无穷小与无穷大的关系
高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则
lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
【高等数学】无穷小与无穷大
第一章函数与极限授课教师郑琴§1.5无穷小与无穷大内容提要一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、无穷小的比较预习提纲1.什么是无穷小?一个很小的正数能不能称为无穷小?2.无穷小与函数极限有什么关系？3.什么是无穷大?一个很大的正数能不能称为无穷大?4.无穷大与无界函数是什么关系？5.无穷小与无穷大有什么关系？6.两个无穷小之比的极限是什么情况呢？1.定义00()))0(1,(f x x x x f x x x →→∞→如果函数当或时的极限为那么称为定义：().x →∞或时无穷小的{.,}0n x n →∞特别地以为极限的数列称为时的无穷小,.在某个过程中极限为零变量称为无穷小的,例如0limsin 0x x →=sin 0.x x →是时的无穷小1lim 0x x→∞=1.x x→∞是时的无穷小21lim 10x x +→−=211.x x +−→是时的无穷小,在某个过程中函数的绝对值无无穷小：限变小.,简言之思考：0一个很小的正数是不是无穷小？是否为无穷小？1..不要把无穷小与一个很小的正数混淆注：2.零是可以作为无穷小的唯一常数.2.性质(1).有限个无穷小的代数和是无穷小.无穷个无穷小的代数和不一定是注无穷小：10,lim n n →∞=例如111lim +++1n n n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭n 个3.,指明变量为无穷小必须突出极限过程.(2).有界函数与无穷小的乘积是无穷小.①常数与无穷小的乘积是注无穷小：.②有限个无穷小的乘积是无穷小sin (i)lim x x x →∞01(ii)lim sin x x x →,例如1lim sin x x x →∞=⋅0=无穷小有界函数无穷小有界函数0=201(iii)lim arctan x x x→0=01limarctan x x→无穷小有界函数注：01limsin ,x x →均不存在.lim sin ,x x →∞(),.f x A αα=+充分必要条件是其中是无穷小0(1),()x x x f x A →→∞在自变量的同一变化过程中函数具有定：极限理的3.无穷小与函数极限的关系分析：0lim (),x x f x A →=已知=(),f x A α−令00lim lim (())0,x x x xf x A α→→=−=0x x α→所以是时的无穷小.(),,f x A αα=+若其中是无穷小00lim ()=lim .x x x x f x A A α→→+=则1将一般的极限问题转化为特殊极限意义：的问题.02(),(),.f x x A f x α给出了在处的近似表达式若用作为近似值误差为0x x α→是时的无穷小量.0((),()2)f x x x x f x →→∞对应的函数值定义：如果函数当或时的绝对值xy o 0((.,,))f x x x x →→∞或无穷大无限增大就称函数为简量的称无穷大时,例如1y x =时0,x →10.x x →为时的无穷大x y o tan y x =2π2π−xy o xy e =时2,x π+→−时2,x π−→时,x →+∞x e x +∞→是时的无穷大.1x →+∞tan x →−∞tan x →+∞x e →+∞0()(),f x x x x →∞→无穷大，函数是当时的习惯上或也可称说明：,“函数的极限是无穷大”并记作.,.1无穷大不是数不要把无穷大与一个很大的数混淆注：02.lim ()x x f x →=∞是属于极限不存在的类型3.,指明变量为无穷大必须突出极限过程.()lim ()x f x →∞=∞或0lim ()x x f x →=∞极限不存在的情形思考：1（）无穷大与无界的关系？2（）有限个无穷大的和、差一定是无穷大吗？无穷大 无界不一定！三、无穷小与无穷大的关系1,(2),.()f x f x 在自变量的同一变化过程中如果为无穷大那么为理：无穷小定1,(),()0,.()f x f x f x 反之如果为无穷小且那么为无穷大.关于无穷大的问题可以转化为无意：穷小的问题义.同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小同一过程中的两个无穷小之商是否仍为该过程中思考：的无穷小？2,,,30x x x x →都是时的例如无穷小.200lim lim 0,x x x x x →→==01lim ,33x x x →=203lim x x x→=∞lim 0,(3)c βαβα=≠如果那么就同阶说与是无穷小；lim 0,0(5),k c k k αββα=≠>如果那么就阶说是关于的无穷小；lim 1,,(4)βαβαβα=如果那么就说记作等价无穷小与是.,,,lim 0ββααα≠设是自变量的同一过程中的两个无穷小且也是在这个过(lim 0()),1,3o βαββαα==如果那么就说高阶的是比无穷作小记定义：；m (2)li ,ββαα=∞如果那么低阶的就说是比无穷小；程中的极限.0sin lim 1x x x→=20lim 0x x x→=220,.