矩阵的概念及运算
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念以及常见的矩阵运算。
一、矩阵的基本概念1.1 定义矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数组，记作A=[a_ij]，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的类型根据矩阵元素的性质和特点，矩阵可以分为以下几种类型：- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。
- 方阵：行数等于列数的矩阵，记作A（m×m）。
- 行矩阵：只有一行的矩阵，记作A（1×n）。
- 列矩阵：只有一列的矩阵，记作A（m×1）。
- 对角矩阵：非主对角线上的元素都为0的方阵。
1.3 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法设有两个m×n的矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，则它们的和记作C=A+B，差记作D=A-B。
矩阵的加法和减法满足以下性质：- 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
- 零元素：A+O=A，A-O=A。
- 负元素：A+(-A)=O。
2.2 矩阵的数乘设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，数k，则kA记作E=[ka_ij]，即矩阵A中的每个元素乘以k。
2.3 矩阵的乘法设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个n×p的矩阵B=[b_ij]，它们的乘积记作C=A•B，其中C的第i行第j列的元素为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj矩阵的乘法需要满足以下条件：- 矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，才能进行乘法运算。
- 乘法不满足交换律，即A•B≠B•A。
- 结合律成立：(A•B)•C=A•(B•C)。
2.4 矩阵的转置设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，A的转置记作A^T，其中A^T 的第i行第j列的元素为a_ji。
2_1_2矩阵的概念与矩阵运算
；两边加A 的负矩阵 ；交换律 ；约定（减法） ；性质4 ；性质3 ；数乘运算 ；恒等变换 ；性质8
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3 5 7 2 1 3 2 0 例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ， ． 0 1 2 3 0 6 4 8 且A+2X=B，求X。 解：
− 2 − 2 − 5 − 2 1 从而得 X = ½ ∗(B-A) = 0 1 1 4 2 0 5 2 5
本章重点
用初等变换求逆矩阵及求矩阵的秩的方法.
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§1 矩阵的概念
在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程 组的每个方程对应一个有序数组：
a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn =b1 a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn =b2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ am1x1+ am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn =bm
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都是m× 矩阵 容易证明， 矩阵.容易证明 设A,B,C都是 ×n矩阵 容易证明，矩阵的加法满足如下运 都是 算规律： 算规律 （1）交换律： A+B=B+A; ）交换律： （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); ）结合律： 是与A同型的零矩阵 （3）A+O=A，其中 是与 同型的零矩阵 ） ，其中O是与 同型的零矩阵; （4）A+(-A)=O，其中 是与 同型的零矩阵 是与A同型的零矩阵 ） ，其中O是与 同型的零矩阵. 矩阵的减法可定义为: 矩阵的减法可定义为: 减法可定义为
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。
本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。
一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。
如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。
2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。
（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。
（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。
（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。
矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。
矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。
例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。
矩阵的运算与性质
矩阵的运算与性质矩阵是线性代数中的基本概念，广泛应用于各个学科领域。
本文将介绍矩阵的运算及其性质，探讨在不同情况下矩阵的特点和应用。
一、矩阵的定义与分类1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照矩形排列的数表，由m行n列的数构成，通常用大写字母表示，如A、B等。
2. 矩阵的分类：根据行数和列数的不同，矩阵可以分为行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵等。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对应位置元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵的所有元素乘以一个常数。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
4. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。
三、矩阵的性质和特点1. 矩阵的单位矩阵：对角线上元素为1，其余元素为0的方阵。
2. 矩阵的逆矩阵：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。
3. 矩阵的行列式：方阵A经过运算得到的一个标量值，记作det(A)或|A|，用于判断矩阵是否可逆及求解线性方程组等。
4. 矩阵的秩：矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
5. 矩阵的特征值与特征向量：对于方阵A，存在数值λ和非零向量x，使得A·x = λ·x，λ为A的特征值，x为对应的特征向量。
四、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：通过矩阵的运算和性质，可以将线性方程组表示为矩阵的形式，从而求解出方程组的解。
2. 矩阵在图像处理中的应用：利用矩阵的运算，可以对图像进行变换、旋转、缩放等操作。
