀分布的分布函数由两个参数决定：a（下界）和b（上界）。
其特征函数可以写成：φ(t) = (sin(t(b-a)/2))/(t(b-a)/2)5. 指数分布（Exponential distribution）：指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述独立随机事件的时间间隔。
指数分布的分布函数由一个参数决定：λ（平均事件发生率的倒数）。
其特征函数可以写成：φ(t) = (1 - it/λ)^(-1)总结：分布函数和特征函数是概率论和统计学中非常重要的概念。
2.4常用的连续型分布
) 0 (
)
)
x1 P{ X x1} 1 ( x1 ) 1 0 ( )
P{ X x1} ( x1 ) 0 (
x1
)①
p1 0 (
4
4
) 0 ( 1)
p2 1 0 (
5
5
) 1 0 (1)
6
3. 定理2.5（指数分布的无记忆性）非负 连续型随机变量X服从指数分布的充要 条件是对任意的正实数r, s有
P{X r s X s} P{X r}
例. 某元件的寿命X服从指数分布，已知 其平均寿命为1000小时，求3个这样的元 件使用1000小时，至少已有一个损坏的概 率。（P64例2.22）
三. 正态分布
1.定义 如果随机变量X的概率密度函数为
( x )2 2 2
( x)
1 2
e
,
x
其中 和 2都是常数， 任意， >0， 则称 X 服从参数为 和 2的正态分布. 记作 X ~ N ( μ , σ 2 ).
2. 数字特征
X 的分布函数为
0, x x a F ( x) f (t ) d t , ba 1
x a, a x b, xb
3
二. 指数分布
1.定义 如果随机变量X的概率密度函数为
λ e , x 0 f ( x) ( λ 0) x0 0, 则称X服从参数为的指数分布,记为X ~ e().
推论2: X～N(, 2)的充要条件是存在随机变量 ξ ～N(0, 1), 使得X= ξ + .
常用的连续型分布
P{X196}0(196) 0975
根据0(x)的对称性 有
P{X196}0(196)10(196)109750025
P{|X|196}P{196X196} 0(196)0(196)
20(196)1 209751095
P{1X2}0(2)0(1)0(2)[10(1)]
0(2)0(1)1
097725084131081855
则
X
~
N(0.1)
推论2
X~N( 2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使
得X
提示
通常称为X的标准化
18
推论3
设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数
0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有
(x)
0(
x
)
(287)
(x)
1
0(
x
)
(288)
4 一般正态分布的概率计算
0.9621
查表即得 b178
由于P{Xc}0298105 所以c0 根据对称性 有
0(c)10(c)07019
查表得c053 c053
17
3 一般正态分布与标准正态分布的关系
定理26(正态分布的线性变换)
设X~N( 2) YaXb a b为常数 且a0 则
Y~N(ab a2 2)
推论1
如果 X~N( 2)
X
|
x
}
20(x
)1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得x 1.645
于是 x1645355758
23
16
例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|X|b}09242 P{Xc}02981 求a b c
2.4常用的连续型分布
P { X > 500 , X > 1500 } P { X > 500 }
P{ X > 1500} 1 − P{ X ≤ 1500} = = P{ X > 500} 1 − P{ X ≤ 500}
1 − F (1500 ） = 1 − F (500 = ）
e −1.5 = e −1 e −0.5
计算结果表明 : P { X > 1500 | X > 500} = P { X > 1000} 这表明指数分布的一种 特性 − −−"无记忆性 " 无记忆性
= 1−[2Φ(2.1) −1] = 2[1− Φ(2.1)]
= 2(1 − 0.9821) = 0.0358
定理 : 设随机变量 X ~ N ( µ , σ ), Y =
2
(X − µ)
σ
, 则有Y ~ N (0,1).
pr : ( P67 )
是任一随机变量， 注 : 设 X是任一随机变量， X − EX 则Y = 称为 X的标准化随机变量 . DX
DX =
1
λ2
3 .简单应用
例1 : 某元件寿命 X 服从指数分布 , 其平均使用寿命为 1000小时 , 求该
元件使用 1000小时没有坏的概率 .
解 :因为 EX = 1000 =
所以, λ = (1000) −1 λ
1
x − 1 − e 1000 x > 0 X的分布函数为 : F ( x ) = 0 x≤0
解 : P {1 < X < 2}= Φ( 2) − Φ(1)
查表 , 有Φ( 2) = 0.9773, Φ(1) = 0.8413,
P {1 < X < 2} = 0.1360.