().x x x x o x →=时是比高阶的无穷小即01lim 33x x x →=0,3.x x x →时与是同阶的无穷小0,si ,s (n in 0).x x x x x x ~→→是等价无穷小记作时时与22222200002sin sin sin 1cos 11222lim lim lim lim 22222x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫ ⎪−==== ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,1cos .2x x x →−时是于的阶无穷小关21.cos x x −与是阶无穷小同021cos lim 112x xx →−=210,1co 2.s x x x →−时与等价无穷小是,,li 3,:m βααββα设在自变量的同一变化过程中且定存在理则lim lim .ββαα=等价无穷小替换定理证:,:求商的极限时分子分母中的无穷小乘积因子可以用其等价无穷注小替换.如果用来替换的无穷小选的合适的话,就可以使计算简化.等价无穷小替换法该定理提供了一种重要的求极限的方法：lim βαlim ααβββα⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭lim lim lim ββαααβ=⋅⋅limβα=0,x →当时常用的等价无穷小：sin xx~①tan x x ~②arctan x x~④1xex −~⑥211cos 2x x−~⑦arcsin x x~③ln(1)x x+~⑤(1)1()x x R μμμ+−∈⑧1ln xa x a−~.4例求下列极限0tan 5(1)limsin 4x x x →22201cos (2)lim sin x x x x →−20tan sin (3)lim ln(1)x x x x x →−+32sin tan (4)lim(11)(1sin 1)x x xx x →−+−+−21(5)lim1cos 1cos x x e x→−−−解：0tan 5(1)lim sin 4x x x →05lim 4x x x →=54=22201cos (2)lim sin x x x x →−222201()2lim x x x x →=⋅12=20tan sin (3)lim ln(1)x x x x x →−+320sin tan (4)lim (11)(1sin 1)x x x x x →−+−+−30tan sin lim x x x x →−=30tan (1cos )lim x x x x →−=23012lim x x x x →⋅=12=20tan sin lim ln(1)x x x x x →−+30lim x x xx→−=0=⨯.和、差形式一般不能用等价无穷注小替换：11sin 31sin 13x x x +−31tan sin (0)2x x x x −~→时3221113,x x +−30211sin 312li 2mx x x x→−=⋅3=−201(5)lim 1cos 1cos x x e x →−−−1cos 1cos x −−221,x e x −4=202lim 1(1cos )2x xx →=−202lim 1122x xx →=⋅21co 1()2s x −~22121x~⋅分析：αβlim 1βα=+o()o()lim lim lim(1)1βαααααα==+=()o βαα=+()o βαα=+lim()lim(1)0βαβαα−=−=αβ210,sin ,tan ,arcsin ,1cos ,2,x x x x x x x x x →~~~−~时例如所以sin (),x x o x +=tan (),x x o x +=2211cos ()2x x o x +=−0,x →当时arcsin (),x x o x =+().:o βαβαα=+与是等价无穷小的充分必要条件是：定理4内容小结3.,无穷大：在某个过程中函数的绝对值无限变大.4.,无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中无穷大的倒数为1.,无穷小：在某个过程中函数的绝对值无限变小.5.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价0无穷小；不恒为的无穷小的倒数为无穷大.6.一种重要的求极限的等价无方法：穷小替换2.无穷小的运算性质.