苏教版数学高一必修四 作业 2.3.2向量平行的坐标表示(第二课时)
苏教版高中数学必修四课件2.3.2(3)向量平行的坐标表示
例5 已知点O,A,B,C的坐标分别为 (0,0),(3,4),(-1,2),(1,1)是否存在 常数t,使得OA+tOB=OC与立并解释你 所得结论的几何意义。 解：设存在常数t,使OA＋tOB=OC, (3,4)＋t(-1,2)=(1,1) t(-1,2)=(1,1)-(3,4) (-t,2t)=(-2,-3),-t=-2,2t=-3 此方程无解故不存在这样的常数t 故 AC与OB不平行
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由于 因此 观察
b =(-2,8)=-2(1,-4)= -2 a b∥a。即b与a共线 1×8=(-4)×(-2)
猜想 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0) 如果a ∥b,那么x1y2-x2y1=0 反过来如果 x1y2-x2y1=0，那么a ∥b,
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证
→ → a =(x1,y1), b =(x2,y2)
a+3b=(1,0)+3(2,1)=(7,3) 3(k-2)-(-1)7=0 1 所以 k=- 3 此时
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7 1 1 反向 ka-b=(- 3,-1)=- 3 (7,3)=- 3(a+3b)
1.已知向量a=(4,3), b=(6,y),且 9 a∥b,求实数y的值 2 2.已知平行四边形ABCD的三个顶点的 坐标分别为A(2,1),B(-1,3),C(3,4)求 第四顶点D的坐标 C(3,4) B(-1,3) D(6,2) 3.已知A(0,- 2),B(2,2), A(2,1) C(3,4)求证:A,B,C三点 共线 AB=(2,4)BC=(1,2) ∵2×2-1×4=0 AB∥BC，A,B,C三点共线
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b λa
向量共线定理
b a
OA
e1
a b x1y2-x2y1=0 ∥⇔
苏教版高中数学必修4同步测试：2.3向量的坐标表示.docx
2.3 向量的坐标表示（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1.若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x,-9)共线，则x= .2.已知向量a=(3，4)，b=(si nα,c os α)，且a∥b,则t anα= .3. 设向量a=(1,-3),b=(-2,4)，c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d= .4. 已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x= .5. 已知a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，2），则向量c可用向量a 、b表示为.6.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7)，若（a-c）∥b,则k= .二、解答题(共70分)7.（15分）已知点A(-1，2)、B(2，8)，AC=13 AB，DA=-13BA，求向量CD的坐标.8.（20分）已知a=AB，B(1，0)，b=(-3,4),c=(-1,1)，且a=3b-2c，求A的坐标.9. （15分）已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等，其中A(1，2)、B(3，2)，求x. 10. （20分）已知a=(-1，2)，b=(1，x)，若2a-b 与a+2b平行，求实数x的值.2.3 向量的坐标表示（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.3 向量的坐标表示（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 3 解析：因为PA=(1，-5)，PB=(x-1,-10),依题意有-5×(x-1)-1×(-10)=0，解得x=3.2. 34 解析：根据两个向量平行的条件得3c os α-4si nα=0,则t anα=sincosαα=34.3. (-2,-6) 解析：设d=(x,y),由题意知4a+(4b-2c)+2(a-c)+ d=0，即4(1，-3)+［4(-2,4)-2(-1,-2)］+2［(1,-3)-(-1,-2)］+(x,y)=(0,0)，解之得x=-2,y=-6,即d=(-2,-6).4. 6 解析：由向量的平行条件有4×3-2x=0,解得x=6.5. c =12a-32b解析：设c =λa+μb，则（-1，2）=（λ+μ，λ-μ），∴λ=12，μ=-32，故c =12a-32b，故答案为c =12a-32b．6. 5 解析：a-c=(3-k,-6),b=(1,3). ∵(a-c)∥b,∴3(3-k)-(-6)×1=0k=5.二、解答题7.解：由向量的减法知，CD=AD-AC=13BA-13AB=23BA=23(-1-2，2-8)=(-2，-4).8.解：因为b=(-3,4),c=(-1,1),所以a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10), 即AB=(-7，10).又因为B(1，0)，设A(x,y),则AB=(1-x,-y)=(-7,10),所以1710xy-=-⎧⎨-=⎩，，解得810xy=⎧⎨=-⎩，，即A(8,-10).9.解：因为A(1，2)、B(3，2)，所以AB=(2,0). 又因为a=AB,所以(x+3,x2-3x-4)=(2,0).所以232340x x x +=⎧⎨--=⎩，，解得x =-1.10.解法1：由已知得2a -b =(-3,4-x ),a +2b =(1,2+2x ). 由2a -b 与a +2b 平行，知-3(2+2x )-(4-x )=0,解得x =-2. 解法2：∵ 2a -b 与a +2b 平行，∴ 2a -b =λ (a +2b ),∴ (-3,4-x )= λ (1,2+2x ), ∴ 34(22)x x λλ=-⎧⎨-=+⎩，，解得x =-2.解法3：设m =2a -b ,n =a +2b , 则可得a =25m +15n ,b =-15m +25n .∵ m ∥n ,∴ a ∥b .又∵ a =(-1,2),b =(1,x ),∴ -x-2=0,∴ x =-2.。
苏教版高中数学必修4§2.3 向量的坐标表示.docx
§2.3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理课时目标1．通过实例了解平面向量的基本定理及其意义.2.能选取适当的基底来表示其它的向量，并能解决一些简单几何问题．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________________的向量，那么对于这一平面内的________向量a ，________________________实数λ1，λ2，使a ＝____________. (2)基底：把____________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． 2．正交分解一个平面向量用一组基底e 1，e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的________，当e 1，e 2所在直线互相________时，就称为向量的正交分解．一、填空题1．下面三种说法中，正确的是________．(填序号)①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是________．(写出所有满足条件的序号)①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋12e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2.3．若a ，b 不共线，且(λ－1)a ＋(μ＋1)b ＝0(λ，μ∈R )，则λ＝________，μ＝________.4．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p 的结果是________．5．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.6．若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2可以作为平面内的一组基底，若e 1与e 2不共线，则实数k 的取值范围为________． 7．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填对应说法的序号)①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.8．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________. 9.如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________；当x ＝－12时，y 的取值范围是______________．10．设e 1、e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b . 二、解答题 11.已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.12．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.能力提升13．设I 为△ABC 的内心，当AB ＝AC ＝5，BC ＝6时，AI →＝xAB →＋yBC →，则x ＋y 的值是________．14．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝15，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE EB＝________.1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．3．关于向量的分解及正交分解向量的正交分解是平面向量基本定理的特殊形式，此时e1⊥e2，它类似于平面直角坐标系中的两条相互垂直的坐标轴，它是平面向量的直角坐标表示的理论基础，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一组有序实数对惟一表示，从而建立了向量与实数的关系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．§2.3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量基本定理知识梳理1．(1)不共线 任一 有且只有一对 λ1e 1＋λ2e 2 (2)不共线 所有 2．分解 垂直 作业设计1．②③ 2.①②③ 3.1 －14．p ＝－74m ＋138n解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3－3x －2y ＝2，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74y ＝138.5.23b ＋13c 解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝23b ＋13c . 6．k ≠±1解析 要作为基底，则k e 1＋e 2与e 1＋k e 2不共线，可知当k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线时，k ＝±1，在这里，得k ≠±1. 7．②③解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 8.43 解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9．(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 由题意得： OP →＝aOM →＋bOB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a λAB →＋bOB →(λ>0)＝a λ(OB →－OA →)＋bOB →＝－a λOA →＋(a λ＋b )OB →.由－a λ<0，求得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，求得y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 10.23 －13解析 由方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .所以e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 11．解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ； AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b . 12．证明 设AB →＝b ，AC →＝c ，则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23AC →＝23c ，BN →＝BA →＋AN →＝23c －b .∵AP →∥AM →，BP →∥BN →， ∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →，BP →＝μBN →，又∵AP →＋PB →＝AB →，∴λAM →－μBN →＝AB →，∴由λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －μ⎝ ⎛⎭⎪⎫23c －b ＝b 得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μb ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.故AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.13.1516解析 如图，设AI 交BC 于点D ，∵△ABC 是等腰三角形，故D 为BC 的中点，BD ＝3，在△ABD 中，由内角平分线定理可知： AI ID ＝AB BD ＝53，故AI →＝58AD →， 又AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →.AI →＝58(AB →＋12BC →)＝58AB →＋516BC →，即x ＝58，y ＝516.∴x ＋y ＝1516.14.110解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AE EB＝λ.∵AF FD ＝15，∴CF →＝CA →＋AF → ＝CA →＋16AD →＝112(AB →＋AC →)－AC →＝112AB →－1112AC →＝112a －1112b . CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋λ1＋λAB →＝λ1＋λAB →－AC →＝λ1＋λa －b . ∵CF →∥CE →，∴λ1＋λ112＝11112.∴λ＝110.。
苏教版高中数学必修4课件第2章2.3-2.3.2平面向量的坐标运算精选ppt课件
存在唯一实数 λ，使 ka＋b＝λ(2a－3b)．
由(3k－10，－2k＋9)＝λ(36，－31)，
3k－10＝36λ，
所以
解得
－2k＋9＝－31λ.