常用的连续型分布
0.4 0 ( x)
标准正态分布表(附表2)
0.3
0.2
10 X ~ N(0,1),则EX 0, DX 1. 0.1
200( x)是偶函数；
300(a) 1 0(a)
-a -3 -2 -1
a1 2 3
计算概率：X~N(0,1) 1 PX a 0a;
2 Pa X b (b) (a);
0
0
X~N(0,1), 0(a) P{ X a}, 0(a) 1 0(a) 例1 设r.v. X ~N(0,1),求:
P{X 1.96} , P{X 1.96} , P{ X 1.96} , P{ X 1.96}, P{1 X 2)}
解 P{ X 1.96} 0(1.96) 0.975 （直接查正态分布表）
热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
6.X ~ N (, 2 ), 则 aX b ~ N (a b, a2 2 )
7.一种重要的正态分布 －－标准正态分布
7.一种重要的正态分布 －－标准正态分布
当 0， 1时, 正态分布N (0,1)称为标准正态分布,
0(x)
1
x2
e 2,
2
0( x) P{X x},
即X ~ E( ) ,则对于a 0,b 0,有
P{X a b | X a} P{X b}
P{ X
a b, X P{X a}
a}
P{X a P{X
b} a}
e (ab) ea
eb
1 ex x 0
F(x)
0
x0
X 寿命，则上式表明，，如果已知寿命长于a年，
则再活b年的概率与年龄 a无关， 指数分布是“永远年轻”的
§2.4 常用的连续型分布
连续型概率分布
连续型概率分布连续型概率分布是概率论中的一个重要概念，用于描述连续随机变量的可能取值范围及其对应的概率。
与离散型概率分布相比，连续型概率分布在数轴上的每一个点都有概率密度函数与之对应，而不是直接给出某个点的概率。
本文将介绍几种常见的连续型概率分布，包括均匀分布、正态分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是一种简单而常见的连续型概率分布，它假设随机变量在一定的范围内取值的概率是相同的。
在数学上，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b - a)，a ≤ x ≤ b其中，a和b分别表示均匀分布的下界和上界。
图表上，均匀分布的概率密度函数在[a, b]区间内的取值是一个常数，且在[a, b]之外为0。
这意味着在[a, b]区间内的任意一个子区间上，概率密度的积分就是该子区间的长度除以[a, b]之间的总长度。
二、正态分布正态分布是统计学中最重要的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布在自然界和社会科学中的广泛应用使得它成为了研究的重点。
正态分布的概率密度函数可以写作：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))其中，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，其峰值位于μ处，标准差决定了曲线的形状。
正态分布具有许多重要的特性，如68-95-99.7法则，即大约68%的概率密度位于一个标准差范围内，95%位于两个标准差范围内，99.7%位于三个标准差范围内。
三、指数分布指数分布是描述连续随机事件发生的时间间隔的概率分布。
例如，某个服务台上的顾客到达时间间隔、两次地震发生的间隔等，都可以用指数分布来描述。
指数分布的概率密度函数可以写作：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0其中，λ是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的概率密度函数在区间[0, +∞)上递减，且总面积等于1。
指数分布还有一个重要的特性是无记忆性，即已经等待了一段时间后，再等待一段时间的概率与一开始等待这段时间的概率是相等的。
连续型随机变量的分布)
指数分布是一种连续型概率分布，常用于描述两个连续事件之间的时间间隔。 若一个随机变量X服从参数为λ的指数分布，则其概率密度函数为f(x)=λe^(λx)，x>0。
性质
指数分布具有无记忆性，即无论已经等待了多久，下一个事件发生的概率与刚 开始等待时相同。此外，指数分布的期望和方差分别为1/λ和1/λ^2。
制定提供依据。
03
可靠性试验设计
在可靠性试验设计中，指数分布可作为先验分布或假设检验的基础。例
如，在定时截尾试验中，可利用指数分布的性质对试验数据进行统计分
析，从而得出产品可靠性的相关结论。
04
正态分布
定义及性质
定义
正态分布是一种连续型概率分布，其 概率密度函数呈钟形曲线，具有对称 性和单峰性。
均匀分布在实际问题中应用
01
在实际问题中，均匀分布常被用来描述一些随机现象，如某段 时间内到达的顾客数、某段路程内行驶的车辆数等。
02
在统计学中，均匀分布可以作为其他更复杂分布的基础，如正
态分布、指数分布等。
在计算机模拟中，均匀分布的随机数生成器是其他更复杂随机
03
数生成器的基础。
03
指数分布
定义及性质
性质
连续型随机变量的取值是连续的，即任意两个相邻的实数之间都有无限多个实数。因此，对于连续型随机变量， 我们讨论其在某个区间内的概率，而不是具体某个点的概率（某点的概率为0）。
常见连续型随机变量类型
均匀分布
正态分布（高斯分布）
在某个区间[a, b]内，每个值出现的概率都相 等。其概率密度函数（PDF）是一个常数， 分布函数（CDF）是线性的。
指数分布概率计算
计算概率密度函数值
几种常用的连续型分布
0.2514
15
故
P{Y 0} (1 p)3 0.4195
作业2-4： 1，5，6
P(A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60} 5 20 5 1 60 2
f (x)
2. 指数分布(P40)
若 X～ f (x)＝ex , x 0
0, x 0
x
0
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
F (x)＝1 ex , x 0 0, x 0
峰的陡峭程度.
