线性相位FIR滤波器的零极点分布图
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6.1 引言
在上一章，我们系统地讲述了IIR 数字滤波器的设计 方法。FIR DF和IIR DF比较起来，有其独特的优点 很容易实现线性相位滤波
便于利用FFT计算信号通过Filter的响应等 故研究FIR数字滤波器的设计方法，在很多场合都是 有理论和工程意义的 当然由于FIR数字滤波器的所有极点均在原点，调整 极点不方便，故若要实现相同的幅频特性，一般情 况下FIR数字滤波器的阶数要大于IIR数字滤波器， 故在对Filter相位没有严格要求的场合，利用IIR数 字滤波器的实现代价要小，一般采用IIR数字滤波器， 而在对Filter的相位有严格要求的应用场合，则要多 考虑利用FIR数字滤波器。
N 1
H (e j ) H (z) ze j h(n)e jn n0
当 h(n) 为实数时，H(ej)可表示为
H (e j ) H (e j ) e j () H ()e j ()
(6 1)
其中 | H(ej)| 为幅度~频率响应函数，而 H() 为可
正可负的实函数
2
6.2 线性相位FIR Filter的特点
由(6-1)式可知， H(ej)的相位是θ()，若
要得到线性相位的Filter，则要求
() , const
(6 2)
若 () 0 ,0是初始相位 (6 3)
严格讲，此时θ()不是线性相位
6
满足第二类线性相位条件的 FIR滤波器的h(n)
利用与上面类似的推导可知，第二类线性相位 的FIR Filter应满足
N 1
h(n)sin ( n) 0 0
n0
若要使上式成立，则应有
(6 8)
N 1 2
h(n) h(N 1 n)
(6 9) (6 10)
0
2
(6 11)
7
满足第二类线性相位条件的 FIR滤波器的h(n)
由式(6-9)~(6-11)可知，满足第二类线性相 位特性的FIR滤波器的单位冲激响应h(n) 以n=(N-1)/2为中心奇对称，对应的时延 为τ=(N-1)/2
当N为偶数时，τ为(N/2)个整数抽样时间间隔 减去半个抽样时间间隔 N为奇数时，τ为整数个(N-1)/2抽样时间间隔
分别相等，可得
N -1
H () cos( ) h(n) cos(n)
n0
N -1
H ()sin( ) h(n)sin(n)
4
n0
两边相除，得
N 1
h(n)sin(n)
tan(
)
sin( ) cos( )
பைடு நூலகம்
n0 N 1
h(n) cos(n)
上述两种相位形式有一个共同点就是它们的群
时延都是一个常数，即无论(6-2)式还是(6-3)式 都有 d ()
d
这时也可将(6-3)式的相位形式称为线性相位 （实际上(6-3)式的相位是增量线性的）
3
6.2 线性相位FIR Filter的特点
为了区分以上两种线性相位，通常将(6-2)式θ() 称为第一类线性相位，将(6-3)式的θ()称为第二
类线性相位。下面将从时域、频域分析线性相位 FIR 滤波器的特点
下面分析具有线性相位特点的FIR滤波器的单位
冲激响应 h(n) 的特点
由 (6-1) 式和 (6-2) 式可得
N 1
H (e j ) h(n)e jn H ()e j
(6 4)
n0
对 (6-4) 式做变换，令等式左右两边实部、虚部
鉴于此，下面我们重点讲授线性相位FIR数字滤波器1 的设计
6.2 线性相位FIR Filter的特点
FIR滤波器的单位冲激响应 h(n) 是有限长的（设长 度为N），则有
N 1
H (z) h(n)zn n0
H(z)为z-1的 (N-1) 阶多项式，在z平面上有 (N-1) 个零点， 在z=0处有 (N-1) 个极点 h(n)的频率响应函数H(ej)为
n0
N 1
N 1
h(n)sin(n) cos( ) h(n) cos(n)sin( ) 0
n0
n0
N 1
h(n)sin ( n) 0
(6 5)
n0