课后思考已思考题：知满足则3001()sin 21()lim 2,lim ()1x x x f x x f x f x e →→+−==−课后思考题答案解：又30lim 10,xx e →−=所以0lim ()sin 20.x f x x →=301()sin 21lim 1x x f x x e →+−−0lim ()6x f x →=则0lim 1()sin 210.x f x x →+−=301()sin 21lim 0,1x x f x x e →+−−由于存在且不为301()sin 22lim 1x x f x x e →=−012()2lim 3x xf x x→⋅=2,=课后练习时下列函数是几阶无穷小？1.0,x →(1)1cos x −(2)11x x +−−tan (3)x xe e −用等价无穷小替换计算极限：2.设求200()ln 1()sin 23.lim 5,lim .31x x xf x f x x x→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭=−0lncos (1)lim lncos x ax bx →ln(13)(2)lim ln(12)x x x →−∞++ln(13)(3)lim ln(12)x x x →+∞++1.201cos 1(1)lim ,2x x x →−=为阶无穷小1cos 2.x −0011(11)(11)(2)lim lim (11)k k x x x x x x x x x x x x →→+−−+−−++−=++−02lim (11)k x x x x x →=++−为阶无穷小111.x x +−−当时极限为1 1.k =tan sin sin tan sin 00(1)(3)lim lim x x x x x k k x x e e e e x x −→→−−=0tan sin lim k x x xx →−=0tan (1cos )lim k x x x x →−=时极限为13,2k =时为阶无穷小tan sin 0,3.x x x e e →−2.0lncos (1)lim lncos x ax bx →2021()2lim 1()2x ax bx →−=−ln(13)(2)lim ln(12)x x x →−∞++0cos 1lim cos 1x ax bx →−=−0ln(1cos 1)lim ln(1cos 1)x ax bx →+−=+−22a b =3lim ()2x x →−∞=3lim 2xx x →−∞=3lim 2x x x →−∞=0=ln(13)(3)lim ln(12)x x x →+∞++ln 3ln(13))lim ln 2ln(12))x x x x x −−→+∞++=++0()ln 1sin 23.lim 31x x f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭−ln(3(13))=lim ln(2(12))x xx x x −−→+∞++ln 3ln(13))lim ln 2ln(12))x x x x x −−→+∞++=++ln 3ln 2=5,=20()lim 2ln 3x f x x →=0()sin 2lim ln 3x f x x x →=则20()lim 10ln 3.x f x x→=。
无穷大与无穷小
§1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是高等数学中两个重要概念，而无穷小与无穷大又有密切的联系。
一 无穷小定义1如果函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时的极限为零，那么称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷小。
例如，由于0limsin 0x x →=，所以函数sin x 当0x →时为无穷小；又如，由于1lim 0x x →∞=，所以函数1x当x →∞时为无穷小。
我们也可以用极限的""εδ-（或N ε-）来描述：对于0,0()εδ∀>∃>或X>0，使得适合不等式00()x x x X δ<-<>或的一切x 所对应的函数值都满足不等式()f x ε<。
则称当0x x →（或x →∞）时，()f x 是无穷小量。
记为0lim ()0x x f x →=（或lim ()0x f x →∞=）。
关于无穷小，我们做以下注释：1 不要把无穷小与很小的数混为一谈，因为无穷小量不是很小的数,它是极限为零的函数任意非零常数（无论多小）极限都不是零。
2 数零是唯一可作为无穷小的常数。
3 无穷小指相对自变量的某一变化过程，而不是量的大小。
例如 当2x →时，函数()2f x x =-是无穷小；而当1x →时，函数()2f x x =-就不是无穷小。
由于无穷小是极限为零的函数，因此无穷小与函数极限之间有着密切关系，下面的定理给出了这种关系。
定理1 若0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中0lim ()0x x x α→=。
二 无穷大在自变量的变化趋势下，函数)(x f 的极限可能存在，也可能不存在，在极限不存在的情形下，我们着重讨论()f x 无限变大的情形。
