矩形的性质与判定的运用提高训练(含答案)
矩形的性质及判定的运用提高训练含答案
2017-2018学年八年级数学下册矩形的性质与判定填空题练习1、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是．2、如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若OM=3，AD=8，则BO=．3、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QK的面积S2的大小关系是S1S2；（填“＞”或“＜”或“=”）4、如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为．5、将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=70°，则∠AED=．8、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A/B/C/D/的位置，旋转角为a (0°<a<90°)．若∠1=110°，则a= ．9、边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．10、如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=．14、如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A 恰好落在BF上，则AD=．16、如图，矩形纸片ABCD中，AB=2cm，点E在BC上，且AE=EC. 若将纸片沿AE折叠，点B 恰好与AC上的点B/重合，则AC= ．17、如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．19、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF 折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=．20、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C落在AB边的中点c，上．若AB=6，BC=9，则BF 的长为．21、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B 落在AD边的点F上，则AF的长为_________．22、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C 恰好落在线段AE上的点F处．若AB=6，BE：EC=4：1，则线段DE的长为．23、如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，AE⊥BD于E，若OE：OD=1：2，AC=18cm，则AB=cm．24、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．25、如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．26、如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=3，AC=2，D为斜边AB上一动点（不与点A、B重合），DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是．27、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段BC的延长线上，连接AE交CD于点F，∠AED=2∠AEB，点G是AF的中点．若CE=1，AG=3，则AB的长为．28、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，由线段EC、BC，弧EB围成的图形的面积为29、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值X围是．30、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB 为腰的等腰三角形，则PB的长为．31、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=cm．32、如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为．33、如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30o，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是35、如图，在矩形ABCD中，BC=20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．36、如图所示，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥B D于F，则PE＋PF=________．37、如图，矩形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm,P、Q两点分别从A、B两点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针运动，速度均为1cm/s，当点P到达B点时两点同时停止运动，若PQ长度为5cm时，运动时间为 s．38、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为40、如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为。
1.2矩形的性质与判定——性质课时训练含答案
第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定——性质1．我们把__________叫做矩形．2．矩形是特殊的____________，所以它不但具有一般________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）_________；（2）___________．3．矩形既是______图形，又是________图形，它有_______条对称轴．4．如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有_______个直角三角形，•有____个等腰三角形．5．矩形的两条邻边分别是、2，则它的一条对角线的长是______．6．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．7．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分8．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）A．8cm2B．4cm2C．2c m2D．8cm29．如图2所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（）A．29° B．32° C．22° D．61°10．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BC O的周长差为4，•则AB的长是（）A．12 B．22 C．16 D．2611．如图3所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（） A． B．4 C． 2 D．12．如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且A E=AB，求∠CBE的度数．13．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．14．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC 边上的点F处，求CE的长．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，•经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；（3）在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像．答案:1．有一个角是直角的平行四边形2．平行四边形，平行四边形（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等3．中心对称，轴对称，2 4．4，4 5．3 6．47．A 8．B 9．B 10．C 11．D 12．15°13．证四边形BDCE是平行四边形，得CE=•BD=AC 14． 3 15．（1）s=t （2）s=-t+35 （3）略。
矩形、正方形的性质及判定(人教版)(含答案)
故选A．
试题难度：三颗星知识点：正方形的性质
11.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长，交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：如图，BD是正方形ABCD对角线，
∴∠TBE=45°．
同理，∠TEB=45°，
在Rt△DOE中， ，
∴ ．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质
6.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，AB边上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2．
若矩形ABCD的周长为16，则AE的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.7
答案：A
解题思路：如图，易证△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC，AF=DE．
矩形、正方形的性质及判定（人教版）
试卷简介:调用平行四边形、菱形研究角度及结论特征，训练学生在严谨推理的指导下进行平行四边形从一般到特殊的特征研究，学会在研究角度（边、角、对角线）之间灵活转化，为后续四边形的证明做准备。
一、单选题(共15道，每道6分)
1.下列说法，错误的是( )
A.矩形的对边互相平行B.矩形的对角相等
A. B.2
C. D.4
答案：D
解题思路：在矩形ABCD中，
AC=BD， ， ，
∴OA=OB= ．
∵AC=8，
∴OA=OB=4．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=4．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=2AB，则∠AOB的大小是( )
初一下册矩形的性质与判定练习题含答案
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分。
特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形具有平行四边形的一切性质。
矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形【例题】专题一：矩形的性质矩形的性质性质1. 矩形的四个角都是直角。
几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°性质2. 矩形的对角线相等且平分。
几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴OA=OC=OB=OD=D B 21AC 21==性质3. 对边平行且相等几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴AD=BC ， AD ∥BC 或者 AB=CD ， AB ∥CD3. 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言：∵ 在Rt △ABC 中，OA=OC （OB 是AC 边上的中线）∴ OB=21AC在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。
矩形具有平行四边形的一切性质。
1．如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝ ，AB ＝ 。
FEADBFC ＝1，AB ＝2.2．只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（ ）A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 CB. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等3.已知：如图3-32，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC = 10cm ，∠ACB = 30°, 则∠AOB = °，AD = cm ；60 534.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF =DF .5.如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C = 90，AC = AB ，AB = 30，矩形 DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若 DG ：GF = 1：4，则矩形DEFG 的面积是 100 ；专题二：矩形的判定图3-32OBACDABCDF G矩形的判定方法方法1：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质与判定复习题含答案
矩形的性质1．矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等2．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分3、如左下图，在矩形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AB＝OA＝4 cm，求BD与AD的长.4、如右上图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是______.5、已知：△ABC的两条高为BE和CF，点M为BC的中点. 求证：ME＝MF6、如左下图，矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分∠BAD,若∠EAO＝15°,求∠BOE的度数．7、（2006·成都）把一张长方形的纸片按右上图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的读度为（）A．85° B．90° C．95° D．100°8、如右图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC=_______，∠FCA=________．9、（2006·黑龙江）如右图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对10、如图4，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD•的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．28411、如左下图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA⊥MD ，若矩形的周长为36 cm ，求此矩形的面积。
12、如右上图，折叠矩形，使AD 边与对角线BD 重合，折痕是DG ，点A 的对应点是E ，若AB=2，BC=1，求AG.13、如右下图，在矩形中，是上一点，是上一点，，且，矩形的周长为，求与的长．14、【提高题】（2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明. （2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG +PH 的值，并说明理由.矩形的判定1、下列识别图形不正确的是（ ）ABCD E AD F AB EF CE =,2EF CE DE cm ⊥=ABCD 16cm AE CF GEDCBAA．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形2、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°3、如左下图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？4、已知：如右上图，□ ABCD各角的角平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：•四边形EFGH是矩形．5、如右图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB是矩形.6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A. 一般平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形7、在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，且AB＝CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？8、如左下图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.DACF PE B求证：四边形ABCD 是矩形.9、如右上图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的中点，过点O 的直线MN ∥BC ，且MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，点P 是BC 延长线上一点. 求证：四边形AECF 是矩形.10、如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA ，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11、【提高题】如图，在△AB C 中，AB ＝AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的任意一点，过P 点分别作PE⊥AB ，PF⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则有PE ＋PF ＝CD ，你能说明为什么吗？矩形的性质 答案 1、【答案】 D 2、【答案】 D3、【答案】BD ＝8 cm ，AD ＝34 (cm)4、【答案】 45、【提示】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的性质与判定的运用 同步练习题(含答案) 2021-2022学年北师大版九年级数学上册