4.标准正态分布(p41) 参数＝0，2＝1的正态分布称为 标准正态分布，记作X~N(0, 1)。
其密度函数表示为
(x)
1
x2
e 2 , x .
2
分布函数表示为
( x) P{X x}
x t2
1 e 2 dt, x 2
( x)
( x)
1 0 1 ;
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
几个常用的连续型随机变量
均匀分布 P{c<X<d}
正态 分布
指数分布 无记忆性
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p39)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
连续型分布函数
连续型分布函数连续型分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念，它描述了一个随机变量取某个值以下的概率。
在实际问题中，我们经常需要对连续型随机变量进行概率分析和统计推断。
本文将介绍连续型分布函数的定义、性质和常见的几种连续型分布函数。
一、连续型分布函数的定义连续型分布函数是指一个随机变量的取值范围是实数集，并且每一个实数都对应一个概率。
它可以表示为F(x)，表示随机变量取值小于等于x的概率，即P(X≤x)。
1. F(x)是一个非递减的函数，即对于任意的a≤b，有F(a)≤F(b)；2. F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1；4. F(x)是右连续的，即对于任意的x，有F(x+)=F(x)；5. F(x)的变化是分段的，即在每个区间上是一个线性函数。
三、常见的连续型分布函数1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）均匀分布函数是指随机变量在一定区间上的取值是等可能的，即每个取值的概率相等。
它的分布函数为：F(x) = (x-a)/(b-a)，其中a为区间下限，b为区间上限。
2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）正态分布函数是指随机变量满足正态分布的情况，也称为高斯分布。
它的分布函数没有解析表达式，通常用标准正态分布函数进行近似计算。
3. 指数分布函数（Exponential Distribution Function）指数分布函数是指随机变量满足指数分布的情况，它描述了事件发生的时间间隔。
它的分布函数为：F(x) = 1 - e^(-λx)，其中λ为事件发生的速率参数。
4. 伽玛分布函数（Gamma Distribution Function）伽玛分布函数是指随机变量满足伽玛分布的情况，它常用于描述等待时间或寿命分布。
它的分布函数没有解析表达式，通常使用伽玛函数进行计算。
连续型随机变量的概率分布
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
xb
如, 每隔10分钟发车一辆,乘客等车的时间 X~U(0,10) 读数采用四舍五入法,设最小刻度为1,则误差 Y~U(-0.5,0.5)
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例1: 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一 乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。
x2
e 2,
x
2
( ( x)为偶函数，其图形关于纵轴对称）
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
性质： (i) (0) 0.5
(ii) ( x) 1 ( x)
(x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
( x) 1 ( x)
标准正态分布有表可查P254， 如
(0.3) 0.6179 (3) 0.9987
更一般的 P( X G) f ( x)dx
G
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（5）对连续型随机变量X，任给实数a,必有
P(X a) 0
0 P( X a) F (a) F (a x) x 0 0 注: 这表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率 值时，不必考虑区间端点的情况。即
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
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(3) N (, 2)与N (0,1)的联系
定理：若X ~ N (, 2) , 则 X ~ N (0,1)
证明：设Z X 则Z的分布函数为:
FZ ( x)
P（Z
x）
P（X
x）
P{X x} FX ( x)
几种重要连续型分布
e
dy
e
第四节
几种重要的连续型分布
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F ( x ) , 存在
非负函数 , 使对于任意实数 x 有 F ( x ) 密度函数, 简称概率密度.
f ( x)
x
f (t ) d t ,
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 因而有
2 Y ~ b 3, . 3
2
3 2 P{Y 2} 2 3
2 3 2 1 3 3 3
x 0, x 0.
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
1 2
e
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
先说明 f ( x )是 密 度 。 显 然 f ( x) 0 I
f ( x )dx
1 e 2
( x ) 2 2
2
t
x
dx
y2 2
1 e 2
t2 2
dt
1 而I 2
2
e
x2 2
dx
几种常用的连续型分布
如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条 线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发
出警报.表明生产出现异常.