如果当()∞→→x x x 或0时，对应的函数的绝对值()f x 的极限无限增大，则称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷大。
高数 无穷小无穷大
β 若 lim k = C ≠ 0, 则称 β 是关于 α 的 k 阶无穷小; α β 若 lim = 1, 则称 β 是 α 的等价 等价无穷小, 记作 α ~ β 等价 α 或 β ~α
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例如 , 当 x → 0 时
x3 = o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
x → 0 时,
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定理2 定理 . 设
且
存在 , 则
β lim α
证:
β β ′ α′ β lim = lim α β ′ α′ α β β′ β′ α′ = lim lim lim = lim β′ α′ α′ α
例如, 例如
2x 2 tan 2x = lim = lim x→0 5x 5 x→0 sin 5x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小,
β 若 lim = 0, 则称 β 是比 α 高阶 高阶的无穷小, 记作 α β = o(α) β 若 lim = ∞, 则称 β 是比 α 低阶 低阶的无穷小; α β 若 lim = C ≠ 0, 则称 β 是 α 的同阶 同阶无穷小; 同阶 α
n n
～
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定理1. 定理 证:
～ ～
β = α + o(α)
β lim = 1 α β β −α lim( −1) = 0, 即 lim =0 α α
β −α = o(α) , 即 β = α + o(α)
轻松理解数学中的无穷大与无穷小
轻松理解数学中的无穷大与无穷小无穷大与无穷小是数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等领域中起着至关重要的作用。
本文将以轻松易懂的方式解释数学中的无穷大与无穷小，并探讨它们的性质与应用。
1. 无穷大的定义与性质在数学中，无穷大是指趋向于正无穷或负无穷的数。
我们用符号∞表示正无穷，用符号-∞表示负无穷。
无穷大具有以下性质：1) 任何有限数与无穷大相加、相乘或相除，结果仍为无穷大；2) 无穷大与无穷大相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷大、有限数或不存在。
例如，考虑数列{1, 2, 3, ...}，它的每一项都比前一项大1。
当n趋向于无穷大时，数列的项也趋向于无穷大。
这意味着数列{1, 2, 3, ...}中的每一项都可以被认为是无穷大。
2. 无穷小的定义与性质与无穷大相对应的是无穷小。
无穷小是指趋向于零的数，通常用符号ε表示。
无穷小具有以下性质：1) 任何有限数与无穷小相加、相乘或相除，结果仍为无穷小；2) 无穷小与无穷小相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷小、有限数或不存在。
举个例子，考虑数列{1/n}，其中n为正整数。
当n趋向于无穷大时，数列的每一项都趋向于零。
这意味着数列{1/n}中的每一项都可以被认为是无穷小。
3. 无穷大与无穷小的关系无穷大和无穷小是相对的概念。
当一个数趋向于无穷大时，它的倒数趋向于零。
换句话说，无穷大与无穷小是互为倒数。
这一性质在数学分析中有着重要的应用。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。
当x趋向于正无穷时，函数f(x)趋向于零；当x趋向于零时，函数f(x)趋向于正无穷。
这说明函数f(x)中的无穷大与无穷小是互为倒数的关系。
4. 无穷大与无穷小的应用无穷大与无穷小在微积分中有着广泛的应用。
它们常用于描述函数的极限行为、导数和积分等。
在求极限的过程中，我们经常需要使用无穷大与无穷小的概念。
例如，当我们计算函数在某一点的极限时，可以利用无穷小的性质来简化计算。
无穷小和无穷大
（2） 如果 lim C 0 那么就说β与α是同阶无穷小；
如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小，
记作
（3）
如果
lim k
C
0, k
0
那么就说β是α的k阶无穷小；
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
定理 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，
那么
f
1 (x
)
为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和 仍为该过程中的无穷大.