1.2.3矩形的性质与判定的运用 同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1.如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝2 cm ，则AB 与CD 之间的距离为_____cm.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为_____.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，则BG ＝_____.4.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，延长AD 到E ，使DE ＝BD ，连接BE.若∠EBC ＝27°，则∠ABD ＝_____度.二、选择题5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为()A.4B.5C.6D.76.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为()A.103B.4C.4.5D.57.如图，在矩形钟面示意图中，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为40 cm ，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为____cm() A.80B.60C.50D.40 38.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，以AE ，DE 为边作▱AEDF ，当点E 从点B 运动到点C 的过程中，▱AEDF 的面积()A.先变小后变大B.先变大后变小C.保持不变D.一直变大三、解答题9.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE ，DE 相交于点E. (1)求证：四边形DOCE 是矩形.(2)若四边形DOCE 的面积是3，AC ＋BD ＝10，求AB 的长.B 组(中档题)四、填空题10.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形OABC 的对角线相交于点P ，顶点C 的坐标是(0，3)，∠ACO ＝30°，将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转150°后点P 的对应点P′的坐标是_____.11.如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，CD ＝2，点E 在边AB ，且AD ＝AE ，BE ＝BC ，则AE·BE 的值为_____.12.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝8，点O ，P 分别是边AB ，AD 的中点，点H 是边CD 上的一个动点，连接OH ，将四边形OBCH 沿OH 折叠，得到四边形OFEH ，连接PE ，则PE 长度的最小值是_____.五、解答题13.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于点H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M ，MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连接PR 交QM 于点S. (1)求证：四边形PQRM 为矩形.(2)若OP ＝12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由.C组(综合题)14.如图1，一张菱形纸片EHGF，点A，D，C，B分别是EF，EH，HG，GF边上的点，连接AD，DC，CB，AB，DB，且AD＝3，AB＝6；如图2，若将△FAB，△AED，△DHC，△CGB分别沿AB，AD，DC，CB对折，点E，F都落在DB上的点P处，点H，G都落在DB上的点Q处.(1)求证：四边形ADCB是矩形.(2)求菱形纸片EHGF的面积和边长.参考答案1.2.3矩形的性质与判定的运用 同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1.如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝2 cm ，则AB 与CD 之间的距离为2cm.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，则BG ＝95.4.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，延长AD 到E ，使DE ＝BD ，连接BE.若∠EBC ＝27°，则∠ABD ＝36度.二、选择题5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A.4B.5C.6D.76.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为(D)A.103B.4C.4.5D.57.如图，在矩形钟面示意图中，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为40 cm ，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为____cm(D) A.80B.60C.50D.40 38.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，以AE ，DE 为边作▱AEDF ，当点E 从点B 运动到点C 的过程中，▱AEDF 的面积(C)A.先变小后变大B.先变大后变小C.保持不变D.一直变大三、解答题9.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE ，DE 相交于点E. (1)求证：四边形DOCE 是矩形.(2)若四边形DOCE 的面积是3，AC ＋BD ＝10，求AB 的长.(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥DB ， ∴四边形DOCE 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD. ∴∠COD ＝90°. ∴四边形DOCE 是矩形.(2)设OD ＝x ，OC ＝y ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD.∵AC ＋BD ＝10，四边形DOCE 的面积是3， ∴x ＋y ＝5，xy ＝3.∴x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝52－2×3＝19. ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝x 2＋y 2＝19.B 组(中档题)四、填空题10.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形OABC 的对角线相交于点P ，顶点C 的坐标是(0，3)，∠ACO＝30°，将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转150°后点P 的对应点P′11.如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，CD ＝2，点E 在边AB ，且AD ＝AE ，BE ＝BC ，则AE·BE 的值为1.12.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝8，点O ，P 分别是边AB ，AD 的中点，点H 是边CD 上的一个动点，连接OH ，将四边形OBCH 沿OH 折叠，得到四边形OFEH ，连接PE ，则PE 长度的最小值是五、解答题13.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于点H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M ，MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连接PR 交QM 于点S. (1)求证：四边形PQRM 为矩形.(2)若OP ＝12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由.解：(1)证明：∵PH ⊥OB ，MD ⊥OB ， ∴PH ∥MD.∵PM ∥OB ，QR ∥OB ， ∴PM ∥QR.∴四边形PQRM 是平行四边形. ∵PH ⊥OB ，∴∠PHO ＝90°. ∵PM ∥OB ，∴∠MPQ ＝∠PHO ＝90°. ∴四边形PQRM 为矩形. (2)∠AOB ＝3∠BON.理由如下： ∵四边形PQRM 为矩形， ∴PS ＝SR ＝SQ ＝12PR.∴∠SQR ＝∠SRQ. 又∵OP ＝12PR ，∴OP ＝PS. ∴∠POS ＝∠PSO. ∵QR ∥OB ， ∴∠SQR ＝∠BON.在△SQR 中，∠PSO ＝∠SQR ＋∠SRQ ＝2∠SQR ＝2∠BON ， ∴∠POS ＝2∠BON.∴∠AOB ＝∠POS ＋∠BON ＝2∠BON ＋∠BON ＝3∠BON ，即∠AOB ＝3∠BON.C 组(综合题)14.如图1，一张菱形纸片EHGF ，点A ，D ，C ，B 分别是EF ，EH ，HG ，GF 边上的点，连接AD ，DC ，CB ，AB ，DB ，且AD ＝3，AB ＝6；如图2，若将△FAB ，△AED ，△DHC ，△CGB 分别沿AB ，AD ，DC ，CB 对折，点E ，F 都落在DB 上的点P 处，点H ，G 都落在DB 上的点Q 处. (1)求证：四边形ADCB 是矩形. (2)求菱形纸片EHGF 的面积和边长.解：(1)证明：由对折可知∠FAB＝∠PAB，∠EAD＝∠PAD，∴2(∠PAB＋∠PAD)＝180°，即∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝90°.同理：∠ADC＝∠ABC＝90°.∴四边形ADCB是矩形.(2)由对折可知：△AFB≌△APB，△AED≌△APD，△CHD≌△CQD，△CGB≌△CQB. ∴S菱形EHGF＝2S矩形ADCB＝2×3×6＝6 2.又∵AE＝AP＝AF，∴A为EF的中点，同理：C为GH的中点，即AF＝CG，且AF∥CG.连接AC，∴四边形ACGF为平行四边形.∴FG＝AC＝BD.∴FG＝BD＝（3）2＋（6）2＝3.。
1.2矩形的性质与判定——应用课时训练含答案
第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定——应用【知识盘点】1．直角三角形斜边上的中线等于_________．2．如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，若∠ADC=70°，则∠ACD=_______．(1)3．四边形ABCD是矩形,若已知AB=8㎝，AC=10㎝，则AD= .矩形的周长＝,矩形的面积＝ .4．已知矩形的两边长分别为8和6，则矩形的对角线长为 .5．已知矩形的对角线长为3cm，一边长为2cm，则另一边长为 .6．如图2所示，在矩形ABCD中，A C和BD是两条对角线，若AE⊥BD于E，∠DAE=2∠BAE，则∠FA C=________．(2) (3) (4)【基础过关】7.如图3所示，在四边形ABCD中，∠BDC=90°，AB⊥BC于B，E是BC•的中点，•连结AE，DE，则AE与DE的大小关系是（）A．AE=DE B．AE>DE C．AE<DE D．不能确定8．如图4所示，矩形AB C D的两条对角线交于点O，则图中的全等三角形共有（）A．2对B．4对C．6对D．8对9．如图7所示，将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在B C边上，不与B，C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FE平分∠BFG，则∠GFH的度数a满足（）A．90°<α<180°B．α=90°C．0°<α<90°D．α随着折痕位置的变化而变化(7)【应用拓展】10.如图8，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？【综合提高】 (8)11．如图9所示，在矩形ABC D 中，F 是BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE=DC ，请不添辅助线在图中找出一对全等三角形，并证明之．(9)答案:1．斜边的一半 2． 55° 3． 6cm 28cm 48cm 4. 106．30° 7．B 8．D 9．D 10. 解： ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ OA=OB.∵ ∠AOB=60°,∴ △AOB 是等边三角形.∴ OA=AB=4(㎝),∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝).11．△ABF ≌△ADE ，证明过程（略）A D BC。
1.2矩形的性质与判定 新思维同步提高训练(解答)-2021-2022学年北师大版九年级数学上册
1.2矩形的性质与判定 新思维同步提高训练（Word 版含解答）-2021-2022学年九年级数学北师大版上册一、选择题1.如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE=2，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ，则矩形的一边AB 的长度为( )A. 2B. 2 √5C. 4D. 2 √32.如图，已知在矩形ABCD 中，M 是AD 边中点，将矩形分别沿MN 、MC 折叠，A 、D 两点刚好落在点E 处，已知AN ＝3，MN ＝5，设BN ＝x ，则x 的值为（ ）A. 53B. 73C. 52D. 943.如图，在平行四边形 ABCD 中，M 、N 是 BD 上两点， BM =DN ，连接 AM 、 MC 、 CN 、 NA ，添加一个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（ ）A. ∠AMB =∠CNDB. MB =MOC. BD ⊥ACD. AC =2OM4.如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，作AF ⊥BE 于F ，连接DF ，若AB ＝6，DF ＝BC ，则CE 的长度为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 725.如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC 于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为（）A. 10B. 9.6C. 4.8D. 2.46.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（）A. 7B. 8C. 9D. 107.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A. 8B. 9C. 10D. 128.如图，矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，EB平分∠AEC，∠DCE=45°，则AE长（）A. √2B. 2√2−2C. 2−√2D. 29.如图是一个由5张纸片拼成的▱ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O.当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A. S1=S2B. S1=S3C. AB=ADD. EH=GH10.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝2 √5．以上结论中，你认为正确的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题11.如图，矩形ABCD中，M是边CD的中点，连接AM取AM的中点M ，连接BN．若AB= 2，BC=3，则BN的长为________．12.如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC=4，点E是边BC上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CE B′为直角三角形时，BE的长为________．13.四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F ，∠AED＝2∠CED ，点G是DF的中点．BE＝1，AG＝4，则CD＝________．14.如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．15.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是BC；③△OGE是等AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG= 12S矩形ABCD，问：学习委员得到结论正确的是________．（填写所有正确结论的边三角形；④S△AOE= 16序号）16.如图，在矩形ABCD中，BC=16，E为CD上一点，将△BCE沿BE折叠，使点C正好落在BC，则AB AD边上的F处，作∠ABF的平分线交AD于N，交EF的延长线于M，若NF=12的长为________ .三、解答题17.四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC ，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD ，点F是AB上的点，AF＝BE ，EG⊥AC于点G ，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），直线BC经过点B（﹣8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′，此时边OA′与边BC交于点P，边B′C′与BC的延长线交于点Q，连接AP．（1）四边形OABC的形状是________．（2）在旋转过程中，当∠PAO=∠POA，求P点坐标．（3）在旋转过程中，当P为线段BQ中点时，连接OQ，求△OPQ的面积．19.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E。
中考数学复习矩形的判定与性质应用1(附答案)
中考数学复习矩形的判定与性质应用一、单选题1.下列命题中,假命题是( )A.矩形的对角线相等B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C.矩形的对角线互相平分D.矩形对角线交点到四条边的距离相等2.如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若2OA =，则BD 的长为( )A.4B.3C.2D.13.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分4.如图,四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE AD =,连接,,EB EC DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB BE =B.90ADB ∠=°C.BE DC ⊥D.CE DE ⊥5.如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是( )A.//AB DCB.AC BD =C.AC BD ⊥D.AB DC =6.如图,将矩形纸片ABCD 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为EF ,若4,8AB BC ==.则D F '的长为( )A. B.4 C.3 D.27.一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是( )A.3B.4C.5D.68.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O .且分别交,AB CD 于点,E F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( )A.15B.14C.13D.3109.在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图.该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，,ACF AFC FAE FEA ∠=∠∠=∠.若21ACB ∠=︒，则ECD ∠的度数是( )A.7︒B.21︒C.23︒D.24︒10.如图，在矩形纸片ABCD 中.4,=8AB BC =，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是( )A. =AF AEB.ABC AGF ≅△△C. 25EF =D. AF EF =二、解答题11.如图，在ABCD 中，,E F 分别是,AB DC 边上的点，且AE CF =，（1）求证：ADE CBF ≌. （2）若90DEB ∠=︒，求证：四边形DEBF 是矩形.三、填空题12.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是______．13.如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于点,E F ，连接,PB PD .若2AE =,8PF =，则图中阴影部分的面积为 .14.如图,在矩形ABCD 中,6,10AB BC == ,将矩形ABCD 沿BE 折叠,点A 落在'A 处,若'EA 的延长线恰好过点C ,则sin ABE ∠的值为__________.15.如图，已知四边形ABCD 中，//AD BC ，17AD BC =,=，ABE 和CDF 是等腰直角三角形，==90BAE CDF ∠∠︒，则四边形AEDF 的面积为______________.参考答案1.答案：D解析：2.答案：A解析：因为矩形的对角线相等且互相平分，2OA =，所以24AC OA ==，BD AC =，所以BD 的长为4.3.答案：C解析：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等.4.答案：C解析：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//,AD BC AD BC =，又∵延长AD 到点E ，使DE AD =，∴//DE BC ，且DE BC =，∴四边形BCED 为平行四边形，∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故选C.5.答案：C解析：依题意得，四边形EFGH 是由四边形ABCD 各边中点连接而成. 故////,////EF AC HG EH BD FG所以四边形EFGH 是平行四边形要使四边形EFGH 为矩形，根据矩形的判定(有一个角为直角的平行四边形是矩形)故当AC BD ⊥时，90EFG EHG ∠=∠=︒四边形EFGH 为矩形，故选C.6.答案：C解析：连接AC 交EF 于点O ,如图所示：∵四边形ABCD 是矩形,8,90AD BC B D ∴==∠=∠=︒,AC ===∵折叠矩形使C 与A 重合时,1,2EF AC AO CO AC ⊥===,90,AOF D OAF DAC ∴∠=∠=︒∠=∠,∴则Rt Rt FOA ADC ∽△△,AO AD AF AC∴=,=解得：5AF =,853D F DF AD AF ∴'==-=-=,故选：C ．7.答案：A解析：如图，对各边的长度进行标注.大矩形的面积()()d a b c a b =++++若已知小矩形①③④的周长时，可求出d a b ++和c a b ++的值， 从而得到大矩形的面积，故n 的最小值为3，故选A.8.答案：B解析：∵四边形为矩形，OB OD OA OC ∴===，在EBO △与FDO △中，EOB DOF OB ODEBO FDO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)EBO FDO ∴≅△△， ∴阴影部分的面积AEO EBO AOB S S S =+=△△△， AOB △与ABC △同底且AOB △的高是ABC △高的12，14AOB OBC ABCDS S S ∴==矩形△△.故选:B. 9.答案：C解析：由矩形的性质得出90,//,//D AB CD AD BC ∠=︒，证出,21FEA ECD DAC ACB ∠=∠∠=∠=︒由三角形的外角性质得出2ACF AFC FEA ∠=∠=∠设ECD x ∠=，则2ACF x ∠=，3ACD x ∠=在Rt ACD △中，由互余两角关系得出方程，解方程即可.10.答案：D解析：//,,AD BC AFE FEC ∴∠=∠,,,AEF FEC AFE AEF AF AE ∠=∠∴∠=∠∴=∴选项A 正确; ABCD 是矩形,,90,AB CD B C ∴=∠=∠=︒,,AG DC G C =∠=∠ 90,,B G AB AG ∴∠=∠=︒=,AE AF ABE AGF =∴≌△△,∴选项B 正确;设BE x =,则8CE BC BE x =-=-,∵沿EF 翻折后点C 与点A 重合,8,AE CE x ∴==-在Rt ABE △中,222AB BE AE +=,即2224(8)x x +=-,解得3,835x AE =∴=-=, 由翻折的性质得,AEF CEF ∠=∠ ,∵矩形ABCD 的对边//AD BC ,,,5AFE CEF AEF AFE AE AF ∴∠=∠∴∠=∠∴== ,过点E 作EH AD ⊥于H ,则四边形ABEH 是矩形,4,3,EH AB AH BE ∴====532,FH AF AH ∴==-=﹣在Rt ,EFH EF =中△∴选项C 正确;由已知条件无法确定AF 和EF 的关系,故选D.11.答案：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AD CB A C ∴=∠=∠，，在ADE 和CBF 中，AD CB A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE CBF ∴≌.（2）四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD AB CD ∴=，，AE CF =，BE DF ∴=，∴四边形DEBF 是平行四边形，90DEB ∠=︒，∴四边形DEBF 是矩形.解析：12.答案：100解析：设矩形的宽为x ，则长为(20)x -，22(20)20(10)100S x x x x x =-=-+=--+，当10x =时，S 最大值为100．故答案为100．13.答案：16解析：作PM AD ⊥于M ，交BC 于N .则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形， ADC ABC S S ∴=△△，AMP AEP S S =△△，PBE PBN S S =△△，PFD PDM S S =△△，PFC PCN S S =△△，12882DFP PBE S S ∴==⨯⨯=△△，8816S ∴=+=阴影. 14.解析：由折叠知，690A E AE A B AB BA E '='==∠'=︒，，，∴90BAC ∠'=︒，设AE x =，则A E x '=，∴10DE x =-，8CE AC A E x ='+'=+，在Rt CDE △中，根据勾股定理得，22103()(68)x x -+=+，∴2x =，∴2AE =，15.答案：3 解析：延长AD ，过B 作BG AD ⊥于G ，过E 作EH AD ⊥于H ，过F 作FI AD ⊥于I ，过C 作CJ AD ⊥于J ，则四边形BCJG 是矩形90EHA G ∴∠=∠=ABE 是等腰直角三角形,90AE BA EAB ∴=∠=90BAG EAH AEH EAH ∴∠+∠=∠+∠=BAG AEH ∴∠=∠在BAG 和AEH 中BAG AEH EHA GAE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAG AEH AAS ∴≌ AG EH ∴=同理可得，ΔCJD DIF ≌ DJ FI ∴=四边形AEDF 的面积ADE =的面积+ADF 的面积 1122AD EH AD FI =⨯⨯+⨯⨯ 1()2AD EH FI =⨯⨯+ 1()2AD AG DJ =⨯⨯+ 1()2AD JG AD =⨯⨯- 1()2AD BC AD =⨯⨯- 12(52)2=⨯⨯- =3.。
