二维连续型随机变量线性函数的概率密度的新算法
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算1. 引言1.1 背景介绍随着现代科学技术的不断发展，随机变量理论作为概率论和数理统计中的重要分支，已经成为了各个领域研究的重要工具之一。
而在随机变量理论中，二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算更是一个重要且复杂的问题。
二维连续型随机变量是指在二维空间中取值的连续的随机变量，其分布函数的计算涉及了多元积分和概率密度函数等高阶数学知识。
对于二维连续型随机变量分布函数及概率的计算，研究者们一直在探索各种不同的方法和技术。
通过推导分布函数和利用概率密度函数，可以计算出不同事件的概率，从而更好地理解与分析随机变量的性质和特点。
常见的二维分布，如正态分布、均匀分布等，在实际问题中的应用也十分广泛。
研究二维连续型随机变量分布函数及概率的计算对于深入理解概率论和数理统计的基本原理，解决实际问题具有重要意义。
本文将深入探讨二维连续型随机变量的定义、分布函数的推导、概率的计算方法、常见二维分布的概率计算、以及其特性分析，旨在为读者提供对这一重要领域的全面认识和理解。
1.2 研究意义二维连续型随机变量分布函数及概率的计算在概率论和统计学中具有重要的研究意义。
通过对二维连续型随机变量的分布函数和概率的计算，可以帮助我们更好地理解随机现象的规律性和不确定性。
这对于深入研究各种实际问题，如金融市场波动、自然灾害发生等具有重要意义。
二维连续型随机变量的分布函数和概率计算是概率统计学中的基础知识，对于建立概率模型、进行风险评估和决策分析等方面都至关重要。
通过研究二维连续型随机变量的特性和常见分布的概率计算方法，还可以为实际问题的解决提供重要的参考。
深入探讨二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算，不仅对学科发展具有重要意义，也对社会问题的解决有着积极的推动作用。
通过本文对该方面的研究，我们能够更全面地理解和应用二维连续型随机变量的相关知识，同时也为未来在这一领域的深入探索提供了基础和指导。
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的一种重要概念，指的是某个随机事件所对应的数值。
二维连续型随机变量指的是有两个自变量的随机变量，每个自变量都属于某个连续区间。
这种随机变量的分布函数和概率的计算是概率论研究的一个重点。
对于一个二维连续型随机变量(X,Y)，其概率密度函数f(x,y)满足以下条件：1. 对于所有的实数(x,y)，f(x,y)>=0。
2. 对于任意两个实数a和b(a<b)，有P(a<X<=b)=∫[a,b]∫f(x,y)dxdy。
3. ∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(x,y)dxdy=1。
f(x,y)独立于自变量的选取，并且可以看做点(x,y)在随机平面上的高度函数，表示(x,y)点上的概率密度。
定义随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=P{X<=x,Y<=y}。
它满足以下条件：1. F(x,y)是一个单调不减的函数。
对于所有的x和y，有F(x,y)<=F(x+δx,y)<=F(x+δx,y+δy)<=F(x,y+δy)，其中δx和δy是任意正数。
2. F(x,y)是一个右连续的函数。
对于无穷小的正数h，有lim F(x+h,y)=F(x,y)。
3. F(x,y)的边界值为lim F(±∞,y)=lim F(x,±∞)=0，lim F(±∞,±∞)=1。
此外，二维连续型随机变量的分布函数F(x,y)的偏导数f(x,y)即为概率密度函数。
也就是说，f(x,y)=∂F(x,y)/∂x∂y。
概率计算是概率论中的一个核心问题，对于二维连续型随机变量而言，其概率计算可以通过积分的方式实现。
1. 概率的计算方法对于二维连续型随机变量(X,Y)，如果要计算它的概率P(X∈A,Y∈B)，其中A和B为某个区间或集合，可以通过以下公式进行计算：P(X∈A,Y∈B)=∬_{(x,y)∈D}f(x,y)dxdy，其中D为一表示A和B的笛卡尔积的二元区域，f(x,y)为随机变量(X,Y)的概率密度函数。
3.2 二维连续型随机变量
定义：对于二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)，如果存在非 负可积函数f(x, y)，使对于任意的x, y有
yx
F( x, y) f (u,v)dudv
则称(X, Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量 (X, Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度.（Joint Probability Density Function）
若二维随机变量(X,Y)具有概率密度
f (x, y)
1
e 1 2(1 ρ2) (x μ1 σ12
)2
2
ρ(
x
μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
( x , y )
其中μ1, μ2, σ1, σ2, ρ均为常数，且σ1>0, σ2>0, −1< ρ <1.
f (x, y)
xy
例1.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 y
kx2 y 0 x y 1
y=x
f (x, y) 0
其他
1
（1）求常数 k 的 值；（2）求概率P ( X + Y ≤ 1 ) .