k＝－23，λ＝－13.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 k＝－23时，ka＋b 与 2a－3b 平行，
这时 ka＋b＝－23a＋b. 因为 λ＝－13＜0，所以－23a＋b 与 2a－3b 反向．
x2＝cos 120°＝－12，y2＝sin 120°＝ 23， 所以点 D 的坐标为－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
规律方法 1．求一个点的坐标：可利用已知条件，求出该点相对 应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐 标． 2．求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终 点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
题型 3 平行向量的坐标表示问题 [典例 3] 已知 a＝(3，－2)，b＝(－10，9)，当 k 为 何值时，ka＋b 与 2a－3b 平行？平行时它们是同向还是 反向？ 解：法一：ka＋b＝k(3，－2)＋(－10，9)＝(3k－10， －2k＋9)，2a－3b＝2(3，－2)－3(－10，9)＝(36，－31)． 当 ka＋b 与 2a－3b 平行时，
法二：由法一知 ka＋b＝(3k－10，－2k＋9)， 2a－3b＝(36，－31)， 因为(ka＋b)∥(2a－3b)， 所以(3k－10)×(－31)－36×(－2k＋9)＝0. 解得 k＝－23.
此时
ka
＋
b
＝
－63－10，43＋9
＝
－336，331
＝
－
1 3
(36，－31)＝－13(2a－3b)．
苏教版2018-2019学年高中数学必修四教学案：第2章 2.3 向量的坐标表示 -含答案
第1课时平面向量基本定理问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以．问题2：如图，以a为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？提示：不确定．问题3：如图，已知向量e1、e2、a，仍以a为平行四边形一条对角线且平行四边形相邻边所在直线平行于e1和e2，这样的平行四边形唯一吗？你能作出来吗？提示：唯一，作法为：将a，e1，e2均平移到同一个起点O，且令e1＝OA，e2＝OB，然后过C点分别作OA与OB 的平行线，交OB，OA的延长线于N，M点，则OMCN为所作平行四边形．问题4：根据问题2的作图过程，你认为如何用e1和e2表示a?提示：因OM＝λ1e1，ON＝λ2e2，OC＝OM＋ON，则a＝λ1e1＋λ2e2，λ1、λ2是常数．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 3．正交分解一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解．当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解．1．定理中，要求作为基底的两个向量e 1，e 2不共线，即作为基底的向量一定是非零向量．因此，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．2．平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e 1，e 2而言的．一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．[例1] 若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ，d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底． [思路点拨] 要判断c ，d 能否作为基底，只需看c ，d 是否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．[精解详析] 设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ(3a －2b )，即(2－3λ)a ＋(2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底．[一点通] 基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量； (2)基底的选择是不唯一的．1．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1－e 2 ②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1 ③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1 ④e 2，e 1＋e 2 ⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1－110e 2， ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．答案：②⑤2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法正确的有________． ①若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0；②对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； ③线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量； ④当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量．解析：①正确．若λ≠0，则e 1＝－μλe 2，从而向量e 1，e 2共线，这与e 1，e 2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．③正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe 1＋μe 2的形式，反之也成立；④不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λe 1和μe 2确定后，其和向量λe 1＋μe 2才唯一确定．答案：①③[例2] 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM ＝c ，AN ＝d ，试用c ，d 表示AB 和AD .[思路点拨] 本题要求用c ，d 表示AB 和AD ，所以可以将c ，d 看做基底，也就变成了用基底表示AB 和AD 两个向量．[精解详析] 设AB ＝a ，AD ＝b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点，得BN ―→＝12b ，DM＝12a . 在△ABN 和△ADM 中，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝d ，b ＋12a ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23d －c ，b ＝23c －d ，即AB ＝43d －23c ，AD ＝43c －23d .[一点通] (1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．(2)若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后再寻找所求向量与基底的关系．3．已知ABCDEF 是正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a ， 又AD ＝2BC ，∴BC ＝12(a ＋b )．答案：12(a ＋b )4.如图所示，△ABC 中，若D 、E 、F 依次是AB 的四等分点，则以CB ＝e 1，CA ＝e 2为基底时，CF ＝________.解析：CB ＝e 1，CA ＝e 2， ∴AB ＝e 1－e 2.∵AF ＝34AB ，∴AF ＝34(e 1－e 2)．∴CF ＝CA ＋AF ＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.答案：34e 1＋14e 25.如图所示，在△OAB 中，OA ＝a ，OB ＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM ＝13a ，ON ＝12b ，设AN 与BM 交于点P ，用向量a ，b 表示OP .解：∵OP ＝OM ＋MP ，OP ＝ON ＋NP ， 设MP ＝m MB ，NP ＝n NA ， 则OP ＝OM ＋m MB＝OM ＋m (OB －OM )＝(1－m )OM ＋m OB ＝13(1－m )a ＋m bOP ＝ON ＋n NA＝ON ＋n (OA －ON )＝(1－n )ON ＋n OA ＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 13－m ＝n ，12－n ＝m ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝25，n ＝15，∴OP ＝15a ＋25b .[例3] 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，试问：1x ＋1y是否为定值？[思路点拨] (1)选取基向量AB ＝a ，AC ＝b ； (2)利用平面向量基本定理表示MG 、MN ； (3)利用MG 、MN 共线可得结论． [精解详析] 设AB ＝a ，AC ＝b ， 则AM ＝x a ，AN ＝y b ，AG ＝12AD ＝14(AB ＋AC )＝14(a ＋b )．∴MG ＝AG －AM ＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN ＝AN －AM ＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG 与MN 共线，∴存在实数λ，使MG ＝λMN .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy .消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y为定值．[一点通] 利用平面向量基本定理和共线向量定理，引入参数解决问题是常考的热点题型，要注意合理地选择基底及构造向量共线，从而结合方程思想解决问题．6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ，∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA＋λCB ，∴λ＝23.答案：237．已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，试求λ，μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝135，μ＝－15.1．理解平面向量基本定理应注意以下几点 (1)e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量； (2)基底的选取不唯一；(3)该平面内的任意向量a 都可用e 1、e 2线性表示，且这种表示是唯一的．即：若a 可用基底e 1、e 2分别表示为a ＝λ1e 1＋μ1e 2，a ＝λ2e 1＋μ2e 2，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.2．应用平面向量基本定理解题的一般步骤(1)选定基底； (2)进行向量间的运算；(3)结合有关向量定理、推论对(2)中结果进行分析、对比，从而得出问题的结论．课下能力提升(十七)一、填空题1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．解析：如图所示，AD 与AB 为不共线向量，可以作为基底．CA 与DC为不共线向量，可以作为基底．DA 与BC ，OD 与OB 均为共线向量，不能作为基底．答案：①③2．已知向量a 和b 不共线，实数x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________．解析：由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴x ＋y ＝1. 答案：13．已知▱ABCD 中，BP ＝23BC ，若AB ＝a ，BC ＝b ，则PD ＝________.解析：如图所示，PD ＝PC ＋CD ＝13BC ＋CD ＝13b －AB ＝13b －a .答案：13b －a4．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM ＝34AB ＋14AC ，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析：如图，分别在AB ，AC 上取点E ，F ，使AE ＝34AB ，AF ＝14AC ，在BC 上取点G ，使BG ＝14BC ，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG ＝AE ＋AF ＝AM ， ∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 答案：145．在平行四边形ABCD 中，AE ＝13AB ，AF ＝14AD ，CE 与BF 相交于G 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则AG ＝________(用a ，b 表示)．解析：如图所示，∵B ，G ，F 三点共 线，∴AG ＝λAF ＋(1－λ)AB ＝ 14λb ＋(1－λ)a . ∵E ，G ，C 三点共线，∴AG ＝μAE ＋(1－μ)AC ＝13μ a ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎪⎨⎪⎧ λ4＝1－μ，1－λ＝1－23μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47，μ＝67，∴AG ＝37a ＋17b .答案：37a ＋17b二、解答题6．△ABC 中，AE ＝15AB ，EF ∥BC ，交AC 于点F .设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示BF .解：依题意作图，如图所示．因为AE ＝15AB ，EF ∥BC ，所以EF ＝15BC .所以BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋15BC ＝－45AB ＋15(AC －AB )＝－AB ＋15AC ＝－a ＋15b . 7.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝23，OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．解：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC ＝OD ＋OE .