初三中考数学复习 矩形的性质与判定 专项训练题 含答案
初三中考数学复习矩形的性质与判定专项训练题含答案2019 初三中考数学复习 矩形的性质与判定 专项训练题1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A ．对角相等B ．对角线相等C ．对边平行D ．对边相等2．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3. 已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则直角三角形的面积为( )A ．5B ．6C ．7D ．84. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ＝8cm ，∠AOD ＝120°，则AB 的长为( ) A.3cm B ．2cm C ．23cm D ．4cm5. 如图，Rt △ABC 中，DC 是斜边AB 上的中线，EF 过点C 且平行于AB.若∠BCF ＝35°，则∠ACD 的度数是( )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°6. 在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A 、C 作相距为2的平行线段AE 、CF ，分别交CD 、AB 于点E 、F ，则DE 的长是( ) A. 5 B.136 C ．1 D.567. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是 .8. 如图，BE 、CF 分别是△ABC 的高，M 为BC 的中点，EF ＝5，BC ＝8，则△EFM 的周长是 .9. 在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是经过点O 分别与AB 、CD 相交于点E 、F 的直线，则图中阴影部分的面积为 .10. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为______.又N 为BD 的中点，∴MN ⊥BD(三线合一)．点拨：遇直角三角形斜边上有中点的，一般可考虑用直角三角形性质．15. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∵EF ⊥DF ，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB ＋∠CFD ＝90°，∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°，∴∠BEF ＝∠CFD ，在△BEF 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠BEF ＝∠CFDBE ＝CF∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD(ASA)，∴BF ＝CD.。
专题1.2 矩形的性质与判定(能力提升)(原卷版)
专题1.2 矩形的性质与判定（能力提升）（原卷版）一、选择题。
1．（2022春•遵化市期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）A．4B．4C．3D．52．（2021秋•沂水县期末）下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（ ）A．B．C．D．3．（2022•海曙区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD 的垂直平分线，则EF的长为（ ）A．cm B．cm C．cm D．8cm 4．（2021春•洛南县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）A．∠AOB＝60°B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝BC 5．（2022春•黔南州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）A．24B．3.6C．4.8D．56．（2021春•临沭县期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）A．45°B．30°C．20°D．15°7．（2021•天津一模）如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是（0，0），（8，0），（0，6），对角线交点为E，则点E的坐标是（ ）A．（6，8）B．（3，4）C．（8，6）D．（4，3）8．（2022春•碑林区校级期末）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）A．B．C．D．不确定9．（2022•科左中旗二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）A．8B．9C．10D．12 10．（2022•肇东市模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）A．5B．2.5C．4.8D．2.4二、填空题。
矩形的性质与判定练习(含答案)
．
17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，OA OC ，OB OD ，添加一个条件
使四边形 ABCD 是矩形，那么所添加的条件可以是
（写出一个即可）．
18．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，CE BD ，垂足为点 E ，CE 5 ，
A．5
B． 5 3
C．10
D．10 3
7．如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ，使 CE BD ，连接 AE ，如果 ADB 38 ，则 E 的值是 ( )
A． 19
B． 18
C． 20
D． 21
8．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于 O ， BC 2 ， AE BD ，垂足为 E ，
．
24．如图，已知 BEFG 是长方形， A 为 EB 延长线上一点， AF 交 BG 于点 C ， D 为 AC 上 一点，且 AD BD BF ，若 BFG 60 ，则 AFG 的度数为 ．
B．②③
3．下列对矩形的判定中，正确的个数有 (
C．③④ )
D．②④
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
A． 12 5
B． 24 5
C． 18 5
D．5
11．如图所示，矩形 ABCD 中， AE 平分 BAD 交 BC 于 E ，CAE 15 ，则下面的结论中 正确的有 ( ) ① ODC 是等边三角形； ② BC 2 AB ； ③ AOE 135 ； ④ SAOE SCOE ．
矩形的性质和判定典型试题综合训练(含解析)完美打印版
矩形的性质和判定典型试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．127．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S28．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S29．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA 为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．510．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．513．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=．20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有（将正确结论的序号填在横线上）27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是．矩形的性质和判定典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等腰三角形的定义，即可一一判断．【解答】解：如图图1中，∵∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图3中，同法可证∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图4中，△ABC是等腰直角三角形，故选C．6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．12【分析】由全等三角形的判定得到△OFB≌△OED，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．【解答】解：在矩形ABCD中，OB=OD，∠FBO=∠EDO，∴在△OFB与△OED中，∴△FBO≌△EDO，∴S阴影部分=S△ABO=S矩形=×3×4=3．故选A．7．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S2【分析】根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积=△CDB的面积﹣△QKB的面积=△NDK的面积，∴S1=S2．故选：B．8．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，故选B．9．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．5【分析】连接DF，在Rt△CDF中，求出CF，再求出CE即可解决问题．【解答】解：连接DF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=BE=12，DA=BC=DF=13，∠C=90°，∴CF===5，∵EC=BC﹣BE=13﹣12=1，∴EF=CF﹣CE=4．故选B．10．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等求出∠MCP，然后求出∠BCP，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=BC，MP=MC，∵∠PMC=110°，∴∠MCP=（180°﹣∠PMC）=（180°﹣110°）=35°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCP=90°﹣∠MCP=90°﹣35°=55°，∴∠BCP=∠BPC=55°．故选C．11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．5【分析】设FC′=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．13．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小【分析】首先过A作AG⊥BD于G．利用面积法证明PE+PF=AG即可．【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，则S△AOD=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴PE+PF=AG，∴PE+PF的值是定值，故选C．14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．【分析】连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．【解答】方法一：解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，∴平行四边形AOC1B的面积=S，∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．故选：B．二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是9．【分析】连接EO，延长EO交AB于H．只要证明四边形ADEO是平行四边形，推出OE=AD，再证明OH 是△ADB的中位线，可得OE=AD，延长即可求出EH解决问题．【解答】解：连接EO，延长EO交AB于H．∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，∴四边形ADEO是平行四边形，∴AD=OE=6，∵OH∥AD，OB=OD，∴BH=AH，∴OH=AD=3，∴EH=OH+OE=3+6=9，故答案为9．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=5．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为520．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是6．【分析】用矩形的面积减去△ADQ和△BCP的面积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4．S阴影=S矩形ABCD﹣S△BPC﹣S△ADQ=AB•CB﹣BC•MB AD•AM=4×3﹣4×BM﹣×4×AM=12﹣2MB﹣2AM=12﹣2（MB+AM）=12﹣2×3=6．故答案为：6．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于7．【分析】连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，CH=CD﹣DH=4﹣1=3，∴AE=CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF=GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG=FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积=4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），=24﹣3﹣2﹣3﹣2，=14，∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．故答案为：7．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为10cm2．【分析】本题主要考查矩形的性质，找出题里面的等量关系求解即可．【解答】解：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，∴CE=4，CF=3．∴四边形DBFE的面积=8×4﹣8×4÷2﹣4×3÷2=10cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是 2.4．【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C=90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C=∠PFC=∠PEC=90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，由三角形面积公式得：×4×3=×5×CP，∴CP=2.4，即EF=2.4，故答案为：2.4．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．【分析】分为三种情况：①OP=OD时，②DO=DP时，③OP=PD时，根据点B的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形，∴OC=AB=4，∵D为OA中点，∴OD=AD=5，∵P在BC上，∴P点的纵坐标是4，以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，如图1所示：此时OP=OD=5，由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，如图2所示：此时DP=OD=DP′=5，由勾股定理得：DM=DN=3，即P的坐标是（2，4），P′的坐标是（8，4）；③作OD的垂直平分线交BC于P，如图3所示：此时OP=DP，P的坐标是（2.5，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是16．【分析】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有①③④（将正确结论的序号填在横线上）【分析】①正确．只要证明BO=BC，OF=FO即可解决问题；②错误．可以证明△EOB≌△FCB，由此即可判断；③正确．只要证明△DEF是等边三角形即可．④正确．只要证明S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S即可；△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，OA=OC，∴OB=OA=OB，∵∠COB=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠DCA=30°，∵FO=FC，BO=BC，∴BF垂直平分OC，故①正确，∴∠FBC=∠OBE=30°，∴∠FOC=∠FCO=30°，∴∠FOB=90°，∵CD∥AB，∴∠FCO=∠EAO，∵∠FOC=∠AOE，OA=OC，∴△FOC≌△EOA，∴OE=OF，∴BF=BE，∵∠BOE=∠BCF=90°，∠EBO=∠CBF，∴△EBO≌△FBC，故②错误，∵DF∥EB，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴∠EDF=∠FBE=60°，∵∠DFE=180°﹣∠CFO=60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE=EF，故③正确，易知CM=AC，AE=CF=BF=BE，∴S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S△ABC，∴S△AOE：S△BCM=2：3．故④正确，故答案为①③④27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=120°﹣90°=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2，由勾股定理，AB===．故答案为：．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．【分析】（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形AECD是平行四边形，又∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO=EO，∵∠AOE=60°∴△AOE为等边三角形，∴AO=AE=2，∴AC=2OA=4．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，结合条件可先证得四边形ADEC为平行四边形，结合AC⊥BC，可证得结论；（2）由直角三角形的性质可求得AB的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再利用矩形的性质可求得AD的长，结合AC可求得矩形ADEC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE=90°．