3. 矩阵在经济学中的应用：使用矩阵可以模拟经济系统，进行量化分析、预测等。
总结：矩阵作为线性代数中的基本概念，具有丰富的运算规则和性质。
通过矩阵的加法、数乘、乘法、转置等基本运算，可以推导出矩阵的逆矩阵、行列式、秩、特征值等重要概念。
矩阵在不同学科领域有着广泛的应用，如线性方程组求解、图像处理、经济学分析等。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数学科中的基础工具，这是因为矩阵可以用来表示线性变换和线性方程组。
对于矩阵的基本概念与运算，我们需要从以下几个方面来分析。
一、矩阵的基本概念1、定义与记法矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B、C等。
其中，阵列中的m表示矩阵的行数，n则表示矩阵的列数。
因此，一个m行n列的矩阵可以写成：$A_{m×n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots&a_{mn}\\\end{bmatrix}$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
2、矩阵的类型按照元素类型可以将矩阵分为实矩阵、复矩阵和布尔矩阵等。
按照矩阵的形状，矩阵可以分为方矩阵、长方矩阵和列矩阵等。
二、矩阵的基本运算1、矩阵的加法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{m×n}$，它们对应位置相加的结果记作 $C=A+B$，则：$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$2、矩阵的数乘假设有一个矩阵 $A_{m×n}$ 和一个数 $\lambda$，则它们的乘积记作 $B=\lambda A$，则：$B_{ij}=\lambda A_{ij}$3、矩阵的乘法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{n×p}$，它们的乘积记作$C=AB$，则：$C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$矩阵乘法需要满足结合律，但不满足交换律，也就是说，$AB$ 与 $BA$ 不一定相等。
矩阵的基本运算与应用知识点总结
矩阵的基本运算与应用知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它不仅在数学领域有重要作用，还在物理学、统计学、计算机科学等领域得到广泛应用。
本文将对矩阵的基本运算和应用进行总结。
一、矩阵的定义与表示矩阵是一个由m行和n列元素排列成的矩形数组。
一个m×n矩阵的大小通常表示为m×n。
矩阵中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵常用大写字母表示，如A、B。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
设A、B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，其定义为：(A+B)ij = Aij + Bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，也是对应元素相减。
两个矩阵相减要求行数和列数相等。
设A、B是同型矩阵，则它们的差A-B也是同型矩阵，其定义为：(A-B)ij = Aij - Bij。
3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数或复数称为数乘。
设A为一个矩阵，k为实数或复数，则数乘后的矩阵kA，其中矩阵kA 的每个元素均为k乘以A相应元素的积。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法不同于数乘，它是指矩阵之间的乘法运算。
设A为m×n 矩阵，B为n×p矩阵，那么它们的乘积AB为m×p矩阵，其定义为：(AB)ij = ΣAikBkj，其中k的范围是1到n。
三、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵在线性方程组的求解中发挥着重要作用。
通过矩阵的系数矩阵和常数矩阵，可以将线性方程组转化为矩阵乘法的形式，进而用矩阵运算求解方程组的解。
2. 特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。
特征值表示了矩阵的某个线性变换的影响程度，而特征向量表示了在该变换下不变的方向。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
转置后的矩阵在一些应用中具有特殊的性质，并且在计算中常常用到。
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
矩阵的概念和计算
矩阵的概念和计算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学等。
本文将详细介绍矩阵的概念，以及矩阵的基本运算和计算方法。
一、矩阵的概念矩阵是由数个数按一定的规律排列成的长方形阵列。
矩阵由m行n列元素组成，可以表示成一个m×n的形式。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
每个元素在矩阵中由其所在的行号和列号来确定。
例如，一个3×2的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中，a11, a12, a21, a22, a31, a32分别表示矩阵A中的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应元素相加，要求两个矩阵具有相同的行数和列数。
例如，对于两个3×2的矩阵A和B，其加法可以表示为：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法是指对应元素相减，同样需要两个矩阵具有相同的行数和列数。
例如，对于两个3×2的矩阵A和B，其减法可以表示为：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个常数。
例如，对于一个3×2的矩阵A和一个常数k，其数乘可以表示为：B = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指满足前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数的情况下，将相应的元素相乘再相加得到新的矩阵。
例如，对于一个m×n 的矩阵A和一个n×p的矩阵B，其乘法可以表示为：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，其计算方法为：cij = a[i1]b[1j] + a[i2]b[2j] + ... + a[in]b[nj]三、矩阵的计算方法1. 矩阵的转置矩阵的转置指的是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
1-1矩阵的基本概念及运算
作业2
2.
即 AB AC× B C.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
这属于特例，称之 为“可交换矩阵”。
4. 单位矩阵——如同数和乘法中的 1
单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对 角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素 全都为0, 即
一般的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
可以非常简单地表示为矩阵方程 AX B
a11 a12
这里,
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1 b1
a2n
X
2 0
5 T 1
4 2 5
2
0
1
1 2 3 4 2
0
1
0 2
0
2 1 3 5 1
A BT = AT BT .