在Rt △OCD 中，∵|OC |＝23，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴|OD |＝4，|CD |＝2，故OD ＝4OA ，OE ＝2 OB ，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.8．以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作平行四边形OADB ，C 为AB 与OD 的交点，BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，以a ，b 为基底表示MN .解：如图所示，CD ＝12OD ＝12(a ＋b )，CN ＝13CD ＝13×12(a ＋b )＝16(a ＋b )，BC ＝12BA ＝12(a －b )，MC ＝23BC ＝13(a －b )，在△MNC 中，MN ＝MC ＋CN ＝13(a －b )＋16(a ＋b )＝12a －16b .第2课时 平面向量的坐标运算问题1：在平面向量基本定理中，若e1⊥e2，定理还适用吗？提示：适用．问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理，我们知道a表示为x i＋y j，试想数对(x，y)唯一吗？能理解为点坐标吗？提示：唯一，能．问题3：已知一点A的坐标(x，y)，则向量OA确定吗？提示：唯一确定，即OA＝x i＋y j.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝x i＋y j.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y).已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．问题1：试用单位向量i和j表示a和b.提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.问题2：试求a＋b.提示：a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j.问题3：向量a＋b的坐标是什么？提示：(x1＋x2，y1＋y2)平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；②a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； ③λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．1．在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA ＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．2．符号(x ，y )在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y )或向量(x ，y )．3．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．[例1] 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b 的位置如右图，|a |＝4，|b |＝3，且∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，分别求向量a ，b 的坐标．[思路点拨] 利用任意角的三角函数定义，若a ＝(a 1，a 2)，a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝|a |cos θ，a 2＝|a |sin θ.[精解详析] 设a ＝(a1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，由于向量a 相对于x 轴正方向的转角为45°，所以a 1＝|a |cos 45°＝4×22＝22， a 2＝|a |sin 45°＝4×22＝2 2. 可以求得向量b 相对于x 轴正方向的转角为120°. 所以b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332. 故a ＝(22，22)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.[一点通] 求任意一个向量的坐标，需要求出这个向量在x 轴，y 轴上的坐标，即将向量沿x 轴，y 轴作正交分解，在求解相应点的坐标时，可能会用到三角函数的定义．1．如图所示，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA ＝(－1，－1)，试求OB 、OC 、OD 的坐标．解：∵OA ＝(－1，－1)，∴A (－1，－1)． ∴B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)． ∴OB ＝(1，－1)，OC ＝(1,1)，OD ＝(－1,1)．2．已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB ，AC ，BC ，BD 的坐标．解：如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AB ＝(2,0)，AC ＝(1，3)，BC ＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.[例2] (1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标．(2)已知A (－1,2)，B (2,8)，AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，求点C ，D 和向量CD 的坐标．[思路点拨] (1)直接利用向量的坐标运算求解；(2)可设出C 、D 坐标，由题设条件列出方程，可通过方程(组)的思想求出坐标．[精解详析] (1)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a －4b ＝3×(1,2)－4×(－3,4)＝(15，－10)． (2)设C ，D 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)，DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)，又AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)，即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C ，D 和向量CD 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)和(－2，－4)．[一点通] 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，条件中如果知道的是起始点的坐标，那么向量的坐标就等于终点的坐标减去起点的坐标．3．若向量a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则向量2b －a 的坐标为________． 解析：2b －a ＝2(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)． 答案：(－3，－4)4．已知a ＝AB ，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)＝AB ， 又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )， 则AB ＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．5．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM ＝3CA ，CN ＝2CB ，求M ，N 的坐标和MN 的坐标．解：因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA ＝(1,8)，CB ＝(6,3)． 设M (x ，y )，则CM ＝(x ＋3，y ＋4)．由CM ＝3CA ＝(x ＋3，y ＋4)＝3(1,8)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，即M (0,20)． 同理可得N (9,2)． 所以MN ＝(9，－18).[例3] 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP ＝OA ＋t AB ，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限？(2)四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值．若不能，说明理由． [思路点拨] (1)由已知点的坐标表示出向量OA ，AB 的坐标，从而知道OP 的坐标，即点P 的坐标，然后分类讨论即可．(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB . [精解详析] (1)AB ＝(3,3)，OP ＝OA ＋t AB ＝(1＋3t ，2＋3t )，则P (1＋3t,2＋3t )． 若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， 所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， 所以t ＝－13；若P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，所以t <－23.(2)因为OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )， 若OABP 是平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2.此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形．[一点通] 对于探究存在性问题的求解策略：一般先假设存在满足题意的参数，然后根据条件建立方程或方程组，若方程或方程组有解，说明这样的参数存在，若方程或方程组无解，说明不存在．6．已知a ＝(3，－2)，b ＝(－2,1)，c ＝(7，－4)且c ＝x a ＋y b ，则x ＝________，y ＝________. 解析：由已知得(7，－4)＝x (3，－2)＋y (－2,1) ＝(3x －2y ，y －2x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝3x －2y ，－4＝y －2x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.答案：1 －27．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n )，若a ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝1，1＋n ＝m .∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝1.得P ∩Q ＝{(1,1)}． 答案：{(1,1)}8．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP ＝AB ＋λAC (λ∈R )，试求当点P 在第三象限内时，λ满足的条件．解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，AB ＋λAC ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． 因为AP ＝AB ＋λAC ，所以(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.即P (5＋5λ，4＋7λ)．当点P 在第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0.解得λ<－1.故当点P 在第三象限内时，λ满足的条件为λ<－1.1．平面向量与实数对的一一对应关系在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA ＝a ，则点A 的位置由a 唯一确定，设a ＝x i ＋y j ，则向量OA 的坐标(x ，y )就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标(x ，y )也就是向量OA 的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示；相等的向量其坐标相同，同样，坐标相同的向量是相等的向量，这就是向量坐标表示的实质，向量(x ，y ) 向量OA点A (x ，y )．2．平面向量的坐标运算应注意的问题(1)平面向量的坐标运算表示是这两个向量的相应坐标(横横、纵纵)之间的加减运算，也就是说不能纵横交叉进行加减运算．(2)明确起点与终点的向量的坐标一定是终点的坐标减去起点的相应坐标，特别地，位置向量OP 的坐标即为终点P 的坐标(x ，y )．(3)两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)相等，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.课下能力提升(十八)一、填空题1．已知平面向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，则向量12a －32b ＝________.解析：12a －32b ＝12(2,1)－32(1，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，72. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，72 2．若A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，且AB ＝2AC ，则BC ＝________. 解析：∵A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )， ∴AB ＝(x －2,1)，AC ＝(1，y －3) 又AB ＝2AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2，1＝y －，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝72.∴BC ＝(3－x ，y －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－123．已知平行四边形ABCD 中，A (0,0)，B (5,0)，D (2,4)，对角线AC 、BD 相交于点M ，则DM 的坐标是________．解析：DM ＝12DB ＝12[(5,0)－(2,4)]＝12(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－24．已知A (－1,2)，B (2,8)．若AC ＝13AB ，DA ＝－23AB ，则CD 的坐标为________．解析：∵AB ＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)， ∴AC ＝13AB ＝(1,2)，DA ＝－23AB ＝(－2，－4)，∴DC ＝DA ＋AC ＝(－2，－4)＋(1,2)＝(－1，－2)， ∴CD ＝－DC ＝(1,2)． 