简谐振动 旋转矢量法
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2
2
x
0
微分方程的解(运动方程)
第5章 机械振动
简谐运动的速度与加速度
v dx Asin( t )
a
dt dv
vm
cos(
t
π 2
)
2 Acos( t )
v
dt am cos( t π ) a
x Acos(t )
简谐运动: 某个物理量随时 间的变化规律满足简谐运 动方程, 或遵从余(正)弦规 律, 一般来说, 这一物理量 就作简谐运动.
x0 Acos , v0 Asin
x2 0
v2 0
2
A2 (sin 2
cos2 )
A2
振幅:
A
x0 2
v0
2
初相: arctan( v0 )
x0
A 和 完全由初始条件决定. 的取值不唯一, 并与坐标正
方向的选取有关.
P.8/35
例1: 轻弹簧一端固定, 另一端连 接一个物块. 整个系统位于水平 面内, 系统的角频率为6.0s-1. 将 物体沿水平向右拉到 x0= 0.04 m 处再释放, 试求: (1)简谐运动表 达式; (2)物体从初始位置起第 一次经过A/2处时的速度.
相位ωt + : 也叫位相或周相.
一个周期当中, 相位与振子的 运动状态(包括位置, 速度, 加 速度)一一对应.
初相位 : 也叫初位相或初相.
t=0时的相位, 描述初始时刻的 振动状态, 与初始条件有关.
相位差ΔΦ : 相位的差值.
单位: 弧度(rad)
第5章 机械振动
4. 求解振幅和初相
设 t =0 时
• 旋转矢量A与x轴的夹角(t+)
即为简谐运动的相位.
•
旋转矢量
A
的角速度
即
为振动的角频率.
•
t
=0时,
A
与x轴的夹角即为
简谐振动的初相.
•
旋转矢量
A
旋转一周,
P点完
成一次全振动.
周期: T 2π
结论: 投影点的运动为简谐运动
x Acos( t )
P.10/35
第5章 机械振动
y vm t π
v d x 0.24sin 6.0t dt
sin 6.0t 1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2 2
依题意, v＜0
v 0.24 3 0.208 m s1 2
P.9/35
§5.2 简谐运动的旋转矢量 表示法
5.2.1 旋转矢量表示法
t
x
P
• 旋转矢量A的模即为简谐运 动的振幅.
第5章 机械振动
( )t ( )
若两个振动的频率相 同, 则相位差为
A
A
x
Φ
同一振动不同时刻的相位差
振子沿 x 轴负方向运动 2. 比较各振动之间的相位关系 不同振动同一时刻的相位差
x1 Acos( t ) x2 Acos(t )
x1 Acos( t1 ) x2 Acos( t2 ) Φ (t2 ) (t1 )
周期 T : 往复振动一次所 经历的时间.
单位: s
1 T
单位: 赫兹(Hz, 1/s)
圆(角)频率 : 2 秒内振动的次数.
2 单位: 弧度/秒(rad/s)
周期, 频率与角频率关系: k
m
T 1 2π
只取决于系统本身.
P.7/35
简谐运动的运动方程
x Acos(t )
3. 初相位, 相位和相位差
P.5/35
第5章Βιβλιοθήκη Baidu机械振动
x Acos(t )
x
A
T 2π 取 0
o
A
v
v A sin(t ) A
o
A cos(t π ) A
2
a
a A 2 cos(t ) A 2
o
A 2 cos(t π ) A 2
xt图
t
T
vt 图
Tt
a t图
Tt
P.6/35
简谐运动的运动方程
振动学是波动学的基础
第5章 机械振动
第5章 机械振动
振动: 任何一个物理量(物体的位置, 电流强度, 电场强度, 磁场强度等)在 某一固定值附近作往复变化. 机械振动: 物体在固定位置(平衡位置) 附近作来回往复的运动. 简谐运动: 是最基本, 最简单的振动.