性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积 仍为该过程中的无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
仍为该过程中的无穷小？
例
x2, x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
定义
设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0
（1）
如果
lim
0
那么就说β是比α高阶的无穷小，
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小是数学中极为重要的概念，它们在分析学、微积分、数论等领域中被广泛运用。
无穷大和无穷小是相对的，它们之间存在一定的关系，本文将介绍无穷大与无穷小的关系定理。
首先，我们来定义无穷大和无穷小。
无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于正无穷或负无穷的函数。
无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。
这里需要注意的是，无穷大和无穷小并不是一种具体的数，而是一种趋近的状态。
1.乘积关系定理
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to
x_0}g(x)=a(a\neq 0)$，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$；
这个定理的含义是，无穷大和有限数相乘的结果还是无穷大。
而无穷大和无穷小相乘的结果趋近于0。
无穷小和有限数相乘的结果还是无穷小。
这个定理的含义是，当一个函数的极限趋近于0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于0。
当一个函数的极限存在且不为0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于被除数的极限乘以无穷大。
这个情况也可以理解为当一个函数在无穷远处变化非常缓慢并趋近于某个有限数时，它就相当于是某个数乘以无穷大的大小。
通过上述三个定理，我们可以看出无穷大和无穷小之间存在一定的关系。
在实际问题中，我们可以通过这些定理帮助我们求解复杂的极限问题。
无穷小与无穷大和极限的关系
x x0
x x0
x x0
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2. 无穷小与无穷大的关系
定理2 (1)若lim f (x) 0,( f (x) 0),则 x lim 1 . x f (x) (2)若lim f (x) ,则 x lim 1 0. x f (x)
即： 无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小 的倒数是无穷大.
式 f ( x) A,误差为 ( x).
第十二页，课件共16页
三、 无穷小的运算性质
定理3 同一过程中，有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
证： 设及是当x 时的两个无穷小, 0, X1 0, X 2 0,使得
第十三页，课件共16页
当
x
X
时恒有
1
;
2
当
x
X
时恒有
2
;
2
取 X max{X1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有
一无穷小与无穷大的概念定义如果对于任意给定的正数不论它多么小总存在正数那末称函数时为无穷小记作极限为零的变量称为无穷小
无穷小与无穷大和极限的关系
第一页，课件共16页
一、无穷小与无穷大的概念
1.无穷小 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存在 正数 ( 或正 数 X ), 使 得对 于适 合不 等式
当k充分大时,xk ,
但 y( xk ) 2kp sin 2kp 0 M . 不是无穷大．
第六页，课件共16页
例 证明 lim 1 . x1 x 1
证 M 0. 要使 1 M , x 1
y 1 x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时,就有 1 M .lim 1 .
2[1].4 无穷小与无穷大
![2[1].4 无穷小与无穷大](https://img.taocdn.com/s3/m/94caf00b763231126edb110d.png)
1 1 例 如 , 当 x → 1 时, 无 限 增 大, 所 以 是当 x −1 x −1 x → 1 时 的 无 穷 大, 可 记 作
1 lim =∞ x →1 x −1
又如, x →
π
2
−
时, tan x取正值无限增大,所以
x→
lim− tan x = +∞;
π
2
x→
π
2
+
时, tan x取负值且绝对值无限增大,所以
x→
lim+ tan x = −∞.
π
2
与无穷小相仿,应当注意以下几点:
(1) 说函数f ( x)是无穷大, 必须指明自变量x的变化趋势;
(2) 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
切不可把绝 对值很大的常 数认为是无穷 大.