∴四边形ADEC是矩形；（2）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．∵M是AB的中点，∴AB=2CM=10．∵AC=8，∴BC==6．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD．又∵四边形ADEC是矩形，∴EC=AD．∴EC=BC=6．∴矩形ADEC的面积=6×8=48．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【分析】（1）可用三角形中位线定理求解，易知DG、EF分别是△ABC和△BOC的中位线，那么DG、EF 都平行且相等于BC，即DG与EF平行且相等，由此可证得四边形DEFG是平行四边形．（2）连接OA，则DE∥OA∥GF；若四边形DEFG是矩形，则DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判断出O点所处的位置．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上（且不与点A和垂足重合）理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵O点在BC边的高上，∴AO⊥BC，∴AO⊥EF，∵DE∥OA，∴DE⊥EF，∴四边形DEFG是矩形．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】（1）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：如图所示：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO；（2）解：∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．【分析】（1）证出∠A=90°即可；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，又∠BPC=∠AQP，∴∠CPQ=∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A=∠CPQ=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），∴DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2 ∴x2+22=（6﹣x）2，解得：x=∴AQ的长是．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．【分析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可；（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°，∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2，∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2，∵CF=CO，∴CF=2，过O作OH⊥CE于H，∴OH=OC=1，∴S四边形AOFE=S△AEC﹣S△COF=×2×2﹣×2×1=2﹣1．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=20．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是20≤m＜28．【分析】（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再利用三角形中位线的性质得出EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，进而求出即可；（2）①利用轴对称图形的性质得出答案即可；②利用两点之间线段最短以及三角形三边关系得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）如图2，连接AC，BD，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=BD==10，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点，∴EH，EF，FG，HG，分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，∴m=EF+FG+GH+HE=AC+BD=10+10=20；（2）①如图3所示（虚线可以不画），②由图形可知，四边形的周长即折线HM的长，由两点之间线段最短可知，折线HM≥20，即周长不小于20；又由题可知，四边形周长小于矩形ABCD的周长，即周长小于28，故20≤m＜28．故答案为：20；20≤m＜28．。
《矩形的判定》提高训练
《矩形的判定》提高训练一、选择题（本大题共5小题，共分）1．（5分）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（5分）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．测量门框的三个角，是否都是直角3．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．B．C．2D．34．（5分）如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（）A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P 不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．≤AM＜6B．5≤AM＜12C．≤AM＜12D．≤AM＜6二、填空题（本大题共5小题，共分）6．（5分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝时，四边形ABEC是矩形．7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10．P为BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为．8．（5分）在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为．9．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，边接EF，则EF的最小值为cm．10．（5分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共分）11．（10分）如图，在▱ABCD，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD、EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠BOD＝100°，则当∠A＝时，四边形BECD是矩形．12．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．（1）求证：四边形AEBC是矩形；（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．13．（10分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．14．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，已知BD＝CD，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE延长线于点F，连接AD，BF，求证：四边形AFBD是矩形．15．（10分）如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）判断并证明四边形AFBD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形，证明你的结论．《矩形的判定》提高训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共分）1．（5分）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．故选：B．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．（5分）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．测量门框的三个角，是否都是直角【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形，可求得答案．【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴检查一个门框是矩形的方法是：一个角是直角的平行四边形是矩形．∵一个角是直角的平行四边形是矩形，∴检查一个门框是矩形的另一个方法是：先测得门框的两组对边是否分别相等，再测其用重锤线检查竖门框是否与地面垂直∵两条对角线相等的平行四边形是矩形，∴测量两条对角线是否相等可用．而测量两条对角线是否互相平分不能判定是否是矩形，故选：C．【点评】此题考查了矩形的判定．注意熟记定理是解此题的关键，注意排除法在解选择题中的应用．3．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．B．C．2D．3【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AM＝，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．4．（5分）如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（）A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形B．若BE＝CE时，四边形BHCG为矩形C．若HE＝CE，则四边形BHCG为平行四边形D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝【分析】由∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H可得∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG即可得HE＝EC＝EG，再根据A，B，C，D的条件，进行判断．【解答】解：∵∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H，∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG；∵DE∥AC．∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG．∴EC＝EG；同理：HE＝EC，∴HE＝EC＝EG＝HG；若CH∥BG，∴∠HCG＝∠BGC＝90°，∴∠EGB＝∠EBG，∴BE＝EG，∴BE＝EG＝HE＝EC，∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，∴CHBG是矩形；故A正确；若BE＝CE，∴BE＝CE＝HE＝EG，∴CHBG是平行四边形，且∠HCG＝90°，∴CHBG是矩形，故B正确；若HE＝EC，则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形，故C错误；若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，∴CE＝，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，关键是灵活这些判定解决问题．5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P 不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．≤AM＜6B．5≤AM＜12C．≤AM＜12D．≤AM＜6【分析】首先证明四边形AEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长AM经过点P，推出EF＝AP，可得AM＝EF＝P A，求出P A的最小值可得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠PEA＝∠PF A＝∠EAF＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长AM经过点P，∴EF＝AP，AM＝EF＝P A，当P A⊥CB时，P A＝＝，∴AM的最小值为，∵P A＜AC，∴P A＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6，故选：A．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当AP⊥BC时，AP最小，且AP＜AC．二、填空题（本大题共5小题，共分）6．（5分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC＝FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE＝∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC＝∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10．P为BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为．【分析】根据题意可证△ABC是直角三角形，且PE⊥AB，PF⊥AC，可得AEPF是矩形，则AP＝EF，根据垂线段最短，可求AP的最小值，即EF的最小值．【解答】解：连接AP∵AB2+AC2＝100，BC2＝100∴AB2+AC2＝BC2∴∠BAC＝90°且PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AEPF是矩形∴EF＝AP∴当AP值最小时，EF的值最小∴根据垂线段最短则当AP⊥BC时，AP的值最小此时，∵S△ABC＝×AB×AC＝AP×BC∴AP＝∴EF的最小值为故答案为【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短，本题的关键是证EF＝AP．8．（5分）在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为．【分析】根据题意可证△ABC是直角三角形，则可以证四边形AEPF是矩形，可得AP＝EF，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得AP＝EF＝2PM，则AP值最小时，PM值最小，根据垂线段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值．【解答】解：连接AP，∵AB2+AC2＝169，BC2＝169∴AB2+AC2＝BC2∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AEPF是矩形∴AP＝EF，∠EPF＝90°又∵M是EF的中点∴PM＝EF∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小．根据垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小此时S△ABC＝AB×AC＝BC×AP∴AP＝∴EF＝∴PM＝故答案为【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EF＝AP9．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，边接EF，则EF的最小值为cm．【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：如图，连接CD．∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝＝5（cm），∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×4×3＝×5•CD，解得CD＝（cm），∴EF＝．故答案为．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB 时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．10．（5分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF最小值是．【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝8，AB＝6，由勾股定理得：BC＝10，由三角形面积公式得：×8×6＝×10×AP，∴AP＝，即EF＝，故答案为：【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．三、解答题（本大题共5小题，共分）11．（10分）如图，在▱ABCD，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD、EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠BOD＝100°，则当∠A＝50°时，四边形BECD是矩形．【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝50°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠BOD＝100°，则当∠A＝50°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案是：50°．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．12．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．（1）求证：四边形AEBC是矩形；（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出四边形AEBC是平行四边形，求得∠CAE＝90°，于是得到四边形AEBC是矩形；（2）根据三角形的内角和得到∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，推出△AOE是等边三角形，得到AE＝EO，求得∠GOF＝∠GAF＝30°，根据直角三角形的性质得到OG＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DA＝AE，∴AE＝BC，AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵AC⊥AD，∴∠DAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴四边形AEBC是矩形；（2）∵EG⊥AB，∴∠AFG＝90°，∵∠CAB＝30°，∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，∵四边形AEBC是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴△AOE是等边三角形，∴AE＝EO，∴AF＝OF，∴AG＝OG，∴∠GOF＝∠GAF＝30°，∴∠CGO＝60°，∴∠COG＝90°，∵OC＝OA＝AB＝3，∴OG＝，∴△OGC的面积＝×3×＝．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．13．（10分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．【分析】根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．14．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，已知BD＝CD，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE延长线于点F，连接AD，BF，求证：四边形AFBD是矩形．【分析】首先证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB ＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA），∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．15．（10分）如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）判断并证明四边形AFBD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形，证明你的结论．【分析】（1）由于E是AD中点，则AE＝DE，而AF∥BC，那么∠F AE＝∠CDE，又∠AEF＝∠DEC，利用ASA可证△AFE≌△DCE，于是有AF＝CD，又AD是中线，则BD ＝CD，等量代换有AF＝BD；（2）结论：AB＝AC．由（1）知四边形AFBD是平行四边形，而AB＝AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD 是矩形；【解答】解：（1）结论：四边形AFBD是平行四边形．理由：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵AF∥BD，∴∠F AE＝∠CDE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△AFE≌△DCE（ASA），∴AF＝CD，又∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形．（2）结论：AB＝AC．理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵四边形AFBD为平行四边形，∴四边形AFBD为矩形．【点评】本题利用了中点定义、平行线的性质、等量代换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理、平行四边形的判定、矩形的判定．。