11
解 （1）1= f ( x, y)dxdy = ( kx2 ydy)dx
0,
F
(
x,
y)
((
2x y x 1)2
,
2)
y
,
(2 y) y ,
1 ,
x 1, 或 y 0 1 x 0, 0 y x 1 1 x 0, y x 1
二维连续型随机变量ok
3 / 4 [ 0
1
x
3 xdy ]dx
y=x
=37/64
0
3/4 1
注意积分限
例4 设(X,Y)的概率密度是
3 y ( 2 x ), f ( x, y) 0 , 0 x 1, 0 y x 其它
1/2 1
解: (2) P ( X )
2
1
0
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解 (1)由题意得:
f1 ( x )
x y 1
2 2
y
1 x
2
f ( x , y ) dy
其它
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时,
f1 ( x ) [
1/2
1 4
,Y
1 2
)
0
1/4
[ 3 xdy ]dx
0
x
=1/16
y=x
1/4 1
P(X Y ) 0
是平面上一条直线
0
x
下面我们介绍两个常见的二维分布： 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
1 , ( x, y) G f ( x, y) A 0, 其它
F ( x , y ) y d dy FY ( y )
亦即 F X |Y ( x | y )
x
f ( u , y ) du fY ( y) ， 或写成 F X |Y ( x | y )
1
3 y
) 0
(1 e
二维连续型随机变量函数的分布密度的计算
二维连续型随机变量函数的分布密度的计算随机变量是概率论中非常重要的概念，而随机变量的分布密度函数就是描述随机变量概率分布的函数。
本文将详细介绍如何计算二维连续型随机变量的分布密度函数。
首先，需要明确二维连续型随机变量的概念。
二维连续型随机变量是指定义在二维平面上的随机变量，它的取值可以是实数。
二维连续型随机变量的分布密度函数可以表示为f(x,y)，其中(x,y)是二维平面上的一个点。
接下来，我们将介绍两种常见的二维连续型随机变量的分布密度函数的计算方法，分别是独立型和相关型。
1.独立型二维连续型随机变量的分布密度函数的计算方法：假设有两个独立型二维连续型随机变量X和Y，它们各自的分布密度函数分别为f1(x)和f2(y)。
那么二者的联合分布密度函数可以表示为f(x,y)=f1(x)*f2(y)。
例如，假设X和Y都服从均匀分布，X~U(a,b)，Y~U(c,d)，则其分布密度函数可以表示为：f(x,y)=1/((b-a)(d-c)),对于x∈[a,b]，y∈[c,d]=0，在其他范围内2.相关型二维连续型随机变量的分布密度函数的计算方法：对于相关型二维连续型随机变量，我们需要求解出其关联矩阵或者协方差矩阵。
关联矩阵的定义为：C=[σ11^2σ12σ21σ22^2]其中，σ11^2表示变量X的方差，σ22^2表示变量Y的方差，σ12和σ21是X和Y之间的协方差。
根据关联矩阵，可以计算二维连续型随机变量的分布密度函数。
具体计算方法可以通过以下几个步骤实现：步骤1：计算二维连续型随机变量的均值μ_x和μ_y。
步骤2：计算相关系数ρ=σ12/(σ11*σ22)。
步骤3：计算离差变量U=x-μ_x，V=y-μ_y。
步骤4：计算分布密度函数 f(u, v) = (1 / (2π * σ)) * exp(-1/2 * (U^2 * (1 - ρ^2) - 2 * ρ * U * V + V^2 * (1 - ρ^2)) / (1 - ρ^2))。
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
在概率论中，二维连续型随机变量是指具有两个自变量的随机变量，通常用(X,Y)表示。
在这种情况下，我们需要计算二维连续型随机变量的分布函数和概率。
二维连续型随机变量的分布函数是指在给定的点(x,y)处，随机变量(X,Y)小于或等于该点的概率。
换句话说，分布函数表示了随机变量的取值落在给定点及其左上方的概率。
分布函数的定义如下：
F(x,y) = P(X <= x, Y <= y)
P表示概率函数。
在计算分布函数时，可以分为两种情况：
1. 当给定点(x,y)落在随机变量的取值范围之外时，概率为0，即：