例3 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分 布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为2.28%; 寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质期最多 设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的概率小 于0.1?
概率与统计
几种常用的连续型分布
随机变量的分布函数
单调不减性 非负性
归一性
连续型随机变量 的概率密度
右连续性 F(x)…f(x) P{a<X<b}
二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p54)
若X～f(x)＝
1 , a x b b a
0，其它
f(x)
。。
0a b x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)
1
yba2
e 2a2 2
a 2
Y ~ N a b,a 2
解：FY
y
PaX
b
y
P
X
yb
a
yb
a
y
b a a
yba 2
fY
y
FY
y
y b a a
1 a
几种重要连续型分布
e 2 dxdy 1
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称; (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 1 ;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变,只是沿 着 x 轴作平移变换;
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N (, 2)时，
P(|Y | ) 0.6826 P(|Y | 2 ) 0.9544
P(|Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
例1 设 X 服从标准正态分布N (0,1), N (0,1) 的上
解 X 的分布函数为
F(
x)
1
e
1x 2000
,
0,
x 0, x 0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
(2) P{ X 2000 X 1000} P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量
误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度, 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.
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根据定理,只要将标准正态分布的分布函数制 成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
一般的概率统计教科书均附有标准正态分 布表供读者查阅(x)的值。
(P289附表2)
3 准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
概率与统计
第七讲 几种常用的连续型分布
随机变量的分布函数
单调不减性 右连续性
归一性
非负性
F(x)…f(x) P{a<X<b}
连续型随机变量 的概率密度 Nhomakorabea二 几种常用的连续型分布
1. 均匀分布(p39)
f (x )
若X～f(x)＝
,a x b b a 0，其它 1
。
。
b
定理： 若 X ~ N , 2 , 则 Z
X
~ N 0 , 1 .
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.
X ~ N ,
2
x X FX x P X x P x
x
其中 为实数， >0 ，则称X服从参数为 ,2的正态
分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).
f x 具有下述性质 :
1
2
f x 0 ;
f x dx 1 ; 3 曲线 f x 关于 轴对称；
4 函数 f x 在 ( , μ ] 上单调增加,在 [ μ , ) 上
其中
p P { X 90 } (
90 100 15
) ( 0 . 67 ) 0 . 2514
故
P {Y 0 } ( 1 p ) 0 . 4195
3
作业2-4： 1，5，6
公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头 碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高X～ N(170,62),问车门高度应如何确定?
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态 分布Ｎ(μ,σ2),且知寿命低于800小时的概率约为 2.28%;寿命超过900小时的概率约为84.13%; 问保质 期最多设为多少小时,才能使元件寿命低于保质期的 概率小于0.1?
解：设A—乘客候车时间超过10分钟
X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P ( A ) P {10 X 15 } P ( 25 X 45 } P {55 X 60 }
5 20 5 60 1 2
f (x )
2. 指数分布(P40)
若 X～
e x , x 0 f ( x )＝ 0, x 0
单调减少,在 x μ 取得最大值；
5 x = μ σ为 f (x) 的两个拐点的横坐标； 6 f (x) 以 x 轴为渐近线
正态分布 N ( , 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置，
峰的陡峭程度.
决定了图形中
4.标准正态分布(p41) 参数＝0，2＝1的正态分布称为 标准正态分布，记作X~N(0, 1)。
0
x
则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为
1 e x , x 0 F ( x )＝ 0, x 0
例2 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数 分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使
用两年的概率为多少？
3. 正态分布 (p41)
正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最 为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在 概率统计中占有特别重要的地位。
B
A A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密 度应该是什么形态？
若随机变量
X ~ f (x) 1 2
x
2
2
2
e
其密度函数表示为
(x)
1 2
x
2
e
2
, x .
分布函数表示为
(x) P{X x}
1 2
x
t
2
e
2
dt , x
(x)
(x)
1 0
1 2
;
2 x R , x 1 x ;
0
a
x
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有
P { c X d }＝ f ( x ) dx ＝
c d d
1 ba
dx ＝
d c ba
c
例1.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车, 设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到 达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率. 15 45
几个常用的连续型随机变量
均匀分布
正态 分布
指数分布 无记忆性
P{c<X<d}
两个参数的意义
EX1 一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态
分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个 元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时 内无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数, 则YB(3,p)
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
例 3 设 X～ N（ 3,2 ）
2
（ 1） 求 P {2<X≤ 5}， P {－ 4<X≤ 10}， P{|X|>2}， （ 2） 决 定 C 使 得 P {X > C }=P {X≤ C}
设随机变量X~N(-1,22),
P{-2.46<X<2.46}=?