二、无穷小与无穷大的关系
定理 若 若 在自变量的同一变化过程中, 在自变量的同一变化过程中,
1 为无穷大, 为无穷大 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷小, 为无穷小 且 f ( x) ≠ 0, 则 为无穷大. 为无穷大 f ( x)
说明: 说明 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 关于无穷大的问题都可转化为 无穷大的问题都可 无穷小来讨论 来讨论. 无穷小来讨论
1 . 例 求 极 限 lim1 2 x→ − x小，无穷小的倒数 无穷大的倒数就是无穷小， 无穷大的倒数就是无穷小 就是无穷大”这一命题是否正确？ 就是无穷大”这一命题是否正确？ 答案 3. 两个无穷小的商是否一定为无穷小？ 两个无穷小的商是否一定为无穷小？ 举例说明. 举例说明 答案
4.请写出当x → 0时与x是等价无穷小的常见 的无穷小量 (写至少4个 ) ;
无穷小与无穷大的运算关系
无穷小与无穷大的运算关系无穷小和无穷大是数学中的两个特殊概念，它们在数学分析中起着重要的作用。
无穷小代表着趋近于零的数，而无穷大则代表着趋近于无穷大的数。
它们之间的运算关系是数学中的一个重要内容，本文将就无穷小与无穷大的运算关系进行探讨。
我们来看无穷小的运算。
无穷小与有限数的运算规则类似，但需要注意的是，无穷小与无穷小之间的运算结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
根据无穷小与有限数的运算规则，我们可以得出以下结论：1. 无穷小与有限数的和、差、积仍然是无穷小。
例如，设a是无穷小，b是有限数，则a+b、a-b、ab都是无穷小。
2. 无穷小与无穷小的和、差、积的结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷小之间的比较大小关系。
例如，设a和b都是无穷小，若a的阶数高于b的阶数，则a+b是a 的同阶无穷小，a-b是b的同阶无穷小，ab是比a和b阶数低的无穷小。
3. 无穷小与有限数的商可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷小的阶数和有限数的大小关系。
例如，设a是无穷小，b是有限数，若a的阶数高于b，则a/b是a的同阶无穷小；若a的阶数低于b，则a/b是b的同阶无穷大；若a的阶数等于b，则a/b可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
接下来，我们来看无穷大的运算。
与无穷小类似，无穷大与有限数的运算规则也需要注意。
根据无穷大与有限数的运算规则，我们可以得出以下结论：1. 无穷大与有限数的和、差、积仍然是无穷大。
例如，设a是无穷大，b是有限数，则a+b、a-b、ab都是无穷大。
2. 无穷大与无穷大的和、差、积的结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷大之间的比较大小关系。
例如，设a和b都是无穷大，若a的阶数高于b的阶数，则a+b是a 的同阶无穷大，a-b是b的同阶无穷大，ab是比a和b阶数低的无穷大。
3. 无穷大与有限数的商可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
高数§1.4 无穷小与无穷大
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
x
•讨论
1. 很大很大的数是否是无穷大? 2. 无穷大的精确定义如何叙述？
否
•提示 lim f ( x) M0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|M
lim f ( x ) M0 X0 当|x|>X 时有|f(x)|>M
f ( x) A
对自变量的其它变化过程类似可证 .
x x0
lim 0
6
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二、 无穷大 无穷大的定义
如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大。 记为：
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lim f ( x ) . ( lim f ( x ) ).