2023学年九年级上学期数学同步精讲精练(北师大版)1-2 矩形的性质与判定(习题)(含详解)
1.2矩形的性质及判定分层训练提分要义【基础题】1．下列说法中正确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm ，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm ，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 6. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )A.0B.1C.2D.37. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°8．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD 的面积为8，则BE＝( )2A.2B.3C.22D.39.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A. 2aB. 22a C. 3a D.10.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4C.D.【中档题】11．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．12. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．13.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.14.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.15.在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD 的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【综合题】18. 如图在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,M,N在对角线AC上,且AM＝CN,E,F分别是AD,BC的中点.(1)求证:△ABM≌△CDN;(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF＝90°,求AG的长.19．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．1.2矩形的性质及判定分层训练提分要义【基础题】1．下列说法中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分【答案】D；【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.4．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45° C．60° D．75°【答案】C．【解析】过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 【答案】D ；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.6. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】C ；【解析】当BP=AB 或BP=BC 时，∠APE 是直角.7. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°【答案】B ；【解析】∠EMF ＝∠EMB ′＋∠FMB ′＝21∠BMC ′＋21∠CMC ′＝21×180°＝90°. 8．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )A.2B.3C.22D.32【答案】C ；【解析】过点C 做BE 垂线，垂足为F ，易证△BAE ≌△CBF ，所以BF ＝AE ，BE ＝CF ，所以总面积＝AE ×BE ＋CF ×EF ＝ AE ×BE ＋BE ×（BE －AE ）＝28BE =，22BE =.9.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（ ）A. 2aB. 22a C. 3a D.【答案】 B 【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】 【解答】解：∵CD ⊥AB ，CD=DE=a ，∴CE= a ，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，点E 是AB 的中点，∴AB=2CE=2 a ， 故选B ．【分析】根据勾股定理得到CE= a ，根据直角三角形的性质即可得到结论10.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM=3，BC=10，则OB 的长为（ ）A. 5B. 4C.D.【答案】 D 【考点】矩形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∴OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC==2 ， ∴BO= AC= ，故选D ．【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【中档题】11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______． 【答案】136； 【解析】设AE ＝CE ＝x ，DE ＝3x -，()22232x x =-+，136x =. 12. 如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4cm ，则矩形对角线AC 长为________cm ．【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC ＝2AO ＝2AB ＝8cm ．14. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为_______.【答案】6；【解析】设AB ＝AF ＝x ，BE ＝EF ＝3，EC ＝5，则CF ＝4，()22284x x +=+，解得6x =.14.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是边AD 上的动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为_________. 【答案】125； 【解析】BD ＝5，利用面积法，PE ＋PF ＝△AOD 中OD 边上的高＝345⨯. 15.在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝3，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A '，当点E 、A '、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为 ．【答案】1或11；【解析】在旋转过程中A 有两次和E ，C 在一条直线上，第一次在EC 线段上，第二次在CE 线段的延长线上，利用平行的性质证出CF ＝CE ，即可求解；如图1：将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A '，∴∠AEF ＝∠EA 'F ，AE ＝A 'E ，∵AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴CF ＝CE ，∵AB ＝6，AD ＝3，AE ＝2，∴CF ＝CE ＝6﹣DF ，A 'E ＝2，BE ＝4，BC ＝3，∴EC ＝5，∴6﹣DF ＝5，∴DF ＝1；如图2：由折叠∠FEA '＝∠FEA ，∵AB ∥CD ，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴CF＝5，∴DF＝11；故答案为1或11；16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【答案】见解析。
矩形的性质与判定培优含答案
201705矩形的性质和判定培优一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图所示，在中，，为边上一动点，于点，于点，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减小2. 如图，是矩形的边上一个动点，矩形的两条边，的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是A. B. C. D. 不确定3. 如图，在矩形中，，，平分，过点作于，延长、交于点，下列结论中：①；②；③；④；正确的个数为A. 个B. 个C. 个D. 个4. 如图，在中，于点，于点，为的中点，，，则的周长是A. B. C. D.5. 如图所示，中，，是上一点，且，是上任一点，于点，于点，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④．其中结论正确的序号是A. 只有①②③B. 只有①③④C. 只有②④D. ①②③④6. 如图，，矩形的顶点，分别在，上，当点在边上运动时，点随之在边上运动．若矩形的形状保持不变，其中，，则运动过程中点到点的最大距离为A. B. C. D.7. 如图，四边形中，，，为上一点，分别以，为折痕将两个角（，）向内折起，点，恰好落在边的点处．若，，则的值是A. B. C. D.8. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，，则点的坐标是 ( )A. B. C. D.9. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤正方形．其中正确结论的序号是 ( )A. ①③④B. ①②⑤C. ③④⑤D. ①③⑤10. 如图，正方形中，点分别在上，是等边三角形，连接交于，下列结论：①，②，③垂直平分，④，⑤．其中正确结论有个．A. B. C. D.11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一动点，则的最小值为 ( )A. B. C. D.12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ( )A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共9小题；共45分）13. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为．14. 如图，在中，，，，点，分别在，上，沿将翻折，使顶点的对应点落在边上，若，则等于．15. 如图，矩形中，，，是边上的动点，于点，于点，则的值为：．16. 如图，已知中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转得到，若点是的中点，连接，则．17. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于点，交于点，点是中点且，给出以下结论：①；②是等边三角形；③；④其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）18. 如图，折叠矩形纸片，得折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕．若，，则．19. 在平面直角坐标系中，已知， . 为轴上的动点，以为边构造，使点在轴上，，为的中点，则的最小值为．20. 如图，正方形的边长是，点在边上，，点是边上不与点，重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为．21. 如图，四边形是矩形纸片，．对折矩形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接，，延长交于点．有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤为线段上一动点，是的中点，则的最小值是．其中正确结论的序号是．三、解答题（共16小题；共208分）22. 如图所示，已知正方形，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，，恰有，将线段绕点顺时针旋转得，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点，连接．（1）求证：．（2）试猜想四边形是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以说明．23. 【探究发现】按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（）的面积．（单位：厘米，阴影部分的面积依次用，，表示）（1）；；．（2）上题中，重新设定正方形的边长，，并再次分别求出阴影部分（）的面积：；；．（3）归纳总结你的发现：．（4）【推理反思】按（图甲）中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是，大正方形的边长是，求：阴影部分（）的面积．（5）【应用拓展】（1）按（图甲）方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是，则图甲中阴影三角形的面积是．（2）如图乙，是线段上任意一点，分别以，为边在线段同侧构造等边三角形和等边三角形，若的面积是，则图乙中阴影三角形的面积是．24. 如图，在平行四边形中，，于点，交于点．若，求的大小．25. 如图，在中，是高线，是中线，，于点，（1）求证：是的中点．（2）．26. 如图所示，在平行四边形中，，点是的中点，于，如果，求的度数．27. 在平行四边形中，的平分线交直线于点，交延长线于点，连接．（1）如图，若，为的中点，连接，，，①求证：②求证：；（2）如图，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接，，判断的形状，并说明理由．28. 在矩形和中，，．（1）如图1，当点在对角线上，点在边上时，连接，取的中点，连接，，则与的数量关系是，；（2）如图2，将图 1 中的绕点旋转，使点在的延长线上，（1）中的其他条件不变．①中与的数量关系仍然成立吗?请证明你的结论；②求的度数．29. 请同学们仔细阅读以下内容：数学课上，老师向同学们介绍了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图 1，在中，，点是边的中点，则．请同学们借助以上知识点探究下面问题：如图2，，，．绕着边的中点旋转，，分别交线段于点，．（1）观察：（i）如图3、图4，当或时，（填“ ”，“ ”或“ ”）．（ii）如图 5，当时，（只填“ ”或“ ”）．（2）猜想：如图2，当时，若点是点关于直线的对称点，则，证明你所得到的结论．（3）如果，请直接写出的度数．30. 如图①，在中，是的中点，直线绕顶点旋转．若点，在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接， .（1）延长交于点（如图②）．求证：①② .（2）若直线绕点旋转到如图③所示的位置，点，在直线的同侧，其他条件不变，此时还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形的形状；此时还成立吗（不必说明理由）?31. 在中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，是边中点，连接和，（1）如图 1 所示，若，则和的数量关系是；（2）如图2 所示，若其他条件不变，则和具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程；（3）在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和，请在图 3 中补全图形，并直接判断的形状．32. 如图1，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点，分别在和上，连接，．（1）试猜想线段和的数量关系是；（2）将正方形绕点逆时针方向旋转（），（i）判断（1）中的结论是否仍然成立?请利用图 2 证明你的结论；（ii）若，当取最大值时，求的值．33. 已知：在与中，，，．（1）如图1，点，分别在边，上，连接，，点为线段的中点，连接，则线段与之间的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1 中的绕点逆时针旋转，旋转角为（）．连接，，点为线段的中点，连接．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，将图 1 中的绕点逆时针旋转到使的一边恰好与的边在同一条直线上时，点落在上，点为线段的中点．请你判断（1）中线段与之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．34. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，连接，．（1）当点在何处时，的值最小；（2）当点在何处时，的值最小，并说明理由；（3）当的最小值为时，求正方形的边长．35. 如图，将矩形沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，于点，连接，．（1）求证：为等腰三角形；（2）设，，．请写出一个，，三者之间的数量关系式；（3）若，，求重叠部分的面积和的长．36. 定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）①如图1，准矩形中，，若，，则；②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，正方形中，点，分别是边，上的点，且，求证：四边形是准矩形；（3）已知，准矩形中，，，，当为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是．37. （1）问题提出：如图①，请你过的顶点作一条直线，使得将的面积分成相等的两部分；（2）问题探究如图②，已知矩形，若在边，上分别存在一点，（不含端点），且直线将矩形分成面积相等的两部分，画出图形，并探究和的数量关系，写出证明过程；（3）问题解决如图③，王叔叔家有一块四边形菜地，他打算过点修一条笔直的小路把四边形菜地分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物．已知米，米，．过点是否存在一条直线将四边形的面积平分?若存在，求出平分该四边形面积的线段长；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. C 【解析】提示：连接．．2. C 【解析】连接．利用三角形的面积与三角形的面积等于三角形的面积．3. C 【解析】四边形是矩形，.，，..四边形是矩形，，，， .是等边三角形.， .平分，.，...②正确；，，.，.，...③正确；是等边三角形，.四边形是矩形，，， ..，，即 .④正确.4. C 【解析】，为的中点，，，为的中点，，的周长．5. B【解析】在中，，，，，是等腰三角形，故①正确；无法说明，故②错误；连接，则，，故③正确；过点作交的延长线于，则，，，四边形是矩形，，在和中，，，，在中，，即，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④．6. A 【解析】如解图，取的中点，连接，，，，当，，三点共线时，点到点的距离最大．，，，，的最大值为．7. A 【解析】分别以，为折痕将两个角（，）向内折起，点，恰好落在边的点处，，，，，，，作于 .，，四边形为矩形，，，在中，，．8. A 9. D 【解析】①，，．又，，（故①正确）；③，．又，，．（故③正确）；②过作，交的延长线于，，，．又③中，，，又，（故②不正确）；④如图，连接，在中，，，又，．，．正方形．（故④不正确）．⑤，，在中，，（故⑤正确）；正方形10. A【解析】四边形是正方形，，．等边三角形，，．．在和中，＝＝（）（故①正确）．，.即（故②正确），，，即 .，垂直平分．（故③正确）．设 .由勾股定理，得，，，...，（故④错误）.，，，（故⑤正确）．综上所述，正确的有个，11. B 【解析】点的坐标为，，点关于对称点的坐标为，的最小值为．12. C 【解析】在矩形中，平分，，是等腰直角三角形，，，，在和中，（），，，，，，故①正确；，（对顶角相等），，，，，，，，故②正确；，，在和中，（），，，故③正确；，，，故④错误；，，不是等边三角形，，即，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③共个．第二部分13.【解析】在中，，，，.即．又于，于，四边形是矩形..是的中点，．因为的最小值即为直角三角形斜边上的高，即 .的最小值是．14.【解析】，，．，，，四边形为平行四边形，又，四边形为菱形，，又，为等边三角形．，．15.16.【解析】连接．过作，垂足为．由题意可知：．为中点，，，，．，．，．17. ①②④18.【解析】在中，，，.由折叠的性质可得，，， ..设，则， .在中，.解得 .即．19.20. 或【解析】①当时，点与点重合，不符合题意舍去；②当时，；③当时，过作，交于，交于．，，，，，．21. ①④⑤【解析】，，．，，垂直平分．为等边三角形，的最小值为的长，．第三部分22. （1）如图所示，过作于点，四边形为正方形，．，四边形为矩形．．，．．（2）四边形为菱形．，，且．．，，．，．．四边形为正方形，，．在和中，，，又由旋转可得．．，．四边形为菱形．23. （1）；；【解析】四边形正方形四边形正方形四边形正方形（2）；；；【解析】若，四边形正方形四边形正方形四边形正方形（3）正方形（4）四边形四边形（5）；【解析】（1）由推理反思得正方形；（2）和都是等边三角形，，，，，．24. 取的中点，连接．四边形是平行四边形，.．，..．，.，，．，．，.．，．25. （1）连接．因为是高线，所以是直角三角形．因为是边上的中线，所以是斜边上的中线．所以．因为，所以．又因为，所以，即是的中点．（2）因为，所以．因为，所以．因为是的一个外角，所以．所以．26. 联结并延长，交的延长线于点，平行四边形，，，．点是的中点，．在和中，，，．，，即．，，．于，即且，，，．27. （1）①平行四边形中，，四边形为矩形.平分，，．又，，，．又，．．②，．在等腰直角三角形中，为中点，，．．在和中，，.（2）是等边三角形．理由：连接，．绕点顺时针旋转至，是等边三角形.， .又四边形是平行四边形，，...是的平分线，.，...在和中，．，．．又，是等边三角形．28. （1）；．（2）仍然成立．分别延长，交于点，如图．四边形是矩形，．，．点在的延长线上，．．是的中点，．在和中，．．在中，．即．②分别延长，交于点，如图 4．，，．点在直线上，，．在和中，．．，．．，．．29. （1）（i）；（ii）（2）证明：连接．点是点关于直线的对称点，，，．中，是的中点，．，，，，．，在和中，，．，．（3）．【解析】，，．，，．30. （1）①，，.，.是的中点，.又，（）．②，，.在中，，.（2）仍然成立．证明如下：延长与的延长线交于点 .，，，，，.是的中点，.又，．，.在中，，.（3）四边形是矩形，仍然成立．31. （1）【解析】，为的中点，，．和为等腰直角三角形，，，，，．（2）如图，作，，垂足分别为，．因为，分别是等腰直角三角形和等腰直角三角形斜边上的高，所以，分别是，的中点．是的中点，，是的中位线．，，，．，．．．，分别是直角三角形和直角三角形，斜边上的中线，，．，．．，，，，，，，．（3）如图所示，是等腰直角三角形．【解析】过点作，垂足为，过点作垂足为，连接，，为中点，为中点，，．，，．．．．是等腰直角三角形．32. （1）（2）（i）成立．以下给出证明：如图，连接，在中，为斜边中点，，，．四边形为正方形，，且，，．在和中，，．（ii）由（1）可得，当取得最大值时，取得最大值．当旋转角为时，，最大值为．如图，此时．33. （1）；（2）（1）的两个结论仍然成立．证明：如图，延长到，使，连接．为中点，为中点，为的中位线．．，．，，．．．为的中位线，．．，．，．即．（3）（1）中线段与之间的数量关系没有发生变化．证明：如图，延长交于，连接，过点作于．，，，．，，．．．为的中点，．四边形是矩形．．．34. （1）当点落在的中点时，的值最小．（2）如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小．理由如下：是正方形对角线上一点，．，，，．，，．在上取一点使得，连接．，，，．，，即，是等边三角形．．．根据“两点之间线段最短”，得最短，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．（3）过点作交的延长线于，．设正方形的边长为，则，．在中，，，解得，（舍去负值）．正方形的边长为．35. （1）如图，连接，交于点；由题意得：；四边形为矩形，，，，，为等腰三角形．（2）由折叠的性质可得，；在中，由勾股定理得：，而，，．（3）由（2）得，．又，得．，．过作于．则四边形为矩形．．．．在中，（）．（）．的面积，的长为．36. （1）；，（2）四边形是正方形，，，，，，，，，四边形是准矩形．（3），，【解析】当时，；当时，；当时，．37. （1）如图①，直线即为所求；（2）如图②，直线即为所求；；证明：在矩形中，，，，又，，．（3）存在．如图③，设平分四边形的面积，连接，过点作于点，过点作于点，则．在中，，，，，在中，，，，．，，．在中，，在中，。