F(x,y) = 0, 如果x < xmin 或 y < ymin
xmin和ymin分别为随机变量X和Y的最小取值。
2. 当给定点(x,y)落在随机变量的取值范围之内时，概率可以通过对二维连续型随机变量的概率密度函数进行积分得到，即：
F(x,y) = ∫∫f(u,v)dudv
f(u,v)表示二维连续型随机变量的概率密度函数。
1. 求解某个事件的概率：对于给定的事件A，可以通过求解概率密度函数在事件A内的积分来计算概率，即：
P(A) = ∫∫f(x,y)dxdy
A表示给定的二维区域。
在实际应用中，计算二维连续型随机变量的分布函数和概率通常需要用到积分计算方法，可以利用数值积分方法或计算机模拟方法来求解。
还需要注意概率计算的准确性和精度，以免影响结果的可靠性。
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算作者：张菲菲徐海蛟朱雄泳李万益李晓霞来源：《电脑知识与技术》2019年第28期摘要：二维连续型随机变量分布函数以及概率的计算是概率论教学中的一个重点和难点问题。
本文从分析二维连续型随机变量的分布函数以及概率的定义出发，总结出此两类问题计算的异同之处，进而给出了一种简单有效的二维连续型随机变量分布函数及概率的计算方法，并通过具体的应用实例来验证所提方法的有效性。
关键词：二维连续型随机变量;分布函数;二重积分;有效积分区域中图分类号：0211 文献标识码：A文章编号：1009-3044（2019）28-0195-04在概率论与数理统计中，二维连续型随机变量分布函数以及概率的计算比较复杂，很多大学生理不清其中的头绪，普遍不能够有效掌握这部分内容。
这其中的主要原因是二维连续型变量分布函数以及概率的计算过程涉及较为复杂的二重积分计算，其中包括有效积分区域的划分，二次积分上下限的确定以及最终单次积分的准确计算等问题。
本文先从分析二维连续型随机变量分布函数以及概率计算的定义出发，归纳得出此两类问题计算的异同之处，进而提出此两类问题具体的计算思路，最后通过实例来详细演示此两类问题具体的计算过程，从而为二维连续型随机变量分布函数以及概率计算提供一种简单明了并行之有效的求解方法。
1概念分析2计算思路通过第1节的分析可知，二维连续型随机变量的分布函数和概率的计算最终都可以转化为概率密度函数f（x，y）在区域G（计算分布函数）或者区域Z（计算概率）上的二重积分。
然而很多时候概率密度函数f（x，y）并不是在整个xOy平面上都为非零，因此具体计算的时候还要将概率密度函数f（x，y）为非零的區域与区域G或者区域z取交集从而得到有效积分区域，最终在有效积分区域上完成二重积分的计算。
总体来说，二维连续型随机变量的分布函数和概率的计算的总体思路包括以下几个部分。
4结语有效积分区域的确立是连续型随机变量分布函数和概率的计算的关键，同时二重积分的正确计算是解决此两类问题的必备基本功。
二维连续性随机变量的函数的概率密度及其求法
二维连续性随机变量的函数的概率密度及其求法1.1 二维连续性随机变量的函数的概率密度2.1.1 随机变量(.)r v 的联合分布的概率密度它类似于一维连续性随机变量，对于二维随机变量(,)X Y ，如果定义域是整个平面xoy 上的非负函数(,)f x y ，则(,)X Y 的分布函数可以表示为：(,)(,)xyF x y f u v dvdu -∞-∞=⎰⎰（0-1）则成为二维连续性随机变量，其中(,)f x y 为二维连续性随机变量(,)X Y 的随机联合概率密度或概率密度边缘密度函数 ()X f x 、()Y f y ，条件密度函数 |(|)X Y f x y 、Y|X (|x)f y ，都是围绕联合密度函数(,)XY f x y 。
一般来说，都会包括“由F 求p 法”——由分布函数求密度函数的方法。
根据定义所具有的性质：(,)0f x y ≥++(+,-)(,)=1F f u v dvdu ∞∞-∞-∞∞∞=⎰⎰（0-2）若O 是某个xoy 平面上的区域，点O 落在(,)X Y 内的概率为：{(,)}(,)OP X Y O f x y dxdy ∈=⎰⎰（0-3）若(,)f x y 在点(,)x y 连续，则有：2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂（0-4）2.1.2 随机变量的边缘分布概率密度 与二维离散性随机变量类似，在等式中，(,)(,)xyf x y f u v dvdu -∞-∞=⎰⎰（0-5）令y =+∞得到连续性随机变量X 