答案：(1,2)5．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊕”为a ⊕b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1,2)，p ⊕q ＝(－3，－4)，则向量q 的坐标为________．解析：设向量q ＝(x ，y )，p ⊕q ＝(x,2y )＝(－3，－4)， ∴x ＝－3，y ＝－2，故向量q ＝(－3，－2)． 答案：(－3，－2) 二、解答题6．已知三点A (2，－1)、B (3,4)、C (－2,0)，求： (1)3AB ＋12CA ；(2)BC －2AB .解：AB ＝(3－2,4＋1)＝(1,5)，BC ＝(－2－3，－4)＝(－5，－4)．CA ＝(2＋2，－1－0)＝(4，－1)．(1)3AB ＋12CA ＝3(1,5)＋12(4，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5，292.(2)BC －2AB ＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．7．如图，已知A (－1,2)，B (3,4)，连结A ，B 并延长至P ，使AP ＝3BP ，求P 点的坐标．解：设P 点坐标为(x ，y )， 则AP ＝(x ＋1，y －2)，BP ＝(x －3，y －4)．由AP 、BP 同向共线， 得AP ＝3BP ，即(x ＋1，y －2)＝3(x －3，y －4)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3x －9，y －2＝3y －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5.∴点P 的坐标为(5,5)．8.如图，在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF 的坐标．解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， ∴AB ＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，AC ＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－4.∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点． ∴DF ＝－FD ＝－12AD ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2.第3课时 向量平行的坐标表示问题：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，试想若a ∥b ，它们的坐标有何关系？ 提示：由a ∥b, 则b ＝λa ， 用坐标可写为(x 2，y 2)＝λ(x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1，y 2＝λy 1，消去λ得x 1y 2－x 2y 1＝0.向量平行的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果向量b 不平行于坐标轴，即x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0⇔x 1x 2＝y 1y 2.用语言可描述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例．[例1] 已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB 与CD 是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？[思路点拨] 根据已知条件求出AB 和CD ，然后利用两向量平行的条件判断． [精解详析] ∵A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)， ∴AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0.∴AB 与CD 平行且方向相反． 法二：∵CD ＝－2AB ， ∴AB 与CD 平行，又－2<0， ∴AB 与CD 的方向相反．[一点通] 判定用坐标表示的两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)是否平行，即判断x 1y 2－x 2y 1＝0是否成立，若成立，则平行；否则，不平行．1．已知a ＝(－1,3)，c ＝(x ，－1)，且a ∥c ，则x ＝________. 解析：∵a ∥c ，∴(－1)×(－1)－3x ＝0. 即3x ＝1，∴x ＝13.答案：132．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB . 证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．因为AE ＝13AC ，所以AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23. 因为BF ＝13BC ，所以BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. 因为(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23；因为(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. 所以EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF ∥AB .3．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 为何值时，(k a ＋b )∥(a －3b )？这两个向量的方向是相同还是相反？解：∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，∴k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)．由题意得(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，(k a ＋b )∥(a －3b )，并且它们的方向相反．[例2] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线． (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？ [思路点拨] 要判断A ，B ，C 三点是否共线，一般是看AB 与BC ，或AB 与AC ，或AC 与BC 是否共线．若共线，并且每组向量都有公共点，则A ，B ，C 三点共线．[精解详析] (1)∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)，∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)法一：若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， 则存在实数λ，使得AB ＝λAC . ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ－k ，－7＝λk －，解得k ＝－2，或k ＝11.法二：若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， ∴k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2，或k ＝11.[一点通] 证明三点共线方法很多，可利用两条较短的线段之和等于第三条线段的长度，以及利用斜率或直线方程．4．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x ＝________.解析：由题意知PA ＝(1，－5)，AB ＝(x －2，－5)， 又∵P 、A 、B 三点共线，∴1＝x －2，∴x ＝3. 答案：35．如果向量AB ＝i －2j ，BC ＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A ，B ，C 三点共线．解：法一：∵A ，B ，C 三点共线，即AB 、BC 共线， ∴存在实数λ使得AB ＝λBC ，即i －2j ＝λ(i ＋m j )．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2.∴m ＝－2，即m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线． 法二：依题意知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则AB ＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC ＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )，而AB ，BC 共线，∴1×m ＋2＝0. 故当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．[例3] 如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．[思路点拨] 利用共线条件求解． 思路一：由AP 、AC 共线可求． 思路二：由OP 、OB 共线可求．[精解详析] 法一：设OP ＝t OB ＝t (4,4)＝(4t,4t )， 则AP ＝OP －OA ＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(4t,4t )＝(3,3)，∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)， 且向量CP 、CA 共线， ∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．[一点通] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．6．已知点A (－1,9)和向量a ＝(2,3)，若AB ＝3a ，则点B 的坐标为________． 解析：设B (x ，y )，则AB ＝(x ＋1，y －9)．又∵AB ＝3a ＝(6,9)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －9＝9.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝18.答案：(5,18)7．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为____________．解析：b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)， 设B (x ，y )，则AB ＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 8.已知等腰梯形ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2，1)，C (4,2)，求D 点的坐标．解：∵等腰梯形ABCD 中，DC ＝2AB ， ∴DC ＝2AB .设D 点坐标为(x ，y )．∴DC ＝OC －OD ＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB ＝OB －OA ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)．∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.故D 点坐标为(2,4)．1．与坐标轴平行的向量的特点与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )．2．判断两个平行向量是同向还是反向的方法(1)若b ＝λa (a ≠0)，则当λ>0时，同向；当λ<0时，反向．(2)当两个向量的对应坐标同号时，同向；当两个向量的对应坐标异号时，反向． 3．向量平行的应用用坐标表示向量共线的条件，可以解决有关平行的问题，应用比较广泛，利用该条件除判定平行、证明三点共线外，还可以由三点共线设出坐标；在解析几何中，可利用该条件求与已知向量平行的直线．课下能力提升(十九)一、填空题1．若向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则下列说法正确的是________．(填序号)①a 与b 共线且方向相同 ②a 与b 共线且方向相反 ③a 与b 是相反向量 ④a 与b 不共线 解析：∵a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，∴a ＝－23b .又∵－23<0，∴a 与b 共线且方向相反．答案：②2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP ＝12MN ，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (x ，y )，则MP ＝(x －3，y ＋2)， 12MN ＝12(－5－3，－1＋2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12.∵MP ＝12MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.法二：设P (x ，y )，∵MP ＝12MN ，∴P 是MN 的中点，由中点坐标公式得：x ＝3＋－2＝－1，y ＝－2－12＝－32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－323．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：由题意知a －c ＝(3－k ，－6)， ∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.答案：54．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．解析：AB ＝(a －2，－2)，BC ＝(－a ，b )． ∵A 、B 、C 三点共线，∴2a ＝b (a －2)，即2a ＋2b ＝ab . ∴2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12. 答案：125．已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP |∶|PB |＝1∶2，则P 点坐标为________． 解析：设P (x ，y )，则AP ＝(x ＋2，y －3)，PB ＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|AP |∶|PB |＝1∶2，∴AP ＝12PB ，∴(x ＋2，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，－1－y 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝3－x2，y －3＝－1－y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝53，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53 二、解答题6．