2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘)
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2) 数乘矩阵的运算规律
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
Bm
特殊矩阵
特殊矩阵
零矩阵：所有元素全等于零的矩阵。 矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。
矩阵的概念和运算
矩阵的概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、经济学等各个领域中。
本文将介绍矩阵的基本概念和运算，以及其在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义和表示矩阵是由m行n列的数量排列在一个矩形阵列中的数或者符号所组成的矩形数表。
一般用大写字母表示矩阵，例如A、B、C等。
矩阵可以表示为：A = [a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法满足相同位置元素相加的规则，即相同位置的元素相加得到新矩阵的对应位置元素。
例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]A +B = [a_ij + b_ij] = C2. 矩阵的数乘矩阵的数乘指将一个数与矩阵中的每个元素相乘，得到新矩阵。
例如：A = [a_ij]，k为实数kA = [ka_ij]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到新矩阵的运算。
矩阵的乘法满足“行乘列”规则，即第一个矩阵的行元素与第二个矩阵的列元素相乘并求和得到新矩阵的对应位置元素。
例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]AB = C，其中c_ij = ∑(a_ik * b_kj)4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到新矩阵。
若A为m行n 列的矩阵，其转置矩阵记作A^T，则A^T为n行m列的矩阵，且A的第i行第j列的元素等于A^T的第j行第i列的元素。
三、矩阵的应用1. 线性方程组矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的运算可以更方便地求解线性方程组的解。
例如：Ax = b其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
通过矩阵的运算，可以求解出未知数向量x。
2. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵在向量空间中的变换性质。
特征向量是指在矩阵变换下保持方向不变的非零向量，特征值是指对应于特征向量的标量。
矩阵的概念及其线性运算
.第二章 矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。
一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素用j i a 表示。
通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。
为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()i jm na ⨯表示。
矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。
记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。
n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。
n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。
主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001E n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。
行向量、列向量统称为向量。
向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。
向量中的元素又称为向量的分量。
11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。
分别称为矩阵A 、B 的和与差。
B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。
数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算
数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域起着重要的作用。
本章主要介绍矩阵的基本概念以及矩阵的运算。
1. 矩阵的基本概念矩阵由元素排列成的矩形阵列，其中每个元素都有自己的位置和值。
矩阵通常用大写的字母表示，如A、B等，元素用小写的字母表示，如a、b等。
矩阵的大小由行和列决定，如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n矩阵。
如下所示为一个3×4矩阵：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\end{bmatrix}$$2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法两个矩阵的加法要求其大小相同，即行数和列数都相等。
对应位置的元素相加得到新矩阵的对应元素。
例如，对于两个矩阵A和B的加法运算，结果矩阵C的对应元素为：$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$2.2 矩阵的数乘矩阵的数乘即一个矩阵中的每个元素都乘以同一个数。
例如，对于矩阵A的数乘运算，结果矩阵B的对应元素为：$$b_{ij} = k \cdot a_{ij}$$其中k为一个实数。
2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，要求被乘矩阵的列数等于乘矩阵的行数。
乘积矩阵的行数等于被乘矩阵的行数，列数等于乘矩阵的列数。
设矩阵A为m×n矩阵，矩阵B为n×p矩阵，则乘积矩阵C为m×p 矩阵。
乘积矩阵C的第i行第j列元素为：$$c_{ij} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \cdots + a_{in}\cdot b_{nj}$$3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算一、矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的一种基本工具，它是由一组数按照矩形排列而成的表格结构。
矩阵由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。
一个m行n列的矩阵可记作A = [aij]，其中i代表行号，j代表列号，aij表示矩阵A在第i行第j列的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和矩阵C可以通过循环计算得到。
对应元素相加即可，即Ci,j = Ai,j + Bi,j。
2. 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个实数k，实数k与矩阵A的乘积矩阵B可以通过循环计算得到。