的边缘分布函数()()(,)X X df x F x f x y dy dx+∞-∞==⎰（0-6）由此得随机变量X 的边缘概率密度函数()(,)(,)xX F x F x f u v dudv +∞-∞-∞=+∞=⎰⎰（0-7）同理可得随机变量Y 的边缘概率密度函数()(,)(,)y Y F y F y dy f x y dx +∞-∞-∞=+∞=⎰⎰（0-8）Y 的边缘概率密度函数：()()(,)Y Y df x F y f x y dx dy+∞-∞==⎰（0-9）2.1.3 二维均匀分布的概率密度定义：设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为1,(,),(,)0,x y D A f x y ⎧∈⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其他（0-10）其中D 是平面上的有界区域，其面积为A ，则称(,)X Y 在D 中是均匀分布的。
3 二维连续型随机变量及其概率密度
(4)若 f ( x, y) 在点 ( x, y ) 连续，则有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
4
由性质（4）和（1.1），如图3-3，在 的连续点处有
P{x X x x, y Y y y} lim x 0 xy
y 0
6
例 1
若二维随机变量
( X , Y )具有概率密度
( x, y ) D 1 , , f ( x, y ) S D 0, 其它 其中S D 为区域 D 的面积，则称 ( X , Y ) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 ( X , Y ) 在以圆 点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分 布，求二维联合概率密度.
其中 exp{ f ( x)} e f ( x) ，其中 , , , , 都是常数， 且 0, 0,1 1 .我们称 ( X ,Y ) 为服从参数 为 , , , , 的二维正态分布（这五个参数的意 2 2 ( X , Y ) N ( , , , 1 2 1 2 , ). 义将在下一章说明），记为 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
P{ X xi Y y j } P ( X xi , Y y j ) P(Y y j ) pij p j
，i 1, 2,
22
这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条 件{Y y} 下 X 的条件分布为如下连续型分布： 定义 设二维连续型随机变量 ( X ,Y )的概率密度 为 f ( x, y), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘密度为 f Y ( y).若对 f ( x, y ) y f ( y ) 0 于固定的 ，Y 则称 f ( y ) 为在Y y 的条件 下 X 的条件概率密度， f ( x, y) 记为 f X Y ( x y) (3.5) fY ( y ) x x f ( x, y ) 称
二维随机变量的联合概率密度
二维随机变量的联合概率密度
代表的是fx先对x求偏导再对y求偏导，因为二位连续型随机变量的密度fx求二重
积分得到其分布函数fx，同时因为x和y都是变量，所以fx已知时候对x再对y求偏导
数就得到密度fx了。
离散变量函数值,对应自变量p和，连续变量函数密，定域画线变分布。
二维联合变
量积,非负无穷和为l;联合概率另变量，无穷求和边缘p。
联合分布区域p,2个不等4等式;联合分布另变量，无穷极限是边缘。
随机变量在相同的条件下由于偶然因素影响，可能将挑各种相同的值，故其具备不确
定性和随机性，但这些值域落到某个范围的概率就是一定的，此种变量称作随机变量。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
如分析测试中的测定值就是一个以概
率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之
前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。
联手原产函数定义:
设(x,y为一二维随机变量，则对r2的任意的x, y,称事件x≤x与y≤y都发生的概
率为x,y)的联合分布函数,
f(x,y)=p(x ≤x, y ≤y)= p[(x≤x)n(y≤y)]
所以，联合分布也是变量(事件）积的概率。
二维连续型随机变量函数的分布密度的计算
二维连续型随机变量函数的分布密度的计算首先，我们需要了解二维随机变量的分布函数。
对于一个二维连续型随机变量$(X,Y)$，其分布函数为$F_{XY}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$。
其中，$P(X\le x,Y\le y)$表示随机变量$(X,Y)$的取值小于等于$(x,y)$的概率。
接下来，我们将考虑一个二维连续型随机变量函数$Z=g(X,Y)$的分布密度的计算。
在计算过程中，有两种方法可以使用：转换法和直接计算法。
1.转换法：通过二维连续型随机变量的转换，我们可以计算出函数$Z=g(X,Y)$的分布密度。
首先，我们可以使用变量替换法来得到函数$Z=g(X,Y)$的分布函数$F_Z(z)$。
将$(X,Y)$表示为$(x,y)$的函数，并通过求导来计算得到$Z$的累积分布函数$F_Z(z)$。
接下来，我们可以通过求导来计算$F_Z(z)$得到函数$Z=g(X,Y)$的分布密度$f_Z(z)$。
具体计算方法如下：\f_Z(z)=\frac{{dF_Z(z)}}{{dz}}\]2.直接计算法：直接计算函数$Z=g(X,Y)$的分布密度。
首先，我们需要观察函数$Z=g(X,Y)$的取值范围$D_Z$。
接下来，我们需要计算出在取值范围$D_Z$内$(X,Y)$的取值范围$D_{XY}$。
然后，我们可以通过积分的方法计算函数$Z=g(X,Y)$的分布密度$f_Z(z)$：\f_Z(z)=\int\int_{(x,y)\in D_{XY},g(x,y)=z}\left，J(x,y)\right，f_{XY}(x,y)dxdy\]其中，$J(x,y)$表示雅可比行列式，$f_{XY}(x,y)$表示$(X,Y)$的联合概率密度函数。
综上所述，以上是二维连续型随机变量函数分布密度计算的两种方法。
使用转换法或直接计算法可以计算出函数$Z=g(X,Y)$的分布密度。
具体方法根据具体问题的条件来选择。
同时，求解分布密度时需要注意变换的可逆性和变换区域的映射关系，以确保计算结果的正确性。
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算二维连续型随机变量是概率论中一个重要的概念，它描述了两个不同随机变量同时发生的概率分布情况，对于一些实际问题的建模和分析有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法，以及一些相关的概念和定理。
我们来介绍二维连续型随机变量的分布函数。
对于一个二维连续型随机变量（X，Y），它的分布函数F(x,y)定义为：F(x,y) = P(X<=x, Y<=y)P(X<=x, Y<=y)表示两个随机变量X和Y同时小于等于x和y的概率。
对于任意的实数x和y，分布函数F(x,y)满足以下性质：1. F(x,y)是非减函数，即对于任意的x1<=x2和y1<=y2，有F(x1,y1)<=F(x2,y2)。
2. F(x,y)是右连续的，即对于任意的实数x和y，有lim（Δx,Δy→0）F(x+Δx,y+Δy)=F(x,y)。
有了概率密度函数f(x,y)，我们就可以计算出二维连续型随机变量的概率。
对于一个实数区间A=[a,b]×[c,d]，A内的概率可以表示为：P((X,Y)∈A)=∬(A)f(x,y)dxdy这就是概率密度函数的基本应用之一，通过对概率密度函数进行积分，我们可以计算出不同区域内的概率值。
除了以上的基本概念和计算方法之外，二维连续型随机变量还有一些重要的性质和定理。
最重要的定理之一就是边缘分布的计算方法。
对于一个二维连续型随机变量（X，Y），它的边缘分布分别是X和Y的概率分布。
根据边缘分布的定义，我们可以计算出X和Y的边缘分布函数为：F_X(x)=∫(-∞,x)∫(-∞,∞)f(x,y)dydxF_Y(y)=∫(-∞,∞)∫(-∞,y)f(x,y)dxdy通过这两个公式，我们可以计算出X和Y的边缘分布函数，从而得到它们的概率分布。
边缘分布在实际问题中有着重要的应用，它可以帮助我们对一个二维连续型随机变量进行更深入的分析和研究。
3.3二维连续型随机变量的分布
联合概率密度函数的性质
. . .