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )， 2b －a ＝(－5,2)，∴3＋4k －5＝2＋k 2.∴k ＝－1613.7．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．证明：由已知得，AB ＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD ＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB 与CD 共线． ∵AD ＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，∵3×2－3×(－1)≠0，∴AB 与AD 不共线． ∴AB ∥CD ，AB 与AD 不平行．又|AB |＝32，|CD |＝22，∴|AB |≠|CD |， 即AB ≠CD .∵BC ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，AD ＝(－1,2)， ∴|BC |＝5＝|AD |，即BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．8．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1tb ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出它们的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不存在．依题意得，x ＝a ＋(t 2＋1)b ＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1) ＝(－2t 2－1，t 2＋3)．y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t(－2,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －2t ，－2k ＋1t .假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2t 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋1t －(t 2＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －2t ＝0，化简得t 2＋1k ＋1t＝0，即t 3＋t ＋k ＝0.∵k ，t 为正实数，∴满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .。
高中数学 2.3.2平面向量的坐标运算(二)课时作业 苏教版必修4
2．3.2 平面向量的坐标运算(二)课时目标1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．1．两向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a∥b 时，有________________．(2)当a∥b 且x 2y 2≠0时，有________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．一、填空题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是________． 2．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值为________． 3．已知|a |＝217，b ＝(－1,4)，且a 与b 方向相同，则a ＝________. 4．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α＝________. 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 6．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．7．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.8．设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为________．9．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋k b，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为________．10．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为________．二、解答题11．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，k a＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为______________．14．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________．2．3.2 平面向量的坐标运算(二)知识梳理1．(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 22．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0) 作业设计 1．(1，－1) 2.12解析 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12.3．(－2,8)解析 令a ＝λb (λ>0)，则λ＝|a ||b |＝21717＝2.∴a ＝2b ＝(－2,8)．4．2解析 ∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α. ∴tan α＝2. 5．(－4，－8)解析 由a ∥b 得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 6．3解析 PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴PA →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3. 7．2解析 ∵λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)， ∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 8．－2或11解析 若A ，B ，C 三点共线，则AB →与AC →共线， 由AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(10－k ，k －12)， 得(4－k )(k －12)－(10－k )(－7)＝0. ∴k ＝－2或11.9．－12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )， v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)， 又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.10．－9解析 C 点坐标(6，y )， 则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)． ∵A 、B 、C 三点共线， ∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9. 11．解 由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．12．解 方法一 由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )， ∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34，∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)． ∵P 、B 、O 三点共线， ∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0. 又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)， ∵P 、A 、C 三点共线， ∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6x －4＋2y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．13．x ＋2y －5＝0解析 设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ， 又m ＋n ＝1， ∴x ＋2y －5＝0.所以点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 14．(2,3)解析 设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ.把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C 点坐标为(2,3)．。
江苏省徐州市高中数学苏教版必修四学案 2.3.2向量平行的坐标表示
向量平行的坐标表示导学案 一、自学准备与知识导学【复习】1、平行向量（共线向量）__________________________________________________________________________2、共线向量基本定理__________________________________________________________________________【探究】 向量平行的坐标表示__________________________________________________________________________ 练习：)4,1(-=a 与)8,2(-=b 是否平行？__________；此时向量a 与b 的坐标满足_________。
一般地，设向量)(1,1y x a = ，),(22y x b = )0( ≠a ，如果b a //，那么______________,反过来，如果__________________，那么b a //。
证明：二、学习交流与问题探讨 例1、已知)0,1(=a 与)1,2(=b ，当实数k 为何值时，向量b a k -与b a 3+平行？并确定此时它们是同向还是反向。
例2、已知)1,1(A ，)5,3(B ，)7,4(C ，求证：C B A ,,三点共线。
例3、已知点C B A O ,,,的坐标分别为)0,0(，)4,3(，)2,1(-，)1,1(，是否存在常数t ，使t =+成立？解释你所得结论的几何意义。
三、练习检测与拓展延伸1、已知)3,4(=a 与),6(y b = ，且b a //，求实数y 的值。
2、若向量),1(x a -= 与)3,(x b -= 共线且方向相反，则=x _____________。
3、若向量)2,1(=a ，)1,(-=x b ，且b b a //)2(+，则=x _____________。
苏教版高中数学必修4典型例题：向量的坐标表示
向量的坐标表示一、要点解读1.平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．解读：（1）平面向量的基本定理说明了只要选定一个平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任何向量都可以用这两个向量表示出来.这两个不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底，1e 、2e 叫做基向量，平面的基底不是唯一的，关键是两个基向量不能共线.如果一个基底的两个基向量互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的两个基向量都是单位向量时，这个基底叫做单位正交基底，这就为向量的坐标表示提供了理论依据.（2）由定理可知平面内的任一向量a 在给出的基底1e 、2e 的条件下都可以进行分解，基底给定时，分解的形式是惟一的，即1λ、2λ是被1e 、2e 唯一确定的一对实数.如图1-1，1e 、2e 是平面向量的一个基底，a 是这个平面内的一个向量，怎样确定1λ、2λ的值，使1122a e e λλ=+呢？为了确定1λ、2λ的值，我们设向量1e 、2e 、a 的起点都是O ，终点分别是A 、B 、C ．然后分别过点C 作直线CD ∥OB 交直线OA 于点D ，直线CE ∥OA 交直线OB 于点E ，则线段OD 、OA 的比值OD OA 就是1λ，线段OE 、OB 的比值OE OB就是2λ. 2.向量的坐标表示的定义分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标，记作(,)a x y =．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标.解读：在这个定义下，对于坐标平面内的任意一个向量a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关.从原点引出的向量OP 的坐标(,)x y 就是点P 的坐标. 向量AB 的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，向量AB 的坐标与向量BA 的坐标可能不同.两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的.从原点引出的向量OP 的坐标(,)x y 就是点P 的坐标.3.用坐标表示向量的运算与相关定理若a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)，则（1）a ＋b =(x 1＋x 2,y 1＋y 2)，a －b =(x 1－x 2,y 1－y 2)，a λ＝（λx 1,λy 2）；（2）a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.解读：向量平行的坐标表示，也可以与解析几何中两条直线平行，斜率相等结合起来理解记忆.平面向量用坐标表示以后，平面向量的运算就可以脱离图形而独立进行，从而建立起数与形的对应关系.这样很多的几何问题的证明，就可以转化为我们熟悉的数量的运算来完成了.二、解题指导1. 证明三点共线例1 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，M 是DE 的中点，N 为线段AB 的中点，求证：C 、M 、N 三点共线.分析：选择不共线的两个向量作为基底，利用平面向量的基本定理，将向量CN 、CM 都用基地表示出来.