每个元素都乘以k，即Bi,j = k * Ai,j。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法涉及到两个矩阵A和B，前提是A的列数等于B的行数。
它们的乘积矩阵C可以通过循环计算得到。
行乘以列的规则是Ci,j = Σ(Ai,k * Bk,j)，其中k代表循环的次数，Σ表示累加求和。
三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵全为零的矩阵称为零矩阵，记作0。
2. 单位矩阵主对角线上元素全为1，其余元素全为0的矩阵称为单位矩阵，记作I。
3. 对角矩阵除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵将矩阵A的行变成列，列变成行得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与应用1. 可逆矩阵如果一个方阵A存在一个方阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵。
可逆矩阵的逆矩阵记作A^-1。
2. 矩阵的秩一个矩阵的秩是指矩阵中非零行的最小数目。
秩反映了矩阵所包含的独立行或列的数量。
3. 矩阵的应用矩阵在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，例如线性方程组的解法、图像处理、数据压缩、网络分析等。
五、总结矩阵是线性代数中重要的数学工具，由行和列组成。
矩阵的基本运算包括加法、数乘和乘法，可以通过循环计算得到。
矩阵的特殊类型包括零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和转置矩阵。
可逆矩阵和秩是矩阵的重要性质。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，它具有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本概念以及涉及的运算方法。
一、矩阵的定义与表示方法矩阵是一个按照矩形排列的数阵，它由m行n列的数构成。
一个矩阵可以用一个大写字母加上下标的方式表示，例如A、B、C等。
如果一个矩阵共有m行n列，我们将其记作A(m×n)。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法设有两个矩阵A(m×n)和B(m×n)，矩阵A与矩阵B的和记作A + B，其定义为矩阵中对应元素相加所得的新矩阵，即(A + B)(i,j) = A(i,j) +B(i,j)。
需要注意的是，两个矩阵进行加法运算时，必须满足相加的两个矩阵具有相同的行数和列数。
2. 矩阵的数乘设有一个矩阵A(m×n)和一个常数k，矩阵A乘以常数k的结果记作kA，其定义为将矩阵A的每个元素都乘以k所得的新矩阵，即(kA)(i,j) = k * A(i,j)。
同样需要注意的是，常数与矩阵的乘法满足交换律，即kA = Ak。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要一环。
设有两个矩阵A(m×n)和B(n×p)，这两个矩阵可以相乘得到一个新的矩阵C，记作C = A * B。
新矩阵C的元素由矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的内积所得，即C(i,j) = A(i,1) * B(1,j) + A(i,2) * B(2,j) + ... + A(i,n) * B(n,j)。
4. 矩阵的转置设有一个矩阵A(m×n)，将A的行换成列，列换成行所得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵零矩阵是指所有元素都为零的矩阵，记作O。
零矩阵的尺寸通常根据上下文来确定。
2. 方阵方阵是行数与列数相等的矩阵，记作A(n×n)。
方阵具有许多重要的性质和特点。
3. 单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上元素都为1，其余元素都为零的方阵，记作I。
第二章 矩阵及其运算总结
§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1） （2） （3）（4） （5）三、逆矩阵1.定义 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质： （1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点） 这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ． 矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故 方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】 将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩 阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解 由题设条件得3.伴随矩阵 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。
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矩阵的乘法
• 矩阵的乘法有几个值得注意的地方 • 1.矩阵的左乘与右乘一般来说是不一样的， 列如AB一般来说是与BA不一样的。 • 2.在矩阵的乘法中左边的矩阵的列数等于右 边矩阵的行数，这时的乘法才有意义。 • 3.乘积结果矩阵的行数等于左边矩阵的行数， 列数等于右边矩阵的列数，这一条性质经 常作为检查计算结果的工具。
• 3.三角矩阵（其形状略P64）但这里要记住 上三角和下三角 • 4.转置矩阵。将一个矩阵的行换成同序列数 的列便可得到其转置矩阵 矩阵的转置运用非常多，因此在运用一 定要清晰他的各种性质，（P65）
方阵乘积的行列式
• 定理1 设A,B是两个N阶方阵，则 |AB|=|A||B|，对AB=BA一般来说不成立， 但有|AB|=|BA|=|A||B|，这里的内容只有 这些，P68的例6很重要，一定自己消化。 • 还有这些性质在理解的基础上要，因此只需要 看书了解一下其公式， • 注：书上的习题一定要好好完成
第二节:特殊矩阵与方阵乘积的行列 式
• 关于特殊矩阵这一块，重要的是认识几种 比较常用的矩阵以及其的较为特殊的性质， 并不需要去记忆多少，但要明白这些东西 在后面可能会用到 • 1.单位矩阵。主对角线上全为一，其余为零 的N阶矩阵。记E为单位矩阵，则单位矩阵 的性质可表达为EA=AE=A • 2.对角矩阵，对角矩阵的形状及其性质可见 P63
• 由于矩阵乘法的公式书上都有，因此公式 可以忽略一下，但有一个口诀：左行乘右 列，结果相加得一数，正确与否性质3.
矩阵的乘法不满足交换律，但有些特殊情 况AB=BA，如A，B都是零矩阵。但矩阵的乘 AB=BA A B 法满足结合律和分配率。 (1) (AB)C=A(BC); (2) A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA.(注（2）中两个式子是不 同意义的，交换律的缘故)
矩阵的概念及运算
在这一章中要明确矩阵的概念以及 其运算，特别要区别于行列式，行 列式是N阶矩阵通过一定计算方式 得到的数，而矩阵是一块数字。从 方程的角度来理解的话，就是方程 的系数，但是这里要区别一个概念， 就是增广矩阵和其他矩阵。
矩阵的线性运算
• 1.矩阵的加法 • 2.矩阵的数乘 • 矩阵的加法与数乘均是较简单的算法，而 且也比较简单，因此就不必详细的去说明 这个问题，但是有一点，这里的计算较多， 因此要小心计算，不要弄错。