f ( x, y ) 0
f ( x, y )dxdy 1
F ( , ) 1
f ( x, y )
F ( x, y)
2
xy
f (x, y)
几何解释
P (( x , y ) D )
D
f ( x, y )d
二维连续型随机变量的概率密度
定义： F ( x) P{ X x}
x
f (t )dt
(一维)
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
x
y
f (u, v)dudv
若上式成立,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,并称
f(x,y)为(X,Y)的概率密度或X与Y的联合密度函数.
dy
y x
2 2 2
1 3 .
0
dx
x
e
2 x y
0
o
e
2 x 0
dx
x
e
3 x
y
x
dy
0
0
e
2 x
e
dx
二维连续型随机变量的边缘概率密度
定义: 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f (x, y), 则分别称
f X ( x)
y
2
),
2
24 3 y y( 2 y ), 故f Y ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
常用的二维连续型随机变量 定义：设D是平面上的有界区域，其面积为S. 若 二维随机变量（ X, Y）具有概率密度
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的结果。
而在实际问题中，往往会涉及到多个随机变量的联合分布问题，这时就需要引入多维随机变量的概念。
在本文中，我们将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法。
一、二维连续型随机变量的概念我们来了解一下二维连续型随机变量的概念。
二维连续型随机变量可以用一个二元组(X, Y)来表示，其中X和Y都是连续型随机变量。
其分布函数可以表示为F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)，而密度函数则可以表示为f(x, y) = ∂^2F(x, y)/∂x∂y。
需要注意的是，对于二维连续型随机变量来说，概率密度函数并不是概率，而是通过其在某个区域上的积分来得到概率。
对于二维连续型随机变量的分布函数，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 确定联合密度函数f(x, y)。
2. 然后，计算边际密度函数f1(x)和f2(y)，其中f1(x) = ∫f(x, y)dy，f2(y) =∫f(x, y)dx。
3. 根据边际密度函数，计算联合分布函数F(x, y)，其中F(x, y) = ∫∫f(u,v)dudv。
举个例子来说明，假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，其联合密度函数为f(x, y) = 2xy，且定义域为0<x<1，0<y<1。
那么我们可以按照上述步骤计算其分布函数：通过以上步骤计算得到了二维连续型随机变量的分布函数F(x, y) = x^2y。
这样，我们就可以用这个分布函数来计算各种概率。
在实际问题中，我们经常需要计算二维连续型随机变量在一个特定区域内的概率。
而对于二维连续型随机变量来说，其概率可以由其在特定区域上的积分来表示。
具体来说，如果我们需要计算二维连续型随机变量(X, Y)在区域D上的概率，可以通过以下步骤进行计算：1. 确定区域D的范围，并利用联合密度函数f(x, y)计算在该区域上的积分∫∫f(x, y)dxdy。
关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y的概率密度函数的解法探析
科学技术创新2019.28关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y 的概率密度函数的解法探析陈蕾蕾（四川邮电职业技术学院，四川成都610067）1二维连续型随机变量函数的分布若随机变量Z=g(X,Y)是二维连续型随机变量(X,Y)的实函数，要用(X,Y)的概率分布表达随机变量Z 的概率密度.具体求解步骤我们可以归纳为：设(X,Y)的概率密度函数为，的分布函数为，对任意实数1.1先求Z 的分布函数===（其中是的概率密度函数，z 是任意实数，D 为平面上由所定的区域，即是1.2求Z 的概率密度函数2二维连续型随机变量函数Z=X+Y 的概率密度函数的解法探析由上面的步骤我们可以得到一种比较常规的解题方法：设(X,Y)的概率密度函数为，对任意实数，的分布函数为，（1）其中是直线左下方半平面。