证明：设b BC a AB ==,，取向量a 、b 作为平面的一个基底.N 为线段AB 的中点，∴1122AN AB a ==， 又D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴1122DE AB a ==， ∴12CN CA AN CB BA a =+=++11()22a b a a b =-++=--，111()222CM CD DM CA DM BA BC DE =+=+=-+1142a b =--， ∴CM 2=，即C 、M 、N 三点共线.点评：用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译.证明三点共线就是证明这三点构成的向量平行，判断两个向量是否平行，最行之有效的方法就是将这两个向量用同一个基底表示出来，然后看其中一个向量是不是另一个向量的倍数.2. 坐标与待定系数法的灵活运用利用平面向量的基本定理与坐标表示，构造关于基底的系数的实数方程组，即利用“12a xe ye =+，得到关于x 、y 的实系数方程组”，从而避免向量问题通过繁杂的作图而进行的计算. 例2 已知＝（1，－1），b ＝（－1，3），c ＝（3，5），试用向量a 、b 表示c ．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：设c ＝ x a ＋y （x 、y ∈R ），则x ＋y b ＝x （1，－1）＋y （－1，3）＝（x －y ，－x ＋3y ），又c ＝（3，5）， ∴（x －y ，－x ＋3y ）＝（3，5）∴ x －y ＝3且－x ＋3y ＝5解之得 x ＝7 且y ＝4.点评：在向量的坐标运算中经常要用到待定系数法与方程组的思想，确定有关的值．例3 设O 在△ABC 的内部且满足230OA OB OC ++=，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为 （ ）A. 2B. 32C. 3D. 53分析：建立直角坐标系，将向量的问题转化为数的运算问题.解：建立如图所示的直角坐标系，设A （0，0），B （a ，b ），C （c ，0），O （x ，y ），则OA ＝（－x ，－y ），OB ＝（a －x ，b －y ），OC ＝（c －x ，－y ）.因为230OA OB OC ++=，即（－x ，－y ）＋2（a －x ，b －y ）＋3（c －x ，－y ）＝（0，0），（2a ＋3c －6x ，2b －6y ）＝（0，0）.所以2360260a c xb y +-=⎧⎨-=⎩，b ＝3y.所以从而ABCAOC S S ∆∆＝1212AC b AC y ＝b y ＝3.所以选择C. 点评：如何利用已知条件230OA OB OC ++=是解题的关键，通过坐标将230OA OB OC ++=转化为两个三角形的四个顶点坐标之间的关系，使得求解过程轻松、自然.4.运用构造思想构造某一个向量在同一基底下的两种不同的表达形式，即用“若12,e e 为基底，a ＝11x e ＋12y e ＝2122x e y e +，则1212x x y y =⎧⎨=⎩”来求解. 利4 利用向量证明三角形的三条中线共点.分析：设△ABC 的中线AD 、BE 交于点1G ，中线AD 、CF 交于点2G ，选择△ABC 中不共线的两个向量CB 、CA 作为平面的一组基底，利用平面向量的基本定理证明1G 、2G 重合.B 证明：设E 、F 、D 分别是△ABC 的三边AC 、AB 、BC 的中点，=，=. 则AB a b =-，CB AC AD 21+=＝－b ＋21a ，21+=＝－＋21，设AD 与BE 交于点1G ，并设AG λ=1，BG μ=1， 则AG λλ211+-=，BG μμ211+-=， 又因为11BG AG +=＝)121()1(-+-μμ. 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-μλμλ121121 解得23λμ==，即 123AG AD =。
课时作业4：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
必修四第二章 平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算1.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a+b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2 2.在ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝_______．(用a ，b 表示)3.已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，那么a ·b ＝ ．4.设m ，n 是两个单位向量，向量a ＝m －2n ，且a ＝(2，1)，则m ，n 的夹角为 ．5.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________．6.设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ． ()7,27.如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 28.点C 在线段AB 上，且AC CB ＝52，则AC ＝________AB ，BC ＝________AB . 9.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤参考答案:1.【答案】D2.【答案】41 a ＋41b ． 3.【答案】-634.【答案】90°5.【答案】16.【答案】B7.【答案】C8.【答案】57 －279.【答案】A。
江苏省启东中学高中数学必修四：第二章 教案 第7课时2-3-2 向量的坐标表示2 精品
第7课时 §2.3.2 向量的坐标表示（2）【教学目标】一、知识与技能理解用坐标表示的平面向量共线的条件，体会数形结合的思想二、过程与方法经历知识的探究与交流来感受向量平行的坐标表示三、情感、态度与价值观数形结合思想的熏陶培养学生的审美意识【教学重点难点】平面向量共线的条件简单应用、平面向量共线的条件的证明一、复习1．已知(3,2)a =，(0,1)b =-，求24a b -+，43a b +的坐标；2．已知点(1,1)A ，(1,5)B -及12AC AB =，2AD AB =，12AE AB =-，求点C 、D 、E 的 坐标。
3．向量共线定理： 二、创设情景：我们知道，对于两个非零向量()b a a ,0≠，如果有一个实数λ，使a b λ=，那么是共线向量与a b 。
问题1 能否向量形式坐标化？即利用坐标关系来刻画向量共线？三、讲解新课：向量平行的坐标表示：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，（0b ≠），且//a b ，则(,0)a b R b λλ=∈≠，∴112222(,)(,)(,)x y x y x y λλλ==.∴1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，∴12210x y x y -=. 归纳：向量平行（共线）的等价条件的两种表达形式：①//a b (0)b ≠⇔(,0)a b R b λλ=∈≠；②//a b (0)b ≠且设11(,)a x y =，22(,)b x y =⇔12210x y x y -=（1212,,,x x y y R ∈）四、例题分析：例1 、已知向量a =（4，3），b =（6，y ），且a ∥b ，求实数y 的值。
例2、已知A （0，-2），B （2，2），C （3，4），求证：A 、B 、C 三点共线。
例3、已知a=（1，0），b=（2，1），当实数k 为何值时，向量ka-b 与a+3b 平行？并确定此时它们时同向还是反向？例4、已知(2,4)a =-，(1,3)b =-，(6,5)c =，2p a b c =+-，则以a ，b 为基底，求p例5、已知点(1,1)A --，(1,3)B ，(1,5)C ，(2,7)D ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 平行与直线CD 吗？五、课时小结：1．熟悉平面向量共线的两种表达形式；2．会用平面向量平行的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同六、反馈练习()()()()()()()()()()成立？，使得是否存在常数，，，，，，，的坐标分别为，，，已知点是同向还是反向？平行？平行时它们为何值时，当已知求证设求且已知向量平行。
苏教版数学高一苏教版必修4素材2.3向量的坐标表示
疱丁巧解牛知识·巧学1.平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.对于平面向量基本定理应注意以下几点：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一,λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.由平面向量基本定理知，平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我们称它为向量的分解.特别地，当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解.深化升华对于一个平面内所有向量的基底必须是不共线的，对于一个平面向量，可以选择不同的基底，基底的选择不同，则对于同一个非零向量的表示也不同.由这个定理还可以看出，平面内任意一个向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和.学法一得当沿两个不共线的方向分解一个向量时，可对比于物理中力的分解.λ1e1+λ2e2叫做e1、e2的一个线性组合.由平面向量的基本定理知，若e1、e2不共线，那么由e1、e2的所有线性组合构成的集合{λ1e1+λ2e2,λ1、λ2∈R}就是平面内的全体向量，所以我们把e1、e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理虽然没有指出λ1、λ2的计算方法，但它却和平行向量、基本向量一起，深刻地揭示了平面向量的基本结构，是继续深入研究向量的基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，任意一点M可以用坐标来表示，当一个点M确定之后，也可以确定一个以原点为起点而以M为终点的向量.由于平移不改变向量的方向和大小，所以，所有向量都可以通过平移，把它的起点移到原点，此时向量的终点就对应一个坐标，我们把该点坐标称为该向量的坐标.深化升华由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，平面内任一向量所对应的坐标是指把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标.如图2-3-2，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定.图2-3-2则向量的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示.联想发散前面用有向线段来表示向量的几何特征，现在又用坐标将向量代数化，这样就达到了数与形的结合，为利用数形结合的思想方法解题奠定了基础.一般地，对于向量a，当它的起点移至原点时，其终点坐标(x,y)称为向量a的坐标.误区警示一个向量对应唯一一个坐标，但是反过来，一个坐标可以对应无数个向量，这些向量是相等的.所以平面上的向量与它们坐标之间并非是一一对应的，例如，若点A不与原点重合，点B的坐标为(x,y)，则向量的坐标不是(x,y).只有以原点为起点的向量和坐标之间具有一一对应的关系.当我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j,特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0).辨析比较有了平面向量的坐标之后，要将点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，如A(0,1),B(2,3)，则=(2,2)；若C(1,2),D(3,4)，则=(2,2)，显然和是相等的向量，但A、B、C、D四点坐标各不相同.此外，向量和坐标之间是用“=”连接的，但点和坐标之间却无任何符号，比如“=(2,2)”和“A(0,1)”这些表示方法是正确的，但“(2,2)”和“A=(0,1)”这些表示方法却是错误的.联想发散平面内任一向量所对应的坐标与该向量分别在x轴、y轴上的投影线段的长度有关.根据两条线段的投影长度,结合终点所在象限的符号,即可确定坐标.(2)平面向量的坐标运算当向量用坐标表示时，向量的和、差及向量的数乘也都可以用相应的坐标来表示.①若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2).即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.证明如下：设基底为i、j，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2).②若a=(x,y)和实数λ，则λa=(λx,λy).即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.证明如下：设基底为i、j，则λa=λ(x i+y j)=λx i+λy j，即λa=(λx,λy).特别地，若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).一个向量的坐标等于该向量的终点坐标减去始点的坐标.这是因为：==(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).-记忆要诀实数与向量积的坐标运算与实数与向量的积的分配律很类似.因此，可对比实数与向量的积的分配律进行记忆.深化升华向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的坐标表示实际是向量的代数表示,使向量的运算完全代数化,为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.这是因为这样可以使很多几何问题的证明，转化为我们熟知的数量运算，这也是中学数学学习向量的重要目的之一.3.向量平行的坐标表示设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)(a≠0),如果a∥b，那么x1y2-x2y1=0;反过来，如果x1y2-x2y1=0，那么a ∥b . 证明：a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2),因为a ≠0，所以x 1,y 1不全为0，不妨设x 1≠0.如果a ∥b ，则有b =λa ,得(x 2,y 2)=λ(x 1,y 1)⇒⎩⎨⎧==).2(),1(1212y y x x λλ消去λ，即可得x 1y 2-x 2y 1=0.但应注意消去λ时不能两式相除，这是因为y 1,y 2有可能为0.由于x 1≠0，则λ=12x x ，代入②即可. 反过来，如果x 1y 2-x 2y 1=0，由于x 1≠0，则有y 2=12x x y 1， 则(x 2,y 2)=(x 2,12x x y 1)=12x x (x 1,y 1)，即有b =λa ，所以a ∥b . 对于向量平行的坐标表示中x 1y 2-x 2y 1=0不能写成11x y =22x y ，这是因为x 1,x 2有可能为0. 