15
设 及 是当xx0时的两个无穷小 d10 d20
取d min{d1 d2}
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三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
例如 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小
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三、无穷小的性质(P42)
•定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
•定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明 设函数 f 在x0的某一去心邻域{x|0|xx0|d1}内有界 即 M0 使当0|xx0|d1时 有|f |M 又设是当xx0时的无穷小 即0 存在d20 使当0|xx0|d2时 有|| 取dmin{d1 d2} 则当0|xx0|d 时 有 |f ||f |||M 这说明f 也是当xx0时的无穷小
1 ( 2) lim f ( x ) 0, 且f ( x ) 0 lim . x x0 x x0 f ( x) ( x ) ( x )
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，在研究极限和无穷时经常出现。
本文将介绍无穷小量和无穷大量的定义、性质以及它们在计算极限过程中的应用。
一、无穷小量的定义与性质无穷小量通常用符号“Δx”或者“dx”表示，表示趋于零的一个量。
严格的定义是：如果函数f(x)在某一点a处的极限为零，那么称Δx为函数f(x)在点a处的一个无穷小量。
无穷小量的性质如下：1. 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。
2. 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有限数的和为无穷小量。
4. 无穷小量与有限数的积为无穷小量。
二、无穷大量的定义与性质无穷大量通常用符号“∞”表示，表示趋于无穷大的一个量。
严格的定义是：如果对于任意的正数M，总存在正数N，使得当x>N时，有|f(x)|>M，那么称f(x)为一个无穷大量。
无穷大量的性质如下：1. 有限数与无穷大量的和为无穷大量。
2. 有限数与无穷大量的差为无穷大量。
3. 有限数乘以无穷大量为无穷大量。
4. 无穷大量与零的积为无穷小量。
三、无穷小量与无穷大量的关系在极限计算中，无穷小量和无穷大量是密切相关的。
当x趋于某一特定值时，如果Δx是一个无穷小量，那么f(x)就是一个无穷大量。
根据无穷小量和无穷大量的性质，可以得到一些重要的极限计算法则。
1. 极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规则。
2. 极限的夹逼定理：如果对于x处于某一邻域内的所有值，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(f(x))=lim(h(x))=L，那么lim(g(x))也等于L。
四、无穷小量和无穷大量的应用1. 在微分学中，无穷小量被用来定义导数。
导数表示函数变化率的大小，而无穷小量则表示极小的自变量变化量，二者的关系可以通过极限的定义来推导。
2. 在积分学中，无穷小量被用来定义微积分的基本概念。
无穷小与无穷大
三、无穷大
注意
按通常意义来说，当x→x0（或x→∞）时为无穷大 的函数f(x)，其极限是不存在的.但为了方便叙述函数的 这一性态，也说“函数的极限是无穷大”.
三、无穷大
若在无穷大的定义中，把|f(x)>M换为 f(x)>M（或f(x)<－M），则称函数f(x)为当x→x0 （或x→∞）时的正无穷大（或负无穷大），记为
应用等价无穷代换的原则是:乘除可用,加 减慎用.也就是说,求两个无穷小相乘或相除的 极限时,可以分别用它们的等价无穷小代换;但 是,当出现两个无穷小相加或相减时,若分别用 它们的等价无穷小代换来求极限,就有可能导 致错误的结论,因此应慎用.请看下面的例子.
【例3】
六、等价无穷小
【例4】
六、等价无穷小
无穷小与函数极限有着密切的关系.
一、无穷小
定理1
limx→x0f(x)=A的充分必要条件是 f(x)=A+α，
其中α是当x→x0时的无穷小.
一、无穷小
一、无穷小
注意
定理1对x→∞等其他情形也成立（读者可自行证明）. 定理1的结论在今后的学习中有重要的应用，尤其是在理 论推导或证明中.它将函数的极限运算问题转化为常数与无穷 小的代数运算问题.
五、无穷小阶的定义
根据无穷小的运算性质，两个无穷小的和、差、积仍是无 穷小.但两个无穷小的商，却会出现不同情况.例如，当x→0时， x，x2，sin x都是无穷小，而
从中可看出各无穷小趋于0的快慢程度：x2比x快些，sin x与x大致相同，即无穷小之比的极限不同，反映了无穷小趋向 于零的快慢程度不同.下面给出无穷小阶的定义.
二、无穷小的运算性质
定理2
在下面讨论无穷小的性质中，仅证明x→x0 的情形，至于x→∞等其他情形，证明完全类似.
2-3无穷小
1 此时对 M , 0, 使得当 0,
1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
0 x x0 时,有 f ( x ) M ,即 1 . f ( x)
1
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x) 0. x x 1 M 0, 此时对 , 0, 使得当 M 1 , 由于 f ( x ) 0, 0 x x0 时, 有 f ( x ) M 1 从而 M. f ( x) 1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim f ( x ) A. 即 | f ( x ) A | . x x
类似可证明 x 的情形.