将（1）的二重积分按先对x 后对y 的积分化为累次积分，则，固定z 和y ，对方括号内的积分作变量代换，令x=u-y ，得，由概率密度函数与分布函数的关系，两边对z 求导（假设求导和积分次序可交换），便得到Z 的概率密度函数为（2）同理，将（1）的二重积分按先对y 后对x 的积分化为累次积分，则（3）特别地，设(X,Y)关于X,Y 的边缘密度函数分别为，，若X,Y 相互独立，则因有=，则（2）式和（3）式还可写成（4）（5）【例题】若随机变量X,Y 相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量的概率密度函数。
【解法一】由公式（5）可知，仅当即时，上述积分的被积分函数不等于零。
则需要分段讨论：当时（见a 图），有；当时（见b 图），即，有=；当时（见c 图），从而【解法二】利用分布函数与概率密度函数的关系，先求分布函数，再求。
当时（见a 图），=0当时（见b 图），摘要：本文结合概率论的相关理论知识，主要探讨二维连续型随机变量函数Z=X+Y 的概率密度函数的求解方法，加深学生对这一问题的理解，拓宽解决问题的渠道，从而更加熟练地应用多种求解方法通过不同路径达到目的。
02-305二维连续型随机变量的条件分布函数(密度)
y+
ε)
ε
)
当 ε 很小时,
P( X ≤ x | y < Y ≤ ε + y) ≈ FX|Y ( x | y)
x f (u, y)
∫ fY ( y) > 0, 时 FX|Y ( x | y) =
−∞
du, fY ( y)
f X |Y ( x |
y) =
FX |Y ( x |
y ) ′
=
f (x, y) fY ( y)
x
4e−4 y , y > 0
当 x > 0 时 fY |X ( y | x) =
0
,y≤0
fX (x) =
3e −3 x 0
,x > 0 ,x ≤ 0
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概率论与数理统计（理工）
二维连续型随机变量的条件分布函数(密度) 杨亮 四川大学数学学院
二维连续型随机变量的条件分布函数(密度)
内容提要 二维连续型随机变量的条件分布函数 以及条件密度函数。
教学要求 理解二维连续型随机变量条件分布(密度) 的概念并掌握相关计算。
一、基本概念
设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数为
解:
12e−(3 x+4 y) , x > 0, y > 0;
f (x, y) =
0
;其他.
fY |X ( y | x) =
f (x, y) =
fX (x)
1f2(0ex−,( 3yx)+ 4yy ) 33ee−33−ex3−x3 x
当 x ≤ 0 时 fY |X ( y | x) 不存在.
பைடு நூலகம்
关于二维连续型随机变量线性组合的概率密度
关于二维连续型随机变量线性组合的概率密度
王文波;常晓兵;喻敏
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2015(18)3
【摘要】由二维连续型随机变量和的分布的概率密度推广得到二维连续型随机变量线性组合的概率密度.
【总页数】2页(P23-24)
【作者】王文波;常晓兵;喻敏
【作者单位】武汉科技大学理学院,湖北武汉430065;武汉外国语学校数学教研室,湖北武汉430000;武汉科技大学理学院,湖北武汉430065
【正文语种】中文
【中图分类】O211.67
【相关文献】
1.二维连续型随机变量函数的概率密度公式的推广 [J], 王建平;姬利娜
2.二维连续型随机变量线性函数的概率密度的新算法 [J], 王建平;王瑞
3.关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y的概率密度函数的解法探析 [J], 陈蕾蕾
4.关于求解二维连续型随机变量函数Z=X+Y的概率密度函数的解法探析 [J], 陈蕾蕾
5.二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度 [J], 脱倩娟;吕纪荣
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高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
doi: 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2019. 04. 025
Vol. 22 ,No. 4 July, 2019
二维连续型随机变量线性函数的概率密度的新算法
王建平#王瑞
(1)将随机变量(X,Y)的联合概率密度函数
即
” Fz(z) =
*4,=)dzd=
G： ax+by&Lz
I Z *4,y)dzdy,G 6 0 $ 0 ； 4)
—j G60 -0 ,g 6 0 = [•
因参数z的取值范围为R, z的取值区间不同,
则积分区域G 6 0的边界 不同,导致二 分
分
4和y的积分区间
，因此在
计算Fz(z)时首先
数z'R内的分段讨
度的定限问题的新方案，称之为不等式组定限法•
1 预备知识
定理閃二维随机变量(X,Y)联合概率密度
函数为f4,y)，Z=aX + bY(ab $0)，则随机变量
Z的概率密度函数为