有了向量平行的坐标表示,向量平行的条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎨⎧=-=.0,1221y x y x b a λ 误区警示 在定理中没有说明向量b 是否是非零向量，a 明确说明是非零向量，这是因为当向量b 是零向量时，则存在λ=0使得b =λa 成立;而当a 是零向量时，即使等式b =λa 成立，等式中的实数λ也唯一确定，定理不成立.典题·热题知识点1 平面向量基本定理例1 如图2-3-3，OA ，OB 不共线，AP =AB t (t ∈R ),用OA ,OB 表示OP .图2-3-3思路分析：本题利用平面向量基本定理.解：∵t =,∴t +=+==+t(-)=t t -+=(1-t)+t .方法归纳 利用两个不共线的向量表示这两个向量所在平面内的任意一向量时，应把这些向量的起点平移到同一点，构造三角形，利用向量加、减法的三角形法则来处理问题. 例2 设两非零向量e 1和e 2不共线.(1)如果AB =e 1+e 2,BC =2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k ，使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线. 思路分析：要证明A 、B 、D 三点共线，需证明存在λ,使BD =λ(e 1+e 2)即可.而若k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2).(1)证明：∵AB =e 1+e 2,CD BC BD +==2e 1+8e 2+3e 1-3e 2=5(e 1+e 2)=AB 5，∴AB 、BD 共线.又有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线.(2)解：∵k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，∴存在λ使k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2),则(k-λ)e 1=(λk -1)e 2,由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-.01,0k k λλ 则k=±1.方法归纳 本题是两个向量共线的充要条件的应用，只需根据以其中某一点为起点，以另外两点为终点的向量a 、b 共线，则存在实数λ使得a =λb (b ≠0),然后利用待定系数法确定参数值.深化升华 由平面向量基本定理可以得到以下两条常用的性质：(1)设e 1、e 2是两个不共线的向量，若m e 1+n e 2=s e 1+t e 2(m 、n 、s 、t 为实数)，则有⎩⎨⎧==t.n s,m (2)设e 1、e 2是两个不共线的向量，若m e 1=n e 2,则有m=n=0.例3 如图2-3-4,设O 为△ABC 内一点,PQ ∥BC,且BC PQ =21,OA =a ,OB =b ,OC =c ,试求OP 、OQ .图2-3-4思路分析：根据条件，考虑用三角形法则求OP 、，即由AP OA OP +=，AQ OA OQ +=，再利用平面几何及向量知识求出、AQ 便可解决问题.解：由平面几何知识知△APQ ∽△ABC ，且对应边之比为t ，故AC AQ AB AP ==BC PQ =21. 又A 、P 、B 与A 、Q 、C 分别共线，即知 =21,=21， ∴OA AP OA OP =+=+21AB =OA +21(OA OB -)=a +21(b -a )， 即=21a +b . OA AC t OA AQ OA OQ =+=+=+21(-)=a +21(c -a )，即OQ =21a +c . 方法归纳 利用三角形法则求某一向量时,选取第三个点时,应注意恰当性,如本题中,若采用BP OB OP +=,+=,虽然也可求出OP 、,但计算过程就显得复杂些. 知识点2 平面向量的坐标运算例4 已知A(1,2),B(3,2)，向量a =(x+3,x 2-3x-4)与向量相等，则x 的值为__________. 思路解析：由于=(3，2)-(1，2)=(2，0)，a =(x+3,x 2-3x-4)，则有⎩⎨⎧==+0.4-3x -x 2,3x 2 解得x=-1.答案：-1误区警示 两个向量相等，则它们的横坐标与纵坐标分别相等.解这类题易出现只利用横坐标或纵坐标相等来建立方程求解，从而导致错误，比如在本题中若只利用纵坐标相等，则可得x 2-3x-4=0，解得x=-1或x=4，从而得出错误的结论.例5 (1)已知三个力F 1=(3,4),F 2=(2,-5),F 3=(x,y)的合力F 1+F 2+F 3=0，求F 3的坐标.(2)若M(3,-2),N(-5,-1)且=21,求P 点的坐标. 思路分析：本题利用向量的坐标表示及向量的坐标运算.解：(1)由题设F 1+F 2+F 3=0得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),即⎩⎨⎧=+=++0.y 5-40,x 23∴⎩⎨⎧==1.y -5,x ∴F 3=(-5,1). (2)设P(x,y),则(x-3,y+2)=21(-8,1)=(-4,21). ∴⎪⎩⎪⎨⎧.21 =2+y -4,=3-x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.23-y -1,x ∴P 点坐标为(-1,-23). 深化升华 定义了向量的坐标后，给向量的运算(加、减、向量的数乘)带来了方便，也为向量和代数建立起了联系的纽带.例6 (1)若向量a =(-1,x)与b =(-x,2)共线且方向相同，求x.(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？ 思路分析：本题利用向量平行条件和运算及应用向量平行条件解决直线平行问题. 解：(1)∵a =(-1,x)与b =(-x,2)共线,∴(-1)×2-x·(-x)=0.∴x=±2.∵a 与b 方向相同,∴x=2.(2)∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2),又∵2×2-4×1=0,∴∥.又∵AC =(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2,4),2×4-2×6≠0,∴AC 与AB 不平行.∴A 、B 、C 不共线.∴AB 与CD 不重合.∴AB ∥CD.方法归纳 当向量用坐标表示时，在解决与向量平行的有关问题时，一般利用坐标表示向量平行的条件.但如果涉及到方向问题时，要进一步进行检验.例7 已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若AC AB AP λ+=(λ∈R ).(1)试求λ为何值时，点P 在第一、三象限角平分线上.(2)试求λ为何值时，点P 在第三象限.(3)四边形ABCP 能是平行四边形吗？若能,求出相应的λ值;若不能,请说明理由.思路分析：本题利用平面向量的坐标运算以及向量的坐标与点坐标之间的关系.解：设P 点坐标为(x,y)，则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),λ+=(5,4)-(2,3)+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).由于λ+=(λ∈R ),所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ).所以⎩⎨⎧+=+=,713-y ,532-x λλ即⎩⎨⎧+=+=.74y ,55x λλ (1)若点P 在第一、三象限角平分线上,则有5+5λ=4+7λ，解得λ=21. 即当λ=21时，点P 在第一、三象限角平分线上. (2)若点P 在第三象限内，则有⎩⎨⎧+>+>.740,550λλ 解得λ＜-1.即当λ＜-1时，点P 在第三象限.(3)由于=(7，10)-(5，4)=(2，6)，AP =(3+5λ,1+7λ)，若四边形ABCP 是平行四边形，则应有⎩⎨⎧=+=+ 6.712,53λλ此方程组无解，即不存在λ使=，所以四边形ABCP 不能是平行四边形.方法归纳 引进向量的坐标后,向量的基本运算转化为实数的基本运算,可以解方程,可以解不等式,总之把问题转化为我们熟知的领域即可.误区警示 一个向量的坐标等于该向量的终点坐标减去起点坐标.而在进行向量的这种坐标运算时，容易混淆，易记成起点坐标减去终点坐标从而导致错误，例如本题中在求的坐标时，易出现AP =(2，3)-(x ，y)=(2-x ，3-y)的错误表示，从而导致本题的错解.深化升华 向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的坐标表示实际是向量的代数表示,使向量的运算完全代数化,为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法. 例8 如果向量=i -2j ,BC =i +m j ,其中i 、j 分别表示x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线.思路分析：本题利用向量平行的条件解决三点共线的问题.解法一：由于A 、B 、C 三点共线,即、共线，所以存在实数λ使AB =λ. 即i -2j =λ(i +m j )，由此可得⎩⎨⎧-==,2,1m λλ所以m=-2.解法二：由于i =(1,0),j =(0,1)，则=i -2j =(1,0)-2(0,1)=(1,-2),=i +m j =(1,m)，而、共线，所以有1×m-1×(-2)=0.所以m=-2.故当m=-2时，A 、B 、C 三点共线.方法归纳 向量共线的几何表示和坐标表示形式不同但实质一样，在解决问题时要注意选择适当的方法来使用.例9 将向量u =(x,y)与向量v =(y,2y-x)的对应关系用v =f(u )表示.(1)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n 恒有f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立.(2)设a =(1,1),b =(1,0),求向量f(a )及f(b )的坐标.(3)求使f(c )=(p,q)(p,q 为常数)的向量c 的坐标.思路分析：为应用题设条件,必须将向量用坐标表示,通过坐标进行计算,从而使问题解决.(1)证明：设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则m a +n b =(m a 1+n b 1,m a 2+n b 2),∴f(m a +n b )=(m a 2+n b 2,2m a 2+2n b 2-m a 1-n b 1),mf(a )+nf(b )=m(a 2,2a 2-a 1)+n(b 2,2b 2-b 1)=(m a 2+n b 2,2m a 2+2n b 2-m a 1-n b 1).∴f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立. (2)解：f(a )=(1,2×1-1)=(1,1);f(b )=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)解：设c =(x,y),则f(c )=(y,2y-x)=(p,q),∴⎩⎨⎧==q.x -2y p,y ∴x=2p-q,即向量c =(2p-q,p).方法归纳 证明等式成立,可以从一边开始证得它等于另一边,也可证明左右两边等于同一式子,还可先证明一个式子成立,再推出要证明的式子成立.例10 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量AB 与CD 平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路分析：本题利用向量共线的充要条件、共线的坐标表示及向量平行与直线平行的区别. 解：∵AB =(1-(-1),3-(-1))=(2,4)，CD =(2-1,7-5)=(1,2)，又∵2×2-4×1=0，∴AB ∥CD .又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2,6)，AB =(2,4)，2×4-2×6≠0，∴AC 与AB 不平行.∴A 、B 、C 不共线.∴AB 与CD 不重合.∴AB ∥CD.误区警示 向量平行不同于直线平行，向量平行可以共线也可以不共线，因此若向量AB 与CD 平行时，直线AB 与CD 可能平行也可能重合.例11 已知任意四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 的中点.如图2-3-5所示,求证:EF =21(DC AB +).图2-3-5思路分析：本题的证明方法比较多，可通过两个封闭图形得出，相加得出结论;也可以在平面内任选一点O ，构成三角形，在三角形中利用向量加、减法的三角形法则找出关系式求解;也可以建立坐标系，利用向量的坐标运算求解.证法一:∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点,∴+=+=0.又BF AB EA EF ++=,CF DC ED EF ++=, 两式相加得DC AB EF +=2, 即EF =21(DC AB +). 证法二:如图2-3-6,在平面内任取一点O.图2-3-6∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点,∴OE =21(OD OA +)，OF =21(OC OB +). ∴OE OF EF -==21［(OA OB -)+(OD OC -)］=21(DC AB +). ∴EF =21(DC AB +). 证法三:建立直角坐标系,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),DC =(x 3-x 4,y 3-y 4),∴21(DC AB +)=(2,241324132y y y y x x x x --+--+). 又E(241x x +,241y y +),F(232x x +,232y y +), 则EF =(232x x +-241x x +,232y y +-241y y +),∴EF =21(DC AB +). 深化升华 利用平面向量基本定理证题的关键是选好与求证的结论相关的一组基底.基底选好后，平面内的任一向量都可用这组基底表示出来.一对相反向量的和等于零向量.在进行向量的加减运算时，可设法把向量转化成首尾相连的向量和的形式，有公共起点的向量的和差的形式等，以便于用向量的加减法法则去化简.问题·探究材料信息探究材料：在高一物理学习中，我们学习过力的分解，一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-7，图2-3-7拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F1使耙前进，一个竖直向上的力F2把耙上提，即力F可以用两个力F1和F2来代替，即力F被分解成两个力F1和F2.问题利用你所学知识，能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程：由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，因为其实际就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决. 探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
苏教版数学高一-必修4课件 2.3.2 平面向量的坐标运算(二)
∴A→B与C→D共线且方向相反. 方法二 ∵C→D＝－2A→B，∴A→B与C→D共线且方向相反.