复杂振动 = ∑简谐振动
研究目的 —— 利用, 减弱 or 消除
t
0
an
a
v
2 A
x
vm A an A 2
v A cos(t π )
x Acos(t )
2
a A2 cos(t )
远离 x ，v 0 接近 x ，v 0
P.11/35
5.2.2 旋转矢量图的应用
1. 求初相位
振子沿 x 轴正方向运动
x x
第5章 机械振动
Φ (t ) (t )
(t2 t1) ( ) t
P.12/35
第5章 机械振动
Φ 2 1
Φ 0 同步
x
0 超前 Φ π反相 Φ 0 落后
x
x
o
to
o
t
t
相位差为 2 整数倍: 同步
相位差为 或 奇数倍: 反相
P.13/35
3. 用旋转矢量图画简谐运动的x t
第5章 机械振动
P.14/35
例2: 一质点沿x轴作简谐运动 的振幅为12cm, 周期为2s. 当 t = 0 时, 位移为6cm, 且沿 x 轴 正方向运动. 求: (1) 振动表达式; (2) t = 0.5s时, 质点的位置, 速 度和加速度; (3) 如果在某时刻质点位于 x=－6cm, 且沿 x 轴负方向运 动, 求从该位置回到平衡位置 所需要的最短时间.
解: (1)
x0 0.04m, v0 0, 6.0s1
振幅： A
x0 2
v02
02
x0 0.04m
arctan v0 0 x0
(为什么 不取π ?)
第5章 机械振动
得： x 0.04cos 6.0t m (2) 由(1)中结果
0.02 0.04cos 6.0t cos 6.0t 1 2
第5章 机械振动
x Acos( t ) Acos( t 2 )
x Acos(t )
5.1.2 简谐运动方程中的 三个基本物理量
A cos
(t
2
)
)
T 2
频率 : 单位时间内完成的振动次数.
1. 描述振动强弱的物理量
振幅 A : 离开平衡位置的 最远距离.
单位: m
2. 描述振动快慢的物理量
P.3/35
§5.1 简谐运动
第5章 机械振动
5.1.1 简谐运动的特征及其运 动方程
弹簧振子——理想模型
简谐运动的受力
f kx
始终指向平衡位置(有心力)
简谐运动的动力学方程
单
摆
d2x
m dt 2 k x
P.4/35
简谐运动动力学方程
m d2x k x 令 2 k
dt 2
m
d2 dt
x
第三篇 机械振动&机械波
第五章 机械振动
第5章 机械振动
为何讨论的重点是简谐运动 复杂振动可分解为若干简谐运动
振动的运动学规律
简谐振动的动力学特征
振动能量的周期性特征
P.2/35
振动和波动的关系: 波动——振动的传播 振动——波动的源头
机械振动, 电磁振荡 机械波, 电磁波 德布罗意波——几率波
2
x
0
微分方程的解(运动方程)
第5章 机械振动
简谐运动的速度与加速度
v dx Asin( t )
a
dt dv
vm
cos(
t
π 2
)
2 Acos( t )
v
dt am cos( t π ) a
x Acos(t )
简谐运动: 某个物理量随时 间的变化规律满足简谐运 动方程, 或遵从余(正)弦规 律, 一般来说, 这一物理量 就作简谐运动.
x0 Acos , v0 Asin
x2 0
v2 0
2
A2 (sin 2
cos2 )
A2
振幅:
A
x0 2
v0
2
初相: arctan( v0 )
x0
A 和 完全由初始条件决定. 的取值不唯一, 并与坐标正
方向的选取有关.
P.8/35
例1: 轻弹簧一端固定, 另一端连 接一个物块. 整个系统位于水平 面内, 系统的角频率为6.0s-1. 将 物体沿水平向右拉到 x0= 0.04 m 处再释放, 试求: (1)简谐运动表 达式; (2)物体从初始位置起第 一次经过A/2处时的速度.
相位ωt + : 也叫位相或周相.
一个周期当中, 相位与振子的 运动状态(包括位置, 速度, 加 速度)一一对应.
初相位 : 也叫初位相或初相.
t=0时的相位, 描述初始时刻的 振动状态, 与初始条件有关.
相位差ΔΦ : 相位的差值.
单位: 弧度(rad)
第5章 机械振动
4. 求解振幅和初相
设 t =0 时
• 旋转矢量A与x轴的夹角(t+)
即为简谐运动的相位.
•
旋转矢量
A
的角速度
即
为振动的角频率.
•
t
=0时,
A
与x轴的夹角即为
简谐振动的初相.
•
旋转矢量
A
旋转一周,
P点完
成一次全振动.
周期: T 2π
结论: 投影点的运动为简谐运动
x Acos( t )
P.10/35
第5章 机械振动
y vm t π
v d x 0.24sin 6.0t dt
sin 6.0t 1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2 2
依题意, v＜0
v 0.24 3 0.208 m s1 2
P.9/35
§5.2 简谐运动的旋转矢量 表示法
5.2.1 旋转矢量表示法
t
x
P
• 旋转矢量A的模即为简谐运 动的振幅.