2021-2022学年九年级数学北师大版上册《矩形的性质与判定》训练含答案
2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》训练一．矩形的性质1．菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线长度相等C．对角线平分一组对角D．对角线互相平分2．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．邻角互补C．对边相等D．对角线相等3．在▱ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N．下面四个推断：①EF＝MN；②EN∥MF；③若▱ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；④对于任意的▱ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形．其中，所有正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．②④4．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（）A．B．C．2D．25．如图、在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（）A．4B．2C．5D．46．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA ＝1：2，且AC＝8，则EC的长度为（）A．2B．2C．4D．7．如图，在▱ABCD中，BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，作矩形DEBF，则其对角线EF的长为（）A．8B．9C．10D．118．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝5cm，AC，BD交于点O，∠AOD＝2∠AOB＝120°，则BC＝（）A．5cm B．5cm C．5cm D．5cm9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8B．10C．12D．2010．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH 的面积（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，再减小11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝1，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AD边上的中点，P是AB边上的一动点，M、N分别是PE、PC的中点，则线段MN的长为．二．矩形的判定14．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（）A．AB＝AD B．∠AOB＝60°C．AC⊥BD D．∠OBC＝∠OCB三．矩形的判定与性质15．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形16．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.517．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B 重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长．20．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求AB的长．21．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．（1）求证：四边形OBEC为矩形；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若FG＝5，EF＝4，求CG的长．23．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD，DC，CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．24．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝4，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积．26．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB中点，∠BNC＝2∠DCM，BN＝2，求CN的长参考答案一．矩形的性质1．解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，故选：D．2．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．故选：D．3．解：如图，连接EN，MF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，在△EAO和△FCO中，，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴EO＝FO，同理可得OM＝ON，∴四边形EMFN是平行四边形，∴EN∥MF，EF与MN不一定相等，故①错误，②正确，若四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），∴∠EOM＜∠AOD＝90°，∴不存在四边形ENFM是菱形，故③错误，当EO＝OM时，则EF＝MN，又∵四边形ENFM是平行四边形，∴四边形ENFM是矩形，故④正确，故选：D．4．解：设矩形的长、宽分别为a、b，∵矩形的对角线为1，面积为m，∴a²+b²＝1，ab＝m，∴a+b＝＝＝，∴矩形的周长为2（a+b）＝2，故选：C．5．解：连接AC，∵点A（4，﹣2），点C（1，2），∴AC＝＝5，∵四边形ABCO是矩形，∴OB＝AC＝5，∴点B的横坐标为5，故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC＝AC＝4，∴EC＝DC＝2，故选：B．7．解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，∴DB＝8，∵矩形DEBF，∴EF＝DB＝8，故选：A．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝2∠AOB＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝5cm，∴AC＝2OA＝10（cm），∴BC＝＝＝5（cm），故选：C．9．解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，CE，则BE＝2AB＝8，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，∴CE＝＝＝10，∴PC+PB的最小值为10，即PC+QD的最小值为10，故选：B．10．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），同理Rt△AEH≌Rt△GFC，∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝（a﹣2c）x+bc，∵E是AB的中点，∴a＝2c，∴a﹣2c＝0，∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，故选：C．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵OE⊥BC，∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，又∵BC＝2AF，∵AF＝BE，在Rt△AFO和Rt△BEO中，，∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），∴∠AOF＝∠BOE，∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，∴∠BOE＝60°，∵OB＝OD＝6，∴BE＝OB•sin60°＝6×＝3，故答案为：3．12．解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE．以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵AB＝3，AD＝2，点E是BC的中点，FB＝1，∴BE＝，AF＝2，∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝，∴∠ADF＝∠FEB＝30°，∵EF＝＝＝2，DF＝＝＝4，∴OE＝OF＝EF＝2，∴△OEF是等边三角形，∴∠EP1F＝∠FP2F＝∠FP3E＝30°，∴FP1＝2，FP2＝4，FP3＝2，故答案为2或4或2．13．解：连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∠D＝90°，∵E是AD边上的中点，∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝2，∵M，N分别是PE、PC的中点，∴MN是△PCE的中位线，∴MN＝CE＝，故答案为：．二．矩形的判定14．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．三．矩形的判定与性质15．解：A、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、∵矩形的对角线相等，∴选项C符合题意；D、∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴选项D不符合题意；故选：C．16．解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．17．解：连接OP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，∵当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，∵AB＝4，∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．18．解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，当CD⊥AB时，∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝＝，∴EF的最小值为，故答案为：．19．（1）证明：AE∥BC，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90，∴四边形AEBD是矩形；（2）解：连接AG，∵F是AB的中点，GF⊥AB，∴GA＝GB，∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4，∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4，设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x，∵四边形AEBD是矩形，∴∠E＝90°，在Rt△AEG中，∵EA2+EG2＝AG2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即EG＝3．20．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四边形DFBE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴四边形DFBE是矩形；（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，∴AE＝，DE＝AE＝，∵四边形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝，∵AF平分∠DAB，∴∠F AB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，∴AB＝BF＝．21．（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形OBEC为矩形，∴OE＝CB，设OC＝x，则OB＝2x，∴BC＝＝＝x，∵BC＝OE＝2，∴x＝2，∴OC＝2，OB＝4，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OB＝8，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×8＝16．22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∵E是AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE∥CD，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥CD，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OEFG是矩形，∴OE＝FG＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝DE＝5，CD＝AD＝2OE＝10，在Rt△DEF中，DF＝＝＝3，∴CG＝CD﹣FG﹣DF＝10﹣5﹣3＝2．23．证明：（1）∵OC＝AO，OD＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接OE交AB于F，∵EC⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE∥BO，∴∠AEC＝∠CFD＝90°，即△AEC是直角三角形，∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，∴EO＝AO，∵四边形AEBO是平行四边形，∴OB＝AE，∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠OAE＝60°，∵∠OAE+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴平行四边形AMCN是矩形；（2）解：由（1）得：MN＝AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝45°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴MN＝2．25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝4，∴AO＝AC＝2，AB＝4，BO＝2，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×4×4＝8．26．证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）如图2，延长BA，CM交于点E，∵M为AD的中点，N为AB中点，∴AN＝BN＝2，AM＝MD，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DMC（AAS），∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．。
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》自主提升训练(附答案)
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》自主提升训练（附答案）1．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC 的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（）A．12.5B．12C．10D．10.52．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥BG交CD于点E，CB＝CE，连接CG 交BE于点F，则∠ECF的度数为（）A．30°B．22.5°C．25°D．15°3．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH 的面积（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，再减小4．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（）A．2或B．6或C．2或6D．1或5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为（）A．B．5C．D．36．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．27．如图，P点为矩形ABCD两对角线的交点，将P点分别以AD、BC为对称轴画出对称点Q、R，形成六边形QABRCD．若AB＝2，AD＝4，则六边形QABRCD的周长为何？（）A．12B．4+2C．4+4D．4+48．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC9．下列说法中，正确的是（）A．当x≠﹣1时，有意义B．对角线相等的四边形是矩形C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等D．若a＜b，则m2a＜m2b一定成立10．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90°D．BE⊥DC11．如图，在矩形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．（1）如图1，以CD为底向内作等腰△CDE，延长DE恰好交CB延长线于点P，交AB 于点F，若AF＝5BF，EC＝6，求EF的长；（2）如图2，若∠APB＝60°，AB＝AD，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE 平分∠ADC交AF于点E，连接PE．求证：P A+PC＝PE．12．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．（1）求证：CE＝FE；（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．13．如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．（1）求证：HE＝HG；（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值；14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（2）求证：PC⊥CF．15．如图，E是矩形ABCD边AD上一点，BE⊥CE，延长CD至F使CF＝AD，连接FE并延长交BC于点G．（1）若BE＝4，CE＝3，求EF的长；（2）若EG平分∠BEC，求证：点C到FG的距离为BE．