规律方法 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共 线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条 件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪演练 1 已知 A、B、C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)， (1,2)，并且A→E＝13A→C，B→F＝13B→C，求证：E→F∥A→B. 证明 设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2). 依题意有，A→C＝(2,2)，B→C＝(－2,3)，A→B＝(4，－1). ∵A→E＝13A→C，∴(x1＋1，y1)＝31(2,2)，
∴k－3＝10λ， 2k＋2当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行， 这时 ka＋b＝－31(a－3b)＝－13a＋b.
∵λ＝－13<0，∴ka＋b 与 a－3b 反向.
方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4). ∵ka＋b与a－3b平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－31－3，－23＋2＝－13(a－3b). ∴当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向.
规律方法 求解直线或线段的交点问题，常规方法为 写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解， 而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算 量，且思路简单明快.
跟踪演练 3 如图，在▱OABP 中，过点 P 的
直线与线段 OA、OB 分别相交于点 M、N，若 O→M＝xO→A，O→N＝yO→B(0＜x＜1).
规律方法 由向量共线求参数的值的方法
跟踪演练 2 设向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10，k)，
高中数学 (向量平行的坐标表示)课件 苏教必修4
练 习 ， 已 知 a(2,1),b(3,4), 求 ab,ab,3a4b的 坐 标 。
解： ab(2,1)(3,4)（1， 5） ab(2,1)(3,4)（ 5， 3） 3a4b3(2,1)4(3,4)（6， 19）
例 1、如图， i,j用 分基 别底 表a示 、 b,并 向量
e2
a
e1
e2
a
e1
e2
a
e1
思考：
既然向量是既有大小又有方向的量， 那如何刻画向量a的相对位置呢？
y
o
x
探索1: 以坐标原点O为起点，P为终点
的向量能否用坐标表示？如何 表示？
yP a
o
x
向量的坐标表示4
3
P（ x， y）
2
yj
1
j
-2
2
4
6
Oi
xi
-1
O P x i yj (x ,y )
yA a
a
ox
归纳总结
在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向
相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
1、 a=x i+y j =( x , y) 称其为向量的坐标形式.
2、单位向量 i =（1，0），j =（0，1） 0 = (0,0)
λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy)
4 向量坐标.
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则 AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
平面向量的坐标表示及运算
2019-2020学年高中数学苏教版必修4学案：2.3.2.2 向量平行的坐标表示 Word版含解析
第2课时 向量平行的坐标表示1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点) 2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(重点) 3．掌握三点共线的判断方法．(难点)[基础·初探]教材整理 向量平行的坐标表示阅读教材P 79～P 81的有关内容，完成下列问题． 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .1．若a ＝(2,3)，b ＝(x,6)，且a ∥b ，则x ＝________. 【解析】∵a ∥b ，∴2×6－3x ＝0，即x ＝4. 【答案】42．已知四点A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，则AB→与CD →的关系是________．(填“共线”或“不共线”)【解析】AB →＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，CD →＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，因为4×(－8)－4×(－8)＝0，所以AB →∥CD →，即AB →与CD →共线．【答案】共线[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB→与CD→是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？ 【导学号：06460057】【精彩点拨】根据已知条件求出AB →和CD →，然后利用两向量平行的条件判断． 【自主解答】∵A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)， ∴AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0， ∴AB →与CD →平行且方向相反．判定用坐标表示的两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)是否平行，即判断x 1y 2－x 2y 1＝0是否成立，若成立，则平行；否则，不平行.[再练一题]1．已知A ，B ，C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB → .【证明】设点E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．。
苏教版数学高一-必修4作业纸 2.3.2向量的坐标(2)
2.3.2平面向量的坐标运算（2）作业纸 总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题1．若()()6,5,2,3B A -- ，则线段AB 的中点坐标是 . 2．已知(2,4),(0,6),(2,3)A B C ---，则32AB BC -= . 3．若=（2，3），=（x ，－6），且∥，则x = . 4．已知=（－2，5），||=2||，若与反向，则 = .5．已知()()1,8,3,1--B A ，如果点()2,12+-a a C 在直线AB 上，则a 的值是 . 6．如果向量a =（n ，1）与向量b =（4，n ）共线，且方向相反，则n = . 7．已知(1,2)a =，(,1)b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 等于 ．8．已知向量()()()4,7,1,2,2,3-=-=-=，用,作为基底表示，则= . 9．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则 k= .10．已知(,2)a x =，1(,1)2b =，2,2c a bd a b =+=-，且//c d ，则2c d -等于 . 二、解答题11．已知A(-1，-2)，B （3，8）. (1) 若,2=求点C 的坐标；(2) 若,2AD AB -=求点D 的坐标.12. （1）设向量 = (2，1)， = (1，x)，若(2 + )//(12 + )，求实数x 的值.（2）已知=（1，1），=（2，3），当k 为何值时，向量b k a -与2b a +平行?平行时它们是同向还是反向？13. 已知点()()(),10,7,4,5,3,2C B A 若点P 满足(),R ∈+=λλ当λ为何值时： (1)点P 在直线x y =上？ (2) 点P 在第四象限内？三、作业错误分析及订正：2．填空题具体订正：_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
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一、填空题
1．若向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①a 与b 共线且方向相同 ②a 与b 共线且方向相反 ③a 与b 是相反向量 ④a 与b 不共线
解析：∵a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，∴a ＝－23b . 又∵－23
<0，∴a 与b 共线且方向相反． 答案：②
2．已知点A 、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p 的坐标为(2k －1,7)，且p ∥AB ，则k 的值是________．
解析：∵A (2，－2)，B (4,3)，∴AB ＝(2,5)．
又p ∥AB ，∴2×7－5(2k －1)＝0. ∴k ＝1910
. 答案：1910
3．(2011·北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.
解析：因为a －2b ＝(3，3)，所以由(a －2b )∥c ， 得3×3－3k ＝0，解得k ＝1.
答案：1
4．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．
解析：AB ＝(a －2，－2)，BC ＝(－a ，b )．
∵A 、B 、C 三点共线，
∴2a ＝b (a －2)，即2a ＋2b ＝ab .
∴2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12
. 答案：12
5．设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(－1,1)可能平行的向量是________．
①(k ，k ) ②(－k ，－k ) ③(k 2＋1， k 2＋1)
④(k 2－1，k 2－1)
解析：当k ＝0时，(k ，k )与(－k ，－k )均为零向量，
故与a ＝(－1,1)平行；
当k ＝±1时，k 2－1＝0，(k 2－1，k 2－1)为零向量，
与a ＝(－1,1)平行．
由(－1)×(k 2＋1)－(k 2＋1)＝－2k 2－2，
当k ∈R 时，－2k 2－2≠0恒成立．
所以(k 2＋1，k 2＋1)不与(－1,1)平行，故填①②④.
答案：①②④
二、解答题
6．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .
解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．
(2)∵a ＝mb ＋nc ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.
解得m ＝59，n ＝89. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，
2b －a ＝(－5,2)，∴3＋4k －5
＝2＋k 2.∴k ＝－1613. 7．a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∵ka ＋b 与a －3b 平行，
∴－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0.
解得k ＝－13
. ∴当k ＝－13
时，ka ＋b 与a －3b 平行， 这时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13
(a －3b )． ∵λ＝－13
<0， ∴ka ＋b 与a －3b 反向．
8．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，是否存在实数x ，m ，使(ma －b )∥(a ＋b )？若存在，求实数x ，m 的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数x ，m 满足题意．
因为ma －b ＝(mx ＋3,3m －x )，a ＋b ＝(x －3,3＋x )，
所以由(ma －b )∥(a ＋b )，
得(mx ＋3)(x ＋3)－(3m －x )(x －3)＝0，
化简得(m ＋1)·(x 2＋9)＝0，∴m ＝－1，x ∈R.
即存在m ＝－1，x ∈R ，使(ma －b )∥(a ＋b )．。