0
例 x 2时,函数3 x 1可表为
3 x 1 5 ( 3 x 6)
x)
解 lim ( x 1
x
x )
思考并记住下面结论： f ( x) 若 lim f ( x ) 0, lim g( x )存在, lim A 0, , g( x ) 则必有lim g( x ) 0.
g( x ) 若 lim f ( x ) 0, limg( x )存 在, lim A , f ( x) 则 必 有limg( x ) 0.
四、小结
无穷小的概念;
无穷小与函数极限的关系;
无穷小的运算;
无穷大的概念; 无穷小与无穷大的关系.
思考题
1 1 当x 0时, 2 sin 是( D ). x x
2.3-2.4无穷小与无穷大、极限运算法则
第三节无穷小与无穷大一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系基本要求： 1. 理解无穷小与无穷大的定义。
2. 掌握无穷小与无穷大的相关关系。
一、无穷小 1. 定义 定义1 定义 如果函数 f ( x) 当 x → x0 (或 x → ∞ )时的 极限为零，那么 称函数 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小。
1 x = 0 lim cos x = 0, = 0 limsin 例：lim x →0 π x →∞ x x→ 2 1 故 , sin x, cos x是相应过程的无穷小量 x注1：无穷小与极限过程分不开, 不能脱离极限 过程谈无穷小。
如：f (x)=sinx 当x →∵ lim sin == 1≠ ∵ lim sinx x 00 πx→ →0 x 2当x→0时，f (x)=sinx为无穷小π2时，f (x)=sinx不是无穷小.注2：0是任何极限过程的无穷小. 即 lim 0 = 0 注3： 由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何 常数不是无穷小量. 注4： 不能将无穷小与很小的数混淆; 如： 数10-10 ≈0，但不是无穷小。
定理lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x ). 其中α ( x )是该极限过程中的无穷小量. A为常数. (省去x→xo , x→∞的极限符号“lim” 表示任一极限过程).2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 注1：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.。
1 例. 求 lim x sin x →0 x解: 因为 x → 0 时， x为无穷小, sin 1 ≤ 1 x 1 sin 为有界函数, x 1 。
由定理1.4 2 , 得到 lim x sin = 0 x →0 x2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质： 性质： 1 有限个无穷小的和是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
第四节 无穷小无穷大高等数学
不是无穷大 !
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 则 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , f ( x)
x x0
x x0
注 1. 对于其他六种极限, 有同样的定义. 2. 在说到某函数是无穷大时, 必须同时指明 明其自变量的变化趋势.
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例如,
为
时的无穷小; 但当x →0
x
时为无穷大.
y tan x当x→0 时为无穷小, 当
2
时为无穷大.
3. 对应于自变量的某一变化趋势, f (x)为无穷大, 此时, 极限 lim f ( x) 不存在.为便于表述函数的这一性
例如 : ( 1) n lim 0, n n
(1)n { }是n 时的无穷小 . n
函数 是
是
时的无穷小; 时的无穷小;
是
时的无穷小.
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注 (1) 在说到一个函数是无穷小时, 必须同时指
明自变量的变化趋势. 例如, 说成
为
是无穷小.
时的无穷小. 不能简单地
x
1 1 1 ,且 是 x →∞ 时的无穷小, 2x 2 2x
1 2
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lim f ( x)
结束
二、无穷大
若当 时,
无限增大, 则称
是
,使
时的无穷大.
定义 . 若对任意给定的 M > 0 , 总存在 对满足 的所有 x , 总有
无穷小与无穷大的关系
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
一,填空题: 填空题:
练 习 题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1, 凡无穷小量皆以________为极限.
2,在 __________ 条件下, 直线 y = c 是函数 y = f ( x ) 的水平渐近线 .
3,lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四,小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1,主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 ,主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2,几点注意: ,几点注意
2,无穷小与函数极限的关系: ,无穷小与函数极限的关系
定理 1
x → x0