去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法

周健良

绝对值是初中数学的一个难点.如何化去绝对值的符号呢下面介绍几种去绝对值符号的常用方法.

一、用绝对值的定义

例1 已知1＜a ＜3，求|1-a|+|3-a|的值.

分析 由1＜a 知1-a 是负数，由a ＜3知3-a 是正数，根据绝对值的定义可化去|1-a|+|3-a|的绝对值的符号.

解 ∵1＜a ＜3，∴1-a ＜0，3-a ＞0，故|1-a|+|3-a|= a -1+3-a=2.

例2 计算|2131-|+|3141-|+|4151-|+…+|91101-| 解 原式=10191514141313121-+⋅⋅⋅+-+-+-5

210121=-=. 评析 绝对值的定义也是去绝对值符号的一种方法.先判断绝对值符号里的代数式的值的符号，然后确定去绝对值符号后是原代数式本身还是它的相反数.

二、用绝对值的性质

例3 已知|a|=3，|b|=4，求|a +b|的值.

解 ∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4.

①当a=3,b=4时,|a+b|=3+4=7；

②当a=3,b=-4时,|a+b|=|3+（-4）|=1；

③当a=-3,b=4时,|a+b|=|-3+4|=1；

④当a=-3,b=4时,|a+b|=|（-3）+（-4）|=7.

例4 已知|a-1|+|ab-2|=0,

求()()()()()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值.

解 ∵|a-1|+|ab-2|=0, ∴|a-1|=0,|ab-2|=0,解得a=1,b=2.

∴原式=200820071541431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯ =2008120071514141313121211-+⋅⋅⋅+-+-+-+-=2008

2007200811=-. 评析 互为相反数的绝对值相等，任何一个数的绝对值都是非负数.运用这些性质可去绝对值符号.

三、用数形结合

例5 数a 、b 、c 在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|-|a|+|b|. 解 由图示可得：b ＜0，c ＞a ＞0，∴a+c ＞0.

原式= a+c-a+（-b ）= c-b.

评析 在数轴上，有关的点所对应的数的符号一目了然，并且知道其到原

点的距离的大小.透过图形，可以看清绝对值符号里代数式的值的符号，故能去绝对值符号.

四、用分段比较

例6比较a、|a|、-|a|、|-a|、-|-a|的大小.

解①当a=0时，a=|a|=-|a|=|-a|=-|-a|=0；

②当a＞0时，a=|a|=|-a|＞-|a|=-|-a|；

③当a＜0时，a=-|a|=-|-a|＜|a|=|-a|.

例7 求代数式|x+1|-|x+2|+|x-3|的最小值.

分析代数式中有三个绝对值的符号，x分别取三个特殊值代入计算，比较结果，便可得出结论.

解①当x =-1时，原式=|-1+1|-|-1+2|+|-1-3|=0-1+4=3；

②当x =-2时，原式=|-2+1|-|-2+2|+|-2-3|=1-0+5=6；

③当x =3时，原式=|3+1|-|3+2|+|3-3|=4-5+0=-1.

综上所述，|x+1|-|x+2|+|x-3|的最小值是-1.

评析最小的绝对值是0.由几个绝对值的和、差组成的代数式，若求其最小值，则应分别令各绝对值为0（称为分段），求出相应的字母的值后，再分别代入原代数式，计算结果.通过比较，得出结论.