上式成立的条件
N 1
2 h(n) h(N 1 n)
(6 6) 0 n N 1 (6 7)
11
线性相位FIR滤波器的频率响应的特点
由上面（6-7）式和（6-10）式可知，对 于线性相位FIR滤波器，其单位冲激响应 h(n)应满足
h(n) h(N 1 n)
9
满足第二类线性相位条件的 FIR滤波器的h(n)
对上述两种情况进行组合可以得到四种线性 相位滤波器，下图给出这四种滤波器的h(n)
h(n)偶对称，N为奇数
h(n)偶对称，N为偶数
h(n)奇对称，N为奇数
h(n)奇对称，N为偶数
10
线性相位FIR滤波器的频率响应的特点
上面分析了线性相位FIR Filter的时域特性， 即单位冲激响应函数h(n)的特性，下面在 频率域分析各种线性相位FIR滤波器的特 点
8
满足第二类线性相位条件的 FIR滤波器的h(n)
由(6-10)式可知 N为奇数时，h((N-1)/2)=0 N为偶数时，h((N-1)/2)无定义
第二类线性相位FIR Filter除了产生线性相位 之外，还有一个±π/2的固定相移。线性相位 FIR Filter可以是满足第一类线性相位的，也 可以是满足第二类线性相位的，同时FIR Filter的h(n)的长度可以是奇数，也可以是偶数
(6-7)式为FIR Filter具有第一类线性相位特性的充要条件
5
满足第一类线性相位条件 的FIR Filter的h(n)
由式(6-6)(6-7)可知，满足第一类线性 相位特性的FIR滤波器的单位冲激响应 h(n)以n=(N-1)/2为中心偶对称，对应 的延时为τ=(N-1)/2
当N为偶数时,τ为整数个N/2抽样时间间隔减 去半个抽样时间间隔，此时h((N-1)/2)无定义 N为奇数时,τ为整数个(N-1)/2抽样时间间隔
在上一章，我们系统地讲述了IIR 数字滤波器的设计 方法。FIR DF和IIR DF比较起来，有其独特的优点 很容易实现线性相位滤波
便于利用FFT计算信号通过Filter的响应等 故研究FIR数字滤波器的设计方法，在很多场合都是 有理论和工程意义的 当然由于FIR数字滤波器的所有极点均在原点，调整 极点不方便，故若要实现相同的幅频特性，一般情 况下FIR数字滤波器的阶数要大于IIR数字滤波器， 故在对Filter相位没有严格要求的场合，利用IIR数 字滤波器的实现代价要小，一般采用IIR数字滤波器， 而在对Filter的相位有严格要求的应用场合，则要多 考虑利用FIR数字滤波器。
N 1
H (e j ) H (z) ze j h(n)e jn n0
当 h(n) 为实数时，H(ej)可表示为
H (e j ) H (e j ) e j () H ()e j ()
(6 1)
其中 | H(ej)| 为幅度~频率响应函数，而 H() 为可
正可负的实函数
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6.2 线性相位FIR Filter的特点
由(6-1)式可知， H(ej)的相位是θ()，若
要得到线性相位的Filter，则要求
() , const
(6 2)
若 () 0 ,0是初始相位 (6 3)
严格讲，此时θ()不是线性相位
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满足第二类线性相位条件的 FIR滤波器的h(n)
利用与上面类似的推导可知，第二类线性相位 的FIR Filter应满足
N 1
h(n)sin ( n) 0 0
n0
若要使上式成立，则应有
(6 8)
N 1 2
h(n) h(N 1 n)
(6 9) (6 10)
0
2
(6 11)
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满足第二类线性相位条件的 FIR滤波器的h(n)
由式(6-9)~(6-11)可知，满足第二类线性相 位特性的FIR滤波器的单位冲激响应h(n) 以n=(N-1)/2为中心奇对称，对应的时延 为τ=(N-1)/2