16．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．17．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．18．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD、DC、CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．19．已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．参考答案1．解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，∴CG＝DG＝×12＝6，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG（ASA），∴DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，在Rt△DEG中，EG＝＝，∴EF＝2，∵FH垂直平分BE，∴BF＝EF，∴6+2x＝2，解得x＝4.5，∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，∴BC＝AD＝10.5．故选：D．2．解：取BE的中点O，连接OG，OC，∵O，G为中点，∴OG为四边形ADEB的中位线，∴AB∥OG∥DE，∴∠OGC＝∠ECF，∵CE＝BC，∠BCE＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠CBE＝∠BEC＝45°，∵∠BCE＝90°，O为BE的中点，∴OC＝OE＝BE，∴∠OCE＝∠OEC＝45°，∵GE⊥BG，O为BE的中点，∴OG＝BE，∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∴∠OCG＝∠ECF＝∠OCE＝22.5°，故选：B．3．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），同理Rt△AEH≌Rt△CGF，∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝（a﹣2c）x+bc，∵E是AB的中点，∴a＝2c，∴a﹣2c＝0，∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，方法二：连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），∴DG＝BE＝CD＝AE，∴四边形AEGD为平行四边形，∵∠A＝90°，∴▱AEGD为矩形，同理四边形EBCG为矩形，∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFG＝EG•DG+EG•GC＝EG•DG＝EG•CD＝S矩形ABCD．故选：C．4．解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，，解得，，即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，，解得：，即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等．故选：B．5．解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，得矩形ADHF，延长CA交x轴于点G，∴HF＝AD，AF＝HD，∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝，∵四边形AOBC是矩形，∴OB＝AC，AC∥OB，∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，∵∠AFC＝∠OEB＝90°，∴△AFC≌△OEB（AAS），∴CF＝BE，AF＝OE＝，∵HF＝AD＝1，HC＝4，∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，OH＝OD﹣DH＝OD﹣AF＝2﹣＝，∴HE＝OH+OE＝+＝2，∴矩形AOBC的面积为：S梯形BCHE+S梯形ADHC﹣S△BEO﹣S△ADO＝（BE+CH）×EH+（AD+CH）×DH﹣×OE•BE﹣AD•OD ＝（3+4）×2+（1+4）×﹣×3﹣1×2＝4+﹣﹣1＝．故选：A．6．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故选：C．7．解：如图，连接PQ交AD于点E，根据题意可知：QP和AD互相垂直平分，∴AE＝DE＝2，PE＝QE＝1，AQ＝DQ，∴AQ＝＝，∴AQ＝DQ＝，同理可得，BR＝CR＝，则六边形QABRCD的周长为4AQ+2AB＝4+4．故选：D．8．解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故选：B．9．解：A、∵当x＞﹣1时，有意义，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴选项C符合题意；D、∵0＜a＜b，若m＝0时，则m2a＝m2b，∴选项D不符合题意；故选：C．10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；C、∵∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；故选：D．11．（1）解：∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠EDC，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∠ECP+∠ECD＝90°，∴∠EPC＝∠ECP，∴PE＝CE＝6，∴PD＝12，∵PB∥AD，∴，∴PF＝2，DF＝10，∴EF＝4；（2）证明：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∵△CDF是等边三角形，∴∠CDF＝60°，AD＝DF，∴∠DAF＝15°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝120°，又∵DE＝DE，在△ADE和△CDE中，，△ADE≌△CDE（SAS），∴∠AED＝∠CED＝∠AEC＝120°，AE＝CE，∵∠APB＝60°，∴∠APB+∠AEC＝120°，∴点A、P、C、E四点共圆，∴∠APE＝∠EPC＝30°，∴∠PEC＝∠PCE＝75°，∴PE＝PC，设PB＝a，则P A＝2a，AB＝BC＝，∴P A+PC＝2a+a+＝（）＝（BC+PB）＝PC，∴P A+PC＝PE．12．解：（1）连结DE，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，在△ABE和△DF A中，，△ABE≌△DF A（AAS），∴AB＝CD＝DF，在Rt△DFE和Rt△DCE中，，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．∴CE＝FE．（2）∵△DEF≌△DEC，∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，设AD＝x，则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，∴（x﹣1）2+52＝x2，∴x＝13，即AD＝13，∴S矩形ABCD＝AD•DC＝65．13．（1）证明：连接AG，并延长AG交DC的延长线于M，连接EM，∵G为BC的中点，∴BG＝CG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABG＝∠DCB＝90°，∴∠ABG＝∠MCG＝90°，在△ABG和△MCG中，，∴△ABG≌△MCG（ASA），∴GA＝GM，∵F为AE的中点，∴F A＝FE，∴FG是△AEM的中位线，∴FG∥EM，∴∠HGE＝∠MEC，在△DCE和△MCE中，，∴△DEC≌△MEC（SAS），∴∠DEC＝∠MEC，∵∠HGE＝∠MEC，∴∠HEG＝∠HGE，∴HE＝HG；（2）过点B作BQ⊥BP交DE于Q，则∠QBP＝90°，∵AP⊥DE，四边形ABCD是矩形，∴∠APE＝∠ABE＝90°，∵∠APO+∠AOP+∠BAP＝180°，∠EOB+∠ABE+∠BEP＝180°，∠AOP＝∠EOB，∴∠BEQ＝∠BAP，∵∠QBP＝∠ABE＝90°，∴∠EBQ＝∠ABP＝90°﹣∠ABQ，在△ABP和△EBQ中，，∴△BEQ≌△BAP（ASA），∴BQ＝BP，P A＝QE，∴△PBQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∴＝＝＝．14．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，∴DC＝AB＝6，∴AC＝＝10，要使△PCD是等腰三角形，①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，∵∠PCD+∠P AD＝∠PDC+∠PDA＝90°，∴∠P AD＝∠PDA，∴PD＝P A，∴P A＝PC，∴AP＝AC＝5，③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，∵S△ADC＝AD•DC＝AC•DQ，∴DQ＝，∴CQ＝，∴PC＝2CQ＝，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；所以，若△PCD是等腰三角形时，AP＝4或5或；（2）如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC＝∠PDF＝90°，∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，∴∠ADP＝∠CDF，∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝ED，在矩形PEFD中，PF＝DE，∴OC＝PF，∵OP＝OF＝PF，∴OC＝OP＝OF，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°，∴PC⊥CF．15．（1）解：∵BE⊥CE，BE＝4，CE＝3，∴BC＝＝5，在矩形ABCD中，AD＝BC＝5，∴CF＝AD＝5，如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH＝，BH＝，∴AE＝BH＝，CD＝EH＝，∴DE＝AD﹣AE＝5﹣＝，DF＝CF﹣CD＝5﹣＝，∴EF＝＝＝，答：EF的长为；（2）证明：如图，连接FB，∵BC＝CF＝AD，∴∠CBF＝∠CFB＝45°，∴∠EFB+∠EFC＝45°，∵EG平分∠BEC，∴∠BEG＝∠CEG＝BEC＝45°，∴∠EFB+∠EBF＝45°，∴∠EBF＝∠EFC，同理：∠ECF＝∠EFB，∴BE＝EF＝×EC＝2EC，如图，作CM⊥FG于点M，∵∠CEM＝45°，∴EC＝CM，∴BE＝2EC＝2CM，∴CM＝BE，答：点C到FG的距离为BE．16．证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD，又∵AB＝BE，∴BE＝DC，又∵AE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形；（2）证明：由（1）知，四边形BECD为平行四边形∴OD＝OE，OC＝OB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠BCD又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四边形BECD为矩形．18．（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，BO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，∵EC⊥BD，∴∠CFD＝90°，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE∥BO，∴∠AEC＝∠CFD＝90°，即△AEC是直角三角形，∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，∴EO＝AO，∵四边形AEBO是平行四边形，∴OB＝AE，∵OA＝OB，∴AE＝OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴∠OAE＝60°，∵∠OAE+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵EF＝BE，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）解：∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠GCE，∵∠BEA＝∠GEC，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝CG，∵DF∥AC，∴＝，∵DG＝CG，∴FG＝GE，∴四边形DECF是平行四边形，∵DG＝CG，FG＝GE，GE＝CG，∴DG＝CG＝FG＝GE，∴DC＝EF，∴四边形DECF是矩形．20．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，得t＝3故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，则周长为：4AQ＝4×＝15cm面积为：（cm2）．。
矩形的性质和判定典型解答题综合训练(含解析)印刷版
矩形的性质和判定解答题综合训练一．解答题（共20小题）1．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个推论的证明过程．＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（+）．证明：S矩形NFGD＝S△ABC，＝，＝．易知，S△ADC＝S矩形EBMF．可得S矩形NFGD2．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．3．如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点，（1）求证：BC＝DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC 的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．5．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．6．如图，在▱ABCD中，点M、N分别为边AD、BC的中点，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线．（1）求证：AE∥CF；（2）若AD＝2AB，求证：四边形PQRS是矩形．7．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．8．如图所示，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P在AD上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）若点P为AD的中点，如图①，求出PE、PF的值；（2）若点P为AD上任意一点，如图②，求出PE+PF的值．9．如图，已知矩形ABCD，E是AB上一点．（1）如图1，若F是BC上一点，在AD，CD上分别截取DH＝BF，DG＝BE．求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，利用尺规分别在BC，CD，AD上确定点F，G，H，使得四边形EFGH是特殊的平行四边形．（提示：①保留作图痕迹，不写作法；②只需作出一种情况即可）10．如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F 分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．11．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD．（1）求证：FG∥DE；（2）若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形．12．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．13．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝°时，四边形BECD是矩形．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．16．已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．（1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；（2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．17．已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图①，求证：AE＝DF；（2）如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，连接EG，GF，求证△GEF是等腰直角三角形．（提示：过点G作GH⊥AD于点H）19．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）AE＝，EF＝（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．20．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C 的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝时，两点停止运动；（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？矩形的性质和判定解答题综合训练参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个推论的证明过程．＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（S△AEF+S△FCM）．证明：S矩形NFGD＝S△ABC，S△ANF＝S△AEF，S△FGC＝S△FMC．易知，S△ADC＝S矩形EBMF．可得S矩形NFGD【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（S△AEF+S△FCM）．【解答】证明：S矩形NFGD＝S△ABC，S△ANF＝S△AEF，S△FGC＝S△FMC，易知，S△ADC＝S矩形EBMF．可得S矩形NFGD，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC．故答案分别为S△AEF2．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，而AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，则∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，那么有∠HAB+∠HBA ＝90°，再利用三角形内角和定理可知∠H＝90°，同理∠HEF＝∠DEA＝90°，利用三个内角等于90°的四边形是矩形，那么四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB+∠HBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．3．如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点，（1）求证：BC＝DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？【分析】（1）要证明BC＝DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC＝AC．∵DB＝AC，∴DB＝EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC＝DE．（2）添加AB＝BC．理由：连接AD，BE．∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE．∴▭ADBE是矩形．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC 的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．【分析】（1）根据四边形的性质得到AB∥CD，求得∠MAB＝∠NCD．根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）连接EF，交AC于点O．根据全等三角形的性质得到EO＝FO，AO＝CO，于是得到结论．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AC＝＝5，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝3，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．5．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形,∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2，∴x2+62＝（8﹣x）2，解之得：x＝，∴DE＝8﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2，∴BD＝，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．6．如图，在▱ABCD中，点M、N分别为边AD、BC的中点，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线．（1）求证：AE∥CF；（2）若AD＝2AB，求证：四边形PQRS是矩形．