矩阵的逆及其应用

矩阵的逆及其应用

姓名：刘欣

班级：14级数计1班

专业：数学与应用数学

学号：1408020129

一、矩阵的逆的概念

对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得

ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为

Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。

Ａ‒１

二、逆矩阵的性质和定理

㈠逆矩阵的性质

1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为B‒1

，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。

A‒1

若都是ｎ阶可逆矩阵，则

Ａ１，Ａ２，…，ＡｍＡ１Ａ２

也可逆，且＝

…Ａｍ（Ａ１Ａ２…Ａｍ）‒１（Ａｍ）‒１

.

…（Ａ２）‒１（Ａ１）‒１

2、若A可逆，则也可逆，且=A；

A‒1（A‒1）‒1

3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且=

（λA）‒11λ

；

A‒1

4、若A可逆，则也可逆，且=；

A T（A T）‒1（A‒1）T

5、=；

（A'）‒1(A‒1)'

6、矩阵的逆是唯一的；

证明：运用反证法，如果A 是可逆矩阵，假设B,C 都是A 的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。

㈡逆矩阵的定理

１、初等变换不改变矩阵的可逆性。

２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等

Ｉｎ价。

３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等

矩阵的乘积。

４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行

变换便可化成单位矩阵。

５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。三、逆矩阵的计算方法㈠定义法

定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。Ａ‒１例１、求矩阵Ａ＝的逆矩阵。(

２

２３

１

‒１０‒１２１

)

解：∵｜Ａ｜≠０

∴存在

Ａ‒１设＝，由定义知，∴Ａ‒１(

ｘ１１ｘ１２

ｘ１３ｘ２１ｘ２２

ｘ２３ｘ３１ｘ３２

ｘ３３

)

Ａ‒１Ａ＝Ｅ

(

２２３１‒１０‒１

２１)(

ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２

ｘ３３

)＝(

100010

001)

　由矩阵乘法得

(

２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１‒ｘ２１ｘ１２‒ｘ２２ｘ１２‒ｘ２３‒ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１‒ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２‒ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３

)＝(

100

010

001)

由矩阵相乘可解得；；{ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝‒１{ｘ１２＝‒４ｘ２２＝‒５ｘ３２＝６{

ｘ１３＝‒３

ｘ２３＝‒３

ｘ３３＝４故A

‒1

=(

1

‒4‒31

‒5‒3‒1

64

)

㈡、伴随矩阵法

ｎ阶矩阵Ａ＝（）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ａｉｊｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ‒１＝１

｜Ａ｜Ａ∗，其中Ａ∗为伴随矩阵。

注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意Ａ∗＝元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝

（Ａｊｉ）ｎ×ｍ，其伴随矩阵，即伴

(

ａ１１ａ１２ａ２１ａ２２)

Ａ∗＝(

ａ

２２

‒ａ１２

‒ａ２１

ａ１１

)

随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。②对于分块矩阵(ＡＢＣＤ

)

不能按上述规律求伴随矩阵。

例２、已知Ａ＝(

１０１

２１０‒３２‒５

)

，求Ａ‒１。

解：∵｜Ａ｜＝２≠０

∴Ａ可逆，由已知得

Ａ１１＝‒５，Ａ１２＝１０，Ａ１３＝７

Ａ２１＝２，Ａ２２＝‒２，Ａ２３＝‒２ Ａ３１＝‒１，Ａ３２＝２，Ａ３３＝１Ａ‒１＝１｜Ａ｜Ａ∗

＝１２(

‒５２

‒１１０

‒２２７

‒２

１)

＝(

‒５

２１‒１２５‒１１７

２

‒１

１２

)

㈢、行（列）初等变化法

设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块Ａ变为，则子块将变为，即初等变ＩｎＩｎＡ‒１换［Ｅ，］。

Ａ‒１注释：①对于阶数较高（ｎ≧３）的矩阵，采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换。②也可以利用(Ａ

Ｅ

)

初等列变换

(

Ｅ

Ａ‒１)

求得Ａ的逆矩阵。

③当矩阵Ａ可逆时，可以利用(Ａ，Ｂ)

求得初等行变换

(Ｅ，Ａ

‒１

Ｂ)，(ＡＣ

)

初等列变换

(

ＥＣＡ

‒１)

Ａ‒１

Ｂ和Ｃ仅Ａ‒１，这一方法的优点是不需要求出Ａ的逆矩阵和进行矩阵乘法通过初等变换，即求出了Ａ‒１Ｂ和ＣＡ‒１。例３、用初等行变换求矩阵Ａ＝的逆矩阵。(

２３

１

０１

３１２

５

)

解：＝(Ａ，Ｅ)(２３１０１３１２５　１００

０１０００１

)

→