j b fZ() =
Q 4 j—f4
)dz，b $ 0 (1)
或
fz$) = [ t1rf (-
,=)dy,a $ 0. (2)
0引言
二维连续型随机变量函数的概率密度函数的计 算是概率论中的重点和难点，尤其是和与差的概率 密度的计算多次出现在全国研究生入学考试试题 中.虽然其涉及的积分计算并不难，但如何确定参数 的分界点和积分变量对应的有效积分区间却让多数 学生不知所措.而教材或辅导材料上都是针对具体 问题给出计算方法，缺少系统、全面的总结•文献[1] 讨论了随机变量和Z= X + Y的概率密度计算公式 的定限方法，但该方法并不凝练.文献⑵给出了连 续型随机变量的线性函数Z = aX + Y$b $0)的 概率密度的计算公式，但并没涉及积分定限的方法• 本文提出了解决连续型随机变量线性函数的概率密
2.1 分布函数法
这种思路是先求随机变量Z的概率分布函数 Fz(q),再借助分布函数与密度函数的关系，求导即
可得到Z的概率密度*%4)
由分布函数的定义及式(5)可得
FZ 4) = P {Z & q} = P {aX + BY & q }
-P/XY) " G}
(6)
Z —
f4,}dxdy
G：ax+by&z
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高等数学研究
2019年7月
域G上的二重积分囚，艮卩 P {CXY% " G} = Zf$4='}dxdy• (5)
G
2 连续型随机变量函数的概率密度的算法
问题 已知二维随机变量(X,Y)联合概率密 度函数为*4, =) , Z - aX +BY(B $ 0),试求随机 变量Z的概率密度函数*%4)
其中G= {4=) \ax +B= & z}.考虑到一般的二
维连
的概率密度*4=) 在整个
平面内的某个区域D上取值大 .因此需要观察
积分区域G与密度函数*4,)取值非零的区域0
的交集G 6 D，若G 6 D - 0，则易知积分结果为 零；若G 6 D $0，则需确定有效的积分区域G 6 D 的区域 ，并以此确定具体的二次积分的上下限.
On Probability Density of Linear Function of Two Dimensional Continuous Random Variables
WANG Jianping and WANG Rui
(ColegeofInformationand Management Science, Henan Agricultural University, Zhengzhou450046, China)
Abstract Fortheprobabilitydensityofalinearfunctionoftwodimensionalcontinuousrandomvariables, thispaperprovidesamoreconvenientapproachtodetermineboundsofdefiniteintegralbyasystemofinequalities and systematic calculation steps. Keywords two dimensional continuous random variable,distribution function,density function,method of distribution function, method of inequality systems
收稿日期：2018 - 07 - 19
修改日期：2019 - 02 -22
基金项目：河南省高等教育教学改革研究项目(2014160)，河南省高
等教育教学改革研究重点项目(2017034)
作者简介：王建平(1972 — )河南临颍人，硕士，副教授，研究方向:数学教
育教学、微分方程、经济统计，Email： Xwjpw007@126. com
J —! | a
a
若X与Y相互独立，则有卷积公式
j Q 4 fz(Q — — ~—fx4) • fx b )尤 $)
或
B fz(Q — J —8 T| a丄fx( ~a~ ) • fY(.y)dy. (4)
若将二维随机变量(X,Y)视为平面中的一个 随机点，则二维连续性随机变量(X,Y)落在某区域 G内的概率等于联合概率密度函数f4,y)在该区
论•文献⑷给出了 Z= X士Y的概率密度的分段讨
论的方法，此方法亦适用于一般的 函数Z = aX
+ BY(aB $ 0),具体过程参看例1、例2.
2.2 不等式组定限法
这种思路是基于 RMI( Relationship Mapping Inversion)原则将定限问题转换为求解不等式组的 解•其基本步骤如下：
(河南农业大学信息与管理科学学院，郑州450046)
摘 要 针对二维连续型随机变量的线性函数的积分定限和计算问题，提出了一种更加简单的不等式组定限方法
和系统的计算步骤. 关键词 连续型随机变量；线性函数；分布函数；密度函数；分布函数法；不等式组定限法
中图分类号 O21T1
文献标识码 A
文章编号 1008 - 1399(2019)04 - 0093-04