当N为偶数时，τ为(N/2)个整数抽样时间间隔 减去半个抽样时间间隔 N为奇数时，τ为整数个(N-1)/2抽样时间间隔
分别相等，可得
N -1
H () cos( ) h(n) cos(n)
n0
N -1
H ()sin( ) h(n)sin(n)
4
n0
两边相除，得
N 1
h(n)sin(n)
tan(
)
sin( ) cos( )
பைடு நூலகம்
n0 N 1
h(n) cos(n)
上述两种相位形式有一个共同点就是它们的群
时延都是一个常数，即无论(6-2)式还是(6-3)式 都有 d ()
d
这时也可将(6-3)式的相位形式称为线性相位 （实际上(6-3)式的相位是增量线性的）
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6.2 线性相位FIR Filter的特点
为了区分以上两种线性相位，通常将(6-2)式θ() 称为第一类线性相位，将(6-3)式的θ()称为第二
类线性相位。下面将从时域、频域分析线性相位 FIR 滤波器的特点
下面分析具有线性相位特点的FIR滤波器的单位
冲激响应 h(n) 的特点
由 (6-1) 式和 (6-2) 式可得
N 1
H (e j ) h(n)e jn H ()e j
(6 4)
n0
对 (6-4) 式做变换，令等式左右两边实部、虚部
鉴于此，下面我们重点讲授线性相位FIR数字滤波器1 的设计
6.2 线性相位FIR Filter的特点
FIR滤波器的单位冲激响应 h(n) 是有限长的（设长 度为N），则有
N 1
H (z) h(n)zn n0
H(z)为z-1的 (N-1) 阶多项式，在z平面上有 (N-1) 个零点， 在z=0处有 (N-1) 个极点 h(n)的频率响应函数H(ej)为
n0
N 1
N 1
h(n)sin(n) cos( ) h(n) cos(n)sin( ) 0
n0
n0
N 1
h(n)sin ( n) 0
(6 5)
n0
上式成立的条件
N 1
2 h(n) h(N 1 n)
(6 6) 0 n N 1 (6 7)
11
线性相位FIR滤波器的频率响应的特点
由上面（6-7）式和（6-10）式可知，对 于线性相位FIR滤波器，其单位冲激响应 h(n)应满足
h(n) h(N 1 n)
9
满足第二类线性相位条件的 FIR滤波器的h(n)
对上述两种情况进行组合可以得到四种线性 相位滤波器，下图给出这四种滤波器的h(n)
h(n)偶对称，N为奇数
h(n)偶对称，N为偶数
h(n)奇对称，N为奇数
h(n)奇对称，N为偶数
10
线性相位FIR滤波器的频率响应的特点
上面分析了线性相位FIR Filter的时域特性， 即单位冲激响应函数h(n)的特性，下面在 频率域分析各种线性相位FIR滤波器的特 点
8
满足第二类线性相位条件的 FIR滤波器的h(n)
由(6-10)式可知 N为奇数时，h((N-1)/2)=0 N为偶数时，h((N-1)/2)无定义
第二类线性相位FIR Filter除了产生线性相位 之外，还有一个±π/2的固定相移。线性相位 FIR Filter可以是满足第一类线性相位的，也 可以是满足第二类线性相位的，同时FIR Filter的h(n)的长度可以是奇数，也可以是偶数
(6-7)式为FIR Filter具有第一类线性相位特性的充要条件
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满足第一类线性相位条件 的FIR Filter的h(n)
由式(6-6)(6-7)可知，满足第一类线性 相位特性的FIR滤波器的单位冲激响应 h(n)以n=(N-1)/2为中心偶对称，对应 的延时为τ=(N-1)/2
当N为偶数时,τ为整数个N/2抽样时间间隔减 去半个抽样时间间隔，此时h((N-1)/2)无定义 N为奇数时,τ为整数个(N-1)/2抽样时间间隔