第5章 机械振动
( )t ( )
若两个振动的频率相 同, 则相位差为
A
A
x
Φ
同一振动不同时刻的相位差
振子沿 x 轴负方向运动 2. 比较各振动之间的相位关系 不同振动同一时刻的相位差
x1 Acos( t ) x2 Acos(t )
x1 Acos( t1 ) x2 Acos( t2 ) Φ (t2 ) (t1 )
周期 T : 往复振动一次所 经历的时间.
单位: s
1 T
单位: 赫兹(Hz, 1/s)
圆(角)频率 : 2 秒内振动的次数.
2 单位: 弧度/秒(rad/s)
周期, 频率与角频率关系: k
m
T 1 2π
只取决于系统本身.
P.7/35
简谐运动的运动方程
x Acos(t )
3. 初相位, 相位和相位差
P.5/35
第5章Βιβλιοθήκη Baidu机械振动
x Acos(t )
x
A
T 2π 取 0
o
A
v
v A sin(t ) A
o
A cos(t π ) A
2
a
a A 2 cos(t ) A 2
o
A 2 cos(t π ) A 2
xt图
t
T
vt 图
Tt
a t图
Tt
P.6/35
简谐运动的运动方程
振动学是波动学的基础
第5章 机械振动
第5章 机械振动
振动: 任何一个物理量(物体的位置, 电流强度, 电场强度, 磁场强度等)在 某一固定值附近作往复变化. 机械振动: 物体在固定位置(平衡位置) 附近作来回往复的运动. 简谐运动: 是最基本, 最简单的振动.
复杂振动 = ∑简谐振动
研究目的 —— 利用, 减弱 or 消除
t
0
an
a
v
2 A
x
vm A an A 2
v A cos(t π )
x Acos(t )
2
a A2 cos(t )
远离 x ，v 0 接近 x ，v 0
P.11/35
5.2.2 旋转矢量图的应用
1. 求初相位
振子沿 x 轴正方向运动
x x
第5章 机械振动
Φ (t ) (t )
(t2 t1) ( ) t
P.12/35
第5章 机械振动
Φ 2 1
Φ 0 同步
x
0 超前 Φ π反相 Φ 0 落后
x
x
o
to
o
t
t
相位差为 2 整数倍: 同步
相位差为 或 奇数倍: 反相
P.13/35
3. 用旋转矢量图画简谐运动的x t
第5章 机械振动
P.14/35
例2: 一质点沿x轴作简谐运动 的振幅为12cm, 周期为2s. 当 t = 0 时, 位移为6cm, 且沿 x 轴 正方向运动. 求: (1) 振动表达式; (2) t = 0.5s时, 质点的位置, 速 度和加速度; (3) 如果在某时刻质点位于 x=－6cm, 且沿 x 轴负方向运 动, 求从该位置回到平衡位置 所需要的最短时间.
解: (1)
x0 0.04m, v0 0, 6.0s1
振幅： A
x0 2
v02
02
x0 0.04m
arctan v0 0 x0
(为什么 不取π ?)
第5章 机械振动
得： x 0.04cos 6.0t m (2) 由(1)中结果
0.02 0.04cos 6.0t cos 6.0t 1 2
第5章 机械振动
x Acos( t ) Acos( t 2 )
x Acos(t )
5.1.2 简谐运动方程中的 三个基本物理量
A cos
(t
2
)
)
T 2
频率 : 单位时间内完成的振动次数.
1. 描述振动强弱的物理量
振幅 A : 离开平衡位置的 最远距离.
单位: m
2. 描述振动快慢的物理量
P.3/35
§5.1 简谐运动
第5章 机械振动
5.1.1 简谐运动的特征及其运 动方程
弹簧振子——理想模型
简谐运动的受力
f kx
始终指向平衡位置(有心力)
简谐运动的动力学方程
单
摆
d2x
m dt 2 k x
P.4/35
简谐运动动力学方程
m d2x k x 令 2 k
dt 2
m
d2 dt
x
第三篇 机械振动&机械波
第五章 机械振动
第5章 机械振动
为何讨论的重点是简谐运动 复杂振动可分解为若干简谐运动
振动的运动学规律
简谐振动的动力学特征
振动能量的周期性特征
P.2/35
振动和波动的关系: 波动——振动的传播 振动——波动的源头
机械振动, 电磁振荡 机械波, 电磁波 德布罗意波——几率波