【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；（2）首先证明四边形RSPQ是平行四边形，再证明∠QPS＝90°即可；【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE，同法可证：CD＝DF，∴AF＝CE，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DM＝AD，BN＝BC，∴DM＝BN，∴四边形BMDN是平行四边形，∴BM∥DN，∵AE∥CF，∴四边形RSPQ是平行四边形，∵AD＝2AB，AM＝DM，∴AM＝AB，∵PA平分∠BAD，∴PA⊥BM，∴∠QPS＝90°，∴四边形RSPQ是矩形．7．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可；（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．8．如图所示，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P在AD上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）若点P为AD的中点，如图①，求出PE、PF的值；（2）若点P为AD上任意一点，如图②，求出PE+PF的值．【分析】（1）由△PAE∽△CAD，可得＝，即可求出PE，同法可得PF；（2）如图②中，设AC交BD于O，作AH⊥BD于H．连接OP．利用面积法证明PE+PF＝AH，求出AH即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝8，AB＝CD＝6，∴AC＝BD＝＝10，∵P是AD中点，∴PA＝PD＝4，∵PE⊥AC，∴∠AEP＝∠ADC＝90°，∵∠PAE＝∠DAC，∴△PAE∽△CAD，∴＝，∴PE＝，同法可得PF＝．（2）如图②中，设AC交BD于O，作AH⊥BD于H．连接OP．＝S△APO+S△OPD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴S△AOD∴•OD•AH＝•OA•PE+•OD•PF，∴PE+PF＝AH，∵AH＝＝，∴PE+PF＝．9．如图，已知矩形ABCD，E是AB上一点．（1）如图1，若F是BC上一点，在AD，CD上分别截取DH＝BF，DG＝BE．求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，利用尺规分别在BC，CD，AD上确定点F，G，H，使得四边形EFGH是特殊的平行四边形．（提示：①保留作图痕迹，不写作法；②只需作出一种情况即可）【分析】（1）利用全等三角形的性质证明EH＝FG，EG＝FH即可解决问题；（2）根据菱形的判定作出图形即可．【解答】（1）证明：在AD，CD上分别截取DH＝BF，DG＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵DG＝BE，DH＝BF，∴△GDH≌△EBF．∴GH＝EF．∵AD＝BC，AB＝CD，DH＝BF，DG＝BE，∴AD﹣DH＝BC﹣BF，AB﹣BE＝CD﹣DG．即AH＝CF，AE＝CG．∴△AEH≌△CGF．∴EH＝GF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）作图如下：作法：作菱形（如图2）∴四边形EFGH就是所求作的特殊平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F 分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．【分析】（1）要说明四边形EFNM是矩形，有ME⊥CD．FN⊥CD条件，还缺ME＝FN．过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．利用角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论．（2）利用平行四边形的性质，证明直角△DEA，并求出AD的长．利用全等证明△GEA≌△CNF，△DME≌△DGE从而得到DM＝DG，AG＝CN，再利用线段的和差关系，求出MN的长得结论．【解答】解：（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG＝ME，EG＝EM′，∴EG＝ME＝ME′＝MM′同理可证：FH＝NF＝N′F＝NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′＝NN′，∴ME＝NF＝EG＝FH又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，∴四边形EFNM是矩形．（2）∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∵，∠2＝∠DAB，∴∠3+∠2＝90°在Rt△DEA，∵AE＝4，DE＝3，∴AD＝＝5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，又∵∠2＝∠DAB，∠5＝∠DCB，∴∠2＝∠5由（1）知GE＝NF在Rt△GEA和Rt△CNF中，∴△GEA≌△CNF，∴AG＝CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE＝DE，ME＝EG，∴△DME≌△DGE，∴DG＝DM∴DM+CN＝DG+AG＝AB＝5，∴MN＝CD﹣DM﹣CN＝9﹣5＝4．∵四边形EFNM是矩形．∴EF＝MN＝411．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD．（1）求证：FG∥DE；（2）若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形．【分析】（1）依据三角形的中位线定理可得到DE∥AB且DE＝AB、FG∥AB且FG＝AB，从而可证明FG∥DE；（2）首先证明四边形EDFG是平行四边形，然后再证明EF＝DG，最后，依据矩形的判定定理进行证明即可．【解答】解：（1）∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB且DE＝AB．∵点F、G分别是BO、AO的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG∥AB且FG＝AB．∴GF∥DE．（2）由（1）GF∥DE，GF＝DE，∴四边形EDFG是平行四边形．∵AD、BE是BC、AC上的中线，∴CD＝BC，CE＝AC．又∵AC＝BC，∴CD＝CE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CAB＝∠CBA．∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠DAB＝∠EBA，∴OB＝OA．∵点F、G分别是OB、AO的中点，∴OF＝OB，OG＝OA，∴OF＝OG，∴EF＝DG，∴四边形EDFG是矩形．12．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC＝2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CD．13．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝50°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．16．已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．（1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；（2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．【分析】（1）在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+EF2＝12+42＝17，得出DF2+EF2＝DE2，即可得出结论；BF＝＝（2）作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°，证明△AED≌△HED（AAS），得出DA＝DH＝6，EA ＝EH＝4，得出EH＝EB＝4，证明Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），得出BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，得出DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明；∵CF＝2BE＝2，∴BE＝1，∴AE＝AB﹣BE＝7．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝6，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+EF2＝12+42＝17，∴DF2+EF2＝DE2，∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°；（2）解：作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°．∵DE平分∠ADF，∴∠ADE＝∠HDE，在△AED和△HED中，，∴△AED≌△HED（AAS），∴DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，∴EH＝EB＝4，在Rt△EHF和Rt△EBF中，，∴Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），∴BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，∴DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，DC2+CF2＝DF2，∴82+（6﹣x）2＝（6+x）2，∴x＝，即BF＝．17．已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出BE＝AB，AE＝AD，得出△ABE的面积＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，由全等三角形的性质得出△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE的面积＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝AD，∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，如图所示：∵∠CBD＝30°，∴EG＝BE＝×AB＝AB，∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图①，求证：AE＝DF；（2）如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，连接EG，GF，求证△GEF是等腰直角三角形．（提示：过点G作GH⊥AD于点H）【分析】（1）证明△AEM≌△DFM（AAS），即可得出结论；（2）过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME＝MG，进而得出∠EGM ＝45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF＝90°，从而得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠MDF＝90°＝∠A，∵点M 是AD的中点，∴AM＝DM，在△AEM和△DFM中，，∴△AEM和△DFM（AAS），∴AE＝DF；（2）证明：过点G作GH⊥AD于H，如图②，∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，∴四边形ABGH是矩形．∴GH＝AB＝2，∵M是AD的中点，∴AM＝AD＝2，∴AM＝GH．∵MG⊥EF，∴∠GME＝90°．∴∠AME+∠GMH＝90°．∵∠AME+∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠GMH．在△AEM和△HMG中，，∴△AEM≌△HMG（AAS）．∴ME＝MG．∴∠EGM＝45°．由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME＝MF．∵MG⊥EF，∴GE＝GF．∴∠EGF＝2∠EGM＝90°．∴△GEF是等腰直角三角形．19．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）AE＝t，EF＝5﹣2t或2t﹣5（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．【分析】（1）由勾股定理求出AC＝5，由题意得出AE＝CF＝t，即可得出EF＝5﹣2t或2t﹣5，（2）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；（3）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值．【解答】（1）解；∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，由题意得：AE＝CF＝t，∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG与△CEH中，，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形．（3）解：如图所示，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，∴GH＝BC＝4，∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5．②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形20．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C 的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝7时，两点停止运动；（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？【分析】（1）由矩形的性质得出AB+BC＝BC+CD＝14，即可得出答案；（2）分三种情况讨论：当0＜t≤4时，若BP＝BQ，则6﹣t＝2t，得出t＝2；当4＜t≤6时，若PQ＝BQ，则PB＝2CQ，6﹣t＝2（2t﹣8），得出t＝；当6＜t＜7时，由题意可知不存在；即可得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AB+BC＝BC+CD＝14，∵14÷2＝7，∴t＝7；故答案为：7；（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，分情况讨论：当0＜t≤4时，若BP＝BQ，则6﹣t＝2t，∴t＝2；当4＜t≤6时，若PQ＝BQ，则PB＝2CQ，6﹣t＝2（2t﹣8），∴t＝；当6＜t＜7时，由题意可知不存在；综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．。
北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。
2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
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矩形的性质与判定的运用提高训练(含答案)
2017-2018学年八年级数学下册矩形的性质与判定填空题练习
1、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，EF经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是．
2、如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若OM=3，AD=8，则BO= ．
3、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2；（填“＞”或“＜”或“=”）
4、如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为．
5、将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=70°，则∠AED= ．
8、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形
A/B/C/D/的位置，旋转角为a (0°<a<90°)．若∠
1=110°，则a= ．
9、边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．
10、如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为．
13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠
ADB=30°，则EF= ．
14、如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD 的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD= ．
16、如图，矩形纸片ABCD中，AB=2cm，点E在BC 上，且AE=EC. 若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC 上的点B/重合，则AC= ．
17、如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x
轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标
为．
18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
19、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= ．
20、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C落在AB边的中点c，上．若AB=6，BC=9，则BF的长为．
21、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB 上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的点F上，则AF的长为_________．
22、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB=6，BE：EC=4：1，则线段DE的长为．
23、如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，AE ⊥BD于E，若OE：OD=1：2，AC=18cm，则AB= cm．
24、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．
25、如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．
26、如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=3，AC=2，D为斜边AB上一动点（不与点A、B重合），DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是．
27、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段BC的延长线上，连接AE交CD于点F，∠AED=2∠AEB，点G 是AF的中点．若CE=1，AG=3，则AB的长
为．
28、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，由线段EC、BC，弧EB围成的图形的面积为
29、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围
是．
30、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为．
31、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= cm．
32、如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为．
33、如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30o，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP 的最小值是
35、如图，在矩形ABCD中，BC=20 cm，点P和点Q 分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．
36、如图所示，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD 上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋
PF=________．
37、如图，矩形ABCD中，AB=7cm,BC=3cm,P、Q两点分别从A、B两点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针运动，速度均为1cm/s，当点P到达B点时两点同时停止运动，若PQ长度为5cm时，运动时间
为s．
38、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC 边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长
为
40、如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为
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